2026北师大版高中数学必修第一册练习--第一章 §4一元二次函数与一元二次不等式（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
2026北师大版高中数学必修第一册
§4　一元二次函数与一元二次不等式
基础过关练
题组一　一元二次函数的图象与性质
1.(2025江苏无锡一中月考)已知函数y=ax2+bx+c,若a>b>c且a+b+c=0,则它的图象可能是(　　)
2.(多选题)已知一元二次函数y=ax2+bx+c的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表:
x … -1 0 1 …
y … 3 0 -1 …
则下列结论正确的是(　　)
A.该函数图象开口向下
B.方程ax2+bx+c=0的实数根为x=0或x=2
C.该函数图象的对称轴为直线x=1
D.该函数有最小值-1
3.(2024福建宁德月考)已知二次函数y=2x2-4x+3在-2≤x≤2上的最大值为M,最小值为m,则M-m=　　　　.
4.(2025安徽多校联考)已知二次函数y=x2-3x+2.
(1)指出它的图象可以由函数y=x2的图象经过怎样的变换而得到;
(2)指出它的图象的对称轴,描述函数值的变化趋势,并求出函数的最值.
题组二　一元二次不等式及其解法
5.(2024天津耀华中学月考)不等式9x2+6x+1≤0的解集是(　　)
A.　　　　B.　　　　
C. 　　　　D.
6.(2025江苏南京期中)设x∈R,则“|x-2|>3”是“x2-5x-6>0”的(　　)
A.充分不必要条件　　　　B.必要不充分条件
C.充要条件　　　　D.既不充分也不必要条件
7.(2025江西上饶月考)定义行列式=ad-bc,已知<,则x的取值集合为(　　)
A.　　　　B.
C.　　　　D.
8.(2025江西赣州瑞金第一中学月考)已知全集U=R,A={x|x2+2x<3},B=,则A∩( UB)=(　　)
A.{x|-3C.{x|-39.(2025湖南永州月考)设a为实数,则关于x的不等式(ax-2)(2x-4)<0的解集不可能是(　　)
A.　　　　B.(-∞,2)∪
C.(2,+∞)　　　　D.
题组三　三个“二次”之间的关系
10.不等式mx2-ax-1>0(m>0)的解集可能是(　　)
A.{x|x<-1或x>2}　　　　　B.{x|x<1或x>2}
C.　　　　　D.
11.(2025江苏南通如东一中等多校联考)不等式ax2-bx+c>0的解集为{x|-212.(多选题)(2025江西多校阶段测试)已知不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|3A.不等式ax2-bx+c>0的解集是{x|-4B.不等式cx2-bx+a>0的解集是x-C.不等式cx2-bx+a>0的解集是xx<-或x>-
D.不等式cx2+bx+a>0的解集是x13.(2024江西南昌新民外语学校月考)已知函数y=x2+x-a2-a.
(1)解关于x的不等式x2+x-a2-a>0;
(2)方程y=0的一个根比-1小,另一个根比1大,求a的取值范围.
题组四　一元二次不等式恒(能)成立问题
14.(2025江西南昌豫章中学月考)若关于x的不等式x2-4x>a2-5a在区间[0,4]内有解,则实数a的取值范围是(　　)
A.(0,5)　　　　B.(-∞,0)∪(5,+∞)
C.(1,4)　　　　D.(-∞,1)∪(4,+∞)
15.(多选题)(2025湖北部分高中协作体期中)下列条件中,是“关于x的不等式mx2-mx+1>0满足 x∈R恒成立”的必要不充分条件的有(　　)
A.0≤m<4　　　　B.0C.0≤m≤4　　　　D.-116.(2025广东广州广雅中学期中) x∈[0,2],x2-ax+1>0恒成立,则实数a的取值范围是　　　　.
