2026北师大版高中数学必修第一册练习--第四章 §4指数函数、幂函数、对数函数增长的比较§5信息技术支持的函数研究（含解析）

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2026北师大版高中数学必修第一册
§4　指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
*§5　信息技术支持的函数研究
基础过关练
题组一　不同函数模型增长的比较
1.(2024广东深圳二中期末)下列模型分别是四种生意预期的获益y关于时间x的函数模型,从足够长远的角度看,使得公司获益最大的函数模型是(　　)
A.y=10×1.05x　　　　B.y=20+x2
C.y=30+lg(x+1)　　　　D.y=50x
2.(2024江西上饶中学期中)设f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,当x∈(4,+∞)时,对这三个函数的增长速度进行比较,下列结论正确的是(　　)
A. f(x)的增长速度最快,h(x)的增长速度最慢
B.g(x)的增长速度最快,h(x)的增长速度最慢
C.g(x)的增长速度最快, f(x)的增长速度最慢
D. f(x)的增长速度最快,g(x)的增长速度最慢
3.(2025江苏无锡太湖高级中学月考)在某种新型材料的研制中,实验人员获得了如下一组实验数据:
x 2 2.99 4 5 6.02
y 4 8.02 15.99 32 64.01
现准备用下列四个函数模型中的一个近似地描述这些数据的规律:①y=2x;②y=(x2-1);③y=log2x;④y=2x.其中最接近的一个是　　　　(填序号).
4.若x∈(0,+∞),试分别写出使不等式:①log2x<2x题组二　函数图象的确定与选择
5.(2025安徽六安月考)函数y=x2-2x的部分图象大致是(　　)
　　　　　　　　
　　　　
6.函数y=ax,y=logax,y=log(a+1)x,y=(a-1)x2的图象依次为(　　)
A.①②③④　　　　B.①③②④
C.②③①④　　　　D.①④③②
7.(2024河南安阳期末)如图,有一高为H的鱼缸,向鱼缸中匀速注满水所用的时间为T.若鱼缸中的水深为h时,匀速注水所用的时间为t,则函数h=f(t)的图象大致是(　　)
　　　　　　　　
　　　　
8.(2024广东梅州期末)有一则寓言故事“龟兔赛跑”:兔子和乌龟比赛跑步,刚开始时,兔子在前面飞快地跑着,乌龟在后面拼命地爬着.不一会儿,兔子就拉开了乌龟好大一段距离.兔子认为比赛太轻松了,就决定先睡一会儿.而乌龟一刻不停地爬行.当乌龟快到达终点的时候,兔子才醒来,于是它赶紧去追,但结果还是乌龟赢了.下列“路程s-时间t”的图象中,与“龟兔赛跑”的情节相吻合的是(　　)
　　　　　　　　
　　　　
9.水滴进玻璃容器,如图所示(设单位时间内进水量相同),那么水面的高度是如何随时间的变化而变化的 请填上与容器匹配的图象的序号.
a:　　　;b:　　　;c:　　　;d:　　　.
10.(教材习题改编)函数f(x)=2x和g(x)=x3的图象如图所示.设两函数的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1(1)请指出图中曲线C1,C2分别对应的函数;
(2)结合函数图象,比较f(6),g(6),f(2 025),g(2 025)的大小.
答案与分层梯度式解析
§4　指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
*§5　信息技术支持的函数研究
基础过关练
1.A 2.B 5.D 6.B 7.D 8.B
1.A　指数函数y=1.05x的底数大于1,其增长速度随着时间的推移会越来越快,比幂函数y=x2,对数型函数y=lg(x+1),一次函数y=50x增长的速度都快,所以从足够长远的角度看,使公司获益最大的函数模型是y=10×1.05x.
2.B　画出函数f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x的图象,如图所示,
结合图象可得,当x∈(4,+∞)时,函数g(x)=2x的增长速度最快,h(x)=log2x的增长速度最慢.
3.答案　④
解析　将各组x的数据分别代入①②③④对应的函数解析式,如下表所示(非整数的结果保留小数点后两位):
x 2 2.99 4 5 6.02
y ①y=2x 4 5.98 8 10 12.04
②y=(x2-1) 1.50 3.97 7.50 12 17.62
③y=log2x 1 1.58 2 2.32 2.59
④y=2x 4 7.94 16 32 64.89
由表可知其中最接近的一个是④y=2x.
4.解析　在同一平面直角坐标系中作出函数y=2x,y=x2,y=log2x在(0,+∞)上的图象,可得22=4,24=42=16,下面借助图象解决问题.
①∵log2x<2x②∵log2x4,
∴自变量x的取值范围为(0,2)∪(4,+∞).
5.D　易知在区间(0,+∞)上,当x∈(0,2)时,2x>x2,即y<0;当x∈(2,4)时,2x0;当x∈(4,+∞)时,2x>x2,即y<0.
据此可知只有D中图象符合条件.
6.B　①是y=ax的图象,②是y=log(a+1)x的图象,③是y=logax的图象,④是y=(a-1)x2的图象.
7.D　由题图知,鱼缸的下端与上端细、中间粗,所以在注水速度恒定的情况下,开始时鱼缸中水面的高度增加得快,然后变得越来越慢,最后又变得越来越快.结合选项知D中图象符合.
8.B　由于兔子睡了一会儿,所以选项中有一段路程s不发生变化的图象为兔子的“路程s-时间t”的图象,刚开始时,兔子的速度快,乌龟的速度慢,故排除C,D;最后乌龟赢了,即乌龟先到达终点,故B符合.
9.答案　(3);(2);(4);(1)
解析　容器a和b的水面上升速度是均匀的,且容器a的水面上升得快,因此a对应(3),b对应(2);容器c的水面开始时缓慢上升,后来上升得快,而容器d的水面是开始上升得快,中间较缓慢,后来又加快,因此c对应(4),d对应(1).
10.解析　(1)曲线C1对应的函数为g(x)=x3,曲线C2对应的函数为f(x)=2x.
(2)∵f(1)=2>g(1)=1, f(2)=4g(10)=1 000,
∴1由题图可以看出,当x1∴f(6)当x>x2时, f(x)>g(x),∴f(2 025)>g(2 025).
又g(2 025)>g(6),
∴f(2 025)>g(2 025)>g(6)>f(6).
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