§4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
*§5 信息技术支持的函数研究
【课前预习】
知识点
诊断分析
1.解:不是,但总存在x0,使得当a>1,n>0,x>x0时,logax
2.解:依据自变量增加相同的量,函数值增长量的大小判断.增长量越大,增长速度越快.
【课中探究】
探究点一
例1 (1)D (2)y2 [解析] (1)选项A,B,C,D分别为一次函数,常数函数,对数函数,指数函数,且对数函数与指数函数的底数都大于1,则随着x的增大,增长最快的是指数函数.故选D.
(2)以爆炸式增长的变量是呈指数函数变化的.从表格中可以看出,四个变量y1,y2,y3,y4均是从2开始变化的,变量y1,y2,y3,y4都是越来越大的,但是增长速度不同,其中变量y2的增长速度最快,可知变量y2最可能关于x呈指数函数变化.
变式 (1)D (2)B [解析] (1)因为=25=,=4=,所以f(x)=y1;因为=125=,=8=,所以g(x)=y3;因为=16=,=32=,所以h(x)=y2,故选D.
(2)由散点图知,随着x的增长,y的增长速度越来越慢,排除A,C;当x=0时,函数有意义,排除D,只有B符合题意.故选B.
探究点二
例2 解:(1)C1对应的函数为g(x)=x3,C2对应的函数为f(x)=2x.
(2)因为f(1)>g(1),f(2)g(10),所以1从图象可以看出,当x1所以f(6)当x>x2时,f(x)>g(x),所以f(2021)>g(2021).
又因为g(2021)>g(6),
所以f(2021)>g(2021)>g(6)>f(6).
变式 解:(1)由题图知,C1对应的函数为g(x)=0.3x-1,C2对应的函数为f(x)=lg x.
(2)当x∈(0,x1)时,g(x)>f(x);
当x∈(x1,x2)时,g(x)当x∈(x2,+∞)时,g(x)>f(x).
探究点三
例3 解:(1)对于M(v)=300logav+b,当v=0时,它无意义,所以不符合题意;
对于M(v)=1000·+a,显然该函数是减函数,所以不符合题意,故应选M(v)=v3+bv2+cv.
根据提供的数据,可得解得所以当0≤v<80时,M(v)=v3-2v2+150v.
(2)设车速为v km/h,则所用时间为 h,
总耗电量f(v)==10(v2-80v+6000)=10(v-40)2+44 000,
所以当测试时的车速为40 km/h时,
该电动汽车的总耗电量最小,最小值为44 000 Wh.
变式 解:由题意,符合公司要求的模型需同时满足当x∈[10,1000]时,①函数单调递增;②y≤5;③y≤x·25%.
(1)对于y=0.025x,易知满足①,但当x>200时,y>5,故不满足公司的要求.
(2)对于y=1.003x,易知满足①,但当x>538时,y>5,故不满足公司的要求.
(3)对于y=ln x+1,易知满足①.
当x∈[10,1000]时,y≤ln 1000+1,
因为ln 1000+1-5=ln 1000-4=(ln 1000-8)≈(ln 1000-ln 2981)<0,所以y<5,满足②.
下面证明ln x+1≤x·25%,
即2ln x+4-x≤0,x∈[10,1000].
设F(x)=2ln x+4-x,x∈[10,1000],
则由题意知F(x)在[10,1000]上单调递减,
所以F(x)max=F(10)=2ln 10+4-10=2ln 10-6=2(ln 10-3)≈2(ln 10-ln 20)<0,
所以y≤x·25%,满足③.
综上,奖励模型y=ln x+1能完全符合公司的要求.§4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
*§5 信息技术支持的函数研究
1.B [解析] 根据表格中的数据知,四个变量y1,y2,y3,y4随着x增大都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量y2的增长速度最快,符合指数型函数的增长特点.故选B.
2.D [解析] 对于选项A,当x=2时,y=log23≠2,不符合题意;对于选项B,当x=2时,y=22-1=3≠2,不符合题意;对于选项C,当x=2时,y=2×2-1=3≠2,不符合题意;对于选项D,x,y的每一对数都满足关系式,符合题意.故选D.
3.B [解析] 根据f(x),g(x),h(x)的图象和增长速度可知,当x∈(4,+∞)时,g(x)>f(x)>h(x).故选B.
4.A [解析] 结合y=2x,y=及y=lg x的图象,易知当x∈(0,1)时,2x>>lg x.
5.B [解析] 将题图中的散点所在的折线近似看成一条曲线,由题意可知,随着t的变大,该曲线越来越平缓,∴只有B中函数符合条件,故选B.
