§2 对数的运算
2.1 对数的运算性质
【课前预习】
知识点
(1)logaM+logaN (2)logaM-logaN
诊断分析
(1)× (2)× (3)× (4)√
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)loga(xyz)=logax+logay+logaz.
(2)loga=loga(xy2)-logaz=logax+logay2-logaz=logax+2logay-logaz.
(3)loga=loga(y)-loga=loga+logay-loga=logax+logay-logaz.
(4)loga=loga(x5y3)-logaz2=logax5+logay3-2logaz=5logax+3logay-2logaz.
变式 A [解析] 由2a=log28得2a=3,所以a=log23,又b=log2,所以a+b=log23+log2=log21=0,所以+==0.故选A.
探究点二
例2 解:(1)原式=lg=lg 104=4.
(2)原式===.
(3)原式=2log32-(log332-log39)+3log32-3=5log32-(5log32-2)-3=-1.
变式 解:(1)原式=(5lg 2-2lg 7)-×lg 2+(2lg 7+lg 5)=lg 2-lg 7-2lg 2+lg 7+lg 5=lg 2+lg 5=(lg 2+lg 5)=lg 10=.
(2)原式=+()-1=1-1=0.
(3)原式=3lg 5·(1+lg 2)+3(lg 2)2-lg 6+lg 6-2=3lg 2·(lg 5+lg 2)+3lg 5-2=3-2=1.
拓展 解:10x=lg(10m)+lg =lg=lg 10=1,所以x=0.
探究点三
例3 解:(1)∵lg 2=m,lg 3=n,∴10m=2,10n=3,
∴100m-2n=(102)m-2n=102m-4n====.
(2)∵3b=5,∴b=log35.又log32=a,∴log3=log3(2×3×5)=(log32+log33+log35)=(a+b+1).
变式 (1)D (2)B [解析] (1)由5m=9得m=log59=log532=2log53,∴log53=.故选D.
(2)log5270=log527+log510=3log53+log52+1=3a++1.故选B.§2 对数的运算
2.1 对数的运算性质
1.B [解析] (log312-2log32)=(log6+log63)(log312-log322)=log6(2×3)×log3=log66×log33=1×1=1.故选B.
2.A [解析] 根据对数的运算性质logaMb=blogaM(M>0,a>0,且a≠1)知③与⑤正确.故选A.
3.C [解析] ∵lg x=lg a+3lg b-5lg c=lg a+lg b3-lg c5=lg,∴x=.故选C.
4.B [解析] 因为3a=4,所以log34=a,又因为b=log3,所以a+b=log34+log3=log39=log332=2.故选B.
5.D [解析] ∵lg a,lg b是方程6x2-4x-3=0的两根,∴lg a+lg b=,lg a·lg b=-,
∴=(lg b-lg a)2=(lg b+lg a)2-4lg a·lg b=-4×=,故选D.
6.C [解析] ===.
7.C [解析] pH=-lg(1.25×10-3)=-(lg 1.25-3)=3-lg=2+3lg 2=2+3a.故选C.
8.BCD [解析] 对于A选项,若logaM=logaN,则M=N>0,说法正确;对于B选项,当M=N≤0时结论不成立,说法错误;对于C选项,若logaM2=logaN2,则M2=N2>0,M=N不一定成立,说法错误;对于D选项,当M=N=0时结论不成立,说法错误.故选BCD.
9.AC [解析] ===1,A成立;===1,B不成立;
lg 14-2lg+lg 7-lg 18=(lg 7+lg 2)-(2lg 7-2lg 3)+lg 7-(2lg 3+lg 2)=0,C成立;(lg 2)2+lg 2·lg 5
+lg 5=lg 2(lg 2+lg 5)+lg 5=lg 2+lg 5=1,D不成立.故选AC.
10.a+b [解析] log76=log72+log73=a+b.
11.4 [解析] 因为log2x+log2(x-3)=log24,所以log2[x(x-3)]=log24,即x(x-3)=4,解得x=4或x=-1,又因为对数的真数大于0,即 x>3,所以x=4.
12. [解析] 因为m=4log32,所以=====.
13.解:(1)ln =ln x+ln y-ln z.
(2)ln(x2y4z3)=ln x2+ln y4+ln z3=2ln x+4ln y+3ln z.
(3)ln(×)=ln +ln =ln x+ln y+ln z.
14.解:(1)log3+lg 125+lg 8++log1251+log77
=log3+lg(125×8)+2+=+lg 1000+2+=+3+2+=7.
(2)4lg 5+lg 16+2ln-=4lg 5+lg 24+2ln -
=4(lg 5+lg 2)+-=4+-=4.