题组五　一元二次不等式的实际应用
17.(2025广东广州揭阳三中期中)某种衬衫的进货价为每件30元,若以40元一件的价格出售,则每天能卖出40件;若每件提价1元,则每天将少卖出一件.为使每天出售衬衫的净收入不低于525 元,则每件衬衫的售价(单位:元)的取值范围是　　　　.
18.某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体形状),高度恒定,它的后墙利用旧墙不花钱,正面用铁栅,每米造价40元,两侧墙砌砖,每米造价45元,顶部材料每平方米造价20元.
(1)仓库顶部材料的面积S(平方米)的最大允许值是多少
(2)为使S达到最大,而实际投资又不超过预算,那么铁栅应设计为多长
能力提升练
题组一　一元二次不等式及其解法
1.(2025湖南名校联合体期中)甲、乙两人解关于x的不等式x2+bx+c<0,甲写错了常数b,得到的解集为{x|1A.{x|-1C.{x|-32.(2025山东临沂期中)关于x的不等式x2-(1+2a)x+2a<0的解集中恰有2个整数,则实数a的取值范围是(　　)
A.{a|-2≤a<-1或3B.a-1≤a<-或C.{a|-2≤a≤-1或3≤a≤4}　　　　
D.a-1≤a<-或≤a≤2
3.(多选题)(2025江苏泰州调研)设a为实数,则下列集合可能是不等式>0的解集的是(　　)
A.{x|x<-2}　　　　B.xx<或x>-2
C.x题组二　三个“二次”的综合应用
4.(多选题)(2025江西多校联考)已知二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)的部分图象如图所示,则(　　)
A.a+b>0
B.abc>0
C.13a+b+2c>0
D.不等式bx2-ax-c>0的解集为{x|-25.(多选题)(2024江苏宿迁泗阳实验高级中学调研)已知关于x的不等式a(x-1)(x+3)+2>0的解集是{x|x1A.x1+x2+2=0　　　　B.-3C.|x1-x2|>4　　　　D.x1x2+3<0
6.(2024河北保定部分高中联考)已知抛物线y=mx2+(3-5m)x-n经过点(0,-15).
(1)若关于x的不等式mx2+(3-5m)x-n<0的解集为x-(2)若m<0,求关于x的不等式mx2+(3-5m)x-n>0的解集.
题组三　一元二次不等式恒(能)成立问题
7.(2025江西上饶月考)设命题p: x∈[-1,1],不等式x2-2x-4+m<0恒成立;命题q: x∈[0,1],使得不等式2x-2≥m2-3m成立.若p,q中至少有一个是假命题,则实数m的取值范围为(　　)
A.{m|m<-1}　　　　B.{m|0≤m≤3}
C.{m|0≤m<1}　　　　D.{m|m<0或m≥1}
8.(多选题)(2024四川绵阳期中)若不等式(ax+2)·(x2+b)≤0对任意x∈[0,+∞)恒成立,其中a,b是整数,则a+b的可能取值为(　　)
A.-4　　　　B.-5　　　　C.-6　　　　D.-3
9.(2025江西南昌二中月考)已知a>0,b>0,若命题“存在x∈R,使得(x-2a)(x+b-1)<0”为假命题,则+的最小值为　　　　.
10.(2024安徽合肥十中质量评价)已知函数y=-+,若y+2x≥0在x∈(0,+∞)上恒成立,则a的取值范围为　　　　.
题组四　一元二次不等式的实际应用
11.(2025湖北襄阳宜城一中、枣阳一中期中)如图,某小区要建一个八边形的休闲场所,它的主体造型的平面图是由两个周长均为24 m的相同的矩形ABCD和矩形EFGH构成的十字形区域.计划在正方形MNPQ上建一座花坛,造价为2 000元/m2;在四个相同的矩形(图中阴影部分)内铺上塑胶,造价为100元/m2;在四个空角(图中四个直角三角形)内铺上草坪,造价为400元/m2.若要使总造价不高于24 000元,则正方形MNPQ的周长的最小值为　　　　m.
