2026北师大版高中数学必修第一册练习--第一章 1.3集合的基本运算（含解析）

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2026北师大版高中数学必修第一册
1.3　集合的基本运算
基础过关练
题组一　集合的交集与并集运算
1.(2025江西抚州一中等校期中联考)已知集合A={x|9-x>2},B={x|x≥3},则A∩B=(　　)
A.[3,7)　　　　B.(3,7)　　　　C.[3,+∞)　　　　D.(7,+∞)
2.(2025安徽安庆怀宁月考)已知集合A={x∈N*|-2≤x≤5},B={2,4,6},则A∪B的真子集的个数为(　　)
A.29-1　　　　B.27-1　　　　C.26-1　　　　D.3
3.(教材习题改编)已知A={(x,y)|x+y=3},B={(x,y)|x-y=1},则A∩B=(　　)
A.{2,1}　　　　B.{(1,2)}　　　　C.{(2,1)}　　　　D.(2,1)
4.(2025江西抚州临川第一中学检测)已知集合A={x|2x+1≥x+2},B={x∈Z|2x+3>0},则(　　)
A.A B　　　　B.B A　　　　
C.A∩B= 　　　　D.0∈(A∪B)
题组二　集合的全集与补集运算
5.(2025福建福州三中期中)已知全集U={x∈N|x≤6},集合A={1,3,4},则 UA=(　　)
A.{2,3,6}　　　　B.{0,5,6}
C.{0,2,5,6}　　　　D.{2,5,6}
6.(2025江西赣州崇义中学月考)已知全集U=R,集合A={x|-4A.{x|-4C.{x|-4≤x≤-3}　　　　D.{x|-47.(2024福建福州六校期中)已知集合A={x|x=2k-1,k∈Z},B={x|x=4k+1,k∈Z},则(　　)
A.A∩B=A　　　　B.A∪B=B
C.B∩( RA)= 　　　　D.A∩( RB)=
题组三　集合运算中的参数问题
8.(2025江苏南京一中段考)已知集合A={2a-1,a2,0},B={1-a,a-5,9},若满足A∩B={9},则实数a的值为(　　)
A.5或-3或3　　　　　　B.5　　　　C.3　　　　D.-3
9.(2024四川成都七中月考)设集合A={2,a},B={-1,a2-2},若A∩B≠ ,则实数a=(　　)
A.-2　　　　B.-1　　　　C.-1或-2　　　　D.-1或±2
10.(2025湖南岳阳一中月考)集合M={x|x<-2或x≥3},N={x|x-a≤0},若N∩( RM)= (R为实数集),则a的取值范围是(　　)
A.{a|a≤3}　　　　B.{a|a≤-2}
C.{a|a<-2}　　　　D.{a|-2≤a≤2}
11.(2025浙江杭州月考)设集合M={x|-412.(2025江苏南京月考)已知集合P={x|x2+4x+3=0},Q={x|x2+6x+a=0},若P∪Q=P,则实数a的取值范围为　　　　.
13.(2025江西上饶横峰中学月考)已知集合A={x|x≥3},B={x|1≤x≤7},C={x|a-1≤x≤2a+1}.
(1)求A∩B,( RA)∩B;
(2)若C∪A=A,求实数a的取值范围.
