(共21张PPT)
2 认识证明
第七章 证明
第1课时 定义与命题
1.理解定义、命题的概念，能区分命题的条件和结论，并把命题写成“如果……那么……”的形式．（重点）
2.了解真命题和假命题的概念，能判断一个命题的真假性，并会对假命题举反例．（难点）
学习目标
请阅读以下几句话：
（1）具有中华人民共和国国籍的人，叫做中华人民共和
国公民.
（2）两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离.
（3）无限不循环小数称为无理数.
（4）有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
新课导入
知识点1
定 义
1.对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，
也就是给出它们的定义．
2.定义是今后证明的重要依据，它既可作为性质应
用，也可作为判定方法应用．
讲授新课
例如:
1.“具有中华人民共和国国籍的人,叫做中华人民共和国公民” 是“中华人民共和国公民”的定义;
2.“两点之间线段的长度,叫做这两点之间的距离” 是“两点之间的距离”的定义;
3.“在一个方程中,只含有一个未知数,并且未知数的指数是1,这样的方程叫做一元一次方程” 是“一元一次方程”的定义.
你还能举出曾学过的“定义”吗
1.无限不循环小数称为无理数；
2.能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形；
3. 一般的，如果在某个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y有唯一确定的值与它对应，那么我们称y是x的函数.
想一想
1 下列语句属于定义的有( )
①含有未知数的等式称为方程；
②等式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2称为两数和的完全平方
公式；
③如果a，b为实数，那么(a－b)2＝a2－2ab＋b2；
④三角形内角和等于180°.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
B
练一练
下面的语句中，哪些语句对事情作出了判断，哪些没有？与同伴进行交流.
1.任何一个三角形一定有一个角是直角；
2.对顶角相等；
3.无论n为怎样的自然数，式子n2-n+11的值都是质数；
4.如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
5.你喜欢数学吗？
6.做线段AB=CD.
知识点2
命题及命题的结构
1.概念：判断一件事情的句子，叫做命题．
2.特别解读：（1）命题只是对事情进行判断，判断的结果
可能是正确的，也可能是错误的；
（2）命题必须是一个完整的句子，不能是一个词语；
（3）命题必须具有“判断”作用，要对事情作出肯定或否
定的判断， 故命题不能是祈使句或疑问句.
注：（1）命题常可以写成“如果……那么……”的形式，
其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的
部分是结论．
（2）有些命题的条件和结论不明显，可将它经过适
当变形，改写成“如果……那么……”的形式．
下列语句：(1)时间都去哪儿了？(2)画一条直线的
平行线；(3)长方形的四个角都是直角；(4)4不是偶
数．其中命题共有( )个．
A．1 B．2 C．3 D．4
导引：紧扣命题的定义进行判断：(1)是一个疑问句，没有
作出判断，所以不是命题；(2)没有包含判断的意思，
所以不是命题；(3)对一件事情作出了肯定的判断，
所以是命题；(4)对事情作出了否定的判断，所以是
命题.
B
例题1
把下列命题改写成“如果……那么……”的形式：
(1)对顶角相等；
(2)垂直于同一条直线的两条直线平行；
(3)同角或等角的余角相等．
导引：紧扣命题的结构形式进行改写．
解：(1)如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．
(2)如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
(3)如果两个角是同一个角的余角或两个相等的角的余角，那么
这两个角相等.
例题2
命题
条件
结论
已知事项
由已知事项推出的事项
两直线平行， 同位角相等
条件（题设）
结论
命题的组成：
总结归纳
特别规定：
正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题.
命题1：“如果一个数能被4整除，那么它也能被2整除”
观察下列命题,你能发现这些命题有什么不同的特点吗？
命题1是一个正确的命题;命题2是一个错误的命题.
命题2：“如果两个角互补，那么它们是邻补角”
知识点3
真、假命题
指出下列命题的条件和结论，并判断是真命题还是
假命题．
(1)互为补角的两个角相等；
(2)若a＝b，则a＋c＝b＋c；
(3)如果两个长方形的周长相等，那么这两个长方形
的面积相等．
导引：紧扣真命题和假命题的定义进行判断．
例题3
解：(1)条件：两个角互为补角. 结论：这两个角相等.
假命题．
(2)条件：a＝b. 结论：a＋c＝b＋c.真命题．
(3)条件：两个长方形的周长相等. 结论：这两个
长方形的面积相等．假命题．
判断一个命题是假命题，只要举出一个例子（反例），使它具备命题的条件，但不具有命题的结论就可以了. 而说明一个命题是真命题，需要从已知出发，经过一步一步推理，最后得出正确结论.
总 结
（1）同旁内角互补（ ）
（4）两点可以确定一条直线（ ）
（7）互为邻补角的两个角的平分线互相垂直（ ）
（2）一个角的补角大于这个角（ ）
判断下列命题的真假.真的用“√”，假的用“× 表示.
