2026北师大版高中数学必修第一册练习--第四章 3.1对数函数的概念3.2对数函数y=log2x的图象和性质（含解析）

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2026北师大版高中数学必修第一册
§3　对数函数
3.1　对数函数的概念　
3.2　对数函数y=log2x的图象和性质
基础过关练
题组一　对数函数的概念及应用
1.若函数f(x)=logax+a2-3a+2是对数函数,则a的值是　　　　.
2.(2025广东珠海月考)函数f(x)=(m-1)logax(a>0,且a≠1)是对数函数,且其图象过点(4,2),则f(m)=　　　　.
题组二　反函数
3.如果函数f(x)的图象与函数y=2x-1的图象关于直线y=x对称,那么f(x)的解析式是(　　)
A. f(x)=log2(x+1)　　　　B. f(x)=log2x+1
C. f(x)=log2(x-1)　　　　D. f(x)=log2x-1
4.(2024福建宁德福安一中月考)已知函数y=ex和y=ln x的图象与直线y=2-x交点的横坐标分别为a,b,则(　　)
A.a>b　　　　B.a+b<2　　　　C.ab>1　　　　D.a2+b2>2
题组三　对数函数y=log2x的基本性质
5.(易错题)(2025湖南邵东月考)若函数f(x)=+,则函数g(x)=的定义域为(　　)
A.(1,2)　　　　B.(1,2]　　　　C.(1,4]　　　　D.(1,4)
6.(2025江西宜春樟树中学月考)函数y=log2(6+x-2x2)的单调递减区间是(　　)
A.(2,+∞)　　　　B.　　　　
C.　　　　D.
7.(2025广东惠州一中月考)函数f(x)=log2(1+2x)-x的图象关于(　　)
A.点(0,1)对称　　　　B.直线x=1对称
C.y轴对称　　　　D.直线y=x对称
8.若2a+log2a<22b+log2b+1,则(　　)
A.ln(2b-a+1)<0　　　　B.ln(2b-a+1)>0
C.ln|a-2b|>0　　　　D.ln|a-2b|<0
9.(多选题)(2024广东揭阳期末)下列结论正确的有　　(　　)
A.函数y=的最小值为2
B. f(x)=log2(2x-1)+1的图象过点(1,1)
C.若f(x)=log2(x2-mx+1)的定义域为R,则m∈(-∞,-2)∪(2,+∞)
D.若f(x)=log2(x2-mx+1)的值域为R,则m∈(-∞,-2]∪[2,+∞)
10.(2025河南许昌中学月考)对于任意实数a,b,定义max{a,b}=设函数f(x)=-x+6,g(x)=log2x,则函数h(x)=max{f(x),g(x)}的最小值是　　　　.
11.(2025江苏南京六校联考)已知函数f(x)=logax(a>0,且a≠1),若函数f(x)在区间[1,4]上的最大值与最小值之和为2.
(1)求函数f(x)的解析式,并求出关于x的不等式f<1的解集;
(2)求函数g(x)=f·f(2x),x∈[1,4]的值域,并求出取得最值时对应的x的值.
答案与分层梯度式解析
§3　对数函数
3.1　对数函数的概念
3.2　对数函数y=log2x的图象和性质
基础过关练
3.B 4.D 5.A 6.C 7.C 8.B 9.BD
1.答案　2
解析　由题意得a2-3a+2=0,a>0且a≠1,∴a=2.
2.答案　1
解析　由已知得解得故f(x)=log2x,所以f(m)=f(2)=log22=1.
3.B　因为函数f(x)与函数y=2x-1的图象关于直线y=x对称,所以两函数互为反函数,由y=2x-1得x-1=log2y,整理得x=log2y+1,所以f(x)=log2x+1.