能力提升练
题组一　集合的基本运算
1.(多选题)(2025江西抚州联考)已知集合A={x|y=1-},B={y|y=1-},C={(x,y)|y=1-},则下列结论正确的是(　　)
A.A∩B=[1,+∞)　　　　B.A∪B=R
C.( RB) A　　　　D.A∩C=
2.(多选题)(2025福建福州期中)已知全集U={x|x<10,x∈N},A U,B U,A∩( UB)={1,5},( UA)∩( UB)={3,7,9},A∩B={4},则下列结论正确的是(　　)
A.8 B　　　　
B.{5} A
C.7∈ U(A∪B)　　　　
D.A的不同真子集的个数为8
3.(多选题)(2025湖南岳阳第一中学月考)设集合M={x|(x-a)(x-3)=0},N={x|(x-4)(x-1)=0},则下列说法不正确的是(　　)
A.若M∪N有4个元素,则M∩N≠
B.若M∩N≠ ,则M∪N有4个元素
C.若M∪N={1,3,4},则M∩N≠
D.若M∩N≠ ,则M∪N={1,3,4}
4.(多选题)(高考新发现)(新考法·借助新定义考查集合的运算)(2025河南新高中创新联盟TOP二十名校联考)设M,N,P为非空实数集,定义MN={z|z=xy,x∈M,y∈N},则(　　)
A.M{1}=M　　　　B.M{0}={1}
C.MN=NM　　　　D.(MN)P=M(NP)
5.(教材深研拓展)某校田径运动会上共有12名同学参加100米、400米、1 500米三个项目,其中有8人参加100米比赛,有7人参加400米比赛,有5人参加1 500米比赛,100米和400米都参加的有4人,100米和1 500米都参加的有3人,400米和1 500米都参加的有3人,则三项比赛都参加的有　　　　人.
题组二　集合中的参数问题
6.(2025江西南昌开学摸底考试)已知集合A={(x,y)|y=x2-1},B={(x,y)|x=my+1,m∈R},A∩B=C,若C为单元素集合,则(　　)
A.m=　　　　B.m=2
C.m=0或m=　　　　D.m=0或m=2
7.(2025江苏苏州中学期中)已知集合A={1,2},B={x|(x2+ax)(x2+2x+b)=0},且A∩( RB)= ,则集合B的子集个数为(　　)
A.4　　　　B.8　　　　C.16　　　　D.32
8.(2025广东广州黄埔联考)设集合A={x|x+m≥0},B={x|-19.(2024吉林吉化第一高级中学校月考)已知集合A={x|m-2≤x≤2m+1},B={x|-3≤x≤5}.
(1)若A B,求实数m的取值范围;
(2)若存在x∈A,使得x∈B成立,求实数m的取值范围.
答案与分层梯度式解析
1.3　集合的基本运算
基础过关练
1.A 2.C 3.C 4.D 5.C 6.D 7.C 8.D
9.A 10.C
1.A　由题意得A={x|9-x>2}={x|x<7},则A∩B={x|x<7}∩{x|x≥3}=[3,7).
2.C　由已知得A={x∈N*|-2≤x≤5}={1,2,3,4,5},又B={2,4,6},所以A∪B={1,2,3,4,5,6},
则其真子集的个数为26-1.
3.C　由解得所以A∩B={(2,1)}.
4.D　由题知A={x|x≥1},B=x∈Zx>-,故A不是B的子集,且B不是A的子集,A,B错误;
A∩B={x|x≥1且x∈Z}≠ ,C错误;
A∪B={-1,0}∪{x|x≥1},则0∈(A∪B),D正确.
5.C　U={x∈N|x≤6}={0,1,2,3,4,5,6},则 UA={0,2,5,6}.
6.D　易知题图中阴影部分表示的集合为A∩( UB),
因为B={x|-3≤x≤9},U=R,所以 UB={x|x<-3或x>9},又A={x|-47.C　A={x|x=2k-1,k∈+1,k∈-1,k∈Z},故B A,则A∩B=B,A∪B=A,
∴B∩( RA)= ,A∩( RB)={x|x=4k-1,k∈Z}≠ .
8.D　因为A∩B={9},所以9∈A,
若2a-1=9,则a=5,此时A={9,25,0},B={-4,0,9},不满足A∩B={9},故舍去;
若a2=9,则a=3或a=-3,当a=3时,1-a=a-5,集合B中的元素不满足互异性,故舍去,
当a=-3时,A={-7,9,0},B={4,-8,9},满足A∩B={9},符合题意.
综上,a=-3.
