第2课时 对数函数y=logax的性质与应用
【学习目标】
1.通过对数函数图象和性质的应用,体会数学抽象素养.
2.通过数形结合思想的应用,提升直观想象素养.
◆ 知识点 与对数函数有关的复合函数的综合
问题
对于函数y=logaf(x),它是由t=f(x),y=logat两个函数复合而成的,其单调性由t=f(x),y=logat的单调性决定,当两个函数在定义域内单调性相同(反)时,函数y=logaf(x)在定义域内是增(减)函数,即“同增异减”.而值域则往往先求出t=f(x)的值域再根据y=logat的单调性求解.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y=log2(1-x)在R上单调递减. ( )
(2)函数y=log0.5(x+1)在(-1,+∞)上单调递增. ( )
◆ 探究点一 与对数函数有关的复合函数的单调性
例1 (1)函数f(x)=lo(x2+2x-8)的单调递增区间为 ( )
A.(-1,+∞) B.(2,+∞)
C.(-∞,-4) D.(-∞,-1)
(2)已知函数f(x)=log2(x2-ax+3a)在[2,+∞)上单调递增,则a的取值范围是 ( )
A.(-∞,4] B.(-∞,2]
C.(-4,4] D.(-4,2]
变式 (1)[2024·海南中学高一月考] 函数f(x)=lg(x2-2x-8)的单调递增区间是 ( )
A.(-∞,-2) B.(-∞,1)
C.(1,+∞) D.(4,+∞)
(2)若函数f(x)=ln(x2-2ax-a)在(-∞,-2]上单调递减,则实数a的取值范围为 ( )
A. B.[-2,+∞) C. D.(-∞,-2]
[素养小结]
求形如y=logaf(x)的函数的单调区间时,首先要求出函数的定义域,再研究函数t=f(x)和函数y=logat在定义域上的单调性,最后判断出函数的单调区间.
◆ 探究点二 与对数函数有关的值域和最值
[提问] 求函数y=的定义域时要考虑哪些方面
例2 (1)求下列函数的值域:
①y=;②y=log0.5(x2+2x+5).
(2)求函数y=(lox)2-2lox+5在[2,4]上的最大值和最小值.
变式 (1)已知函数f(x)=log2x·log2(2x),x∈,则函数f(x)的最大值为 ,最小值为 .
(2)若函数f(x)=lg(2x+2-x+a-1)的值域是R,则实数a的取值范围是 .
[素养小结]
求与对数函数有关的函数的值域时,要先求出函数的定义域,明确真数的取值范围,再利用函数的单调性求解.
◆ 探究点三 与对数函数有关的复合函数的奇偶性
例3 已知函数f(x)=loga(a>0,且a≠1,b≠-2)是定义在(-2,2)上的奇函数.
(1)求f(0)和实数b的值;
(2)若f(x)满足f(t2-2)+f(3t-2)<0,求实数t的取值范围.
变式 (1)(多选题)函数f(x)=ln(x+1)-ln(1-x),则下列说法正确的是 ( )
A.f(x)的图象关于y轴对称
B.f(x)的图象关于原点对称
C.函数f(x)在定义域上为增函数
D.函数f(x)在定义域上为减函数
(2)若函数f(x)=lg|x+a|是偶函数,则a= .
(3)已知函数f(x)=log5(-2x),实数m,n满足f(4m-2)+f(n)=0,则4m+n= .
[素养小结]
要判断函数的奇偶性,首先应求出定义域,看函数的定义域是否关于原点对称.对于形如f(x)=logag(x)的函数,利用f(-x)±f(x)=0来判断奇偶性较简便.
