2026北师大版高中数学必修第一册练习--第五章 §2实际问题中的函数模型（含解析）

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2026北师大版高中数学必修第一册
§2　实际问题中的函数模型
基础过关练
题组一　利用已知函数模型解决问题
1.(2025江西九江联考)溶液的酸碱度是用来衡量溶液酸碱性强弱程度的一个指标,在化学中,常用pH来表示溶液的酸碱度.pH的计算公式为pH=-lg c(H+),其中c(H+)表示溶液中氢离子的浓度,单位是摩尔/升.已知A溶液中氢离子的浓度是0.135摩尔/升,则A溶液的pH约为(参考数据:lg 2≈0.301,lg 3≈0.477)(　　)
A.0.268　　　　B.0.87　　　　C.1.13　　　　D.1.87
2.(2025江苏南通如皋十校期中)把物体放在空气中冷却,如果物体原来的温度是θ1 ℃,空气的温度是θ0 ℃,那么t min后物体的温度θ(单位:℃)可由公式θ=θ0+(θ1-θ0)e-kt求得,其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的大于0的常数.现有一个85 ℃的物体,把它放在25 ℃的空气中冷却,1 min以后物体的温度是75 ℃.若要将物体的温度降为45 ℃,则需要冷却的时间为(结果精确到0.1,参考数据:ln 2≈0.693,ln 3≈1.099,ln 5≈1.609)(　　)
A.5.8 min　　　　B.6.0 min　　　　
C.6.2 min　　　　D.6.4 min
3.(多选题)(2025福建漳州期末)如图,某池塘里浮萍的面积y(单位:m2)与时间t(单位:月)的关系为y=at,则(　　)
A.a=3
B.第4个月时,浮萍的面积超过80 m2
C.浮萍每月增加的面积都相等
D.浮萍的面积每月的增长率为2
4.(2025湖南郴州期末)某地开展乡村振兴计划,鼓励村民返乡创业.老李响应政府号召,打算回家乡种植某种水果.经调研发现,该果树的单株产量G(x)(单位:千克)与施肥量x(单位:千克)之间满足函数关系:G(x)=且单株果树的肥料成本投入为20x元,其他成本(如树苗费、人工费等)为(100+60x)元.已知单株果树的施肥量为7千克时,产量为48.5千克,这种水果的市场售价为20元/千克,且都能卖完,记该果树的单株利润为f(x)元.
(1)求k的值及函数f(x)的解析式;
(2)当单株施肥量为多少千克时,该果树的单株利润最大 最大利润是多少
题组二　构建函数模型解决问题
5.(2025江苏无锡学情调研)酒驾是严重危害交通安全的违法行为,根据国家规定,100 mL血液中的酒精含量达到20~80 mg(包含20 mg,但不包含80 mg)的驾驶员即为酒后驾车,在80 mg及以上时认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后,其血液中的酒精含量达到1 mg/mL,如果停止喝酒以后,他血液中的酒精含量会以每小时25%的速度减少,那么他至少经过　　　　小时才能驾驶.(结果精确到0.1,附:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)
6.(2025江苏十校联盟联考)为了应对可能发生的美国对华贸易的不当竞争,到2034年,某外贸玩具公司计划将生产成本控制为80万元,要比2024年下降20%,假设这期间每一年的生产成本降低的百分比都相等,记2024年后第x(x∈N*)年的成本支出为f(x)万元.
(1)求2024年的生产成本;
(2)求f(x)的解析式;
(3)按此计划,到哪一年,可以将该工厂的生产成本控制在45万元以内 (参考数据:lg 2≈0.301,lg 3≈0.477)
题组三　拟合函数模型解决问题
7.某植物研究员在研究某种植物1到5年内的植株高度时,将得到的数据用下图直观表示.现要根据这些数据用一个函数模型来描述这种植物在1到5年内的生长规律,则下列函数模型中符合要求的是(　　)
A.y=kax+b(k>0,a>0且a≠1)
B.y=klogax+b(k>0,a>0且a≠1)
C.y=+b(k>0)
D.y=ax2+bx+c(a>0)
8.(2025广东惠州一中月考)为响应“湘商回归,返乡创业”的号召,某企业计划投资特色农业,为了实现既定的销售利润目标,准备制订一个激励销售人员的奖励方案:按销售利润进行奖励,总奖金y(单位:万元)关于销售利润x(单位:万元)的函数的图象如图所示,现有以下三个函数模型供企业选择:①y=kx+b(k>0),②y=k·2x+m(k>0),③y=klog3+n(k>0).
