2026北师大版高中数学必修第一册练习--专题强化练6 统计思想的应用（含解析）

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2026北师大版高中数学必修第一册
专题强化练6　统计思想的应用
1.(2025江西上饶紫阳中学月考)2024年巴黎奥运会上中国代表队获得了优异的成绩.其中,首金是由中国组合黄雨婷和盛李豪在10米气步枪混合团体赛中获得的,两人在决赛中14次的射击环数如图所示,则(　　)
A.盛李豪的平均射击环数超过10.6
B.黄雨婷射击环数的80%分位数为10.65
C.盛李豪射击环数的标准差小于黄雨婷射击环数的标准差
D.黄雨婷射击环数的极差小于盛李豪射击环数的极差
2.(多选题)(2024河南信阳高级中学月考)某公司对2021年的营收来源进行了统计,并绘制成如图所示的统计图.在华中地区的三省中,湖北省的营收额最多,河南省的营收额最少,湖南省的营收额约为1 421万元,则下列说法正确的是(　　)
A.该公司在华东地区的营收额约为在东北地区营收额的三倍
B.该公司在华南地区的营收额,比在西南地区的营收额和河南省的营收额之和还要多
C.该公司2021年的营收总额约为20 300万元
D.估计该公司在湖南省的营收额占华中地区营收额的34.18%
3.(多选题)(2025江西上饶联考)从某小区抽取100户居民进行月用电量调查,发现他们的月用电量(单位: kW·h)都在[50,650]内,进行适当分组后(除最后一组为闭区间外,其他组均为左闭右开区间),画出频率分布直方图如图所示,以下结论正确的有(　　)
A.a=0.002 2
B.本组样本数据的众数为250
C.本组样本数据的45%分位数是300
D.这100户居民中月用电量(单位: kW·h)落在区间[150,550)内的居民户数为82
4.(多选题)(2025江西临川一中期中)已知一组样本数据x1,x2,…,x5,其中xi=2i-1(i=1,2,…,5),由这组数据得到另一组新的样本数据y1,y2,…,y5,其中yi=xi-6,则(　　)
A.两组样本数据的方差相同
B.两组样本数据的平均数相同
C.样本数据y1,y2,…,y5的30%分位数为-3
D.将两组数据合成一个容量为10的新的样本,则新的样本数据的平均数为2
5.(2024湖北宜昌枝江第一高级中学月考)在跳水比赛中,8名评委分别给出某选手原始分,在评定该选手的成绩时,从8个原始分中去掉1个最高分和1个最低分(最高分和最低分不相等),得到6个有效分,这6个有效分与8个原始分相比较,下列说法正确的是(　　)
A.中位数、平均数、方差均不变
B.中位数、平均数、方差均变小
C.中位数不变,平均数可能不变,方差变小
D.中位数、平均数、方差都发生改变
6.(2025湖北武汉重点中学5G联合体期中)现有互不相同的20个样本数据,去掉其中最大和最小的数据,剩下的18个数据的方差为,平均数为,去掉的两个数据的方差为,平均数为,原样本数据的方差为s2,平均数为.若=,则下列结论错误的是(　　)
A.=
B.剩下的18个数据的中位数与原样本数据的中位数相等
C.10s2=9+
D.剩下的18个数据的22%分位数大于原样本数据的22%分位数
7.(2024浙江宁波镇海中学期中)某工厂的三个车间生产同一种产品,三个车间的产量分布如图所示,现在用样本量按比例分配的分层随机抽样方法从三个车间生产的该产品中,共抽取70件做使用寿命的测试,则C车间应抽取的件数为　　　　;若A,B,C三个车间产品的平均使用寿命分别为200 h,220 h,210 h,方差分别为30,20,40,则总样本的方差为　　　　.
8.(2025广东广州黄广中学月考)某公司为了了解顾客对其旗下产品的满意程度,随机抽取n名顾客进行满意度问卷调查,按所得评分(满分100分)从低到高将满意度分为四个等级(具体见表),并绘制成如图所示的频率分布直方图.
调查 评分 [40, 50) [50, 60) [60, 70) [70, 80) [80, 90) [90, 100]
满意度 等级 不满意 一般 良好 满意
已知调查评分(单位:分)在[70,80)内的顾客有80人.
(1)求n的值及频率分布直方图中t的值;
(2)若某段时间内有10 000名顾客购买该公司的产品,请估计这10 000名顾客中对该公司产品的满意度达到“满意”的人数;
(3)该公司设定的预案如下:以抽取的样本作为参考,若顾客满意度评分的均值低于80分,则需要对该产品进行调整,否则不需要调整.根据你所学的统计知识,判断该公司是否需要对旗下产品进行调整,并说明理由.(每组数据用该组区间的中点值代替)
答案与分层梯度式解析
专题强化练6　统计思想的应用
1.C 2.ACD 3.ACD 4.ACD 5.C 6.D
1.C　由题知,盛李豪的14次射击中只有两次是10.8环,5次是10.6环,其余都是10.6环以下,所以盛李豪的平均射击环数低于10.6,故A错误;
由于14×0.8=11.2,所以黄雨婷射击环数数据的80%分位数是从小到大排列后的第12个数据,即10.7,故B错误;
由于黄雨婷的射击环数更分散,所以其射击环数的标准差更大,故C正确;
黄雨婷射击环数的极差为10.8-9.7=1.1,
盛李豪射击环数的极差为10.8-10.3=0.5,故D错误.