◆ 探究点四 与指数、对数型函数有关的实际问题
例4 风光秀丽的千岛湖盛产鳙鱼,记鳙鱼在湖中的游速为v m/s,鳙鱼在湖中的耗氧量的单位数为x,已知鳙鱼的游速v与log2(x≥100)成正比,当鳙鱼的耗氧量为200单位时,其游速为 m/s.若某条鳙鱼的游速提高了1 m/s,则它的耗氧量的单位数是原来的 ( )
A.2倍 B.4倍
C.6倍 D.8倍
变式 某工厂产生的废气必须经过过滤后排放,规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.25%.已知在过滤过程中的污染物的残留数量P(单位:毫克/升)与过滤时间t(单位:小时)之间的函数关系为P=P0·ekt,其中e是自然对数的底数,k为常数,P0为原污染物总量.若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80%,则k= ;要能够按规定排放废气,还需要过滤n小时,则正整数n的最小值为 .(参考数据:log52≈0.43)
[素养小结]
与指数、对数型函数有关的实际问题,关键是要认真审题,从中提炼出相应的函数模型,再将其转化为指数、对数函数相关问题来求解,但要注意所得结果要符合实际情况.第2课时 对数函数y=logax的性质与应用
一、选择题(本大题共9小题,每小题5分,共45分)
1.函数f(x)=log2(4x-3)的单调递增区间是 ( )
A.(-∞,+∞) B.
C. D.
2.若函数y=loga(x2-ax+1)的定义域为R,则a的取值范围是 ( )
A.(0,1) B.(0,1)∪(1,2)
C.(1,2) D.[2,+∞)
3.设函数f(x)=(log2x)2-4log2x+3,x∈[1,16],则f(x)的值域为 ( )
A.[-1,3] B.[1,2]
C.[0,3] D.[1,4]
4.已知函数f(x)=lg,若f(a)=b,则f(-a)等于 ( )
A.b B.-b
C. D.-
5.函数y=log2(3-2x-x2)的值域为 ( )
A.(-∞,2] B.[2,+∞)
C.[4,+∞) D.(-∞,4]
6.尽管目前人类还无法准确预报地震,但科学研究表明,地震时释放出的能量E(单位:焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lg E=4.8+1.5M,已知两次地震释放的能量与里氏震级分别为Ei与Mi(i=1,2),若M2-M1=2,则= ( )
A.103 B.3
C.lg 3 D.10-3
7.[2024·重庆八中高一月考] 若函数f(x)=log2a(3x-ax2)在(0,1)上有意义且不单调,则a的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
8.(多选题)[2024·贵州黔南期末] 关于函数f(x)=lg(x2+2x-3),下列说法正确的是( )
A.f(x)的定义域为(-3,1)
B.f(x)的定义域为(-∞,-3)∪(1,+∞)
C.f(x)的单调递增区间为(-1,+∞)
D.f(x)的单调递减区间为(-∞,-3)
9.(多选题)已知函数g(x)=ln(2x+1)-ln(2x-1),下列关于g(x)的说法正确的是 ( )
A.g(x)的定义域为(0,+∞)
B.g(x)的值域为(0,+∞)
C.g(x)为增函数
D.g(x)为非奇非偶函数
二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
10.若函数f(x)=lo(-x2-4x+12),则f(x)的单调递增区间是 .
11.函数f(x)=log2·lo(2x)的最小值为 .
12.若函数f(x)=loga(x2-x+2)(a>0,且a≠1)在区间[0,2]上的最大值为2,则实数a= .
三、解答题(本大题共2小题,共20分)
13.(10分)已知函数f(x)=loga(1-x)+loga(x+3)(0
(1)求函数f(x)的定义域并判断函数f(x)的奇偶性;
(2)若函数f(x)的最小值为-4,求a的值.