(1)请你帮助该企业从中选择一个最合适的函数模型,并说明理由;
(2)根据(1)中选择的函数模型,如果总奖金不少于6万元,则至少应完成的销售利润为多少万元
能力提升练
题组　利用函数模型解决问题
1.(2025湖北武汉武昌实验中学月考)中国5G技术领先世界,其数学原理之一便是香农公式:C=Wlog2,它表示:在受噪音干扰的信道中,最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小,其中叫信噪比.按照香农公式,若不改变带宽W,将信噪比从2 000提升至10 000,则C大约增加了(参考数据:lg 2≈0.301 0)(　　)
A.18%　　　　B.21%　　　　
C.23%　　　　D.25%
2.(多选题)(2025湖北武汉调研)某智能手机生产厂家对其旗下的某款手机的续航能力进行了一轮测试(时长为6 h),得到的剩余电量y(单位:%)与测试时间t(单位:h)的函数图象如图所示,则下列判断中正确的有(　　)
A.测试结束时,该手机的剩余电量为85%
B.该手机在前5 h内的电量始终在匀速下降
C.该手机在0 h~3 h内电量下降的速度比3 h~5 h内下降的速度更快
D.该手机在5 h~6 h内进行了充电操作
3.(2024江苏南京师范大学苏州实验学校学情调研)我们知道二氧化碳是温室气体,是全球变暖的主要元凶.室内二氧化碳的含量也会给人体健康带来影响.已知室内二氧化碳浓度与人体生理反应的关系如表所示:
室内二氧化碳 浓度/ppm 人体生理反应
不大于1 000 空气清新,呼吸顺畅
1 000~2 000 空气浑浊,觉得昏昏欲睡
2 000~5 000 感觉头痛,嗜睡,呆滞,注意力无法集中
大于5 000 可能导致缺氧,造成永久性脑损伤,昏迷甚至死亡
《室内空气质量标准》和《公共场所卫生指标及限值要求》给出的室内二氧化碳浓度的国家标准为室内二氧化碳浓度不大于0.1%(0.1%即为1 000 ppm),所以室内要经常通风换气,保持二氧化碳浓度水平不高于标准值.经测定,某中学刚下课时,一个教室内的二氧化碳浓度为2 000 ppm,若开窗通风后二氧化碳浓度y%与时间t(单位:分钟)的关系式为y=0.05+λ(λ∈R),要使该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准,则需要开窗通风的时间至少约为(参考数据:ln 3≈1.099,ln 5≈1.609)(　　)
A.10分钟　　　　B.11分钟　　　　
C.12分钟　　　　D.20分钟
4.(2024广东广州期末)中国茶文化博大精深.茶水的口感与茶叶类型及水的温度有关.经验表明,有一种茶用90 ℃的水泡制,再等到茶水温度降至60 ℃时饮用,可以产生最佳口感.某研究人员在室温下,每隔1 min测一次茶水温度,得到数据如下表:
放置时间/min 0 1 2 3 4
茶水温度/℃ 90.00 84.00 78.62 73.75 69.39
为了描述茶水温度y ℃与放置时间x min的关系,现有以下两种函数模型供选择:
①y=kax+30(k∈R,0②y=mx+b(m,b∈R,x≥0).