（5）两点之间线段最短（ ）
（3）相等的两个角是对顶角（ ）
×
√
（6）同角的余角相等（ ）
×
√
√
√
×
练一练
１．下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？
⑴对顶角相等.
⑵画一个角等于已知角.
⑶两直线平行，同位角相等.
⑷a、b两条直线平行吗？
⑸温柔的李明明.
⑹玫瑰花是动物.
⑺若a2＝4，求a的值.
⑻若a2＝ b2，则a＝b.
不是
是
不是
不是
是
不是
是
是
(9)八荣八耻是我们做人的基本准则.
是
当堂练习
2． 下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？
（1）正数大于一切负数吗？
（2）两点之间线段最短.
（3） 不是无理数.
（4）作一条直线和已知直线平行.
（ √ ）
（×）
（×）
（ √ ）
如果在同一个三角形中，有两个角相等，那么这两个角所对
的边也相等.
3.指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果……那么……”的形式：
⑴三条边对应相等的两个三角形全等；
⑵在同一个三角形中，等角对等边；
⑶对顶角相等.
如果两个三角形有三条边对应相等，那么这两个三角形全等。
条件
条件
如果两个角是对顶角，那么这两个角相等.
条件
结论
结论
结论
定义与命题
定义
概念：判断一个事件的句子
结构：如果……那么……
分类：真命题、假命题
命题
课堂小结(共19张PPT)
3 平行线的证明
第七章 证明
第1课时 平行线的判定
1.了解并掌握平行线的判定公理和定理．（重点）
2.了解证明的一般步骤．（难点）
学习目标
1、什么是平行线？
2、判定两条直线平行的基本事实是什么？
复
习
回
顾
新课导入
知识点
利用角的关系判定两直线平行
1.平行线的判定公理：两条直线被第三条直线所截，如果同位
角相等，那么这两条直线平行．
简述：同位角相等，两直线平行．
2.平行线的判定公理是证明直线平行的重要依据．
3.表达方式：
如图：因为∠1＝∠2(已知)，
所以a∥b(同位角相等，两直线平行).
讲授新课
如图，已知直线AB，CD 被直线EF 所截， ∠ 1+ ∠2
=180°，AB 与CD 平行吗？请说明理由.
导引：找出一对同位角，通过已知条件
说明这对同位角相等，从而说明
两条直线平行.
解：AB ∥ CD.
理由如下：
∵∠1+∠2=180°（已知），∠2+∠3=180°（邻补角的定义），
∴∠ 1= ∠ 3（同角的补角相等）.
∴ AB ∥ CD（同位角相等，两直线平行）.
例题1
如图，当∠1＝∠3时，能判定_______∥_______，
理由： (__________________________)；
当∠4＝∠5时，能判定________∥________，理由：
(________________________)；
当∠2＋∠4＝180°时，能判定________∥________，理由：(____________________________)．
1
l1 l2
l1 l2
l1 l2
内错角相等，两直线平行
同位角相等，两直线平行
同旁内角互补，两直线平行
练一练
2 如图，下面推理过程正确的是( )
①因为∠B＝∠D，所以AB∥CD；
②因为∠1＝∠2，所以AD∥BC；
③因为∠BAD＋∠B＝180°，所以AD∥BC；
④因为∠1＝∠B，所以AD∥BC.
A．①和② B．①和③ C．②和④ D．②和③
D
3 (中考·福州)下列图形中，由∠1＝∠2能得到
AB∥CD的是( )
B
4 (中考·金华)以下四种沿AB折叠的方法中，不一定能判定纸
带两条边线a，b互相平行的是( )
A．如图①，展开后测得∠1＝∠2
B．如图②，展开后测得∠1＝∠2且∠3＝∠4
C．如图③，测得∠1＝∠2
D．如图④，展开后再沿CD折叠，两条折痕的交点为O，测
得OA＝OB，OC＝OD
C
① ∵ ∠2 = ∠ 6（已知）
∴ ___∥___( )
② ∵ ∠3 = ∠5（已知）
∴ ___∥___( )
③∵ ∠4 +___=180o（已知）
∴ ___∥___( )
AB
CD
AB
CD
∠5
AB
CD
A
C
1
4
2
3
5
8
6
7
B
D
同位角相等,两直线平行
内错角相等,两直线平行
同旁内角互补,两直线平行
F
E
根据条件完成填空.
例题2
如图，已知∠ADE＝60°，DF平分∠ADE，∠1＝30°，
试说明 DF∥BE.
导引：先找出DF 和BE 这两条被截直线所形
成的一对内错角， 然后利用条件通过
说明这对内错角相等来说明这两条被
截直线平行.
