2026北师大版高中数学必修第一册练习--第一章 3.1不等式的性质（含解析）

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2026北师大版高中数学必修第一册
§3　不等式
3.1　不等式的性质
基础过关练
题组一　不等关系的建立
　1.(2025广西名校联盟联考)某工厂计划生产某零件300件,已知甲每小时生产20件,乙每小时生产x件.甲生产了这批零件的,接到其他任务,剩下的由乙完成.若甲、乙所用的总时间不超过16小时,则x应满足的不等式为(　　)
A.>16　　　　B.≤16
C.10+>16　　　　D.10+≤16
2.(多选题)(2025河北石家庄精英中学调研)火车站有某公司待运的甲种货物306吨,乙种货物230吨.现计划用A,B两种型号的货箱共50节运送这批货物.已知7吨甲种货物和3吨乙种货物可装满一节A型货箱,5吨甲种货物和7吨乙种货物可装满一节B型货箱,据此安排A,B两种货箱的节数.下列能够满足要求的方案是(　　)
A.A型货箱28节,B型货箱22节　　　　
B.A型货箱29节,B型货箱21节
C.A型货箱31节,B型货箱19节　　　　
D.A型货箱30节,B型货箱20节
题组二　比较大小
3.(2025江西多校联考)易知P=a2-2a,Q=2a-4,则P和Q的大小关系为(　　)
A.P>Q　　　　B.PC.P≥Q　　　　D.P≤Q
4.(2025江西南昌进贤二中月考)设P=,Q=-,R=-,则(　　)
A.P>Q>R　　　　B.P>R>Q　　　　C.Q>P>R　　　　D.Q>R>P
5.生活中“汤菜加盐,越加越咸”.若将这一事实表示为一个不等式,则该不等式可以是　　　　.
6.(2024江西宜春宜丰中学期中)已知a>0,b>0.求证:(1)a2+3b2≥2b(a+b);
(2)a3+b3≥ab2+a2b.
题组三　不等式的性质及其应用
7.(多选题)(2025山东潍坊期中)已知实数a,b,c,下列说法正确的是(　　)
A.若>,则aB.若a>b,cb-d
C.若aab
D.若c>a>b,则<
8.(多选题)(2025江西上饶玉山一中月考)对于任意实数a,b,c,d,以下四个命题中正确的有(　　)
A.若ac2>bc2,则a>b
B.若a>b,c>d,则ac>bd
C.若a>b,c>d,则a-d>b-c
D.若a>b,则<
题组四　利用不等式的性质求代数式的范围
9.(多选题)(2025浙江温州期中)已知1≤x≤2,3≤y≤4,则(　　)
A.2x+y的最小值是4　　　　B.y-x的最小值是1
C.xy的最大值是8　　　　D.的最大值是
10.(2024江西南昌新民外语学校月考)若实数a,b满足-3≤a+b≤2,-1≤a-b≤4,则实数a的取值范围为　　　　,3a-2b的取值范围为　　　　.
能力提升练
题组一　实数的不等关系
　1.(2025江西抚州五校月考)若a=2+,b=3-,c=2+,则(　　)
A.a>b>c　　　　B.b>a>c
C.c>b>a　　　　D.c>a>b
2.(2025福建宁德古田一中月考)明明的爸爸和妈妈的加油习惯是不同的,爸爸每次加油都说:“师傅,给我加250元的油.”而妈妈则说:“师傅,帮我把油箱加满.”如果明明的爸爸、妈妈都加油两次,两次的加油价格不同,妈妈每次加满油箱(两次所加油的量相同),爸爸每次加250元的油,我们规定谁的平均单价低谁就合算,那么他们两人中更合算的是(　　)
A.妈妈　　　　B.爸爸　　　　
C.一样　　　　D.不确定
3.(2025江西南昌二中月考)甲、乙两人同时从A地出发,沿同一路线到达B地,所用的时间分别为t1 s,t2 s,甲有一半的时间以速度m m/s行走,另一半的时间以速度n m/s行走;乙有一半的路程以速度m m/s行走,另一半的路程以速度n m/s行走,且m≠n,则(　　)
A.t1>t2　　　　
B.t1C.t1=t2　　　　
D.t1,t2的大小关系不能确定
4.(2024辽宁省实验中学月考)
(1)已知A=a2-2b+,B=b2-2c+,C=c2-2a+,其中a,b,c为实数,求证:A,B,C中至少有一个为正数;
(2)求证:a4-b4≤4a3(a-b).