14.(10分)北极燕鸥是已知的鸟类中迁徙路线最长的,属于燕鸥属的一种海鸟.科学家经过测量发现北极燕鸥的飞行速度v(单位:km/min)可以表示为v=log2-lg x0,其中x表示北极燕鸥每分钟耗氧量的单位数,x0表示测量过程中北极燕鸥每分钟的耗氧偏差.(注:lg 2≈0.3)
(1)当北极燕鸥每分钟的耗氧量为6400个单位时,它的飞行速度为1.7 km/min,求此时x0的值;
(2)当甲、乙两只北极燕鸥速度相同时,甲北极燕鸥每分钟的耗氧偏差是乙北极燕鸥每分钟耗氧偏差的10倍,试问甲北极燕鸥每分钟的耗氧量是乙北极燕鸥每分钟耗氧量的多少倍
15.(5分) [2024·云南昭通市直中学高一月考] 已知函数f(x)=2023-x+log2023-2023x+1012,则关于x的不等式f(4x+1)+f(2x+1)-2024<0的解集为 ( )
A. B.
C. D.
16.(15分)(1)已知函数g(x)=log2(x+2)+log2(5-x),讨论函数g(x)的单调性;
(2)对于(1)中的函数g(x),若x∈[-1,3],不等式g(x)-m-log23≤0的解集非空,求实数m的取值范围.(共31张PPT)
§3 对数函数
3.3 对数函数的图象和性质
第2课时 对数函数 的性质与应用
◆ 课前预习
◆ 课中探究
◆ 备课素材
◆ 备用习题
【学习目标】
1.通过对数函数图象和性质的应用，体会数学抽象素养.
2.通过数形结合思想的应用，提升直观想象素养.
知识点 与对数函数有关的复合函数的综合
问题
对于函数，它是由， 两个函数复合而成的，其单
调性由, 的单调性决定，当两个函数在定义域内单调性相同
（反）时，函数 在定义域内是增（减）函数，即“同增异减”.而值
域则往往先求出的值域再根据 的单调性求解.
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）函数在 上单调递减.( )
×
[解析] 令,则,.因为在 上单调递减,
在上是增函数,所以函数在 上单调递减.
（2）函数在 上单调递增.( )
×
[解析] 令,则, .
因为t=x+1在(-1, )上单调递增,y=log0.5t在(0, )上是减函数,
所以函数y=log0.5(x+1)在(-1, )上单调递减.
探究点一 与对数函数有关的复合函数的单调性
例1（1） 函数 的单调递增区间为( )
C
A. B. C. D.
[解析] 由可得或，所以函数 的定义域为
.
因为是由 和复合而成，
在上是减函数，
在上单调递减，在上单调递增，
所以 在上单调递增，在 上单调递减，
所以函数的单调递增区间为 ，故选C.
（2）已知函数在上单调递增，则 的取值范
围是( )
C
A. B. C. D.
[解析] 若函数在 上单调递增，
则当时，且函数单调递增，
则 ，且，解得 ，故选C.
变式（1） [2024·海南中学高一月考]函数 的单调递增区
间是( )
D
A. B. C. D.
[解析] 对于函数,需满足，
解得 或，故函数的定义域为 .
函数的图象开口向上，对称轴为直线，
函数在 上单调递增，
则根据复合函数的单调性可知，的单调递增区间是 .故选D.
（2）若函数在上单调递减，则实数 的取值
范围为( )
A
A. B. C. D.
[解析] 若函数在 上单调递减，
则解得即 ,故选A.
［素养小结］
求形如 的函数的单调区间时，首先要求出函数的定义域，再研究函
数和函数 在定义域上的单调性，最后判断出函数的单调区间.
探究点二 与对数函数有关的值域和最值
［提问］ 求函数 的定义域时要考虑哪些方面？
解：①真数要大于0；②偶次根式的被开方数不小于0.
例2（1） 求下列函数的值域：
； .
解：①要使函数有意义，需满足 即解得，
所以函数的定义域为 ，值域为 .
②因为 ，
所以函数的定义域为 .
又 ，
所以函数的值域为 .
（2）求函数在 上的最大值和最小值.
解：设，因为，所以 .
又，且
在上单调递减，
所以当时， 取得最小值， ，
当时，取得最大值， .
变式（1） 已知函数，，则函数 的
最大值为___，最小值为____.
2
[解析] ，，
令 ，则，
设，其中 ，则，
可得当时，函数 取得最小值，最小值为；
当或时，函数 取得最大值，最大值为 .
