2026北师大版高中数学必修第一册练习--专题强化练1 利用基本不等式求含条件的最值（含解析）

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2026北师大版高中数学必修第一册
专题强化练1　利用基本不等式求含条件的最值
　1.(2025河北承德八中期中)已知a+2b=1,且a>0,b>0,则+的最小值为(　　)
A.3　　　　B.4　　　　C.5　　　　D.6
2.(2024湖南长沙市一中段考)若a,b,c>0,且a(a+b+c)+bc=4,则2a+b+c的最小值是(　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4
3.(2025江西鹰潭余江一中期中)已知a>0,b>0,且ab-4b+1=0,则+9b的最小值是(　　)
A.2　　　　B.4　　　　C.6　　　　D.8
4.(2024山东济宁育才中学月考)已知正数a,b满足a+b=3,若a5+b5≥λab恒成立,则实数λ的取值范围为(　　)
A.　　　　B.
C.　　　　D.
5.(2025江西赣州瑞金第一中学月考)已知a>0,b>0,c>0,且a+3b-c≥0,则+的最小值为(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
6.(2025江西华东师大上饶实验中学检测)已知a>0,b>0,且a+2b=2,若3t2-t≤+恒成立,则实数t的取值范围是(　　)
A.　　　　B.
C.　　　　D.
7.(多选题)(2024湖北孝感部分学校月考)已知a,b为正实数,且ab+2a+b=16,则(　　)
A.2a+b的最小值为8
B.+的最小值为
C.ab的最大值为8
D.b+的最小值为
8.(2024河南郑州外国语学校月考)已知二次函数y=ax2+4x+c,其中a>c,若y的最小值为0,则的最小值为　　　　.
9.(2025广东深圳盐田高级中学月考)
(1)已知x>1,求x+的最小值;
(2)已知x>0,y>0,且满足+=1,求x+2y的最小值;
(3)当0答案与分层梯度式解析
专题强化练1　利用基本不等式求含条件的最值
1.C 2.D 3.B 4.B 5.C 6.D 7.ACD
1.C　因为a+2b=1,所以+=+=+-4,
又+=(a+2b)=1+++4≥2+5=9,当且仅当=,a+2b=1,即a=b=时取得最小值,为9,所以+的最小值为5.
2.D　因为a,b,c>0且a(a+b+c)+bc=a(a+b)+ac+bc=(a+c)(a+b)=4,
所以2a+b+c=a+b+(a+c)≥2=4,当且仅当a+b=a+c,即b=c时取等号,故2a+b+c的最小值为4.
方法技巧
将条件进行因式分解后是积的形式,所求式恰好可变形为这两个因式和的形式,再运用基本不等式求解.
3.B　因为ab-4b+1=0,所以a+=4,所以+9b==,又a>0,b>0,所以ab>0,所以+9ab≥2=6,当且仅当=9ab,a+=4,即a=1,b=时等号成立,所以+9b≥×(10+6)=4,故+9b的最小值是4.
解题技法
求含有两个变量的式子的最大(小)值时,往往先找出条件与待求式的关系,得到定值,再利用基本不等式求解.若找不到定值,可先利用条件消去一个变量,再利用基本不等式得出最值.
4.B　依题意得+≥λ.
∵a+b=3,a>0,b>0,
∴+==
≥==
=≥==,
当且仅当a=b,即a=,b=时,等号同时成立,
所以λ的取值范围为.
5.C　由a+3b-c≥0可得c≤a+3b,
因此+≥+=+=+,
令=t,则+=t+,t>0,
又t+=(9t+1)+-≥2-=,当且仅当(9t+1)=,即t=时,等号成立,
所以+的最小值为.
6.D　由a>0,b>0,知>0,>0,
因为+=+=++2≥2+2=4,当且仅当=,a+2b=2,即a=b=时等号成立,所以+的最小值为4.
因为3t2-t≤+恒成立,所以3t2-t≤4,即(3t-4)(t+1)≤0,解得-1≤t≤,即t∈.
7.ACD　由16=ab+2a+b得b==-2.
2a+b=2a+-2=2(a+1)+-4≥2-4=8,当且仅当2(a+1)=,即a=2时取等号,因此2a+b的最小值为8,A正确;
+≥2=2=,当且仅当a+1=b+2时取等号,因此+的最小值为,B错误;
16=ab+2a+b≥ab+2,当且仅当2a=b时取等号,解不等式得0<≤2,即0b+=+-2=-2
=+-≥2-=,
当且仅当=,即a=时取等号,因此b+的最小值为,D正确.
8.答案　8
解析　由二次函数y=ax2+4x+c的最小值为0,得a>0,Δ=16-4ac=0,则c=>0,又a>c,所以a>2,则a->0,
因此==2·=2·=2≥2×2=8,当且仅当a-=,即a=1+时取等号,
所以的最小值为8.
9.解析　(1)因为x>1,所以x-1>0,由基本不等式得x+=(x-1)++1≥2+1=5,
当且仅当x-1=,即x=3时等号成立,
故x+的最小值为5.
(2)因为+=1,x>0,y>0,
所以x+2y=(x+2y)=10++
≥10+2=18,
当且仅当=,+=1,即x=12,y=3时等号成立,
故x+2y的最小值为18.
(3)不等式+-m≥0恒成立可转化为m≤+恒成立,
因为00,
因此+=[4x+(1-4x)]=5++≥5+2=9,
当且仅当=,即x=时等号成立,
所以m≤9,即实数m的最大值为9.
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