3.3 对数函数y=logax的图象和性质
第1课时 对数函数y=logax的图象和性质
【课前预习】
知识点一
(0,+∞) R (1,0) 增函数 减函数 y>0 y>0
诊断分析
解:函数y=logax的图象与y=lox的图象关于x轴对称.
知识点二
诊断分析
1.解:将不同底数的对数函数的图象画在同一个平面直角坐标系中,沿直线y=a(a<0)自左向右看,对数函数的底数逐渐减小.
2.解:不一定.当x>1时,有log2x>log3x;当x=1时,有log2x=log3x=0;当0
【课中探究】
探究点一
提问 解:若函数y=log3(x-1)有意义,则x>1.
例1 (1)(-∞,0) (2)[-3,+∞) [解析] (1)要使函数有意义,需满足>0,即1-3x>0,∴3x<1=30,∴x<0,∴函数y=log2的定义域为(-∞,0).
(2)因为函数y=lox在(0,8]上是减函数,所以lox≥lo8=-3,故函数的值域为[-3,+∞).
变式 (1)C (2)3 [解析] (1)由已知得a-lg x≥0的解集为(0,10],由a-lg x≥0,得lg x≤a,又当0(2)当a>1时,f(x)在区间[2,3]上单调递增,∴f(x)的最大值是f(3)=1,则loga3=1,∴a=3>1,∴a=3符合题意.当01,∴a=2不合题意.综上,a=3.
拓展 解:若01,则由题意可得3a-1>1,所以a>1.
综上,a>1或探究点二
提问 解:可以.只需将真数(x+b)看成一个整体,令x+b=1,得x=1-b,所以形如y=loga(x+b)+c(a>0且a≠1)的函数图象过定点(1-b,c).
例2 (1)ABC (2)A [解析] (1)由题图得a>1>c>b>0,即b(2)当0当a>1时,y=ax与y=lox的图象如图②所示,故选A.
① ②
变式 (1)C (2)BC [解析] (1)f(x)=1+log2x的图象由函数y=log2x的图象向上平移1个单位长度得到,所以函数f(x)的图象过点(1,1),且f(x)为增函数.函数g(x)=21-x=2×,其图象经过点(0,2),且g(x)为减函数.故选C.
(2)曲线为y=logax的图象,直线为y=bx+a的图象.对于A,由y=logax的图象知a>1,由y=bx+a的图象知01,由y=bx+a的图象知a>1,所以B项正确.对于C,由y=logax的图象知01,矛盾,所以D项错误.故选BC.
探究点三
提问 增函数 减函数
例3 (1)D (2)B [解析] (1)∵01,log0.23<0,∴log23>log32>log0.23,即b>a>c.
(2)方法一:结合题意,画出函数y=logax,y=logbx的大致图象,如图所示.再由对数函数的图象可知0方法二:由已知得<<0,则0>log2a>log2b,即log21>log2a>log2b.∵y=log2x在定义域上为增函数,∴0变式 (1)D (2)ABC [解析] (1)因为a=log0.62<0,b=log67>1,0c>a.故选D.
(2)因为y=x3是R上的增函数,0.8>0.7,所以0.83>0.73,又y=ln x在(0,+∞)上是增函数,所以ln 0.83>ln 0.73,故A正确;因为y=lg x是(0,+∞)上的增函数,1.6>1.4,所以lg 1.6>lg 1.4,故B正确;因为y=log0.5x是(0,+∞)上的减函数,0.4<0.6,所以log0.50.4>log0.50.6,故C正确;因为1探究点四
例4 (1)(0,2) [解析] 由题意可得解得0(2)解:由题意,当01时,原不等式等价于解得即所以当0当a>1时,原不等式的解集为.
变式 (1)A [解析] 当a>1时,loga(2)解:原不等式等价于解得所以原不等式的解集为{x|0第1课时 对数函数y=logax的图象和性质
1.C [解析] 由>0得x<1,所以f(x)的定义域为{x|x<1}.故选C.
2.A [解析] 令x+4=1,得x=-3,∴g(x)=loga(x+4)+1的图象过定点(-3,1).故选A.
3.C [解析] 由指数函数的性质可知,函数y=0.75x为减函数.又因为-0.1<0.1,所以0.75-0.1>0.750.1.故选C.
4.A [解析] 因为函数f(x)=lg x+x的定义域为,且y=lg x,y=x在内单调递增,所以f(x)在内单调递增,可知f(x)在内的最小值为f=-,最大值为f(10)=11,所以f(x)的值域为.故选A.