（2）若函数的值域是，则实数 的取值范围是
__________.
[解析] 设 ，
则，
当且仅当 时，等号成立，故的值域为.
由的值域为 知，，
所以，故实数的取值范围是 .
［素养小结］
求与对数函数有关的函数的值域时，要先求出函数的定义域,明确真数的取值范
围,再利用函数的单调性求解.
探究点三 与对数函数有关的复合函数的奇偶性
例3 已知函数,且,是定义在 上的
奇函数．
（1）求和实数 的值；
解：根据题意可得 .
因为是定义在 上的奇函数，
所以 ，
可得,所以，可得 ．
（2）若满足，求实数 的取值范围．
解：由（1）可知，
，
易知函数在 上单调递减，
由奇函数性质及 ，
可得 ，
当时，由复合函数的单调性可知在 上单调递增，
需满足解得 ；
当时，由复合函数的单调性可知在 上单调递减，
需满足解得 .
所以当时，的取值范围为；当时，的取值范围为 ．
变式（1） （多选题）函数 ，则下列说法
正确的是( )
BC
A.的图象关于轴对称 B. 的图象关于原点对称
C.函数在定义域上为增函数 D.函数 在定义域上为减函数
[解析] 函数的定义域为.因为 ，
所以函数 为奇函数，其图象关于原点对称，A错误，B正确；
因为在上单调递增,在 上单调递减，
所以在上为增函数，C正确，D错误.故选 .
（2）若函数是偶函数，则 ___.
0
[解析] 依题意知，所以当时，
恒成立，所以 .
（3）已知函数，实数， 满足
，则 ___.
2
[解析] 因为，所以的定义域为 ，
又
，所以 是奇函数，
由可得,则 .
［素养小结］
要判断函数的奇偶性，首先应求出定义域，看函数的定义域是否关于原点对称.
对于形如的函数，利用 来判断奇偶性较简便.
探究点四 与指数、对数型函数有关的实际问题
例4 风光秀丽的千岛湖盛产鳙鱼，记鳙鱼在湖中的游速为 ，鳙鱼在湖中
的耗氧量的单位数为，已知鳙鱼的游速与 成正比，当鳙鱼
的耗氧量为200单位时，其游速为.若某条鳙鱼的游速提高了 ，则它
的耗氧量的单位数是原来的( )
B
A.2倍 B.4倍 C.6倍 D.8倍
[解析] 鳙鱼的游速与成正比，
不妨设， 当时，， ，
解得，.
设鳙鱼开始时的游速为 ，耗氧量的单位数为，
提速后的游速为，提速后的耗氧量的单位数为 ，
则,
又 ， ，故选B.
变式 某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量
不得超过原污染物总量的.已知在过滤过程中的污染物的残留数量
（单位：毫克/升）与过滤时间（单位：小时）之间的函数关系为 ,
其中是自然对数的底数，为常数， 为原污染物总量.若前4个小时废气中的
污染物被过滤掉了，则_______;要能够按规定排放废气，还需要过滤
小时，则正整数的最小值为____.参考数据：
11
[解析] 前4个小时废气中的污染物被过滤掉了 ，
，得，则.由 ，
得， .
故正整数的最小值为 .
［素养小结］
与指数、对数型函数有关的实际问题，关键是要认真审题，从中提炼出相应的
函数模型，再将其转化为指数、对数函数相关问题来求解，但要注意所得结果
要符合实际情况.
利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，
必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是
底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些函数复合而成的．另
外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用.复合函数的单
调性主要根据“同增异减”来判断.
换元法
对于与对数函数复合的函数，求其值域或判断单调性时一般考虑换元法，即通
过换元将复合函数转化为简单函数，再利用简单函数的单调性求其值域，利用
复合函数“同增异减”的特性判断其单调性.