解： ∵DF平分∠ADE(已知)，
∴ ∠EDF＝
又∵ ∠ADE＝60°（已知），
∴ ∠EDF＝30°.
又∵ ∠1＝30°(已知)，
∴ ∠EDF＝∠1，
∴ DF∥EB(内错角相等，两直线平行)．
例题3
1.对于图中标记的各角，下列条件能够推理得到a∥b的是( )
A.∠1=∠2
B.∠2=∠4
C.∠3=∠4
D.∠1+∠4=180°
【解析】∠1的对顶角与∠4是同旁内角，若∠1+∠4=180°，可以根据同旁内角互补，两直线平行得到a∥b.
D
当堂练习
2.如图所示，∠1=75°，要使a∥b,则∠2等于( )
A.75°
B.95°
C.105°
D.115°
a
b
1
2
【解析】∠1的同位角与∠2互为补角，所以∠2=180°-75°=105°.
C
3.如图，请填写一个你认为恰当的条件______，使AB∥CD.
【解析】此题答案不唯一，填写的条件可以是∠CDA=∠DAB或∠PCD=∠BAC或∠BAC+∠ACD=180°等.
答案：答案不唯一，如∠CDA=∠DAB.
4.如图,已知∠1=30°,∠2或∠3满足条件
_________ _ __，则a//b.
2
1
3
a
b
c
∠2＝150°或∠3＝30°
5.如图.（1）从∠1=∠4，可以推出 ∥ ，
理由是 .
(2)从∠ABC +∠ =180°，可以推出AB∥CD ，
理由是 .
A
B
C
D
1
2
3
4
5
AB
内错角相等，两直线平行
CD
BCD
同旁内角互补,两直线平行
(3)从∠ =∠ ，可以推出AD∥BC，
理由是 .
(4)从∠5=∠ ，可以推出AB∥CD，
理由是 .
2
3
内错角相等，两直线平行
ABC
同位角相等,两直线平行
A
B
C
D
1
2
3
4
5
理由：
∵ AC平分∠DAB（已知）
∴ ∠1=∠2（角平分线定义）
又∵ ∠1= ∠3（已知）
∴ ∠2=∠3（等量代换）
∴ AB∥CD(内错角相等，两直线平行)
6.如图，已知∠1= ∠3，AC平分∠DAB，你能判断
那两条直线平行？请说明理由？
2
3
A
B
C
D
）
）
1
（
解： AB∥CD.
判定两条直线平行的方法
同位角
内错角
同旁内角
∠1=∠2
∠3=∠2
∠2+∠4=180°
文字叙述 符号语言 图形
相等， 两直线平行 ∵ (已知), ∴a∥b
_ __相等, 两直线平行 ∵ (已知), ∴a∥b _________互补, 两直线平行 ∵ (已知), ∴a∥b a
b
c
1
2
4
3
课堂小结(共15张PPT)
回顾与思考（七） 证明
证明
分类
结构
定理
推论
公理
条件
命题
真命题
假命题
结论
反例
证明
应用
平行线
判定
性质
要点梳理
1．判断一件事情的句子叫做命题.
2. 命题有真有假，其中正确的命题叫做 ；错
误的命题叫做 .
真命题
假命题
3. 要说明一个命题是假命题，只要举出一个符合命题
条件，但不符合命题结论的例子就可以，像这样的
例子称为______．
反例
知识点1
命题与定理
考点精讲
4.经过实践验证的真命题称为__ .
基本事实
5. 经过__________得到的重要的真命题叫做________.
演绎推理
定理
图形
已知
结果
结论
同位角
内错角
同旁内角
a//b
a//b
a//b
同位角相等
两直线平行
内错角相等
两直线平行
同旁内角互补
两直线平行
1
2
2
3
2
4
）
）
）
）
）
）
a
b
a
b
a
b
c
c
c
知识点2
平行线的判定
公理:
两直线平行,同位角相等.
∵ a∥b, ∴∠1=∠2.
性质定理1:
两直线平行,内错角相等.
∵ a∥b, ∴∠1=∠2.
性质定理2:
两直线平行,同旁内角互补.
∵ a∥b, ∴ ∠1+∠2=1800 .
a
b
c
2
1
a
b
c
1
2
a
b
c
1
2
知识点3
平行线的性质
1.下列语句是命题的有（ ）
（1）两点之间线段最短；
（2）向雷锋同志学习；
（3）对顶角相等；
（4）对应角相等的两个三角形是全等三角形；
（5）本周天不放假吗？
（6）作已知直线的垂线.
(1)(3)(4)
当堂练习
2.下列命题，哪些是真命题？哪些是假命题？如果是真命题，请写出条件与结论，如果是假命题，请举出反例！
（1）同角的补角相等；
（2）同位角相等，两直线平行；
（3）若|a|=|b|，则a=b；
（1）真命题
（3）假命题，若a=-2,b=2,则|a|=|b|，但a≠b.