(3)(lg 2)3+(lg 5)3+3lg 2×lg 5=(lg 2+lg 5)×[(lg 2)2-lg 2×lg 5+(lg 5)2]+3lg 2×lg 5
=(lg 2)2-lg 2×lg 5+(lg 5)2+3lg 2×lg 5=(lg 2)2+2lg 2×lg 5+(lg 5)2=(lg 2+lg 5)2=12=1.
15.9 [解析] 由b3+log3b=-得b3+3log3b=-,即b3+log3b3=+log3b3=-,则+log3b3+=0.由3a-2+a=得3a-2+a-2=-,即3a-2+a-2+=0.构造函数f(x)=3x+x+,因为f(x)在R上单调递增,所以f(log3b3)=f(a-2)=0,则log3b3=a-2,所以3a-2=b3,所以=32=9.
16.解:(1)∵a2+b2=c2,∴log2+log2=log2=
log2=log2=log2=1.
(2)由log4=1,得1+=4,即3a-b-c=0.由log8(a+b-c)=,得a+b-c==4.
又a2+b2=c2,且a,b,c∈N*,∴a=6,b=8,c=10.§2 对数的运算
2.1 对数的运算性质
【学习目标】
1.掌握对数的运算性质.
2.理解对数运算性质的推导过程.
3.通过推导对数运算性质的过程,提升数学运算的核心素养.
◆ 知识点 对数的运算性质
若a>0,且a≠1,M>0,N>0,b∈R,则有
(1)loga(M·N)= ;
(2)loga= ;
(3)logaMb=blogaM.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)loga(M·N)=logaM·logaN,其中a>0,且a≠1,M>0,N>0. ( )
(2)loga(M±N)=logaM±logaN,其中a>0,且a≠1,M>0,N>0. ( )
(3)logaM·logaN=loga(M+N),其中a>0,且a≠1,M>0,N>0. ( )
(4)log2=-2. ( )
◆ 探究点一 对数的运算性质
例1 已知a>0且a≠1,x>0,y>0,z>0,用logax,logay,logaz表示下列各式:
(1)loga(xyz); (2)loga;
(3)loga; (4)loga.
变式 [2024·广东两阳中学高一月考] 若2a=log28,b=log2,则+= ( )
A.0 B.2 C.4 D.8
[素养小结]
利用对数的运算性质解题时,一定要注意真数的取值范围是(0,+∞).公式可以逆用.
◆ 探究点二 利用对数运算性质求值
例2 计算:(1)4lg 2+3lg 5-lg;
(2);
(3)2log32-log3+log38-.
变式 计算:
(1)lg-lg+lg;
(2)+;
(3)lg 5·(lg 8+lg 1000)+(lg )2+lg+lg 0.06.
[素养小结]
利用对数的运算性质求值时,一般有两个思路:
(1)正用公式:将式中真数的积、商、幂运用对数的运算性质化为对数的和、差、积,然后化简求值;
(2)逆用公式:将式中对数的和、差、积运用对数的运算性质化为真数的积、商、幂,然后化简求值.
拓展 已知m>0,且10x=lg(10m)+lg ,求实数x的值.
◆ 探究点三 条件求值与化简
例3 (1)已知lg 2=m,lg 3=n,求100m-2n的值.
(2)已知log32=a,3b=5,用a,b表示log3.
变式 (1)设5m=9,则log53= ( )
A. B. C.m D.
(2)已知log53=a,log54=b,则log5270可表示为 ( )
A.ab B.3a++1
C.3a+ D.a3++1
[素养小结]
条件求值与化简的基本原则和方法:①正用或逆用对数运算性质;②对真数进行处理,要么把已知条件的真数化简,要么化简所求对数的真数.§2 对数的运算
2.1 对数的运算性质
一、选择题(本大题共9小题,每小题5分,共45分)
1.(log312-2log32)=( )
A.0 B.1
C.2 D.4
2.若a>0,且a≠1,x>0,n∈N*,给出下列各式:
①(logax)n=nlogax;
②(logax)n=logaxn;
③logax=-loga;
④=logax;
⑤=loga.
其中正确的个数为 ( )
A.2 B.3
C.4 D.5
3.如果lg x=lg a+3lg b-5lg c,其中,x>0,a>0,b>0,c>0,那么 ( )
A.x=a+3b-c
B.x=
C.x=
D.x=a+b3+c3
4.[2024·北京西城区高一期末] 已知3a=4,b=log3,则a+b= ( )
A.9 B.2
C. D.-2
5.已知lg a,lg b是方程6x2-4x-3=0的两根,则= ( )
A. B. C. D.
6.若lg 2=m,lg 3=n,则= ( )