例 已知函数在区间上单调递增，则 的取值范围
为( )
D
A. B. C. D.
[解析] 令，
因为函数在区间 上单调递增，
在区间上单调递增，
所以函数 在区间上单调递增，
且对任意,恒成立.
令 ，显然函数在区间上单调递增，
因此函数在区间 上单调递增，
且对任意,恒成立.
令， .
当时，在区间上单调递增，且 ，
满足题意；当时，在区间 上单调递增，
且，满足题意；
当时，由在区间 上
单调递增，得，可得.因为对任意, 恒
成立，所以，解得.由①②得 .
综上所述，的取值范围是 .故选D.第2课时 对数函数y=logax的性质与应用
【课前预习】
知识点
诊断分析
(1)× (2)× [解析] (1)令t=1-x>0,则x<1,y=log2t.因为t=1-x在(-∞,1)上单调递减,y=log2t在(0,+∞)上是增函数,所以函数y=log2(1-x)在(-∞,1)上单调递减.
(2)令t=x+1>0,则x>-1,y=log0.5t.因为t=x+1在(-1,+∞)上单调递增,y=log0.5t在(0,+∞)上是减函数,所以函数y=log0.5(x+1)在(-1,+∞)上单调递减.
【课中探究】
探究点一
例1 (1)C (2)C [解析] (1)由x2+2x-8>0可得x<-4或x>2,所以函数f(x)的定义域为(-∞,-4)∪(2,+∞).因为f(x)=lo(x2+2x-8)是由y=lot和t=x2+2x-8复合而成,y=lot在(0,+∞)上是减函数,t=x2+2x-8在(-∞,-4)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,所以f(x)=lo(x2+2x-8)在(-∞,-4)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减,所以函数f(x)=lo(x2+2x-8)的单调递增区间为(-∞,-4),故选C.
(2)若函数f(x)=log2(x2-ax+3a)在[2,+∞)上单调递增,则当x∈[2,+∞)时,x2-ax+3a>0且函数y=x2-ax+3a单调递增,则≤2,且4+a>0,解得-4变式 (1)D (2)A [解析] (1)对于函数f(x)=lg(x2-2x-8),需满足x2-2x-8>0,解得x<-2或x>4,故函数f(x)=lg(x2-2x-8)的定义域为(-∞,-2)∪(4,+∞).函数y=x2-2x-8的图象开口向上,对称轴为直线x=1,函数y=lg x在(0,+∞)上单调递增,则根据复合函数的单调性可知,f(x)的单调递增区间是(4,+∞).故选D.
(2)若函数f(x)=ln(x2-2ax-a)在(-∞,-2]上单调递减,则解得即a>-,故选A.
探究点二
提问 解:①真数要大于0;②偶次根式的被开方数不小于0.
例2 解:(1)①要使函数有意义,需满足
即解得x>1,所以函数y=的定义域为(1,+∞),值域为(0,+∞).
②因为x2+2x+5=(x+1)2+4≥4,
所以函数y=log0.5(x2+2x+5)的定义域为R.
又log0.5(x2+2x+5)≤log0.54=-2,
所以函数y=log0.5(x2+2x+5)的值域为(-∞,-2].
(2)设u=lox,因为2≤x≤4,所以-2≤u≤-1.
又y=(lox)2-+5=u2-u+5=+,且y=+在[-2,-1]上单调递减,所以当u=-1时,y取得最小值,ymin=+=7,
当u=-2时,y取得最大值,ymax=+=11.
变式 (1)2 - (2)(-∞,-1] [解析] (1)f(x)=log2x·log2(2x)=log2x·(log2x+1),x∈,令t=log2x,则t∈[-2,1],设g(t)=t(t+1),其中t∈[-2,1],则g(t)=t2+t=-,可得当t=-时,函数g(t)取得最小值,最小值为g=-;当t=-2或t=1时,函数g(t)取得最大值,最大值为g(1)=2.
