2026北师大版高中数学必修第一册练习--第四章 3.3对数函数y=logax的图象和性质（含解析）

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2026北师大版高中数学必修第一册
3.3　对数函数y=logax的图象和性质
基础过关练
题组一　对数(型)函数的图象及其应用
1.(2025广东深圳实验学校月考)若函数f(x)=ax+1+2(a>0且a≠1)的图象恒过点A(m,n),函数g(x)=loga(x+1)+2(a>0且a≠1)的图象恒过点B(p,q),则mn+pq=(　　)
A.-5　　　　B.-3　　　　C.-2　　　　D.-1
2.(教材习题改编)(多选题)下图是三个对数函数的图象,则(　　)
A.a>1　　　　B.0C.2b<2c<2a　　　　D.c3.(2024天津滨海新区月考)函数f(x)=的图象大致为(　　)
　　　　　　　　
　　　　
4.(2025江苏扬州联考)当a>1时,在同一坐标系中,函数y=a-x与y=-logax的图象是(　　)
　　　　　　　　
　　　　
5.(2025吉林四平实验中学月考)若函数f(x)=log8(x-a+2)的图象经过第一、二、三象限,则实数a的取值范围为　　　　.
题组二　对数(型)函数的单调性及其应用
6.(2025江西南昌二中月考)已知关于x的函数y=lo(x2+ax+a-1)在[-4,-3]上单调递增,则实数a的取值范围是(　　)
A.a≤4　　　　B.a<4
C.a≤6　　　　D.a<6
7.(2025湖北新高考联考协作体月考)设a=30.1,b=log0.71.1,c=log32,则a,b,c的大小关系是　　(　　)
A.a>b>c　　　　B.a>c>b
C.b>a>c　　　　D.c>b>a
8.(2025湖北荆州中学月考)已知f(x)=ln|x|+x2,则不等式f(2x-3)>f(5)的解集是(　　)
A.(-∞,-1)∪(4,+∞)　　　　B.(-1,4)
C.(-∞,4)　　　　D.(4,+∞)
9.(2025湖南长沙长郡中学期末)若集合A={(m,n)|m≤-2,0A.2　　　　B.4　　　　
C.8　　　　D.16
10.(易错题)已知函数f(x)=loga(8-ax)(a>0,且a≠1),若f(x)>1在区间[1,2]上恒成立,则实数a的取值范围是　　　　　.
11.(2025安徽蚌埠固镇段测)已知函数f(x)=log4.
(1)判断f(x)的奇偶性,并证明;
(2)求函数f(x)的单调区间.
题组三　对数(型)函数性质的综合应用
12.(多选题)(2025广东潮州期中联考)已知函数f(x)=log2(x+6)+log2(4-x),则(　　)
A. f(x)的定义域是(-6,4)
B. f(x)有最大值
C.不等式f(x)<4的解集是(-∞,-4)∪(2,+∞)
D. f(x)在(0,4)上单调递减
13.(2025江西“三新”协同教研共同体联考)已知满足不等式x2-4x+a<0的每一个x的值至少满足两个不等式log2(x+1)-2<0和4x-9×2x+1+32<0中的一个,则实数a的取值范围为　　　　.
14.(2025福建莆田二中月考)设f(x)=loga(1+x)+loga(3-x)(a>0,a≠1),且f(1)=2.
(1)求a的值及f(x)的定义域;
(2)求f(x)在区间上的最值.
15.(2025江西上饶广信中学月考)已知函数f(x)=(log2x-4).
(1)当x∈[1,4]时,求该函数的值域;
(2)若f(x)>mlog2x对于x∈[1,4]恒成立,求m的取值范围.