A. B.
C. D.
7.[2024·山西太原外国语学校、成成中学高一月考] 常用pH来表示溶液酸碱度,pH的计算公式为pH=-lg[H+],其中[H+]表示溶液中氢离子的浓度,单位是摩尔/升.经检测某饮料中氢离子的浓度为1.25×10-3摩尔/升,令lg 2=a,则此饮料的pH是 ( )
A.2+2a B.3+2a
C.2+3a D.3+3a
8.(多选题)若a>0,a≠1,则下列说法错误的是 ( )
A.若logaM=logaN,则M=N
B.若M=N,则logaM=logaN
C.若logaM2=logaN2,则M=N
D.若M=N,则logaM2=logaN2
9.(多选题)下列等式成立的是 ( )
A.=1
B.=2
C.lg 14-2lg +lg 7-lg 18=0
D.(lg 2)2+lg 2·lg 5+lg 5=2
二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
10.若log72=a,log73=b,则log76= .(用a,b表示)
11.方程log2x+log2(x-3)=2的解为x= .
12.若实数m=4log32,则= .
三、解答题(本大题共2小题,共20分)
13.(10分)用ln x,ln y,ln z表示下列各式:
(1)ln ;(2)ln(x2y4z3);(3)ln(×).
14.(10分)计算下列各式的值:
(1)log3+lg 125+lg 8++log1251+log77;
(2)4lg 5+lg 16+2ln-;
(3)(lg 2)3+(lg 5)3+3lg 2×lg 5.
15.(5分)[2024·四川凉山安宁河联盟高一期末] 已知实数a,b满足3a-2+a=,b3+log3b=-,则= .
16.(15分)已知a,b,c∈N*,且满足a2+b2=c2.
(1)求log2+log2的值;
(2)若log4=1,log8(a+b-c)=,求a,b,c的值.(共24张PPT)
§2 对数的运算
2.1 对数的运算性质
◆ 课前预习
◆ 课中探究
◆ 备课素材
◆ 备用习题
【学习目标】
1.掌握对数的运算性质.
2.理解对数运算性质的推导过程.
3.通过推导对数运算性质的过程，提升数学运算的核心素养.
知识点 对数的运算性质
若，且，,, ,则有
（1） _______________;
（2） _______________;
（3） .
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）,其中,且,， .( )
×
（2）,其中,且,， .( )
×
（3）,其中,且,, .( )
×
（4） .( )
√
探究点一 对数的运算性质
例1 已知且，，，，用,, 表示下
列各式:
（1） ;
解： .
（2） ;
解：
.
（3） ;
解： .
（4） .
解： .
变式 [2024·广东两阳中学高一月考] 若，，则 ( )
A
A.0 B.2 C.4 D.8
[解析] 由得，所以，又 ，
所以，所以 .故选A.
［素养小结］
利用对数的运算性质解题时，一定要注意真数的取值范围是 .公式可以逆用.
探究点二 利用对数运算性质求值
例2 计算：
（1） ；
解：原式 .
（2） ；
解：原式 .
（3） .
解：原式
.
变式 计算：
（1） ；
解：原式 .
（2） ；
解：原式 .
（3） .
解：原式 .
［素养小结］
利用对数的运算性质求值时，一般有两个思路：
（1）正用公式：将式中真数的积、商、幂运用对数的运算性质化为对数的和、
差、积，然后化简求值；
（2）逆用公式：将式中对数的和、差、积运用对数的运算性质化为真数的积、
商、幂，然后化简求值.
拓展 已知，且，求实数 的值.
解： ，所以 .
探究点三 条件求值与化简
例3（1） 已知,,求 的值.
解：,,, ，
.
（2）已知，，用，表示 .
解：，.又 ，
变式（1） 设，则 ( )
D
A. B. C. D.
[解析] 由得， .故选D.
（2）已知，，则 可表示为( )
B
A. B. C. D.
[解析] .故选B.
［素养小结］
条件求值与化简的基本原则和方法：①正用或逆用对数运算性质；②对真数进
行处理，要么把已知条件的真数化简，要么化简所求对数的真数.
（1）在对数的运算性质中，各个字母都有一定的取值范围（如取 ,
,，，， ），只有当式子中所有的对数符号都
有意义时，等式才成立.如是存在的，但与
均不存在，故不能写成 .
（2）有时逆向运用运算性质，可达到简化的目的.如 .
1.“合”“分”策略
对于同底的对数的化简，常用策略有两种：
（1）“合”：将同底的多个对数的和（差）合成积（商）的对数；
（2）“分”：将积（商）的对数分成若干个对数的和（差）.
（2） .
解：原式 .
例1 计算：
（1） ；
解：方法一：原式
.
方法二：原式 .
2.条件求值
对于带附加条件的指数、对数问题，在求解的过程中要根据问题的需要，分析
附加条件和待求式子之间的差异，关键是消除差异，这就要把指数式化为对数
式或把对数式化为指数式等.
例2 已知，， ，则
的值为____.
[解析] 由题意，设，则, ,
，所以，得 ，
即，可得或 （舍）.
因为，所以 .