题组二　不等式的性质及应用
5.(多选题)(2025江西赣州十八县二十四校期中)使a-b>3c成立的一个充分条件可以是(　　)
A.a>c且b<-2c　　　　B.a>2c且b>-c
C.a>2c且b<-c　　　　D.a>3c且b>2c
6.(2024湖北武汉武昌实验中学月考)若a>b>0,则下列不等式一定成立的是(　　)
A.>　　　　B.a+>b+
C.a->b-　　　　D.>
7.(2025江西上饶鄱阳扬帆中学月考)已知实数x,y满足y=x-,且-2≤x≤3,则的取值范围是　　　　.
8.(2025山东名校联盟联考)
(1)设0(2)设0答案与分层梯度式解析
§3　不等式
3.1　不等式的性质
基础过关练
1.D 2.ABD 3.C 4.B 7.BC 8.AC 9.BCD
1.D　由题意可得x应满足的不等式为+≤16,化简得10+≤16.
2.ABD　设安排A种型号的货厢x节,B种型号的货厢y节,则解得28≤x≤30,且x∈N,则或或共3种方案可以满足.
3.C　P-Q=a2-2a-(2a-4)=a2-4a+4=(a-2)2≥0,当且仅当a=2时取等号,所以P≥Q.
4.B　∵P-R=-(-)=2-=->0,∴P>R.
R-Q=--(-)=(+)-(+),
而=9+2,=9+2,且18>14,∴+>+,即R>Q.
综上,P>R>Q.
解题模板
比较两数(式)的大小时,若两数(式)不好直接比较,可对两数(式)进行相同的变形,如比较含有根式的两数(式)的大小,可先对其平方,再比较不同部分的大小.
5.答案　>
解析　设原有的汤为a g,其中含盐b g,a>b>0,则汤的浓度为.
加入盐c g(c>0)后,可得汤的浓度为,此时>,理由如下:
因为a>b>0,c>0,所以-===>0,所以>.
6.证明　(1)a2+3b2-2b(a+b)=a2+3b2-2ab-2b2=a2-2ab+b2=(a-b)2≥0,所以a2+3b2≥2b(a+b).
(2)a3+b3-ab2-a2b=(a3-a2b)+(b3-ab2)=a2(a-b)+b2(b-a)=(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b),
因为a>0,b>0,所以a+b>0,
又因为(a-b)2≥0,所以a3+b3-ab2-a2b=(a-b)2(a+b)≥0,所以a3+b3≥ab2+a2b.
7.BC　对于A,a>0>b时,满足>,但此时a>b,A错误;
对于B,由c-d,又a>b,所以a-c>b-d,B正确;
对于C,因为aa·b,即a2>ab,C正确;
对于D,若c>a>b,则c-b>c-a>0,所以<,D错误.
8.AC　对于A,若ac2>bc2,则有c2>0,所以a>b,故A正确;
对于B,若a>0>b,0>c>d,则ac<0,bd>0,故ac对于C,若c>d,则-d>-c,又a>b,故a-d>b-c,故C正确;
对于D,若a>0,b<0,则>,故D错误.
9.BCD　对于A,由1≤x≤2得2≤2x≤4,又3≤y≤4,所以5≤2x+y≤8,所以2x+y的最小值是5,A错误;
对于B,由1≤x≤2得-2≤-x≤-1,又3≤y≤4,所以1≤y-x≤3,所以y-x的最小值是1,B正确;
对于C,因为1≤x≤2,3≤y≤4,所以1×3≤xy≤2×4,即3≤xy≤8,所以xy的最大值是8,C正确;
对于D,由3≤y≤4得≤≤,又1≤x≤2,所以×1≤≤×2,即≤≤,所以的最大值是,D正确.