条件：两个角是同一个角的补角
结论：这两个角相等
（2）真命题
条件：同位角相等
结论：两直线平行
148
3. 已知：如图，AB∥CD，若∠ABE=140°, ∠BED=72°，
则∠ EDC=______.
A
B
C
D
E
F
第3题图
4.如图，直线a,b被直线c所截，a∥b.
求证：∠1+∠2=180°.
证明：∵a∥b（已知）,
∴∠1+∠3=180°（两直线平行，同旁内角互补）.
∵∠3=∠2（对顶角相等）,
∴∠1+∠2=180°(等量代换).
5.已知：如图，∠1+∠2=180°
求证：∠3=∠4.
证明：∵∠2=∠5（对顶角相等）,
∠1+∠2=180°（已知）,
∴∠1+∠5=180°（等量代换）.
∴CD∥EF（同旁内角互补，两直线平行）.
∴∠3=∠4（两直线平行，同位角相等）.
8.如图，直线AB∥ED.
求证：∠ABC+∠CDE=∠BCD.
证法一：如图，过点C作CF∥AB.
A
B
C
D
E
∴∠ABC=∠BCF（两直线平行，内错角相等）.
∵AB∥ED（已知）,
∴ED∥CF（平行于同一直线的两条直线互相平行）.
∴∠EDC=∠FCD（两直线平行，内错角相等）.
∴∠BCF+∠FCD=∠EDC+∠ABC（等式性质）.
即∠BCD=∠ABC+∠CDE.
F
证法二：如图，延长BC交DE于点G.
A
B
C
D
E
G
∵AB∥DE（已知）,
∴∠ABC=∠CGD（两直线平行，内错角相等）.
∵∠BCD是△CDG的一个外角（外角定义）,
∴∠BCD=∠CGD+∠CDE（三角形的外角定理1）.
∴∠BCD=∠ABC+∠CDE（等量代换）．
A
B
C
D
E
9.如图，直线AB∥ED，∠ABC 、∠CDE 、∠BCD之间有什么数量关系？请说明理由.
解：∠ABC = ∠CDE +∠BCD ，理由是：
∵AB∥DE（已知）
∴∠ABC=∠CFE（两直线平行，同位角相等）.
∵∠CFE是△CDF的一个外角（外角定义）
∴∠CFE=∠CDE+∠BCD（三角形的外角定理1）.
∴∠ABC=∠CDE+∠BCD（等量代换）．
F
归纳总结
1.判断命题的方法：有条件和结论的陈述句.
2.平行线拐点模型：过拐点作平行.
课堂小结(共25张PPT)
第七章 证明
3 平行线的证明
第2课时 平行线的性质
1.理解并掌握平行线的性质公理和定理．（重点）
2.能熟练运用平行线的性质进行简单的推理证明．（难点）
学习目标
两直线平行
1.同位角相等
2.内错角相等
3.同旁内角互补
问题 平行线的判定方法是什么？
思考 反过来,如果两条直线平行,同位角、内错角、同旁内角各有什么关系呢
回顾与思考
新课导入
问题1：根据“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”.你能作出相关的图形吗？
A
B
C
D
E
F
M
N
1
2
知识点1
平行线的性质
讲授新课
问题2：你能根据所作的图形写出已知、求证吗？
两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.
已知，如图，直线AB∥CD,∠1和∠2是直线AB、CD被直线EF截出的同位角.
求证：∠1=∠2.
文字语言
符号语言
A
B
C
D
E
F
M
N
1
2
问题3：你能说说证明的思路吗？
A
B
C
D
E
F
M
N
G
H
1
2
证明：假设∠1 ≠ ∠2，那么我们可以过点M作直线GH，使∠EMH= ∠2，如图所示.
根据“同位角相等，两直线平行”，可知GH ∥ CD.
又因为AB ∥ CD，这样经过点M存在两条直线AB和GH都与直线CD平行.这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾.
这说明∠1 ≠ ∠2的假设不成立，所以∠1 =∠2.
如果∠1 ≠ ∠2，AB与CD的位置关系会怎样呢？
一般地，平行线具有如下性质：
性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.
简单说成：两直线平行，同位角相等.
b
1
2
a
c
∴∠1=∠2
（两直线平行，同位角相等）
∵a∥b（已知）
应用格式:
总结归纳
议一议
利用上述定理，你能证明哪些熟悉的结论？
两直线平行，内错角相等.
两直线平行，同旁内角互补.
尝试来证明一下
2.定理：两直线平行，内错角相等.
（1）已知：如图，直线l1//l2，∠1和∠2是直
线l1，l2被直线l截出的内错角.