12.(2025江西上饶沙溪中学月考)数字经济是以数据资源为关键要素,现代信息网络为主要载体,通过信息通信技术的融合应用推动全要素数字化转型的新经济形态,在技术层面上,包括大数据、云计算、物联网、区块链、人工智能、5G通信等新兴技术;在应用层面上,包括新零售、新制造、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等.现有一人工智能企业生产人形机器人,每月的成本t(单位:万元)由两部分构成:①固定成本为1 000万元;②材料成本为万元,x为每月生产的人形机器人的个数.
(1)该企业每月的产量为多少时,平均每个人形机器人的成本最低 最低为多少万元
(2)若每个人形机器人的售价为万元,假设生产出来的人形机器人都能够售出,则该企业应如何制订生产计划,才能确保每月的利润不低于400万元 (附:利润=售价×销量-成本)
13.(2025辽宁普通高中联考)如图,某蛋糕店准备制作一块长为BC=8 cm,宽为AB=4 cm的矩形双拼水果蛋糕ABCD(厚度不计),点E,F,M,N分别在线段AB,AD,BC,CD上(不包含端点),点G,Q,H,P均在线段BD上,要在矩形EFHG与矩形MNPQ两个区域中分别铺满蓝莓与芒果两种水果.设BG=DP=x cm,铺满水果的区域面积为S cm2.
(1)已知S=ax2+bx,求常数a,b的值;
(2)已知蛋糕店内的芒果原料充足,但蓝莓至多能铺满30 cm2,若要求该蛋糕铺满水果的区域面积不小于35 cm2,求线段EF的长度(单位:cm)的取值范围.
答案与分层梯度式解析
§4　一元二次函数与一元二次不等式
基础过关练
1.D 2.BCD 5.D 6.B 7.C 8.B 9.B 10.A
11.A 12.ABD 14.A 15.CD
1.D　由a>b>c且a+b+c=0,得a>0,c<0,所以该函数是二次函数,其图象开口向上,排除A,C;当x=0时,y=c<0,排除B.
2.BCD　根据题表中数据得则
所以y=ax2+bx+c即y=x2-2x,其图象开口向上,故A错误;
令y=0,得x2-2x=0,解得x=0或x=2,故B正确;
该函数图象的对称轴为直线x=-=-=1,故C正确;
y=x2-2x=(x-1)2-1≥-1,故该函数的最小值为-1,故D正确.
3.答案　18
解析　二次函数y=2x2-4x+3的图象开口向上,对称轴为直线x=1,又-2≤x≤2,
所以当x=1时,该函数取得最小值,为m=2-4+3=1,
当x=-2时,该函数取得最大值,为M=2×(-2)2-4×(-2)+3=19,
所以M-m=18.
4.解析　(1) y=x2-3x+2=x2-3x+-+2=-,所以函数y=x2-3x+2的图象可由函数y=x2的图象上所有的点向右平移个单位长度,再向下平移个单位长度而得到.
(2)易得函数y=x2-3x+2的图象开口向上,其对称轴为直线x=,
当x∈时,函数值随自变量x的增大而减小;
当x∈时,函数值随自变量x的增大而增大,
当x=时,函数取得最小值,为-,无最大值.
5.D　不等式9x2+6x+1≤0可化为(3x+1)2≤0,所以x=-,所以该不等式的解集是.
6.B　由|x-2|>3得x-2<-3或x-2>3,解得x<-1或x>5,由x2-5x-6>0得(x-6)(x+1)>0,解得x<-1或x>6,
因为{x|x<-1或x>6} {x|x<-1或x>5},
所以“|x-2|>3”是“x2-5x-6>0”的必要不充分条件.
7.C　由题意知<可化为7-2x2<3x-(-2),即2x2+3x-5>0,即(2x+5)(x-1)>0,解得x<-或x>1,所以x的取值集合为.