4.D　在同一平面直角坐标系中作出函数y=ex和y=ln x的图象以及直线y=2-x,如图,
由图象可知0易知A(a,ea),B(b,ln b),或A(a,2-a),B(b,2-b),
因为函数y=ex和y=ln x互为反函数,它们的图象关于直线y=x对称,而A,B分别为y=ex和y=ln x的图象与直线y=2-x的交点,所以点A,B关于直线y=x对称,故a=2-b,则a+b=2,B错误;
由0因为02ab,所以2(a2+b2)>(a+b)2,
结合a+b=2,得a2+b2>2,D正确.
5.A　由题意得在f(x)中,满足解得0≤x<4,故f(x)的定义域为{x|0≤x<4},
故在g(x)中需满足解得1易错警示
需特别注意, f(x)中x的取值范围与f(2x)中2x的取值范围是一致的.
6.C　由6+x-2x2>0,解得-令t=6+x-2x2,易知当x∈时,函数t=6+x-2x2单调递减,当x∈时,函数t=6+x-2x2单调递增,而y=log2t在定义域内单调递增,故y=log2(6+x-2x2)的单调递减区间是.
7.C　易知f(x)的定义域为R,
f(x)=log2(1+2x)-log2=log2=log2,
则f(-x)=log2=log2=f(x),
所以f(x)为偶函数,其图象关于y轴对称.
8.B　2a+log2a<22b+log2b+1=22b+log2(2b),a>0,b>0,
令f(x)=2x+log2x,其中x>0,则f(a)因为函数y=2x,y=log2x在(0,+∞)上均单调递增,
所以函数f(x)=2x+log2x在(0,+∞)上为增函数,
所以2b>a>0,则2b-a>0,所以2b-a+1>1,则ln(2b-a+1)>ln 1=0,A错误,B正确;
无法确定|a-2b|与1的大小关系,C,D错误.
9.BD　对于A,y===+≥2,当且仅当=,即x2+9=1时等号成立,而此式无解,所以函数y=的最小值不为2,故A错误;
对于B,把x=1代入f(x)的解析式,得f(1)=log21+1=1,故f(x)=log2(2x-1)+1的图象过点(1,1),故B正确;
对于C,若f(x)=log2(x2-mx+1)的定义域为R,则x2-mx+1>0在R上恒成立,
所以Δ=(-m)2-4<0,解得-2对于D,若f(x)=log2(x2-mx+1)的值域为R,则x2-mx+1≤0在R上有解,
所以Δ=(-m)2-4≥0,解得m≤-2或m≥2,故D正确.
10.答案　2
解析　由题意得x∈(0,+∞),
因为f(x)=-x+6在x∈(0,+∞)上单调递减, g(x)=log2x在x∈(0,+∞)上单调递增,
且f(4)=-4+6=2,g(4)=log24=2,
所以点(4,2)是两个函数图象的交点,
所以当x≥4时,f(x)≤g(x),可得h(x)=g(x)=log2x,
当0g(x),可得h(x)=f(x)=-x+6,
作出h(x)的大致图象,如图,
由图可知h(x)的最小值为2.
11.解析　(1)易知函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f(x)在(0,+∞)上单调,
由函数f(x)在区间[1,4]上的最大值与最小值之和为2,得loga1+loga4=2,即2loga2=2logaa,解得a=2,
于是f(x)=log2x.
不等式f<1 log2解>0,得x<-1或x>1;解<2,即>0,得x<-3或x>-1,所以x<-3或x>1,
所以不等式f<1的解集为{x|x<-3或x>1}.
(2)由(1)知f(x)=log2x,则g(x)=f·f(2x)=log2·log2(2x)=(log2x-2)·(log2x+1)=-log2x-2,
令log2x=t,由x∈[1,4],得t∈[0,2],则函数g(x)=(log2x)2-log2x-2可等价为h(t)=t2-t-2=-,t∈[0,2],
当t=时,h(t)min =-,此时x=;当t=2时,h(t)max=0,此时x=4,
所以函数g(x)的值域为,且取得最小值时x=,取得最大值时x=4.
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