10.答案　[-2,3];[-4,11]
解析　易得a=[(a+b)+(a-b)],
由-3≤a+b≤2,-1≤a-b≤4,得-4≤(a+b)+(a-b)≤6,
所以-2≤[(a+b)+(a-b)]≤3,即-2≤a≤3,
故实数a的取值范围为[-2,3].
设3a-2b=m(a+b)+n(a-b)=(m+n)a+(m-n)b,m,n∈R,
则解得
∴3a-2b=(a+b)+(a-b),
∵-3≤a+b≤2,-1≤a-b≤4,
∴-≤(a+b)≤1,-≤(a-b)≤10,
∴-4≤3a-2b≤11,
故3a-2b的取值范围为[-4,11].
能力提升练
1.A 2.B 3.B 5.AC 6.C
1.A　a-b=-1++=-1,
因为(+)2-()2=2-7,>72,所以+>,
则a-b=-1>0,即a>b.
因为b=3->3-=,c=2+<2+=,所以b>c.
综上,a>b>c.
2.B　设第一次加油时油的单价为x元/升,第二次加油时油的单价为y元/升,油箱加满为a升,则妈妈两次加油共需付款a(x+y)元,爸爸两次能加+=升油.
设爸爸两次加油的平均单价为M元/升,妈妈两次加油的平均单价为N元/升,
则M==,N==,且x≠y,x,y>0,
因为N-M=-=>0,即N>M,
所以爸爸的加油方式更合算.
3.B　设A地与B地相距S m,S>0.
依题意得m+n=S①,+=t2②,
由①得t1=,由②得t2=S.
则t1-t2=-S=S=S·
=S·,
因为m≠n,且m,n>0,所以t1-t2<0,即t14.证明　(1)(反证法)假设A,B,C中没有正数,即A≤0,B≤0,C≤0,则A+B+C≤0.
而A+B+C=(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2+π-3>0,
这与假设矛盾,故假设错误,原命题正确.
(2)a4-b4-4a3(a-b)
=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b)
=(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)
=(a-b)[(a2b-a3)+(ab2-a3)+(b3-a3)]
=(a-b)[a2(b-a)+a(b-a)(b+a)+(b-a)(a2+ab+b2)]
=-(a-b)2(3a2+2ab+b2)
=-(a-b)2[2a2+(a+b)2],
∵(a-b)2≥0,2a2+(a+b)2≥0,
∴-(a-b)2[2a2+(a+b)2]≤0,
∴a4-b4≤4a3(a-b)(当且仅当a=b时取等号).
5.AC　对于A,若b<-2c,则-b>2c,又a>c,所以a-b>3c,故A正确;
对于B,如a=1,b=2,c=0,满足a>2c且b>-c,但a-b=-1<0=3c,即a-b<3c,故B错误;
对于C,若b<-c,则-b>c,又a>2c,所以 a-b>3c,故C正确;
对于D,如a=1,b=2,c=0,满足a>3c且b>2c,但a-b=-1<0=3c,即a-b<3c,故D错误.
6.C　∵a>b>0,∴b-a<0,a-b>0.
对于A,-==<0,
∴<,故A错误;
对于B,取a=,b=,满足a>b>0,但是a+=+2=,b+=+3=,∴a+对于C,-=a-b+-=a-b+=(a-b)>0,∴a->b-,故C正确;
对于D,-===<0,∴<,故D错误.
7.答案　∪[4,+∞)
解析　令t=x+1,则x=t-1,-1≤t≤4,且t≠0,
所以====-,
当-1≤t<0时,≤-1,则-≥,所以=-≥+=4;
当0综上,≥4或≤-,即的取值范围是∪[4,+∞).
8.证明　(1)证法一:∵0∴x(1-y)+y(1-x)<(1-y)+y(1-x)=1-y+y-xy=1-xy<1.
证法二:∵0∴0∴x(1-y)+y(1-x)<(1-y)+y(1-x)<1-y+y=1.
(2)∵x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)+xyz+(1-x)(1-y)(1-z)=1(关键点),
∴x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)=1-xyz-(1-x)(1-y)(1-z),
∵0∴0∴1-xyz-(1-x)(1-y)(1-z)<1,
∴x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)<1.
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