第四章 对数运算与对数函数
§1 对数的概念
【课前预习】
知识点一
1.ab=N 对数 logaN=b 真数
2.常用对数 自然对数
诊断分析
(1)√ (2)√ (3)√ (4)√ (5)√ (6)×
知识点二
诊断分析
解:正确.若ab=N①,则b=logaN②,将②代入①得=N.
【课中探究】
探究点一
例1 (1)C [解析] 由题意得解得2
(2)解:①log416=2,化为指数式是42=16.
②lo9=-2,化为指数式是=9.
③lox=3,化为指数式是()3=x.
④44=256,化为对数式是log4256=4.
⑤2-3=,化为对数式是log2=-3.
变式 ABD [解析] 根据指数式与对数式的互化公式ab=N logaN=b(a>0且a≠1)可知,A,B,D正确;对于C,log24=2化为指数式是22=4,故C错误.故选ABD.
探究点二
例2 解:(1)由logx3=,得=3,所以x=9.
(2)由log64x=-,得x==(43=4-2=,所以x=.
(3)由lo(2x2-4x+1)=1,得2x2-4x+1=x2-2,解得x=1或x=3.当x=1时,x2-2=-1<0,舍去;
当x=3时,x2-2=7>0,2x2-4x+1=7>0,符合题意.
综上,x=3.
变式 (1) (2) (3)-3 [解析] (1)因为log27x=-,所以x=2=(33=3-2=.
(2)因为logx16=-4,所以x-4=16,即x-4=24.
所以=24,又x>0,且x≠1,所以=2,即x=.
(3)因为lg =x,所以10x=10-3,所以x=-3.
探究点三
例3 (1)3 (2)0 (3)-2 (4)1 (5) [解析] (1)设log464=x,则4x=64=43,得x=3,即log464=3.
(2)log530=log51=0.
(3)设lg 0.01=y,则10y=0.01=10-2,得y=-2,即lg 0.01=-2.
(4)设log1212=z,则12z=12,得z=1,即log1212=1.
(5)==.
变式 (1)①2 ②625 (2)①4 ② [解析] (1)①x==2.
②∵log3[log4(log5x)]=0,∴log4(log5x)=30=1,∴log5x=4,∴x=54=625.
(2)①=(==4.
②原式=×=3×(3-1=3×()-1=3×2-1=.第四章 对数运算与对数函数
§1 对数的概念
1.B [解析] 23=8化为对数式得log28=3,故选B.
2.D [解析] 由log3a=2,得a=32=9,故选D.
3.C [解析] 由式子log(3x-1)(2-x)有意义,得解得4.D [解析] ln(ln e)=ln 1=0,A错误;lg(lg 10)=lg 1=0,B错误;若log4x=-2,则x=4-2=,C错误;若3x=8,则x=log38,D正确.故选D.
5.B [解析] 由对数的定义,将已知的对数式转化为指数式,可得y=x7z.
6.D [解析] ∵log7[log3(log2x)]=0,∴log3(log2x)=1,∴log2x=3,∴x=8,∴==.故选D.
7.D [解析] ∵正实数a,b满足logab=2,a≠1,∴a2=b,又ab=ba,∴=a2a,即a2=2a,解得a=2或a=0(舍去),∴b=4,故ab=8,故选D.
8.AB [解析] lg 10=log1010=1,①是真命题;根据指数式和对数式的互化可知②是真命题;lg(ln e)=lg 1=0,③是假命题;ln(lg 10)=0,④是假命题.故选AB.
9.AD [解析] 令logab=x,则logab+=可化为x+=,解得x=2或x=.当logab=时,得a=b2,A正确;当logab=2时,可得a2=b,D正确.故选AD.
10.lg 3 [解析] 令10x=3,则x=lg 3,所以f(3)=lg 3.
11.24 [解析] 因为log2(log4X)=log3(log2Y)=1,所以log4X=2,log2Y=3,所以X=42=16,Y=23=8,所以X+Y=16+8=24.
12.x=或x=16 [解析] 令log4x=t,则原方程化为2t2-t-6=0,得(2t+3)(t-2)=0,∴t=2或t=-,即log4x=2或log4x=-,解得x=16或x=,∴方程2(log4x)2-log4x=6的解是x=或x=16.
13.解:由对数的定义,得(1)log327=3.
(2)log4=-.
(3)=.
(4)10-1=0.1.
14.解:(1)①由lox=-3可得x==33=27.
②由logx64=4可得x4=64,
又x>0且x≠1,所以x=2.
③由lg 0.000 01=x得lg 10-5=x,
即10x=10-5,所以x=-5.
(2)2ln e+lg 1+-log216=21+2-4=0.
15.lg 5 [解析] 方法一:令t=ex,则x=ln t,所以f(t)=ln t·lg 5,即f(x)=ln x·lg 5,所以f(1)+f(e)=ln 1×lg 5+ln e×lg 5=0×lg 5+1×lg 5=lg 5.
方法二:令ex=1,则x=0,令ex=e,则x=1,所以f(1)+f(e)=0×lg 5+1×lg 5=lg 5.