5.C [解析] 根据函数f(x)=loga(x+b)的图象,可得06.B [解析] 由已知可得=2a,=log3b,=log2c,在同一个平面直角坐标系中作出y=(x>0),y=2x,y=log2x,y=log3x的图象,如图所示.易知y=2x,y=log3x,y=log2x的图象与y=(x>0)的图象交点的横坐标分别为a,b,c,由图可得b>c>a,故选B.
7.D [解析] 由题可知a>0且a≠1,∵a2+1-2a=(a-1)2>0,∴a2+1>2a>0,∵loga(a2+1)>loga(2a)>0=loga1,∴y=logax是增函数,∴a>1.故选D.
8.AD [解析] 当a>1时,y=logax在(0,+∞)上是增函数,所以loga(3a)-logaa=2,即loga3=2,所以a=.当09.ABD [解析] 对于A,由指数函数和对数函数的图象知a>1,而由一次函数的图象知a<1,两者矛盾,故A不符合;对于B,因为函数y=ax与y=logax的图象关于直线y=x对称,而B中图象显然均不关于直线y=x对称,所以B不符合;对于C,当01,两者矛盾,故D不符合.故选ABD.
10. [解析] 要使函数y=有意义,需满足可得-11. [解析] ∵2(log0.5x)2-7log0.5x+3≤0,∴≤log0.5x≤3,即log0.5≤log0.5x≤log0.5,解得≤x≤.
12. [解析] ∵f(x)=在R上是增函数,∴解得≤a<5,即a∈.
13.解:(1)因为函数y=log0.1x是减函数,且π>3,
所以log0.13>log0.1π.
(2)方法一:因为函数y=log4x和y=log6x都是增函数,所以log45>log44=1,log65log65.
方法二:在同一平面直角坐标系中画出y=log4x和y=log6x的图象,如图所示,由图可知log45>log65.
(3)因为3log45=log453=log4125==log2125=log2,2log23=log232=log29,且函数y=log2x是增函数,>9,
所以log2>log29,即3log45>2log23.
(4)因为a+21时,loga(a+2)loga(a+3).
14.解:(1)根据题意,要使函数f(x)=loga(x+1)+loga(4-x)(0(2)由(1)知,函数f(x)的定义域为(-1,4),且函数f(x)=loga[(x+1)(4-x)](0由f(t)≤loga(3t),可得解得015.D [解析] 由题知x>0,y>0,∵log2x+e-y1,∴ln|y-x+1|>0,故选D.
16.解: f(x)=loga(x-2a)+loga(x-3a)=loga[(x-2a)(x-3a)]≤1=logaa.由得x>3a,则f(x)的定义域为(3a,+∞).由题意得a+3-3a>0,解得a<.当0因为>,所以(*)与1综上所述,a∈(0,1).3.3 对数函数y=logax的图象和性质
第1课时 对数函数y=logax的图象和性质
【学习目标】
1.掌握对数函数y=logax(a>0且a≠1)的图象与性质.
2.会应用对数函数的图象与性质识图、比较大小、求定义域等.
◆ 知识点一 对数函数的图象和性质
函数 y=logax(a>1) y=logax(0图象
性 质 定义域
值域
过定点
单调性 在(0,+∞)上为 在(0,+∞)上为
函数值 变化 当x>1时, 当x>1时,y<0
当0【诊断分析】 已知a>0且a≠1,则函数y=logax的图象与y=lox的图象关于什么对称
◆ 知识点二 底数对对数函数图象的影响
图中的四条曲线分别为四个对数函数y=logax,y=logbx和y=logcx,y=logdx的图象,则b>a>1>d>c>0.
【诊断分析】 1.将不同底数的对数函数的图象画在同一个平面直角坐标系中,若沿直线y=a(a<0)自左向右观察能得到什么结论
2.当a>1时,函数y=logax是增函数,则对任意的x>0,一定有log2x◆ 探究点一 与对数函数有关的定义域与值域
[提问] 若函数y=log3(x-1)有意义,则x应满足什么
例1 (1)函数y=log2的定义域为 .
(2)函数y=lox,x∈(0,8]的值域为 .
变式 (1)[2024·江西新余四中高一月考] 函数f(x)=的定义域为(0,10],则实数a的值为 ( )
A.0 B.10 C.1 D.