2.ACD　对于A, ≈3.03,故A正确;
对于B,在华中地区的三省中,河南省的营收额最少,所以河南省的营收额占比为6.19%,而19.34%-(13.41%+6.19%)=-0.26%<0,故B不正确;
对于C,因为在华中地区的三省中,湖北省的营收额最多,河南省的营收额最少,湖南省的营收额约为1 421万元,所以该公司2021年的营收总额约为=20 300(万元),故C正确;
对于D,因为×100%≈34.18%,所以估计该公司在湖南省的营收额占华中地区营收额的34.18%,故D正确.
3.ACD　对于A,因为100×(0.000 6+0.001 2×2+0.001 8+a+0.003 0)=1,解得a=0.002 2,故A正确;
对于B,样本数据的众数在[250,350)内,但不一定是250,故B错误;
对于C,前2组的频率之和为100×(0.001 2+0.001 8)=0.3,前3组的频率之和为0.3+0.003 0×100=0.6,
故本组样本数据的45%分位数在[250,350)内,设其为n,
则(n-250)×0.003 0+0.3=0.45,解得n=300,故C正确;
对于D,这100户居民中,月用电量(单位:kW·h)落在区间[150,550)内的频率为1-100×(0.001 2+0.000 6)=0.82,故对应的户数为100×0.82=82,故D正确.
方法总结
(1)在频率分布直方图中,众数一般用最高矩形底边中点的横坐标来近似代替;
(2)频率分布直方图中的参数问题,常利用各矩形面积之和为1来构造方程求解.
4.ACD　记x1,x2,…,x5的平均数为,方差为,y1,y2,…,y5的平均数为,方差为,由题意知==5,因为yi=xi-6,
所以=-6=-1,=,故A正确,B错误;
对于C,因为5×30%=1.5,所以yi(i=1,2,…,5)的30%分位数为从小到大排列后的第2个数据,
将yi(i=1,2,…,5)从小到大排列为-5,-3,-1,1,3,所以yi(i=1,2,…,5)的30%分位数为-3,故C正确;
对于D,将两组数据合成一个容量为10的新的样本,
则新的样本数据的平均数为==2,故D正确.
5.C　不妨设原始分为x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,且x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6≤x7≤x8,x1≠x8,则中位数为,
有效分为x2,x3,x4,x5,x6,x7,中位数为,两者相等,所以中位数不变.
例如:原始分为2,2,2,2,2,2,2,3,平均数为2.125,有效分为2,2,2,2,2,2,平均数为2,此时平均数改变;
再例如:原始分为1,2,2,2,2,2,2,3,平均数为2,有效分为2,2,2,2,2,2,平均数为2,此时平均数不变,故平均数可能不变.
从8个原始分中去掉1个最高分和1个最低分,即把波动最大的两个值去掉,则有效分比原始分更集中,波动性减小,故有效分的方差小于原始分的方差,即方差变小.
6.D　设原来的20个样本数据从小到大排列为x1,x2,x3,…,x20,则剩下的18个数据为x2,x3,…,x19.
对于A,依题意,=(x2+x3+…+x19),=(x1+x20),=(x1+x2+…+x20),
由=,得=(x2+x3+…+x19)=(x1+x20),即x2+x3+…+x19=18,x1+x20=2,
于是x1+x2+x3+…+x19+x20=20,所以=(x1+x2+x3+…+x19+x20)=,A中结论正确;
对于B,原样本数据的中位数为,剩下的18个数据的中位数为,B中结论正确;
对于C,依题意,=[(x2-)2+(x3-)2+…+(x19-)2]=(++…+)-,=[(x1-)2+(x20-)2]=(+)-,
s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(x20-)2]=(++…+)-,
于是++…+=18+18,+=2+2,
所以s2=(18+18+2+2)-=+,即10s2=9+,C中结论正确;
对于D,因为18×22%=3.96,所以剩下18个数据的22%分位数为x5,
又20×22%=4.4,所以原样本数据的22%分位数为x5,D中结论错误.
7.答案　21;89
解析　C车间应抽取的件数为70×30%=21.
总样本数据的平均数=20%×200+50%×220+30%×210=213,
故总样本数据的方差s2=×[30+(200-213)2]+×[20+(220-213)2]+×[40+(210-213)2]=89.
8.解析　(1)由题意得0.02×10n=80,10t+0.06+0.1+0.2+60t+90t=1,所以n=400,t=0.004.
(2)因为6t=6×0.004=0.024,
所以估计这10 000名顾客中对该公司产品的满意度达到“满意”的人数为10 000×0.024×10=2 400.
(3)由题中频率分布直方图得,顾客满意度评分的均值为
45×0.04+55×0.06+65×0.1+75×0.2+85×9×0.04+95×0.24=80(分),
则由题意可知不需要对该产品进行调整.
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