能力提升练
题组一　对数(型)函数的图象及其应用
1.(2024江西景德镇期末)已知log2a+log2b=0(a>0且a≠1,b>0且b≠1),则同一坐标系下,函数f(x)=ax与g(x)=logb的图象可能是　　(　　)
　　　　　　　　
　　　　
2.(2025广东东莞中学期中)已知(x1,y1),(x2,y2)是函数y=log2x的图象上的两个不同点,则(　　)
A.>　　　　B.<
C.>　　　　D.<
3.(2025浙江南太湖联盟联考)已知实数a,b满足log3a+a=3b+b=2,则(　　)
A.1C.14.(多选题)(2025江西景德镇一中期中)已知函数f(x)=若存在实数a,b,c,d满足aA.k∈(0,1]
B.a+b=-6
C.cd=1
D.a+b+c+d的取值范围为
题组二　对数(型)函数的性质及其应用
5.(2024黑龙江省实验中学月考)已知a∈,则f(x)=loga(x2-4x+3)的单调递减区间为(　　)
A.(-∞,1)　　　　B.(-∞,2)
C.(3,+∞)　　　　D.(2,+∞)
6.(2024山东枣庄薛城月考)若f(x)=-x2+ax+2+lg(2-|x|)(a∈R)是偶函数,且f(1-m)A.　　　　B.
C.　　　　D.
7.(多选题)(2025江西南昌二中月考)环境污染已经触目惊心,改善环境成为“十三五”实现全面建成小康社会奋斗目标的短板和瓶颈.某化工厂每天的污水污染指数f(x)与时刻x(时)的函数关系为f(x)=|log25(x+1)-a|+2a+1,x∈[0,24],其中a为污水治理调节参数,且a∈(0,1),规定每天f(x)的最大值为当天的污水污染指数,则使该厂每天的污水污染指数不超过3的a的取值可以为(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
8.(多选题)(2025湖北武汉三校联考)若8a+log3a+1=43b+2log9(3b),则(　　)
A.aC.a>b　　　　D.a>2b
9.(2025江苏淮安淮阴中学期中)已知函数f(x)=ln(ex+a-1),若对于任意的0A.(1,+∞)　　　　B.(-∞,1)
C.[1-e,1)　　　　D.(1-e,1)
10. (2024浙江绍兴第一中学期中)已知实数x,y满足ex+x-2 025=-ln(y+2 025),则ex+y+2 026的最小值是　　　　.
11.(2024河南郑州月考)已知函数f(x)=ax+b,g(x)=logax(a>0,且a≠1),其中a,b均为实数.
(1)若函数f(x)的图象经过点A(0,2),B(1,3),求a,b的值;
(2)如果函数f(x)的定义域和值域都是[-1,0],求a+b的值;
(3)若a满足不等式22a+1>25a-2,且函数g(2x-1)在区间[1,3]上有最小值-2,求实数a的值.
12.(2025安徽示范高中培优联盟联考)若对于定义域内的任意x,都有f(x+a)>f(x),其中a为大于0的常数,则称函数f(x)为“a距”增函数,这种性质在数学和物理中都有广泛的应用.
(1)若f(x)=x3+2x-1,试判断f(x)是不是“2距”增函数;
(2)假设函数g(x)=log2,x∈[1,+∞),m∈R为“2距”增函数,求g(x)的最小值.
答案与分层梯度式解析
3.3　对数函数y=logax的图象和性质
基础过关练
1.B 2.ABC 3.C 4.D 6.B 7.B 8.A 9.B
12.ABD
1.B　对于f(x)=ax+1+2,令x+1=0,得x=-1,此时f(x)=3,故A(-1,3);对于g(x)=loga(x+1)+2,令x+1=1,得x=0,此时g(x)=2,故B(0,2),所以mn+pq=-3+0=-3.
2.ABC　由题图得a>1,0令y=1,由logbb=logcc=1及题图得b又y=2x是R上的增函数,∴2b<2c<2a.
解题技法
根据图象判断不同的对数函数的底数大小的巧妙方法:过点(0,1)作平行于x轴的直线,则该直线与对数函数图象交点的横坐标即为该对数函数的底数,由此可判断大小.