求证：∠1= ∠2.
证明：∵l1//l2（已知），
∴∠1=∠3（两直线平行，同位角相等）.
又∵∠2=∠3 （对顶角相等），
∴∠l=∠2 (等量代换）.
（2）性质2：两条平行直线被第三条直线所截，内错角
相等．
简称：两直线平行，内错角相等．
表达方式：如图，因为a∥b (已知) ，
所以∠1＝∠2 (两直线平行，内错角相等) .
要点精析：两直线平行是前提，只有在这个前提下
才有内错角相等．
如图，已知AE∥BC，∠B＝∠C， AE是∠DAC
的平分线吗？若是，请写出证明过程；若不是，
请说明理由.
导引：紧扣平行线的性质定理得出角的数量关系，
进而证明角相等．
解： AE是∠DAC 的平分线．
证明如下：∵AE∥BC(已知)，
∴∠DAE＝∠B(两直线平行，同位角相等)，
∠CAE＝∠C(两直线平行，内错角相等)，
又∵∠B＝∠C(已知)，∴∠DAE＝∠CAE (等量代换)，
∴AE是∠DAC 的平分线（角平分线的定义）．
例题1
3.定理：两直线平行，同旁内角互补.
性质3：两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角
互补．
简称：两直线平行，同旁内角互补．
表达方式：如图，因为a∥b (已知) ，
所以∠1+∠2=180°(两直线平行，同旁内角
互补) .
如图，如果AB∥DF，DE∥BC，且∠1＝55°，那么你能说出
∠2，∠3，∠4的度数吗？为什么？
导引：由DE∥BC，可得∠1＝∠4，∠1＋∠2＝
180°；由DF∥AB，可得∠3＝∠2，从
而得出∠2，∠3，∠4的度数．
解： ∵DE∥BC(已知)，
∴∠4＝∠1＝55°(两直线平行，内错角相等)，
∠2＋∠1＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．
即∠2＝180°－∠1＝180°－55°＝125°.
又∵DF∥AB(已知)，
∴∠3＝∠2(两直线平行，同位角相等)．
∴∠3＝125°(等量代换)．
例题2
平行线的性质
公理:
两直线平行,同位角相等.
∵ a∥b, ∴∠1=∠2.
性质定理1:
两直线平行,内错角相等.
∵ a∥b, ∴∠1=∠2.
性质定理2:
两直线平行,同旁内角互补.
∵ a∥b, ∴ ∠1+∠2=1800 .
a
b
c
2
1
a
b
c
1
2
a
b
c
1
2
这里的结论,以后可以直接运用.
总结归纳
归纳总结
证明一个命题的一般步骤：
(1)弄清题设和结论；
(2)根据题意画出相应的图形；
(3)根据题设和结论写出已知,求证；
(4)分析证明思路,写出证明过程.
两直线平行
同位角相等
内错角相等
同旁内角互补
平行线的判定
平行线的性质
线的关系
角的关系
性质
角的关系
线的关系
判定
讨论：平行线三个性质的条件是什么？结论是什么？它与判定有什么区别？（分组讨论）
知识点2
平行线的性质与判定的关系
如图，已知∠ABC与∠ECB互补，∠1＝∠2，则∠P与
∠Q一定相等吗？说说你的理由．
导引：如果∠P和∠Q相等，那么PB∥CQ，所以要判断∠P与
∠Q是否相等，只需判断PB和CQ是否平行．要说明
PB∥CQ，可以通过说明∠PBC＝∠BCQ来实现，由于
∠1＝∠2，只需说明∠ABC＝∠BCD即可．
解：∠P＝∠Q.
理由：∵∠ABC与∠ECB互补(已知)，
∴AB∥ED(同旁内角互补，两直线平行)．
例题3
1.下列图形中，由AB∥CD，能得到∠1=∠2的是( )
B
当堂练习
解: ∠A =∠D.理由：
∵ AB∥DE( )
∴∠A=_______ ( )
∵AC∥DF( )
∴∠D=______ ( )
∴∠A=∠D ( )
2.如图1,若AB∥DE , AC∥DF，请说出∠A和∠D之
间的数量关系，并说明理由.
P
F
C
E
B
A
D
图１
已知
∠CPE
两直线平行,同位角相等
已知
∠CPE
两直线平行,同位角相等
等量代换
解: ∠A+∠D=180o. 理由：
∵ AB∥DE( )
∴∠A= ______ ( )
∵AC∥DF( )
∴∠D+ _______=180o ( )
∴∠A+∠D=180o（ ）
如图2,若AB∥DE , AC∥DF，请说出∠A和∠D之间的数量关系，并说明理由.