9.A　∵A∩B≠ ,∴a2-2=2或a2-2=a或a=-1,由a2-2=2,得a=-2或a=2,由a2-2=a,得a=-1或a=2,
当a=-1时,a2-2=-1,不符合题意,舍去;
当a=-2时,A={2,-2},B={-1,2},符合题意;
当a=2时,不符合题意,舍去.
综上,a=-2.
易错警示
由有限集的集合运算求得参数的值后,要注意将参数的值代回到各集合中,检验集合中的元素是否满足互异性.
10.C　∵M={x|x<-2或x≥3},∴ RM={x|-2≤x<3}.又N={x|x-a≤0}={x|x≤a},N∩( RM)= ,∴可画出数轴如图,
结合数轴可知当a<-2时,N∩( RM)= ,故a的取值范围为{a|a<-2}.
11.答案　{t|t≤3}
解析　由M∩N=N得N M(口诀:越交越小),
当N= 时,有t+2≥2t-1,解得t≤3,满足N M;
当N≠ 时,由N M得无解.
综上,实数t的取值范围是{t|t≤3}.
12.答案　[9,+∞)
解析　由题意得P={-1,-3},因为P∪Q=P,所以Q P,则Q= 或Q={-1}或Q={-3}或Q={-1,-3}.
当Q= 时,方程x2+6x+a=0无解,即Δ=36-4a<0,解得a>9;
当Q={-1}时,将x=-1代入方程x2+6x+a=0,解得a=5,此时Q={-1,-5},矛盾,所以a=5不符合条件;
当Q={-3}时,将x=-3代入方程x2+6x+a=0,解得a=9,此时Q={-3},满足Q P,所以a=9符合条件;
当Q={-1,-3}时,将x=-1和x=-3分别代入方程知a无解,不符合题意.
综上,a的取值范围是[9,+∞).
13.解析　(1)由题意得A∩B={x|3≤x≤7}, RA={x|x<3},所以( RA)∩B={x|1≤x<3}.
(2)因为C∪A=A,所以C A,
当C= 时,a-1>2a+1,解得a<-2;
当C≠ 时,满足解得a≥4.
综上,实数a的取值范围是(-∞,-2)∪[4,+∞).
能力提升练
1.BCD 2.BC 3.ABC 4.ACD 6.C 7.C
1.BCD　在y=1-中,x≥0,y≤1,则A=[0,+∞),B=(-∞,1].
A∩B=[0,1],A错误; A∪B=R,B正确; RB=(1,+∞),则( RB) A,C正确;集合A中的元素是实数,C中的元素是有序实数对,因此A∩C= ,D正确.
2.BC　U={x|x<10,x∈N}={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},因为A∩( UB)={1,5},所以1,5∈A,且1,5 B,因为( UA)∩( UB)={3,7,9}= U(A∪B),所以3,7,9 A,且3,7,9 B,又A∩B={4},所以4∈A,且4∈B,
可画出Venn图如下:
由图可知,8∈B,{5} A,7∈ U(A∪B),故A错误,B正确,C正确;对于D,A中有3个元素,故它的不同真子集的个数为23-1=7,故D错误.
知识拓展
集合的运算中的两个常用结论:
(1) U(A∩B)=( UA)∪( UB);
(2) U(A∪B)=( UA)∩( UB).
3.ABC　N={x|(x-4)(x-1)=0}={1,4},若M∪N有4个元素,则集合M={x|(x-a)(x-3)=0}={a,3},且a {1,3,4},∴M∩N= ,故A中说法不正确;
若M∩N≠ ,则a∈{1,4},∴M∪N={1,3,4},∴M∪N有3个元素,故B中说法不正确,D中说法正确;当a=3时,满足M∪N={1,3,4},但M∩N= ,故C中说法不正确.