选择最符合实际的函数模型,可求得刚泡好的茶水达到最佳口感所需放置的时间大约为(参考数据:lg 2≈0.301,lg 3≈0.477)(　　)
A.5.5 min　　　　B.6.5 min　　　　C.7.5 min　　　　D.8.5 min
5.(2025广东部分名校期末)某大学选择了一个八边形区域AEFBCGHD用来设计一个校园景观,如图所示,图中四个三角形为全等的等腰直角三角形,主干路的总面积(图中阴影部分和中间白色正方形的面积之和)为100 m2,在重合的正方形MNPQ处建一座特色凉亭,凉亭造价为600元/m2;在四个空角(图中四个三角形)处建造水池和喷泉,造价为1 600元/m2;四条矩形路(图中阴影部分)不处理,且造价忽略不计.设AM的长为y m,MN的长为x m.
(1)求y关于x的函数关系式;
(2)设校园景观的总造价为S元,求S的最小值.
6.(2025湖北荆州中学期中)荆州中学坐落于历史文化名城荆州,发轫于东汉马融绛帐讲学,历经明清龙山书院、贡院,文脉不绝.其近代教育始于1903年清政府创办的荆州府中学堂,临近121周年校庆,学校计划对校史馆进行修缮.现要在校史馆阁楼屋顶上开一窗户.
(1)已知阁楼屋顶为高2 m,底边长5 m的锐角三角形,若开一个内接矩形形状的窗户,且其一边长为x m(如图中阴影部分所示).
(i)要使窗户面积不小于2 m2,求x的取值范围;
(ii)规定:公共室内场所的窗户面积必须小于地板面积,但窗户面积与地板面积的比值应不小于0.1,若阁楼屋顶的窗户面积与地板面积的总和为16.5 m2,则当边长x为多少m时窗户面积最小 最小面积是多少m2
(2)一般认为,在公共室内场所的窗户面积必须小于地板面积的规定下,窗户面积与地板面积的比值越大,采光效果越好,若同时增加相等的窗户面积和地板面积,采光效果是变好了还是变差了 试从数学角度说明理由.
7.(2025江苏扬州高级中学月考)某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”,规则如下:①当00);②当35时为不健康时间,累计经验值开始损失,且损失的经验值与游戏时间成正比例关系,正比例系数为50.
(1)当a=2时,写出累计经验值E与游戏时间t的函数关系式E=f(t),并求出游戏6小时时的累计经验值;
(2)该游戏厂商把累计经验值E与游戏时间t的比值称为“玩家愉悦指数”,记为H(t).
①若a=,当游戏时间在5小时以内(含5小时)时,求“玩家愉悦指数”的最小值;
②若a>0,且该游戏厂商希望在健康时间内,这款游戏的“玩家愉悦指数”不低于24,求实数a的取值范围.
8.(2025江西抚州临川一中月考)有关部门在高速公路上对某型号电动汽车进行测试,得到了该电动汽车的每小时耗电量P(单位:kW·h)与速度v(单位:km/h)的相关数据,如下表所示:
v/(km/h) 60 70 80 90 100
P/(kW·h) 8.8 11 13.6 16.6 20
为拟合该电动汽车在高速公路上行驶时的每小时耗电量P与速度v的关系,现有以下两种函数模型供选择:①P1(v)=av2+bv+c(a,b,c∈R);②P2(v)=kv+m(k,m∈R).
(1)请选择你认为最符合表格中所列数据的函数模型(不需要说明理由),并求出相应的函数解析式;
(2)现有一辆该型号的电动汽车从A地出发,经高速公路(最低限速60 km/h,最高限速120 km/h)匀速行驶到距离为500 km的B地,出发前汽车的电池存量为65 kW·h,汽车到达B地后至少要保留5 kW·h的保障电量(该电动汽车从静止状态加速到速度为v的过程中消耗的电量与行驶的路程都忽略不计).已知该高速公路上有一功率为16 kW的充电桩(充电量=充电功率×充电时间).
(i)求出行驶过程中,耗电量f(v)的函数解析式,并说明其单调性(不需证明);
(ii)若不充电,该电动汽车能否到达B地 并说明理由.若需要充电,求该电动汽车从A地到达B地所用时间(即行驶时间与充电时间之和)的最小值.