3.C　f(x)=的定义域为{x|x≠0,且x≠±1},关于原点对称,因为f(-x)==-f(x),所以f(x)为奇函数,其图象关于原点对称,排除A,D;当x∈(0,1)时,f(x)<0,排除B.
4.D　当a>1时,0<<1,函数y=a-x=单调递减,函数y=-logax=lox单调递减,观察选项可知D符合.
5.答案　(-∞,1)
解析　要使函数f(x)的图象经过第一、二、三象限,则f(0)=log8(0-a+2)>0,即-a+2>1,所以a<1,所以实数a的取值范围为(-∞,1).
6.B　令t=x2+ax+a-1,则y=lot,易知该函数在(0,+∞)上单调递减,
又y=lo(x2+ax+a-1)在[-4,-3]上单调递增,
故由复合函数的单调性可知,t=x2+ax+a-1在[-4,-3]上单调递减,且t>0,
所以则所以a<4.
7.B　y=3x在R上单调递增,且0.1>0,故30.1>30=1,即a>1;
y=log0.7x在(0,+∞)上单调递减,且1.1>1,故log0.71.1y=log3x在(0,+∞)上单调递增,且1<2<3,所以log31所以a>c>b.
8.A　由题意知f(x)的定义域为{x|x≠0},关于原点对称,
因为f(-x)=ln|-x|+(-x)2=ln|x|+x2=f(x),所以f(x)为偶函数,
则f(2x-3)>f(5)即f(|2x-3|)>f(5),且2x-3≠0,
当x∈(0,+∞)时,f(x)=ln x+x2单调递增,
所以|2x-3|>5,所以2x-3>5或2x-3<-5,解得x>4或x<-1.
故原不等式的解集是(-∞,-1)∪(4,+∞).
9.B　令y=log4n,则n=4y,原不等式即为my-4y-3m≥0,即(y-3)m-4y≥0,
∵m≤-2,∴∴
令f(y)=-2y-4y+6,则f(y)在R上单调递减,且f(1)=-2-4+6=0,
∴当f(y)≥0时,y≤1,∴log4n≤1,∴010.答案　
解析　当a>1时, f(x)=loga(8-ax)在[1,2]上单调递减,由f(x)>1恒成立,得f(x)min=loga(8-2a)>1,即8-2a>a,解得a<,又a>1,所以1当01恒成立,得f(x)min=loga(8-a)>1,即8-a4,又0综上,实数a的取值范围是.
易错警示
利用对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的单调性解决问题时,若底数a的值或范围不确定,则要分01两种情况讨论.
11.解析　(1)函数f(x)为奇函数,证明如下:
由>0,解得x<-2或x>2,则f(x)的定义域为(-∞,-2)∪(2,+∞),关于原点对称,
又f(-x)=log4=log4=-log4=-f(x),
故f(x)为奇函数.
(2)由(1)知f(x)的定义域为(-∞,-2)∪(2,+∞),
令t==1-,则此函数在(-∞,-2)和(2,+∞)上单调递增,
又y=log4t在(0,+∞)上单调递增,
所以函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-2)和(2,+∞),不存在单调递减区间.
12.ABD　由解得-6f(x)=log2(x+6)+log2(4-x)=log2[(x+6)(4-x)]=log2(-x2-2x+24),令t=-x2-2x+24,
易知抛物线t=-x2-2x+24的对称轴为直线x=-1,
所以t=-x2-2x+24在(-6,-1)上单调递增,在(-1,4)上单调递减,又y=log2t在(0,+∞)上单调递增,
所以f(x)在(-6,-1)上单调递增,在(-1,4)上单调递减,所以f(x)有最大值,为f(-1)=2log25,故B,D正确;
f(x)<4即log2(-x2-2x+24)<4,即log2(-x2-2x+24)所以解得x∈(-6,-4)∪(2,4),故C错误.
13.答案　[0,4)
解析　由log2(x+1)-2<0,得log2(x+1)<2,即0由4x-9×2x+1+32<0,得(2x-2)(2x-16)<0,故1设函数f(x)=x2-4x+a,则由题意知f(x)<0的解集不是空集,
不妨设此解集为C=(x1,x2)(x1所以解得0≤a<4.