图2
F
C
E
B
A
D
P
已知
∠CPD
两直线平行,同位角相等
已知
∠CPD
两直线平行,同旁内角互补
等量代换
3.如图，已知平行线AB、CD被直线AE所截
(1)从 ∠1=110o可以知道∠2 是多少度,为什么？
(2)从∠1=110o可以知道 ∠3是多少度,为什么？
(3)从 ∠1=110o可以知道∠4 是多少度,为什么？
2
3
E
1
4
A
B
D
C
解：(1)∠2=110o
∵两直线行，内错角相等；
（2）∠3=110o
∵两直线平行, 同位角相等；
（3）∠4=70o
∵两直线平行,同旁内角互补.
4.如图，一条公路两次拐弯前后两条路互相平行.第
一次拐的∠B是142o，第二次拐的∠C是多少度？
为什么？
解：∠C=142o
∵两直线平行,内错角相等.
B
C
5.如图，是一块梯形铁片的残余部分，量得∠A=100°，
∠B=115°，梯形的另外两个角分别是多少度？
A
B
C
D
解：因为梯形上、下底互相平行，所以
∠A与∠D互补， ∠B与∠C互补.
所以梯形的另外两个角分别是80° 、 65°.
于是∠D=180 °-∠A=180°-100°=80°
∠C= 180 °-∠B=180°-115°=65°
6.如图，在 ABC中，CE⊥AB于点E，DF⊥AB于点F，AC//ED，CE是∠ACB的平分线，则∠EDF=∠BDF，请说明理由.
解：因为CE⊥AB， DF⊥AB
所以DF//EC
所以∠BDF=∠1，
∠EDF=∠3
因为ED//AC，
所以∠3=∠2
所以∠EDF=∠2
又CE平分∠ACB
所以∠1=∠2
所以∠BDF=∠EDF.
同位角相等
内错角相等
同旁内角互补
两直线平行
判定
性质
已知
得到
得到
已知
课堂小结(共22张PPT)
1 为什么要证明
第七章 证明
1.了解推理的意义，知道要判断一个数学结论是否正确，必须进行推理．（重点）
2.会用实验验证、举出反例、推理等方法简单地验证一个数学结论是否正确．（难点）
学习目标
以前，我们通过观察、实验、归纳得到了很多正确的结
论. 观察、实验、 归纳得到的结论一定正确吗？我们再感受
几个！
(1)图1中两条线段a, b的长度相等吗？图2中的四边形是正方
形吗？请你先观察，再设法检验你观察到的结论.
图1
图2
新课导入
(2)如图3,把地球看成球形，假如用一根比地球赤道长
1m的铁丝将地球赤道围起来，铁丝与地球赤道之间
的间隙能有多大？能放进一个拳头吗？先凭感觉想
象一下，再具体算一算，看看与你的感觉是否一致，
并与同伴进行交流.
眼睛与直觉有时
也会欺骗你哟！
图3
知识点1
认识证明的必要性
1.许多猜想的结论，数学上的一些结论以及数学之外的其他事实，
应当追其缘由，推理证明是非常必要的．
(1)要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是
不够的，必须进行有根有据的证明．
(2)没有经过严格的推理，仅由若干特例归纳得出的结论可能潜藏
着错误．
(3)要肯定一个结论是正确的，必须通过一步一步推理论证才行.
讲授新课
2.要点精析：
(1)直觉有时会产生错误，不是永远可信的；
(2)图形的性质并不都是通过测量得出的；
(3)少数具体例子的观察、测量或计算得出的结论，
并不能保证一般情况下都成立；
(4)只有通过推理的方法研究问题，才能揭示问题的
本质．
一个两位数，它的十位数字为a，个位数字为b，若把它的
十位数字与个位数字对调，将得到一个新的两位数，这两
个数的和能被11整除吗？我们可验证一下：比如23，把它
的十位数字与个位数字对调后得到新的两位数32 . 而23＋
32＝55，因此我们断定，这两个数的和能被11整除．
上述说法正确吗？
导引：紧扣结论要证明的必要性，利用整式的运算证明猜想的结
论．
例题1
解：上述验证过程只是一个特例，为了验证结论的正
确性，可作如下推理：
原两位数为10a＋b，得到的新两位数为10b＋a，
(10a＋b)＋(10b＋a)＝11(a＋ b)，
因为11(a＋b)是11的整数倍，
所以这两个数的和能被11整除．
没有经过严格的推理，仅由特例得出的结论可能隐藏着错误，因此要判断这两个数的和是否能被11整除，我 们必须要证明．原两位数为10a+b，得到的新两位数为 10b+a，先求10a+b与10b+a的和，再看这两个数的和是不是11的倍数，若是，则能被11整除，否则不能被11整除 .