(2)若函数f(x)=logax(a>0且a≠1)在[2,3]上的最大值为1,则a= .
[素养小结]
与对数函数有关的定义域、值域问题在求解时要注意对数的性质,即真数大于0,底数大于0且不等于1,底数不确定时,还要对底数a按照a>1,0拓展 已知a>0且a≠1,若loga(3a-1)>0恒成立,求a的取值范围.
◆ 探究点二 对数函数的图象
[提问] 对数函数的图象恒过点(1,0),利用对数函数的图象过定点可以处理形如y=loga(x+b)+c(a>0且a≠1)的函数图象过定点的问题吗
例2 (1)(多选题)如图所示的平面直角坐标系中有三个对数函数的图象,则下列结论正确
的是 ( )
A.a>1
B.0C.2b<2c<2a
D.c(2)函数y=ax与y=lox(a>0且a≠1)(a>0且a≠1)在同一平面直角坐标系中的图象可能是 ( )
A B C D
变式 (1)函数f(x)=1+log2x与g(x)=21-x在同一个平面直角坐标系中的图象大致是 ( )
A B C D
(2)(多选题)函数y=bx+a与y=logax(a>0且a≠1)在同一平面直角坐标系中的图象可能为 ( )
A B C D
[素养小结]
处理对数函数图象问题的3个注意点:
(1)明确图象的分布区域.对数函数的图象分布在第一、四象限.当x趋近于0时,函数图象会越来越靠近y轴,但永远不会与y轴相交.
(2)建立分类讨论的思想.在画对数函数图象之前要先判断对数的底数a的取值范围是a>1,还是0(3)牢记特殊点.对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象经过点(1,0),(a,1)和.
◆ 探究点三 比较大小
[提问] 当a>1时,y=logax为 ,当0例3 (1)已知a=log32,b=log23,c=log0.23,则 ( )
A.aC.b(2)若loga2A.0C.a>b>1 D.b>a>1
变式 (1)已知a=log0.62,b=log67,c=0.23,则 ( )
A.a>b>c B.b>a>c
C.c>a>b D.b>c>a
(2)(多选题)下列各式中正确的是 ( )
A.ln 0.83>ln 0.73
B.lg 1.6>lg 1.4
C.log0.50.4>log0.50.6
D. log23>log0.50.2
[素养小结]
比较对数式的大小,主要依据对数函数的单调性.
(1)若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接比较.
(2)若底数不同,真数相同,则可以先用对数换底公式化为相同底数的对数后,再进行比较.也可以利用在第一象限内顺时针方向底数增大的规律画出函数的图象,再进行比较.
(3)若底数与真数都不同,则常借助1,0等中间量进行比较.
◆ 探究点四 解对数不等式
例4 (1)不等式lox>lo (4-x)的解集为 .
(2)解关于x的不等式loga(2x-1)0,且a≠1.
变式 (1)若loga<1,则实数a的取值范围是( )
A.∪(1,+∞) B.
C. D.
(2)解不等式2+lo(5-x)+log2>0.
[素养小结]
解对数不等式的关键在于根据对数函数的单调性将其转化为不含对数的不等式来求解.对于形如logaf(x)g(x)>0;当a>1时,可转化为0ab;当a>1时,可转化为0§3 对数函数
3.3 对数函数的图象和性质
第1课时 对数函数 的图象和性质
◆ 课前预习
◆ 课中探究
◆ 备课素材
◆ 备用习题
【学习目标】
1.掌握对数函数且 的图象与性质.
2.会应用对数函数的图象与性质识图、比较大小、求定义域等.
知识点一 对数函数的图象和性质
函数
图象 _____________________________________________ ________________________________________________
函数
性质 定义域 ________ 值域 ___ 过定点 ______ 单调性
函数值变化
增函数
减函数
续表
【诊断分析】
已知且，则函数的图象与 的图象关于什么对称？
解：函数的图象与的图象关于 轴对称.
知识点二 底数对对数函数图象的影响
图中的四条曲线分别为四个对数函数，和 ，
的图象，则 .
【诊断分析】
1.将不同底数的对数函数的图象画在同一个平面直角坐标系中，若沿直线
自左向右观察能得到什么结论？
解：将不同底数的对数函数的图象画在同一个平面直角坐标系中，沿直线
自左向右看，对数函数的底数逐渐减小.
2.当时，函数是增函数，则对任意的 ，一定有
吗？
解：不一定.当时，有；当时，有 ；
当时，有 .