答案与分层梯度式解析
§2　实际问题中的函数模型
基础过关练
1.B 2.B 3.ABD 7.B
1.B　由题意得pH=-lg 0.135=-lg(135×10-3)=-lg 135+3=-lg(33×5)+3=-3lg 3-lg 5+3=-3lg 3-(1-lg 2)+3=-3lg 3+lg 2+2≈0.87.
2.B　由题意可知θ1=85,θ0=25,
当t=1时,θ=75,则75=25+(85-25)e-k,整理得e-k=,
当θ=45时,有45=25+(85-25)e-kt,所以60e-kt=20,故=,
将e-k=代入可得=,故tln=ln ,
故t==≈≈6.0.
3.ABD　题中图象过点(1,3),将其代入y=at,可得a=3,A正确;
由A知y=3t,可得第4个月的浮萍面积为34=81(m2),超过了80 m2,B正确;
前3个月浮萍的面积分别为3 m2,9 m2,27 m2,9-3≠27-9,故从前3个月浮萍的面积可看出,浮萍每月增加的面积不相等,C不正确;
浮萍的面积每月的增长率为=2,D正确.
4.解析　(1)由单株果树的施肥量为7千克时,产量为48.5千克,可得-39=48.5,解得k=100,
则G(x)=
当0≤x≤3时,f(x)=20(2x2+18)-20x-(100+60x)=40x2-80x+260,
当3故f(x)=
(2)当0≤x≤3时,f(x)=40x2-80x+260=40(x-1)2+220,
易知y=40(x-1)2+220的图象开口向上,对称轴为直线x=1,故当x=3时,f(x)=40(x-1)2+220取得最大值,为f(3)=160+220=380.
当3由基本不等式得+80(x+1)≥2=800,
故f(x)=1 200-+80(x+1)≤1 200-800=400,
当且仅当=80(x+1),即x=4时,等号成立,
由于400>380,故当单株施肥量为4千克时,该果树的单株利润最大,最大利润为400元.
5.答案　5.6
解析　设经过x个小时才能驾驶,则1×(1-25%)x<0.2,即0.75x<=,
由于y=0.75x在定义域上单调递减,
所以x>log0.75=======≈≈5.6,故他至少经过5.6小时才能驾驶.
6.解析　(1)设2024年的生产成本为a万元,则a·(1-20%)=80,解得a=100,即2024年的生产成本为100万元.
(2)设每一年的生产成本降低的百分比都为q(0%所以f(x)=100(100%-q)x=100[(100%-q)10=100×,x∈N*.
(3)依题意,f(x)≤45,即100×≤45,则≤,
两边同时取常用对数,得lg ≤lg ,解得x≥10×=10×≈10×≈36,因此x≥36,
所以按此计划,到2060年可以将该工厂的生产成本控制在45万元以内.
7.B　由题图可知,植株高度增长得越来越缓慢,故选择对数函数模型.
8.解析　(1)由题图可知,该函数的增长速度越来越慢.
对于模型①y=kx+b(k>0),其图象为直线,故①错误;
对于模型②,指数型函数呈现爆炸型增长,故②错误;
对于模型③,对数型函数的增长速度越来越慢,符合题意,故选择模型③.
(2)由(1)及题图知函数y=klog3+n的图象过点(0,0),(18,3),
则解得k=3,n=-3,
故函数的解析式为y=3log3-3,令3log3-3≥6,即log3≥3,∴+3≥27,∴x≥72,
∴要使总奖金不少于6万元,则至少应完成的销售利润为72万元.
能力提升练
1.B 2.ACD 3.A 4.B
1.B　将信噪比从2 000提升至10 000,则最大信息传递速率C从C1=Wlog2(1+2 000)增加至C2=Wlog2(1+10 000),
所以===≈=≈≈0.21×100%=21%.