总 结
1 下列推理正确的是( )
A．弟弟今年13岁，哥哥比弟弟大6岁，到了明年，
哥哥比弟弟只大5岁了，因为弟弟明年比今年长
大了1岁
B．如果a>b，b>c，那么a>c
C．∠A与∠B相等，原因是它们看起来大小差不多
D．因为对顶角必然相等，所以相等的角也必是对
顶角
B
练一练
2 某班有20位同学参加围棋、象棋比赛， 甲说： “只参加一项的人数大于14人．”乙说： “两项都 参加的人数小于5.”对于甲、乙两人的说法，
有下列四个命题，其中是真命题的是( )
A．若甲对，则乙对 B．若乙对，则甲对
C．若乙错，则甲错 D．若甲错，则乙对
B
【类型一】 实验验证
先观察再验证．
(1)图①中实线是直的还是弯曲的？
(2)图②中两条线段a与b哪一条更长？
(3)图③中的直线AB与直线CD平行吗？
知识点2
证明的常用方法
例题2
解：观察可能得出的结论是：
(1)实线是弯曲的；
(2)a更长一些；
(3)AB与DC不平行．
而我们用科学的方法验证后发现：
(1)实线是直的；
(2)a与b一样长；
(3)AB平行于CD.
方法归纳
有时视觉受周围环境的影响，往往误导我们，让我们得出错误的结论，所以仅靠经验、观察是不够的，只有通过科学的实验进行严格的推理，才能得出最准确的结论．
【类型二】 推理证明
例题3
甲、乙、丙、丁、戊五名同学参加掷铅球比赛，
通过抽签决定出赛顺序，在未公布顺序前，每人都
对出赛顺序进行了猜测. 甲猜：乙第三，丙第五. 乙
猜：戊第四，丁第五. 丙猜：甲第一，戊第四. 丁猜：
丙第一，乙第二. 戊猜：甲第三，丁第四. 老师说，
每人的出赛顺序都至少被一人猜中，则出赛顺序中，
第一是____，第三是____ ，第五是____ .
导引：将各人猜测的情况列成表格，从表格中先确定乙或戊的
名次，进而确定五名同学的出赛顺序.
丙
甲
丁
解：将五人所猜测的出赛顺序列成表格（见下）：
由于老师说，每人的出赛顺序都
至少被一人猜中， 而从表中看到，
猜第二出赛的只有一人，因此，乙
肯定是第二出赛；乙既然第二，就
不可能第三，所以甲第三出赛；甲
既然第三，就不可能第一，所以
丙第一出赛；丙既然第一，就不
可能第五，所以丁第五出赛；丁
既然第五，就不可能第四，所以
戊第四出赛.所以出赛顺序中，第
一是丙，第三是甲，第五是丁.
表格分析
【类型三】 举出反例
例题4
有下列三个说法：
①若α是无理数，则α2 是有理数；
②若α，β 是不相等的无理数，则αβ+α-β 是无理数；
③若α，β 是不相等的无理数，则 是无理数.
其中正确的个数是( )
A. 0 B.1 C.2 D.3
导引：紧扣题目中的条件举出反例验证结论是否正确.
A
解：当α =π 时，α2=π2 是无理数，所以①不对；
当α =1+ ，β =-1+ 时，则α β +α - β =3 是有理
数，所以②不对；
当α =2 ，β = 时，则 = 是有理数，所以
③不对.
所以正确的个数为0.
1.下列结论中你能肯定的是（ ）
A.今天下雨，明天必然还下雨
B.三个连续整数的积一定能被6整除
C.小明在数学竞赛中一定能获奖
D.两张相片看起来佷像，则肯定照的是同一个人
2.下列问题用到推理的是（ ）
A.根据a=10，b=10,得到a=b
B.观察得到三角形有三个角
C.老师告诉我们关于金字塔的许多奥秘
D.由经验可知过两点有且只有一条直线
B
A
当堂练习
4.某超级市场失窃，大量的商品在夜间被罪犯用汽车运走，三个嫌疑犯被警察局传讯，警察局已经掌握了以下事实：①罪犯不在A,B,C三人之外；②C作案时总得有A作从犯；③B不会开车.
在此案中肯定的作案对象是（ ）
A．嫌疑犯A B．嫌疑犯B
C．嫌疑犯C D．嫌疑犯A和C
D
3.顺次连接等腰梯形四边中点，所得到的四边形是
（ ）
A.平行四边形 B.矩形 C.正方形 D.菱形
D
5.有红、黄、蓝三个箱子，一个苹果放入其中某个箱子内，并且：
（1）红箱子盖上写着：“苹果在这个箱子里”；
（2）黄箱子盖上写着：“苹果不在这个箱子里”；
（3）蓝箱子盖上写着：“苹果不在红箱子里”；
已知(1),(2),(3)中只有一句是真的，苹果在哪个箱子里？
解：我们发现（1）与（3）互相矛盾，可两件矛盾的事不能都是真的，必有一假；题设真话只有一句.这样（2）必是假话，从而苹果在黄箱子里.