探究点一 与对数函数有关的定义域与值域
［提问］ 若函数有意义,则 应满足什么
解：若函数有意义，则 .
例1（1） 函数 的定义域为________.
[解析] 要使函数有意义,需满足,即,, ,
函数的定义域为 .
（2）函数， 的值域为__________.
[解析] 因为函数在上是减函数，所以 ，故函
数的值域为 .
变式（1） [2024·江西新余四中高一月考]函数 的定义域为
,则实数 的值为( )
C
A.0 B.10 C.1 D.
[解析] 由已知得的解集为,由,得 ,
又当时,,所以 .故选C.
（2）若函数且在上的最大值为1，则 ___.
[解析] 当时，在区间上单调递增，的最大值是 ，
则，,符合题意.
当时，在区间 上单调递减，的最大值是,
则，, 不合题意.综上, .
［素养小结］
与对数函数有关的定义域、值域问题在求解时要注意对数的性质,即真数大于0,
底数大于0且不等于1，底数不确定时，还要对底数按照, 进行分
类讨论.
拓展 已知且，若恒成立，求 的取值范围.
解：若，则由题意可得，所以；
若 ，则由题意可得，所以 .
综上，或 .
探究点二 对数函数的图象
［提问］ 对数函数的图象恒过点 ，利用对数函数的图象过定点可以处
理形如且 的函数图象过定点的问题吗？
解：可以.只需将真数看成一个整体，令,得 ,
所以形如且的函数图象过定点 .
例2（1） （多选题）如图所示的平面直角坐标
系中有三个对数函数的图象，则下列结论正确的
是( )
ABC
A. B.
C. D.
[解析] 由题图得，即.而在 上是增函数，
.故选 .
（2）函数与且且 在同一平面直角坐
标系中的图象可能是( )
A
A. B. C. D.
[解析] 当时，与 的图象如图①所示，
①
当时，与 的图象如图②所示，故选A.
②
变式（1） 函数与 在同一个平面直角坐标系中的
图象大致是( )
C
A. B. C. D.
[解析] 的图象由函数 的图象向上平移1个单位长度得
到，所以函数的图象过点，且 为增函数.
函数，其图象经过点，且 为减函数.故选C.
（2）（多选题）函数与且 在同一平面直角坐
标系中的图象可能为( )
BC
A. B. C. D.
[解析] 曲线为的图象，直线为的图象.
对于A，由 的图象知，由的图象知 ，矛盾，
所以A项错误.
对于B，由的图象知，由的图象知 ，所以B项正确.
对于C，由的图象知，由的图象知 ，
所以C项正确.
对于D，由的图象知,由的图象知 ，矛盾，
所以D项错误.故选 .
［素养小结］
处理对数函数图象问题的3个注意点：
（1）明确图象的分布区域.对数函数的图象分布在第一、四象限.当 趋近于0时，
函数图象会越来越靠近轴，但永远不会与 轴相交.
（2）建立分类讨论的思想.在画对数函数图象之前要先判断对数的底数 的取值
范围是，还是 .
（3）牢记特殊点.对数函数，且的图象经过点 ，
和 .
探究点三 比较大小
［提问］ 当时，为________，当时，
为________，运用此单调性可以比较一些对数式的大小.
增函数
减函数
例3（1） 已知,, ,则( )
D
A. B. C. D.
[解析] ，，， ，
即 .
（2）若 ,则( )
B
A. B. C. D.
[解析] 方法一：结合题意，画出函数 ,
的大致图象，如图所示.再由对数函数的图
象可知 .故选B.
方法二：由已知得 ,则
,即
在定义域上为增
函数, .
变式（1） 已知,, ，则( )
D
A. B. C. D.
[解析] 因为,, ，
所以 ．故选D.
（2）（多选题）下列各式中正确的是( )
ABC
A. B.
C. D.
[解析] 因为是上的增函数,,所以，又 在
上是增函数，所以，故A正确;
因为是 上的增函数,,所以,故B正确;
因为是 上的减函数,,所以,故C正确;
因为 ，,所以，故D错误.故选 .
［素养小结］
比较对数式的大小，主要依据对数函数的单调性.
（1）若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接比较.
（2）若底数不同，真数相同，则可以先用对数换底公式化为相同底数的对数后，
再进行比较.也可以利用在第一象限内顺时针方向底数增大的规律画出函数的图
象，再进行比较.