14.解析　(1)由题意得f(1)=loga2+loga2=2,即loga2=1,解得a=2,故f(x)=log2(1+x)+log2(3-x).
令解得-1(2)由(1)得f(x)=log2(1+x)+log2(3-x)=log2[(1+x)·(3-x)]=log2(-x2+2x+3),
因为y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,其在上单调递增,在[1,2]上单调递减,y=log2x在(0,+∞)上单调递增,
所以f(x)在上单调递增,在[1,2]上单调递减,
又f(1)=2,f(2)=log23,f=log2>log23,
所以f(x)在区间上的最大值为f(1)=2,最小值为f(2)=log23.
15.解析　(1)f(x)=(log2x-4)=(log2x-4)·(log2x-1),
∵x∈[1,4],∴log2x∈[0,2],
令t=log2x,则f(x)=(log2x-4)(log2x-1)可转化为g(t)=(t-4)(t-1)=t2-t+2,t∈[0,2],
易知g(t)在[0,2]上单调递减,∴g(t)max=g(0)=2,g(t)min=g(2)=-1,∴该函数的值域为[-1,2].
(2)f(x)>mlog2x对于x∈[1,4]恒成立即为y=(t-4)·(t-1)>mt在t∈[0,2]上恒成立.
当t=0时,不等式为2>0,恒成立,m∈R;
当t∈(0,2]时,m<恒成立,
令h(t)===,
则h(t)≥×(2-5)=-,当且仅当t=2时取等号,所以m<-.
综上,m<-.
能力提升练
1.B 2.B 3.D 4.ACD 5.C 6.A 7.AB 8.BC
9.C
1.B　log2a+log2b=0即log2(ab)=0,则ab=1.
当a>1时,0当01,函数f(x)=ax在R上为减函数,g(x)=logb在(0,+∞)上为减函数,四个选项均不满足.
2.B　不妨设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为M,则M,
设点N在函数y=log2x的图象上,且MN∥x轴,则N,
如图,
由图可知点N在M的左侧,即<.
3.D　因为log3a+a=3b+b=2,所以log3a=2-a,3b=2-b,
设f(x)=log3x,g(x)=3x,h(x)=2-x,
则a是f(x)与h(x)图象的交点的横坐标,b是g(x)与h(x)图象的交点的横坐标,
在同一坐标系中作出f(x),g(x)与h(x)的大致图象,如图,
结合图象可知,b<14.ACD　在同一坐标系中画出y=|f(x)|的图象与直线y=k如下:
对于A,由图可得0对于B,由对称性知a+b=2×(-2)=-4,B错误;
对于C,令-lg x=1,解得x=,故≤c<1,
令lg x=1,解得x=10,故1所以-lg c=lg d,故lg c+lg d=0,所以cd=1,C正确;
对于D,a+b+c+d=c+d-4=c+-4,其中≤c<1,
而y=c+在c∈上单调递减,
所以y=c+∈,则a+b+c+d=c+-4∈,D正确.
5.C　由-x=0得=x,
在同一平面直角坐标系中画出函数y=的图象与直线y=x,如图所示,
由图可知0由x2-4x+3>0,解得x<1或x>3,故f(x)的定义域为{x|x<1或x>3}.
当x∈(-∞,1)时,y=x2-4x+3单调递减,所以f(x)单调递增;
当x∈(3,+∞)时,y=x2-4x+3单调递增,所以f(x)单调递减.
所以函数f(x)的单调递减区间为(3,+∞).
6.A　由2-|x|>0得-2若f(x)是偶函数,则f(-x)=f(x),
即-(-x)2-ax+2+lg(2-|-x|)=-x2+ax+2+lg(2-|x|),解得a=0,故f(x)=-x2+2+lg(2-|x|),
当0≤x<2时,f(x)=-x2+2+lg(2-x),
易知y=-x2+2,y=lg(2-x)在[0,2)上均单调递减,则f(x)在[0,2)上单调递减,
则不等式f(1-m)解得-1所以实数m的取值范围是.
