湖北省武汉市部分学校2026届高三上学期九月调研考试数学试卷（含解析）

湖北省武汉市部分学校2026届高三上学期九月调研考试数学试卷
一、选择题
1．已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2．若复数z满足，则( )
A. B. C. D.
3．若双曲线的一条渐近线方程为，则( )
A. B. C. D.
4．正方形的边长为1，取正方形各边的中点，，，作第二个正方形，然后再取正方形各边中点，，，作第三个正方形，依此方法一直继续下去，则前11个正方形的面积和为( )
A. B. C. D.
5．若函数是奇函数，则实数( )
A.1 B. C.2 D.
6．将4个不同的小球放人4个不同的盒子中，则恰有两个盒子为空的放法种数为( )
A.72 B.84 C.96 D.108
7．已知内角A，B，C满足，，则( )
A.2 B.4 C.8 D.9
8．设椭圆的左右焦点分别为，，椭圆E上点P满足，直线和直线分别和椭圆E交于异于点P的点A和点B，若，则椭圆E的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．已知函数的部分图象如图所示，则( )
A.的最小正周期为
B.
C.的图象关于点中心对称
D.将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则是区间上的增函数
10．已知正实数a，b满足，则( )
A. B. C. D.
11．设A，B是一个随机试验中的两个年件，，，则( )
A.事件A，B相互独立
B.若，则
C.
D.若，则必有
三、填空题
12．平面向量a，b满足，，，则_________.
13．已知等差数列的公差，若，，构成等比数列，则_________.
14．在四棱锥中，，，，，，且平面，过点A的平面与侧棱，，分别交于点E，F，G，若四边形为菱形，则_________.
四、解答题
15．在深化课程改革、推动教育高质量发展的新阶段，命题能力已成为教师专业发展的关键能力.某省开展2025年学科教师命题能力高质量研修提升培训会，参会人员包括300名经验丰富教师（年龄在35岁及以上的教师），200名经验不丰富教师（年龄在35岁以下的教师），会后均参加相关知识考核，考核结果为优秀、合格两种情况，统计并得到如下列联表：
经验丰富教师 经验不丰富教师 总计
优秀 200 150 350
合格 100 50 150
总计 300 200 500
（1）根据小概率值的独立性检验，能否认为这次考核结果与经验丰富与否有关？
（2）若从参会人员中，采用分层抽样的方法随机抽取10名教师，再从这10名教师中随机抽取4人进行调研，设抽取的4人中经验不丰富教师的人数为X，求X的分布列和数学期望.
附：，其中.
0.1 0.05 0.01 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
16．如图，在三棱柱中，为线段的中点，侧棱上点E，F满足.
（1）证明：平面；
（2）若，平面，，，求直线与平面所成角的正弦值.
17．在中，，，.
（1）求角A的大小；
（2）求；
（3）若线段上点D满足，求的长.
18．设抛物线的焦点为F，过点的动直线l交抛物线E于A，B两点，点，当直线垂直于x轴时，.
（1）求抛物线E的标准方程；
（2）若直线l过点T，求的面积；
（3）若直线平分，求直线l的斜率.
19．已知函数在区间和各恰有一个零点，分别记为和.
（1）求实数k的取值范围；
（2）记曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为S，求的最大值；
（3）若函数有三个零点，，，其中，证明：.
参考答案
1．答案：C
解析：，解得或，
即，
，解得，
即，
则.
故选：C.
2．答案：A
解析：化简等式：等式两边同时乘以z，得到.
展开括号可得.
求解z：将含有z的项移到等式一边，常数项移到等式另一边，
得到，即.等式两边同时除以，则.
为了将分母实数化，给分子分母同时乘以，得到.
根据平方差公式，可得.
因为，所以.分子，
将代入，可得.
所以.
故选A.
3．答案：D
解析：已知双曲线方程为，将其化为标准方程：.
因为双曲线方程中m、n异号，所以双曲线的焦点在x轴上时，
标准方程为（，），此时，；
焦点在y轴上时，标准方程为，
此时，.
当双曲线焦点在x轴上时，其渐近线方程为，
即.
当双曲线焦点在y轴上时，其渐近线方程为，
即.
所以，无论焦点在x轴还是y轴，
双曲线的渐近线方程都为.
已知双曲线的一条渐近线方程为，则
两边同时平方可得：，即.
故选D
4．答案：D
解析：已知正方形的边长为1，根据正方形面积公式（a为边长），可得第一个正方形的面积.
因为,,,分别是正方形各边的中点，
所以是的中位线，根据三角形中位线定理，可得.
在正方形中，根据勾股定理，
已知，则，所以.
那么第二个正方形的面积.
同理，可推出第三个正方形的边长是第二个正方形对角线的一半，
第二个正方形对角线长为，
所以第三个正方形边长为，面积.
以此类推，可得正方形面积构成的数列，其中,,,…，
该数列是以为首项，为公比的等比数列.