8.B　x2+2x<3即(x+3)(x-1)<0,解得-3≤0即(x-2)x≤0且x≠0,解得02},
所以A∩( UB)={x|-39.B　当a=0时,不等式为-2(2x-4)<0,解得x>2,故原不等式的解集为(2,+∞).
当a≠0时,解方程(ax-2)(2x-4)=0,得x=或x=2,
若a<0,解不等式(ax-2)(2x-4)<0,得x<或x>2,故原不等式的解集为∪(2,+∞);
若02,解不等式(ax-2)(2x-4)<0,得2若a=1,则=2,不等式(ax-2)(2x-4)<0的解集为 ;
若a>1,则0<<2,解不等式(ax-2)(2x-4)<0,得结合选项可知不等式(ax-2)(2x-4)<0的解集不可能是(-∞,2)∪.
10.A　不等式mx2-ax-1>0(m>0)对应的方程为mx2-ax-1=0(m>0),由Δ=(-a)2+4m>0,知不等式一定有解集,
设mx2-ax-1=0的两个实根分别为x1,x2,且x1故不等式解集的形式为{x|xx2}.
根据上述讨论,只有A满足.
11.A　因为ax2-bx+c>0的解集为{x|-2所以方程ax2-bx+c=0的两根分别为-2和1,且a<0,
则所以
故函数y=ax2-bx+c=ax2+ax-2a=a(x+2)(x-1),其图象开口向下,与x轴的交点坐标为(1,0)和(-2,0),故A中图象符合.
12.ABD　由ax2+bx+c>0的解集是{x|3ax2-bx+c>0即ax2+7ax+12a>0,即x2+7x+12<0,其解集为{x|-4cx2-bx+a>0即12ax2+7ax+a>0,即12x2+7x+1<0,其解集为x-cx2+bx+a>0即12ax2-7ax+a>0,即12x2-7x+1<0,其解集为x13.解析　(1)由x2+x-a2-a>0得(x-a)(x+a+1)>0,
当a>-a-1,即a>-时,不等式的解集为(-∞,-a-1)∪(a,+∞);
当a<-a-1,即a<-时,不等式的解集为(-∞,a)∪(-a-1,+∞);
当a=-a-1,即a=-时,不等式的解集为∪.
综上所述,当a>-时,不等式的解集为(-∞,-a-1)∪(a,+∞);当a<-时,不等式的解集为(-∞,a)∪(-a-1,+∞);当a=-时,不等式的解集为-∞,-∪-,+∞.
(2)函数y=x2+x-a2-a的图象开口向上,
∵方程y=0的一个根比-1小,另一个根比1大,∴当x=-1时,y<0,当x=1时,y<0,
则解得a>1或a<-2.
故a的取值范围为(-∞,-2)∪(1,+∞).
14.A　x2-4x=(x-2)2-4,若x∈[0,4],则当x=0或x=4时,x2-4x取得最大值,为0,
由于关于x的不等式x2-4x>a2-5a在[0,4]内有解,所以a2-5a<0,即a(a-5)<0,解得015.CD　当m=0时,原不等式为1>0,恒成立;
当m≠0时,则解得0故m的取值范围是0≤m<4.
记M={x|0≤m<4},所求的必要不充分条件对应的集合是N,则M N,结合选项知C,D符合题意.
16.答案　a<2
解析　当00可得a<恒成立,
故a<,由于=x+≥2,当且仅当x=1时等号成立,故a<2;
当x=0时,原不等式为1>0,恒成立.
综上可得a<2.
17.答案　[45,65]
解析　设每件衬衫提价x元,则每件衬衫的售价为(40+x)元,每天出售衬衫的净收入为(40+x-30)(40-x)=[-(x-15)2+625]元,
由题可知-(x-15)2+625≥525,整理得(x-25)(x-5)≤0,解得5≤x≤25,∴45≤40+x≤65,
∴每件衬衫的售价(单位:元)的取值范围是[45,65].