7.AB　设t=log25(x+1),则当0≤x≤24时,0≤t≤1.
函数f(x)=|log25(x+1)-a|+2a+1等价为g(t)=|t-a|+2a+1,t∈[0,1],则g(t)=
显然g(t)在[0,a)上单调递减,在[a,1]上单调递增,
则f(x)max=g(t)max=max{g(0),g(1)},且g(0)=3a+1,g(1)=a+2,
则有解得a≤,
又a∈(0,1),故a∈,结合选项可知A,B正确.
8.BC　由题意得a>0,b>0,原式可变形为8a-43b=log9(3b)2-log9a2-log99,即23a-26b=log9.
当a=b时,23a-26b=log912=0,所以3a=6b,即a=2b,与a=b相矛盾,故不符合题意;
当a>b时,23a-26b=log9所以23a<26b,所以3a<6b,即b当alog91=0,
所以23a>26b,所以3a>6b,即a>2b,与a综上,b9.C　f(x1+1)-f(x2+1)令t1=x1+1,t2=x2+1,由0记g(t)=f(t)-t=ln(et+a-1)-t=ln (t>1),
则g(t)在(1,+∞)上单调递增,
令u==1+=1+(a-1),
因为y=ln u在(0,+∞)上单调递增,所以由复合函数的单调性可知,
函数u=1+(a-1)在(1,+∞)上单调递增,且u=1+(a-1)>0在(1,+∞)上恒成立,
故则1-e≤a<1,
故实数a的取值范围为[1-e,1).
10.答案　2+1
解析　由ex+x-2 025=-ln(y+2 025),
得ex+x=+2 025-ln(y+2 025),
得ex+ln ex=+ln e2 025-ln(y+2 025)=+ln ,
令f(x)=x+ln x,则f(x)在(0,+∞)上单调递增,
又f(ex)=f,所以ex=,
则ex+y+2 026=+(y+2 025)+1≥2+1=2+1,
当且仅当=y+2 025,即y=-2 025时等号成立,
所以ex+y+2 026的最小值是2+1.
解后反思
本题把ex+x-2 025=-ln(y+2 025)变形为ex+ln ex=+ln,通过构造函数f(x)=x+ln x,利用函数的单调性得到ex=是解题的关键,这种构造函数的思想在解题中会经常用到,同学们平时要多积累总结.
11.解析　(1)由题意得解得
(2)当a>1时,函数f(x)=ax+b在[-1,0]上单调递增,
由题意可得无解;
当0由题意可得解得
所以a+b=-.
(3)因为22a+1>25a-2,所以2a+1>5a-2,解得a<1,
又a>0,所以0所以当x=3时,g(2x-1)取得最小值-2,
即g(2×3-1)=loga(2×3-1)=loga5=-2,所以a=.
12.解析　(1)由f(x)=x3+2x-1得f(x+2)-f(x)=[(x+2)3+2(x+2)-1]-(x3+2x-1)=6(x2+2x+2)=6(x+1)2+6>0,
故f(x+2)>f(x)对x∈R恒成立,即函数f(x)是“2距”增函数.
(2)依题意,g(x+2)-g(x)=log2-log2>0在x∈[1,+∞)上恒成立,
即log2>log2,x∈[1,+∞),
所以(x+2)+>x+>0对任意x∈[1,+∞)都成立,
故-x2①当-1所以g(x)min =g(1)=log2(1+m).
②当0令t=x+,则t1-t2=x1+-x2+=,
由00,x1x2>0,
所以t1-t2<0,即0所以g(x)在[1,+∞)上单调递增,所以g(x)min =g(1)=log2(1+m).
③当1当且仅当x=,即x=时取等号(此时>1),
所以g(x)min =g()=log2(2).
综上所述,g(x)min =
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