为什么要证明
数学结论必须经过严格的论证
实验验证
举出反例
推理证明
论证方法
课堂小结(共17张PPT)
2 认识证明
第七章 证明
第2课时 定理与证明
1.了解公理、定理与证明的概念并了解本套教材所采用的公理．（重点）
2.体会命题证明的必要性，体验数学思维的严谨性．（难点）
学习目标
想一想
举一个反例就可以说明一个命题是假命题，那
么如何证实一个命题是真命题呢？
新课导入
知识点1
定理与公理
用我们以前学过的观察、实验、验证特例等方法.
这些方法往往不可靠.
能不能根据已经知道的真命题证实呢？
讲授新课
那已经知道的真命题又是如何证实的？
哦……那可怎么办？
1.其实，在数学发展史上，数学家们也遇到过类似的问题.公元
前3世纪，人们已经积累了大量的数学知识，在此基础上，古
希腊数学家欧几里得 （Euclid，公元前300年前后）编写了一
本书，书名叫做《原本》（Elements）. 为了说明每一结论的
正确性，他在编写这本书时进行了大胆创造：挑选了一部分数
学名词和一部分公认的真命题作为证实其他命题的出发点和依
据，其中的数学名词称为原名，公认的真命题称为公理(axiom).
除了公理外，其他命题的真假都需要通过演绎推理的方法进行
判断.
2.本套教科书选用九条基本事实作为证明的出发点和依据，我们
已经认识了其中的八条，它们是：
（1）两点确定一条直线.
（2）两点之间线段最短.
（3）同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
（4）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两
条直线平行 (简述为：同位角相等，两直线平行).
（5）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.
（6）两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.
（7）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.
（8）三边分别相等的两个三角形全等.
另外一条基本事实我们将在后面的学习中认识它.
此外，数与式的运算律和运算法则、等式的有关性质，
以及反映大小关系的有关性质都可以作为证明的依据.
例如，如果a=b，b=c, 那么a=c,这一性质也可以作为
证明的依据，称为“等量代换”.又如，如果a>b，b>c，
那么a>c,这一性质同样可以作为证明的依据.
下列命题不是公理的是( )
A．两点确定一条直线
B．两点之间线段最短
C．两条平行线被第三条直线所截，内错角相等
D．三边分别相等的两个三角形全等
导引：公认的真命题称为公理，其正确性不需要推理
证实．
C
例题1
知识点2
证明的意义
演绎推理的过程称为证明，经过证明的真命
题称为定理. 每个定理都只能用公理、定义和已
经证明为真的命题来证明.
定义、命题、公理 (基本事实)、定理之间的区别
与联系：
(1)联系：这四者都是命题．
(2)区别：定义、公理（基本事实）、定理都是真
命题，都可以作为进一步判断其他命题真假的
依据，只不过公理（基本事实）是最原始的依
据；而命题不一定是真命题，因而不 一定能作
为进一步判断其他命题真假的依据.
证实其他命
题的正确性
推理
推理的过程叫证明
经过证明的真命题叫定理
原名、公理
一些条件
+
总结归纳
证明定理“对顶角相等”
如图，直线AB与直线CD相交于点O，
∠AOC与∠BOD是对顶角.
求证：∠AOC =∠BOD
证明：
∴ ∠AOB与∠COD都是平角( )
平角的定义
∴ ∠AOC＋∠AOD＝180°
补角的定义
∴ ∠AOC =∠BOD ( )
同角的补角相等
∵直线AB与直线CD相交于点O ( )
∠BOD＋∠AOD＝180°
( )
已知
例题2
已知：b∥c， a⊥b ．
求证：a⊥c．
证明： ∵ a ⊥b（已知）
∴ ∠1=90°（垂直的定义）
又 b ∥ c（已知）
∴ ∠2=∠1=90°（两直线平行，同位角相等）
∴ a ⊥ c（垂直的定义）.
a
b
c
1
2
典例精析
例题3
1.“两点之间，线段最短”这个语句是（ ）
A.定理 B.公理 C.定义 D.只是命题
2.“同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”这个语句是（ ）
A.定理 B.公理 C.定义 D.只是命题
B
C
当堂练习
3.下列命题中，属于定义的是（ ）
A.两点确定一条直线；
B.同角的余角相等；
C.互补的两个角是邻补角；
D.点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度.
D
4.下列句子中，是定理的是（ ），是公理的是（ ）.
A.若a=b，b=c，则a=c；
B.对顶角相等
C.全等三角形的对应边相等，对应角相等
B,C
A
命题
证明：推理的过程
公理：公认的真命题
定理：经过证明的真命题
分类
课堂小结