18.解析　(1)设铁栅长为x米,一侧砖墙长为y米,则顶部材料的面积S=xy平方米.由题意,知40x+2×45y+20xy≤3 200,由基本不等式,得3 200≥2 +20xy=120+20xy=120+20S(当且仅当40x=90y时取“=”),
所以S+6-160≤0,即(-10)(+16)≤0,
解得-16≤≤10.
由题意知>0,故0<≤10,从而0故仓库顶部材料的面积S(平方米)的最大允许值是100.
(2)若S取得最大值100,则40x=90y,且xy=100,所以x=15,即铁栅的长应设计为15米.
能力提升练
1.D 2.B 3.ACD 4.BCD 5.ACD 7.D 8.BD
1.D　由题意知,甲的常数c正确,故由根与系数的关系知1×6=c,得c=6;
乙的常数b正确,故1+4=-b,得b=-5.
所以原不等式为x2-5x+6<0,即(x-2)(x-3)<0,解得22.B　由x2-(1+2a)x+2a<0可得(x-1)(x-2a)<0.
当a=时,该不等式即为(x-1)(x-2a)=(x-1)2<0,无解,不满足题意;
当a<时,解不等式得2a当a>时,解不等式得1综上,实数a的取值范围为a-1≤a<-或3.ACD　因为>0,所以(ax-1)3(x+2)>0,
显然(ax-1)2>0,则不等式等价于(ax-1)(x+2)>0.
当a>0时,不等式可化为(x+2)>0,解得x<-2或x>.
当a=0时,不等式可化为-(x+2)>0,解得x<-2,故A正确.
当a<0时,不等式可化为(x+2)<0(*),
若<-2,即-若=-2,即a=-,此时不等式为(x+2)2<0,无解;
若>-2,即a<-,解不等式(*)得-24.BCD　由题中图象可知a>0,图象与x轴的交点为(-1,0),(2,0),
故y=ax2+bx+c=a(x+1)(x-2)=ax2-ax-2a,即b=-a,c=-2a.
对于A,a+b=a+(-a)=0,故A错误;
对于B,abc=a·(-a)·(-2a)=2a3>0,故B正确;
对于C,13a+b+2c=13a-a-4a=8a>0,故C正确;
对于D,bx2-ax-c>0可化为-ax2-ax+2a>0,即x2+x-2<0,
即(x-1)(x+2)<0,其解集为{x|-25.ACD　由题意得,a(x-1)(x+3)+2=ax2+2ax-3a+2>0的解集为{x|x1∴a<0,且x1,x2是方程ax2+2ax-3a+2=0的两个根,则∴x1+x2+2=0,x1x2+3=<0,故A,D正确;
原不等式可化为a(x-1)(x+3)>-2,其解集为{x|x1由图知x1<-3<14,故B错误,C正确.
易错分析
运用“三个二次”之间的关系解决一元二次不等式问题的关键是由一元二次不等式的解集得到对应二次函数的图象和对应方程的两根,再利用根与系数的关系建立参数间的关系,解题时要注意二次项系数的符号、二次函数图象的对称轴等特征.
6.解析　(1)由题意得n=15,
因为不等式mx2+(3-5m)x-n<0的解集为x-0,且关于x的一元二次方程mx2+(3-5m)x-n=0的两个根分别为-,,
由根与系数的关系可得
解得m=3或m=-3(舍去),即m=3,n=15.
(2)不等式mx2+(3-5m)x-15>0可化为(mx+3)(x-5)>0.
令-=5,得m=-.
当m=-时,不等式为(x-5)2<0,无解;
当m<-时,-<5,解不等式(mx+3)(x-5)>0得-当-5,解不等式(mx+3)(x-5)>0得5综上,当m<-时,原不等式的解集为x-7.D　若p为真命题,即 x∈[-1,1],不等式x2-2x-4+m<0恒成立,等价于当-1≤x≤1时,m<(-x2+2x+4)min,
当-1≤x≤1时,-x2+2x+4=-(x-1)2+5≥-(-1-1)2+5=1,即(-x2+2x+4)min=1,所以m<1;
若q为真命题,即 x∈[0,1],不等式2x-2≥m2-3m成立,等价于当0≤x≤1时,(2x-2)max≥m2-3m,
当0≤x≤1时,-2≤2x-2≤0,所以m2-3m≤0,解得0≤m≤3.