4.ACD　对于A,由新集合的定义知M{1}=M显然成立,故A正确;
对于B,M{0}={0}≠{1},故B错误;
对于C,设x∈M,y∈N,则MN={z|z=xy,x∈M,y∈N},NM={z|z=xy,x∈M,y∈N},所以MN=NM成立,故C正确;
对于D,设x∈M,y∈N,z∈P,则MN={n|n=xy,x∈M,y∈N},
所以(MN)P={t|t=nz=xyz,x∈M,y∈N,z∈P},
又NP={m|m=yz,y∈N,z∈P},
所以M(NP)={h|h=xm=xyz,x∈M,y∈N,z∈P},
所以(MN)P=M(NP)成立,故D正确.
5.答案　2
解析　设A={a|a是参加100米的同学},B={b|b是参加400米的同学},C={c|c是参加1 500米的同学}.
解法一:设三项比赛都参加的有x人,画出Venn图如下,
则由图可知{8-[(3-x)+x+(4-x)]}+(4-x)+x+(3-x)+(3-x)+{5-[(3-x)+x+(3-x)]}+{7-[(4-x)+x+(3-x)]}=12,解得x=2,即三项比赛都参加的有2人.
解法二:将集合A中元素的个数用card(A)表示,集合B,C同理,则card(A)=8,card(B)=7,card(C)=5,且card(A∩B)=4,card(A∩C)=3,card(B∩C)=3,
则card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(A∩C)+card(A∩B∩C),
所以12=8+7+5-4-3-3+card(A∩B∩C),
所以card(A∩B∩C)=12-[(8+7+5)-(4+3+3)]=2,
所以三项比赛都参加的有2人.
知识拓展
若用card(A)表示有限集合A中元素的个数,如A={a,b,c},则card(A)=3,则有如下结论:card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)+card(A∩B∩C).
6.C　若C为单元素集合,则方程组只有唯一解,将②代入①,得y=(my+1)2-1,整理可得m2y2+(2m-1)y=0,
当m=0时,方程变为-y=0,得y=0,此时x=1,符合题意;
当m≠0时,Δ=(2m-1)2-4m2×0=0,解得m=(二重根).综上,m=0或m=.
7.C　因为A∩( RB)= ,所以A B.
由x2+ax=0得x=0或x=-a,
若-a=1,则x=2是方程x2+2x+b=0的根,所以4+4+b=0,解得b=-8,
此时方程x2+2x+b=0即x2+2x-8=0,即(x+4)(x-2)=0,解得x=2或x=-4,此时B={-4,0,1,2},集合B有24=16个子集;
若-a=2,则x=1是方程x2+2x+b=0的根,所以1+2+b=0,解得b=-3,此时方程x2+2x+b=0即x2+2x-3=0,即(x+3)(x-1)=0,解得x=1或x=-3,此时B={-3,0,1,2},集合B有24=16个子集;
若-a≠1且-a≠2,则x=1,x=2是方程x2+2x+b=0的根,不成立.
综上可知,集合B有16个子集.
8.答案　(-∞,1)
解析　由已知得A={x|x≥-m},则 UA={x|x<-m},
因为B={x|-1所以可画出数轴如下:
则-m>-1,即m<1,则实数m的取值范围为(-∞,1).
9.解析　(1)若A= ,满足A B,此时m-2>2m+1,即m<-3;
若A≠ ,则m≥-3,要使A B,则解得-1≤m≤2.
综上,实数m的取值范围为(-∞,-3)∪[-1,2].
(2)若存在x∈A,使得x∈B成立,则A∩B≠ .
当A∩B= 时,
若A= ,满足A∩B= ,此时m-2>2m+1,即m<-3;
若A≠ ,即m≥-3,
要使A∩B= ,则或
解得-3≤m<-2或m>7.
综上所述,若A∩B= ,则实数m的取值范围为(-∞,-2)∪(7,+∞),则当A∩B≠ 时,实数m的取值范围为[-2,7].
方法技巧
本题用到了补集思想,第(2)问中A∩B≠ 包含的情况较多,可转化为求A∩B= 时m的取值范围,再求其补集.当题目从正面入手难以解决或正面情况较多时,可考虑用这种方法.
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