（3）若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较.
探究点四 解对数不等式
例4（1） 不等式 的解集为______.
[解析] 由题意可得解得.所以原不等式的解集为 .
（2）解关于的不等式,其中,且 .
解：由题意,当时,原不等式等价于解得
即.当时,原不等式等价于解得
即 .所以当时,原不等式的解集为 ,
当时,原不等式的解集为 .
变式（1） 若，则实数 的取值范围是( )
A
A. B.
C. D.
[解析] 当时，，满足题意；
当 时，因为，所以解得.
综上， .故选A.
（2）解不等式 .
解：原不等式等价于解得
所以原不等式的解集为或 .
［素养小结］
解对数不等式的关键在于根据对数函数的单调性将其转化为不含对数的不等式
来求解.对于形如的不等式，当 时，可转化为
；当时，可转化为.对于形如
的不等式可变形为，当时，可转化为 ；
当时，可转化为 .但一定要遵循“定义域优先”原则.
指数函数与对数函数的比较
名称 指数函数 对数函数
一般形式
定义域
值域
单调性
图象 数形结合
对于由指数函数、对数函数和其他函数所构成的不等式（一般称为超越不等
式），去研究解集的情况或求参数的范围，我们常画出它们的图象，数形结合
来解决.
例 已知函数且在上恒有 成立，
求实数 的取值范围.
解：要使函数且在上恒有 成立，
则在 上恒成立，
当时，且的图象恒在 的图象的上
方， .
在同一平面直角坐标系中作出 和
的大致图象（如图所示）.
当时，， ,
，
，即 ，
又， ，
实数的取值范围是 .3.3 对数函数y=logax的图象和性质
第1课时 对数函数y=logax的图象和性质
一、选择题(本大题共9小题,每小题5分,共45分)
1.函数f(x)=loga(a>0且a≠1)的定义域为 ( )
A.{x|x≠1}
B.{x|x>1}
C.{x|x<1}
D.{x|x≤1}
2.函数g(x)=loga(x+4)+1 (其中a>0且a≠1)的图象过定点 ( )
A.(-3,1) B.(2,1)
C.(-3,0) D.(3,1)
3.下列各式中不成立的是 ( )
A.30.8>30.7
B.log0.50.4>log0.50.6
C.0.75-0.1<0.750.1
D.lg 1.6>lg 1.4
4.[2024·江苏镇江高一期末] 若函数f(x)=lg x+x的定义域为,则其值域为 ( )
A. B.
C. D.[-9,11]
5.若函数f(x)=loga(x+b)(a>0且a≠1,b∈R)的大致图象如图,则函数g(x)=a-x-b的大致图象是 ( )
A B C D
6.设正实数a,b,c分别满足a·2a=b·log3b=c·log2c=1,则a,b,c的大小关系为 ( )
A.a>b>c
B.b>c>a
C.c>b>a
D.a>c>b
7.若loga(a2+1)>loga(2a)>0,则a的取值范围是 ( )
A.(0,1) B.
C. D.(1,+∞)
8.(多选题)已知函数y=logax(a>0且a≠1)在区间[a,3a]上的最大值与最小值的差为2,则a的值可能为 ( )
A. B.3
C. D.
9.(多选题)已知a>0,且a≠1,则函数y=logax,y=ax,y=x+a在同一平面直角坐标系中的图象不可能是 ( )
A B C D
二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
10.[2024·天津五十四中高一月考] 函数y=的定义域是 .
11.2(log0.5x)2-7log0.5x+3≤0的解集是 .
12.已知f(x)=是R上的增函数,则a的取值范围为 .
三、解答题(本大题共2小题,共20分)
13.(10分)比较大小:
(1)log0.13与log0.1π;
(2)log45与log65;
(3)3log45与2log23;
(4)loga(a+2)与loga(a+3)(a>0且a≠1).
14.(10分)已知函数f(x)=loga(x+1)+loga(4-x)(0(1)求f(x)的定义域;
(2)若f(t)≤loga(3t),求实数t的取值范围.
15.(5分)已知实数x,y满足log2x+e-yA.x>y
B.ln|x-y|<0
C.ln|x-y+1|>0
D.ln|y-x+1|>0
16.(15分)已知函数f(x)=loga(x-2a)+loga(x-3a)(a>0且a≠1).若f(x)≤1在[a+3,a+4]上恒成立,求实数a的取值范围.