2.ACD　对于A,由题中图象可得当t=6 h时,y=85%,所以测试结束时,该手机的剩余电量为85%,故A正确;
对于B,由题中图象可得,该手机在前5 h内的电量对应的不是一条直线,故不是匀速下降,故B错误;
对于C,由题中图象可得,在0 h~3 h内电量下降的速度为=(%/h),在3 h~5 h内下降的速度为=10(%/h),由>10,可知C正确;
对于D,由题中图象可得该手机在5 h~6 h内的电量上升了55%,所以进行了充电操作,故D正确.
3.A　由题意知2 000 ppm=0.2%,即当t=0时,y=0.2,
则0.2=0.05+λe0,解得λ=0.15,
要使该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准,则0.05+0.15≤0.1,得≤,
∴t≥9ln 3≈9.891,∴至少需要开窗通风的时间约为10分钟.
4.B　由题表中数据可得,每分钟茶水温度的减少值呈现越来越小的变化趋势,故选用模型①,
把x=0,y=90代入y=kax+30,得90=k+30,解得k=60,所以y=60ax+30,
由x=1时,y=84,可得84=60a+30,解得a=,
即y=60+30,令60+30=60,
所以=,则lg=xlg =lg ,
解得x===≈≈6.5,
即刚泡好的茶水达到最佳口感所需放置的时间大约为6.5 min.
5.解析　(1)由题意可知4xy+x2=100,即y=-,
又y=->0,x>0,所以>0,x>0,所以0所以y关于x的函数关系式为y=-(0(2)由题意可得,凉亭的总造价为600x2元,
水池和喷泉的总造价为1 600×4×y2=3 200y2(元),
所以校园景观的总造价S=600x2+3 200y2=600x2+3 200=2003x2+16
=200-40 000
≥200×2-40 000=40 000,
当且仅当4x2=,即x=5时等号成立,
又5∈(0,10),
所以当x=5时,S取得最小值,为40 000元.
6.解析　(1)(i)设此内接矩形的与边长为x m的边相邻的一边长为y m,窗户面积为S m2.由三角形相似得=,其中0故x的取值范围为x≤x≤.
(ii)设地板面积为S1 m2,则由题意知
可得S+S1≤11S,即11S≥16.5,解得S≥,
令x=,可得4x2-20x+15=0,解得x=或x=,均满足题意.
故当边长x为 m或 m时,窗户面积最小,为 m2.
(2)设原来的窗户面积和地板面积分别为a m2,b m2,窗户和地板所增加的面积为m m2,
由题意得00,则-==.
因为b-a>0,b(b+m)>0,m>0,所以>0,即>,
所以窗户和地板同时增加相等的面积后,采光效果变好了.
7.解析　(1)由题意可得当0当3当t>5时,E=f(t)=69+20a-50(t-5)=-50t+20a+319.
综上所述,E=f(t)=
若a=2,则E=f(t)=
所以f(6)=359-50×6=59,即游戏6小时时的累计经验值为59 EXP.
(2)①当0当3因为<25,所以当游戏时间为5小时时,“玩家愉悦指数”取到最小值,为.
②由题意可得,当0因为y=t2-4t+20a的图象开口向上,对称轴为直线t=2,
所以当t=2时,y=t2-4t+20a取到最小值,为20a-4,
可得20a-4≥0,解得a≥,
所以实数a的取值范围为.
8.解析　(1)由题表中数据可知在定义域内,P随着v的增大而逐渐增大,且增长速度越来越快,故选择函数模型①.
由题意得解得
所以P1(v)=0.002v2-0.04v+4.
(2)(i)由题得f(v)=P1(v)·=v+-20(60≤v≤120),易知函数f(v)在[60,120]上单调递增.
(ii)因为f(v)min=f(60)=>65-5,即从A地到B地的最小耗电量大于出发前的电池存量减去保障电量,所以该车需要充电,否则不能到达B地.
设行驶时间与充电时间分别为t1 h,t2 h,总和为t h.
若能到达B地,则初始电量+充电电量-消耗电量≥保障电量,即65+16t2-f(v)≥5,则t2≥+-5,
所以总时间t=t1+t2≥++-5=+-5≥2-5=,
当且仅当=,即v=100时,等号成立,
所以该电动汽车从A地到达B地的最短用时为 h.
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