－根据等比数列的前n项和公式（为首项，q为公比），
这里,,，则前11个正方形的面积和为：
因此，前11个正方形的面积和为，答案选D.
5．答案：B
解析：的定义域为R，
由于为奇函数，故，解得，
当时，
故符合题意，
故选：B
6．答案：B
解析：选2个空盒：种，
分配4个小球到2个非空盒
情况一（分法）：种
情况二（分法）：种
总分配方法：种，
总放法数：种
故选：B
7．答案：B
解析：因为，所以.
根据诱导公式，可得.
根据诱导公式，可得.
根据两角和的正弦公式，
将展开得.
根据两角和的余弦公式－，
将展开得.
已知，即①；
已知，即②.
由②式，
移项可得.
两边同时除以（因为B,C是三角形内角，），
得到，即.
由①式，
两边同时除以（因为B,C是三角形内角，），
得到，即
根据两角和的正切公式，
因为，所以，
则
将，代入上式，
可得.
故选B.
8．答案：D
解析：由题设，令，故，,
所以，故①,
由，令，，
则，，
由，
则
所以，
整理得
由，则,
所以，整理得
所以，
整理得②，
联立①②，得，，
故，即,所以.
故选：D
9．答案：ACD
解析：由图象可知，相邻最小值点和最大值点之间的水平距离为半个周期，即，
由周期公式，所以，选项A正确；
因为图象经过点，代入函数得：
，
由正弦函数性质可知时，，
所以，
因为，所以，，
因为，故B错误；
因为是中心对称函数，对称中心为，
若函数图象关于点对称，则.
代入计算：
所以图象关于点对称，故C正确；
将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），
则，
由正弦函数性质可知在上单调递增，
令，解得,
区间位于增区间内，
故在区间内是增函数，故D正确.
故选ACD.
10．答案：BD
解析：对A：取，，此时，但，故A错误；
对B：，当且仅当时，等号成立，故B正确；
对C：取，，此时，但，故C错误；
对D：，当且仅当时，等号成立，故D正确.
故选：BD.
11．答案：BCD
解析：
12．答案：
解析：计算：
代入已知条件：
已知,，
代入上式：
化简：
移项：
解得：
计算：
代入已知条件：,,
代入上式：
因此：
答案是.
13．答案：
解析：由题意知等差数列的公差,,,构成等比数列，
则，即，
即得，则，故，
故答案为：
14．答案：
解析：
15．答案：（1）这次考核结果与经验是否丰富与否无关；
（2）
解析：（1）零假设为：这次考核结果与经验丰富与否无关，
根据列联表中的数据，可得
，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此可以认为成立，即认为这次考核结果与经验是否丰富与否无关.
（2）采用分层抽样的方法抽取10名教师，
其中经验不丰富教师人数为，经验丰富教师人数为.
随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，4.
，，，
，，
故随机变量X的分布列如下：
X 0 1 2 3 4
P
则.
16．答案：（1）证明见解析；
（2）
解析：（1）取中点Q，连接，.
由题意，，，得.
所以四边形是平行四边形，有.
又平面，平面，所以平面.
（2）建立如图所示的空间直角坐标系.
，，，.
，，
设平面的法向量，
由，即，
取，得到平面的一个法向量.
设直线与平面所成角的大小为，
所以直线与平面所成角的正弦值
.
17．答案：（1）；
（2）；
（3）
解析：（1）.
又，所以.
由，整理得：.
又，所以.
（2）由余弦定理：，
故..
（3）.
.
由正弦定理：，代入解得：.
18．答案：（1）；
（2）；
（3）
解析：（1）由题意，当点A横坐标为2时，点A到准线的距离为3，
即，解得，所以抛物线E的标准方程为：.
（2）点，设，.
此时直线l的斜率为，l的方程可写为.
与抛物线方程联立得：.
由韦达定理，，.
此时面积为.
（3）设直线l的斜率为k，显然.
将直线l方程与抛物线方程联立得：.
由韦达定理，，.
由题意：.
.
又，所以.
代入抛物线方程化简得：.
即.
又，故.
即，解得：.
19．答案：（1）；
（2）；
（3）证明见解析
解析：（1）由题意，函数在区间和上各有一个零点.所以，解得：.
（2）.
，是方程的两根，所以，.
，将代入，得.
切线方程为，在y轴上得截距为.
有.
，其中.
设，.
令，得.
当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
故的最大值为.
（3）记的导函数为，有，
显然是增函数.又，时，，
故存在，使得.
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
又，时，；时，.
所以存在，使得.
此时在和单调递增，在单调递减.
所以，.
设曲线在点处的切线的方程为，
则.
设函数.
，，
所以单调递减，又.
所以时，，单调递增；
所以时，，单调递减；
故，有.
设直线与直线交点的横坐标为，.
根据斜率，有.
相同地，设曲线在点处的切线的方程为，
则.设函数.
由时，，可得.
设直线与直线交点的横坐标为，由.
，的斜率，
有.所以.
又，，
根据，有.
即，可得，所以.