(2)设g(x)=2x+2-x+a-1,则g(x)=2x+2-x+a-1≥2+a-1=a+1,当且仅当x=0时,等号成立,故g(x)的值域为[a+1,+∞).由f(x)=lg(2x+2-x+a-1)的值域为R知,[a+1,+∞) (0,+∞),所以a≤-1,故实数a的取值范围是(-∞,-1].
探究点三
例3 解:(1)根据题意可得f(0)=loga1=0.
因为f(x)是定义在(-2,2)上的奇函数,所以f(-x)=loga=-f(x)=-loga=loga,
可得=,所以16-4x2=16-b2x2,可得b=2.
(2)由(1)可知,f(x)=loga=loga=loga(a>0,a≠1),
易知函数y=-1在(-2,2)上单调递减,
由奇函数性质及f(t2-2)+f(3t-2)<0可得f(t2-2)<-f(3t-2)=f(2-3t),
当0当a>1时,由复合函数的单调性可知f(x)在(-2,2)上单调递减,需满足解得1所以当01时,t的取值范围为.
变式 (1)BC (2)0 (3)2 [解析] (1)函数的定义域为(-1,1).因为f(-x)=ln(-x+1)-ln(1+x)=-f(x),所以函数f(x)为奇函数,其图象关于原点对称,A错误,B正确;因为y=ln(x+1)在(-1,1)上单调递增,y=ln(1-x)在(-1,1)上单调递减,所以f(x)=ln(x+1)-ln(1-x)在(-1,1)上为增函数,C正确,D错误.故选BC.
(2)依题意知lg|x+a|=lg|-x+a|,所以当x≠±a时,|x+a|=|-x+a|恒成立,所以a=0.
(3)因为>=|2x|≥2x,所以f(x)的定义域为R,又f(x)+f(-x)=log5(-2x)+log5(+2x)=log5[(-2x)(+2x)]=log51=0,所以f(x)是奇函数,由f(4m-2)+f(n)=0可得4m-2+n=0,则4m+n=2.
探究点四
例4 B [解析] ∵鳙鱼的游速v与log2(x≥100)成正比,∴不妨设v=klog2(x≥100),∵当x=200时,v=,∴=klog2,解得k=,∴v=log2(x≥100).设鳙鱼开始时的游速为v0 m/s,耗氧量的单位数为x0,提速后的游速为v1 m/s,提速后的耗氧量的单位数为x1,则v1=v0+1=log2+1==log2,又∵v1=log2,∴x1=4x0,故选B.
变式 - 11 [解析] ∵前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80%,∴(1-80%)P0=P0·e4k,得0.2=e4k,则k=-.由0.25%P0=P0·ekt,得ln 0.002 5=-t,∴t==4log5400=8(1+2log52)≈14.88.故正整数n的最小值为15-4=11.第2课时 对数函数y=logax的性质与应用
1.B [解析] 易知函数f(x)的定义域为,函数f(x)=log2(4x-3)的单调递增区间即为y=4x-3的单调递增区间.根据一次函数的性质可得,y=4x-3的单调递增区间为,故f(x)的单调递增区间为,故选B.
2.B [解析] 要使f(x)的定义域为R,则对任意的实数x都有x2-ax+1>0恒成立,故有解得03.A [解析] 令t=log2x,因为x∈[1,16],所以t∈[0,4],则y=t2-4t+3=(t-2)2-1∈[-1,3].故函数f(x)的值域为[-1,3].故选A.
4.B [解析] f(-x)=lg=-f(x),且f(x)的定义域为(-1,1),所以f(x)为奇函数,所以f(-a)=-f(a)=-b,故选B.
5.A [解析] 令t=3-2x-x2,则y=log2t,因为t=3-2x-x2=-(x+1)2+4≤4,t>0,所以y=log2t的定义域为(0,4],又y=log2t为增函数,所以y=log2t的值域为(-∞,2].故选A.
6.A [解析] 由题意得lg E1=4.8+1.5M1,lg E2=4.8+1.5M2,两式相减得lg=1.5(M2-M1),∵M2-M1=2,∴=103.故选A.