若p,q都是真命题,则解得0≤m<1.
所以若命题p,q中至少有一个是假命题,则m<0或m≥1,即m的取值范围是{m|m<0或m≥1}.
8.BD　当b≥0时,x2+b≥0恒成立,故ax+2≤0在x∈[0,+∞)上恒成立,此时a不存在;
当b<0时,在同一坐标系内画出直线y=ax+2和函数y=x2+b的图象,如图所示,
要使不等式(ax+2)(x2+b)≤0对任意x∈[0,+∞)恒成立,需满足
因为a,b是整数,所以或
所以a+b=-5或a+b=-3.
9.答案　9
解析　因为命题“存在x∈R,使得(x-2a)(x+b-1)<0”为假命题,
所以“对任意x∈R,都有(x-2a)(x+b-1)≥0”为真命题,
对于方程(x-2a)(x+b-1)=0,其根为x=2a或x=1-b,
则2a=1-b,即2a+b=1,因为a>0,b>0,
所以+=(2a+b)=5++≥5+2=9,
当且仅当 即a=,b=时,等号成立.
所以+的最小值为 9.
10.答案　(-∞,0)∪
解析　由题意得,-++2x≥0在x∈(0,+∞)上恒成立,即+2x≥在x∈(0,+∞)上恒成立,
∵+2x≥2=4,当且仅当=2x,即x=1时,等号成立,
∴4≥恒成立,解得a<0或a≥,
故a的取值范围为(-∞,0)∪.
11.答案　4
解析　设正方形MNPQ的边长为a m,则矩形EFNM的长为NF==(6-a)m,宽为MN= a m,
所以S四边形MNPQ=a2 m2,4S四边形EFNM=4a(6-a)m2,4S△PGC=4×(6-a)2=2(6-a)2m2,
设总造价为y元,则y=2 000a2+400a(6-a)+800(6-a)2,易知0令y≤24 000,整理得5a2+a(6-a)+2(6-a)2≤60,则a2-3a+2≤0,可得1≤a≤2,
故amin=1,即正方形MNPQ周长的最小值为4 m.
12.解析　(1)设平均每个人形机器人的成本为y万元,根据题意得y==++10≥2+10=30,
当且仅当=,即x=100时取等号.
所以该企业每月的产量为100个时,平均每个人形机器人的成本最低,最低为30万元.
(2)设月利润为W万元,
则W=x-1 000-10x-=+13x-1 000,
由题知+13x-1 000≥400,整理得x2+130x-14 000≥0,解得x≥70(x≤-200舍去).
所以该企业每月应生产不少于70个的人形机器人,才能确保每月的利润不低于400万元.
13.解析　(1)易知矩形EFHG与矩形MNPQ全等,△ABD∽△GBE,则===2,所以EG=2BG=2x cm,
同理得==,所以DH=2FH=2EG=4x cm,
又因为BD===20 cm,
所以GH=BD-BG-DH=20-x-4x=(20-5x)cm,
所以S=2EG·GH=4x(20-5x)=(-20x2+80x)cm2,
又因为S=ax2+bx,所以a=-20,b=80.
(2)结合(1)知解得0因为蓝莓至多能铺满30 cm2,所以若要求该蛋糕铺满水果的区域面积不小于35 cm2,
则整理可得解得≤x≤1或3≤x≤,
因为EF=GH=(20-5x)cm,
所以当≤x≤1时,15≤20-5x≤;当3≤x≤时,≤20-5x≤5.
所以线段EF的长度(单位:cm)的取值范围是∪.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)