16.解:由log4{2log2[1+log2(1+log2x)]}=,得2log2[1+log2(1+log2x)]=2,∴log2[1+log2(1+log2x)]=1,∴1+log2(1+log2x)=2,则log2(1+log2x)=1,∴1+log2x=2,∴log2x=1,∴x=2.第四章 对数运算与对数函数
§1 对数的概念
【学习目标】
1.掌握对数式和对数运算的概念,灵活运用指数式与对数式的互化进行简单的对数运算.
2.掌握常用对数和自然对数的概念.
3.掌握指数式与对数式的联系,理解对数式的含义、熟练进行对数运算,通过对数运算的学习,提升数学抽象、数学运算等核心素养.
◆ 知识点一 对数的概念
1.对数定义
一般地,如果a(a>0且a≠1)的b次幂等于N,即 ,那么数b称为以a为底N的 ,记作 ,其中a叫作对数的底数,N叫作 .
2.两类特殊的对数
当对数的底数a=10时,通常称之为 ,并将log10N简记为lg N;以无理数e=2.718 281…为底数的对数叫作 ,并将logeN简记为ln N.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)负数和零没有对数. ( )
(2)loga1=0(a>0且a≠1). ( )
(3)logaa=1(a>0且a≠1). ( )
(4)loga=-1(a>0且a≠1). ( )
(5)lg 10=1. ( )
(6)(-2)3=-8可化为log(-2)(-8)=3. ( )
◆ 知识点二 指数式与对数式的关系
【诊断分析】 依据指数式与对数式的关系,=N(a>0且a≠1)正确吗
◆ 探究点一 指数式与对数式
例1 (1)在对数式b=log(a-2)(5-a)中,实数a的取值范围是 ( )
A.a>5或a<2 B.2C.2(2)将下列指数式与对数式互化:
①log416=2;②lo9=-2;③lox=3;④44=256;⑤2-3=.
变式 (多选题)[2024·江西抚州金溪一中高一期中] 下列指数式与对数式的互化正确的是 ( )
A.e0=1与ln 1=0
B.=与log27=-
C.log24=2与=2
D.log55=1与51=5
◆ 探究点二 利用指数式与对数式的关系求值
例2 求下列各式中x的值:
(1)logx3=;
(2)log64x=-;
(3)lo(2x2-4x+1)=1.
变式 (1)若log27x=-,则x= ;
(2)若logx16=-4,则x= ;
(3)若lg =x,则x= .
[素养小结]
利用指数式与对数式的关系求值时,关键是先根据对数的定义将对数式改为指数式,再利用指数运算得出相应的值.
◆ 探究点三 利用对数性质与对数恒等式求值
例3 求下列各式的值:
(1)log464= ;(2)log530= ;
(3)lg 0.01= ;(4)log1212= ;
(5)= .
变式 (1)①若=x,则x= .
②若log3[log4(log5x)]=0,则x= .
(2)计算:①= .
②= .
[素养小结]
利用对数的性质及恒等式求值时,关键是熟悉性质,如有多重对数式的求值应先由内到外或由外到内逐步脱去“log”后再求解,而对于不能直接利用对数恒等式=N的首先要借助指数幂的运算性质,将其变形为能直接运用对数恒等式的情况求值.第四章 对数运算与对数函数
§1 对数的概念
一、选择题(本大题共9小题,每小题5分,共45分)
1.[2024·黑龙江哈尔滨九中高一期中] 将23=8化为对数式,则正确的对数式是 ( )
A.log23=8 B.log28=3
C.log82=3 D.log32=8
2.已知log3a=2,则a= ( )
A.6 B.7
C.8 D.9
3.[2024·贵州贵阳清镇博雅实验学校高一月考] 使式子log(3x-1)(2-x)有意义的x的取值范围是 ( )
A.x>2
B.C.D.x<2
4.下列结论中,正确的是 ( )
A.ln(ln e)=1
B.lg(lg 10)=10
C.若log4x=-2,则x=
D.若3x=8,则x=log38
5.若logx=z,其中x>0且x≠1,y>0,则 ( )
A.y7=xz B.y=x7z
C.y=7xz D.y=z7x
6.已知log7[log3(log2x)]=0,那么= ( )
A. B.
C. D.
7.已知正实数a,b满足ab=ba,且logab=2,a≠1,则ab= ( )
A. B.2 C.4 D.8
8.(多选题)给出下列四个命题:①lg 10=1;②若2x=N,则x=log2N;③lg(ln e)=1;④ln(lg 10)=1.其中真命题是 ( )
A.① B.② C.③ D.④
9.(多选题)已知a,b均为不等于1的正实数,若logab+=,则a,b满足的关系可能是 ( )
A.a=b2 B.a=5b2
C.5a2=b D.a2=b
二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
10.已知f(10x)=x,则f(3)= .
11.[2024·宁夏吴忠秦宁中学高一月考] 若log2(log4X)=log3(log2Y)=1,则X+Y的值为 .
12.方程2(log4x)2-log4x=6的解是 .