7.D [解析] 根据题意得a>0且a≠.设g(x)=3x-ax2,则由题意知g(x)在区间(0,1)上不单调,且g(x)>0在(0,1)上恒成立.由a>0知g(x)的图象开口向下,只需要满足g(x)图象的对称轴x=∈(0,1),且min{g(0),g(1)}≥0即可,所以解得8.BD [解析] 由f(x)=lg(x2+2x-3),得x2+2x-3>0,解得x>1或x<-3,所以f(x)的定义域为(-∞,-3)∪(1,+∞),故A错误,B正确;令u=x2+2x-3,则u在(1,+∞)上单调递增,在(-∞,-3)上单调递减,又函数y=lg u在定义域内为增函数,所以f(x)的单调递减区间为(-∞,-3),单调递增区间为(1,+∞),故C错误,D正确.故选BD.
9.ABD [解析] 对于A,由2x-1>0,解得x>0,所以函数g(x)的定义域为(0,+∞),故A正确;对于B,g(x)=ln(2x+1)-ln(2x-1)=ln,因为1+>1,所以g(x)>0,即函数g(x)的值域为(0,+∞),故B正确;对于C,因为y=2x在(0,+∞)上单调递增,所以y=在(0,+∞)上单调递减,故g(x)在(0,+∞)上为减函数,故C不正确;对于D,因为函数g(x)的定义域为(0,+∞),不关于原点对称,所以函数g(x)为非奇非偶函数,故D正确.故选ABD.
10.(-2,2) [解析] 由-x2-4x+12>0,解得-611.- [解析] 依题意得f(x)=log2x·(2+2log2x)=(log2x)2+log2x=-≥-,当log2x=-,即x=时等号成立,所以函数f(x)的最小值为-.
12.2 [解析] 令u=x2-x+2,则u=x2-x+2在[0,2]上的最大值为4,最小值为.当a>1时,y=logau是增函数,则f(x)max=loga4=2,得a=2;当013.解:(1)由得-3∴f(x)为非奇非偶函数.
(2)f(x)=loga[(1-x)(x+3)]=loga(-x2-2x+3)=loga[-(x+1)2+4],∵-314.解:(1)将v=1.7,x=6400代入v=log2-lg x0,得1.7=log2-lg x0,可得lg x0=0.3,解得x0≈2,所以此时x0的值为2.
(2)设甲北极燕鸥每分钟的耗氧量为x1,乙北极燕鸥每分钟的耗氧量为x2,乙北极燕鸥每分钟的耗氧偏差为x'0则甲北极燕鸥每分钟的耗氧偏差为10x'0.
由题意可知,甲北极燕鸥的飞行速度v1=log2-lg(10x'0)=log2-lg x'0-1,乙北极燕鸥的飞行速度v2=log2-lg x'0,由v1=v2,得log2-log2=1,则log2=3,所以=8,即甲北极燕鸥每分钟的耗氧量是乙北极燕鸥每分钟耗氧量的8倍.
15.B [解析] 令g(x)=f(x)-1012=2023-x+log2023-2023x,则g(x)的定义域为(-1,1).y=2023-x-2023x在(-1,1)上单调递减,y=log2023=log2023=log2023在(-1,1)上单调递减,所以g(x)在(-1,1)上单调递减.因为g(-x)=2023x+log2023-2023-x=-=-g(x),所以g(x)为奇函数.原不等式可化为g(4x+1)+g(2x+1)<0,则g(4x+1)16.解:(1)因为g(x)=log2(x+2)+log2(5-x),所以解得-2(2)因为x∈[-1,3],不等式g(x)-m-log23≤0的解集非空,所以m+log23≥g(x)min,x∈[-1,3].
由(1)可得g(x)=log2(-x2+3x+10)在上单调递增,在上单调递减,又g(-1)=log26,g(3)=log210,所以g(x)min=log26=1+log23,所以m+log23≥1+log23,所以m≥1,即m的取值范围为[1,+∞).