三、解答题(本大题共2小题,共20分)
13.(10分)互化下列的指数式与对数式:
(1)33=27;(2)=;
(3)ln =;(4)lg 0.1=-1.
14.(10分)(1)求下列各式中的x的值:
①lox=-3;②logx64=4(x>0且x≠1);③lg 0.000 01=x.
(2)计算:2ln e+lg 1+-log216.
15.(5分)已知f(ex)=xlg 5,则f(1)+f(e)= .
16.(15分)若log4{2log2[1+log2(1+log2x)]}=,求x的值.(共24张PPT)
§1 对数的概念
◆ 课前预习
◆ 课中探究
◆ 备课素材
◆ 备用习题
【学习目标】
1.掌握对数式和对数运算的概念，灵活运用指数式与对数式的互化进行简
单的对数运算.
2.掌握常用对数和自然对数的概念.
3.掌握指数式与对数式的联系，理解对数式的含义、熟练进行对数运算，
通过对数运算的学习，提升数学抽象、数学运算等核心素养.
知识点一 对数的概念
1.对数定义
一般地，如果且的次幂等于,即________,那么数称为以 为
底的______，记作__________,其中叫作对数的底数， 叫作______.
对数
真数
2.两类特殊的对数
当对数的底数时，通常称之为__________,并将简记为 ;以无理
数为底数的对数叫作__________,并将简记为 .
常用对数
自然对数
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）负数和零没有对数.( )
√
（2）且 .( )
√
（3）且 .( )
√
（4）且 .( )
√
（5） .( )
√
（6）可化为 .( )
×
知识点二 指数式与对数式的关系
【诊断分析】
依据指数式与对数式的关系，且 正确吗？
解：正确.若，则，将②代入①得 .
探究点一 指数式与对数式
例1（1） 在对数式中，实数 的取值范围是( )
C
A.或 B.
C.或 D.
[解析] 由题意得解得或 .故选C.
（2）将下列指数式与对数式互化:
① ;
解：,化为指数式是 .
② ;
解：,化为指数式是 .
③ ;
解：,化为指数式是 .
④ ;
解：,化为对数式是 .
⑤ .
解：,化为对数式是 .
变式 （多选题）[2024·江西抚州金溪一中高一期中] 下列指数式与对数式的
互化正确的是( )
ABD
A.与 B.与
C.与 D.与
[解析] 根据指数式与对数式的互化公式且 可
知，A，B，D正确；
对于C，化为指数式是 ，故C错误.故选 .
探究点二 利用指数式与对数式的关系求值
例2 求下列各式中 的值：
（1） ；
解：由，得，所以 .
（2） ；
解：由，得，所以 .
（3） .
解：由，得，解得 或.
当时， ，舍去；
当时，， ，符合题意．
综上， .
变式（1） 若，则 __；
[解析] 因为，所以 .
（2）若，则 __；
[解析] 因为，所以，即 .
所以，又,且，所以，即 .
（3）若，则 ____.
[解析] 因为，所以，所以 .
［素养小结］
利用指数式与对数式的关系求值时，关键是先根据对数的定义将对数式改为指
数式，再利用指数运算得出相应的值.
探究点三 利用对数性质与对数恒等式求值
例3 求下列各式的值：
（1） ___；
3
[解析] 设,则,得，即 .
（2） ___；
0
[解析] .
（3） ____；
[解析] 设,则，得，即 .
（4） ___；
1
[解析] 设，则，得，即 .
（5） __.
[解析] .
变式 （1）①若,则 ___.
2
[解析] .
②若,则 _____.
625
[解析] ,, ,
.
（2） 计算:
① ___.
4
[解析] .
② ___.
[解析] 原式 .
［素养小结］
利用对数的性质及恒等式求值时，关键是熟悉性质，如有多重对数式的求值应
先由内到外或由外到内逐步脱去“ ”后再求解，而对于不能直接利用对数恒等
式 的首先要借助指数幂的运算性质，将其变形为能直接运用对数恒
等式的情况求值.
对数式可看作一种记号，表示关于 的方程
的解；也可看作一种运算，即已知底数为 ，
幂为，求幂指数的运算，因此，对数式 又可看作幂运
算的逆运算.
1.不等式法
对数式成立的条件是:（1）底数且;（2）真数 .要使对数
式有意义，上述条件缺一不可，因此，对于一些含参的对数式，求参数的取值
范围时，往往解由上述条件所构成的不等式（组）即可.
例1 已知，求实数 的取值范围.
解: 由题意得解得且 .
处理对数的概念题主要有两种方法:不等式法和定义法.其中将对数式与指数式进
行互化的主要依据是对数的定义.
2.定义法
由对数的定义知（其中且, ）,利用上述结
论能顺利实现对数式与指数式的互化.需强调的是，所有的对数式都能化为指数
式，但并非所有的指数式都能直接化为对数式,如 就不能直接写成
,只有符合且,时，才有 .
例2 互化下列的指数式与对数式：
（1） ；
解：由,得 .
（2） .
解：由，得 .