6.C [解析] 由所给数据可知,当x增大时,y的增长速度越来越快,显然模型y=不符合这一增长规律,模型y=符合这一增长规律,因此选用模型y=.当>300时,2x>900,则x>log2900==≈9.814,又x∈N*,所以x的最小值为10.故选C.
7.D [解析] 对于A,当x=2时,f1(2)=3,f2(2)=8,∴该结论不正确;对于B,∵当x足够大时,随着x的逐渐增大,f1(x)=2x-1的增长速度大于f2(x)=x3的增长速度,∴当x>1时,甲总会超过乙,∴该结论不正确;对于C,根据四个函数的增长特点,结合四个函数的图象可知,当01时,丁走在最后面,∴该结论不正确;对于D,易知当x>1时,f2(x)>f1(x)>f3(x)>f4(x)或f1(x)≥f2(x)>f3(x)>f4(x),则当x>1时,丙不可能走在最前面,也不可能走在最后面,∴该结论正确.故选D.
8.BD [解析] 对于选项A,幂函数与一次函数的增长速度分别受幂指数及一次项系数的影响,幂指数与一次项系数不确定,增长速度不能比较,故A错误;对于选项B,因为a>1,所以结合指数函数及对数函数图象,易知对任意的x>0,ax>logax恒成立,故B正确;对于选项C,取a=,则当x=时,xa==,logax=lo=1,此时xa1时,结合图象易知,一定存在x0,使得当x>x0时,总有ax>xa>logax,但若去掉限制条件“a>1”,则结论不成立,故D正确.故选BD.
9.BCD [解析] y1随x的增大而增大,增加量依次是125,375,625,875,1125,1375,故增加得越来越快,不呈对数增长,故A错误;y3随x的增大而增大,增加量依次是25,25,25,…,增加速度固定,故y3呈一次函数变化,即y3关于x呈直线上升,故C正确;y2随x的增大而增大,增加量依次是85,1530,27 540,495 720,…,故增加得越来越快,呈指数爆炸,增长速度最快,故B,D正确.故选BCD.
10.> > [解析] 根据指数函数、幂函数、对数函数的增长变化趋势,可得当x足够大时,一定有ax>xn>logax.
11.y=x2 [解析] 当x在(0,+∞)上逐渐增大时,y=x的增长速度大于y=ln x的增长速度,所以y=x2比y=xln x增长得快.
12.y3 y2 y1 [解析] 由表中数据可知,y1随x的增加而增加,但随x越来越大,y1的增加速度小于y2的增加速度,所以y1呈幂函数型函数变化;y2随x的增加呈爆炸式增加,所以y2呈指数型函数变化;y3随x的增加而增加,增加速度越来越慢,所以y3呈对数型函数变化.
13.解:由指数增长、对数增长、幂函数增长的差异可得曲线C1对应的函数是f(x)=1.1x,曲线C2对应的函数是h(x)=,曲线C3对应的函数是g(x)=ln x+1.
由题图知,当0h(x)>g(x);当x=1时,f(x)>h(x)=g(x);当1g(x)>h(x);当x=a时,f(x)=g(x)>h(x);
当af(x)>h(x);
当x=b时,g(x)>f(x)=h(x);
当bh(x)>f(x);
当x=c时,g(x)=h(x)>f(x);
当cg(x)>f(x);
当x=d时,h(x)>g(x)=f(x);当df(x)>g(x);当x=e时,h(x)=f(x)>g(x);
当x>e时,f(x)>h(x)>g(x).
14.解:(1)y=kax(k>0,a>1)的增长速度越来越快,y=p+q(p>0)的增长速度越来越慢,依题意应选函数y=kax(k>0,a>1),
则解得∴y=8·(x∈N).
(2)当x=0时,y=8.设经过n分钟,该培养基中菌落面积是开始时的1000倍,则8×=8×1000,
∴n=lo1000==≈17.04≈17.
∴开始时菌落的面积为8 mm2,约经过17分钟,培养基中菌落面积是开始时的1000倍.
15.(-∞,0.27)∪(2.17,+∞) [解析] 因为当x=0.27时,30.27≈1.35=5×0.27,当x=2.17时,32.17≈10.85=5×2.17,所以结合题中所给图象可知,当x<0.27时,3x>5x,当0.272.17时,3x>5x,所以使3x>5x成立的x的取值范围是(-∞,0.27)∪(2.17,+∞).
16.解:(1)从题图可知,应选择增长速度越来越慢的函数模型,故选y=klog2+n(k>0).
(2)将(0,0),(30,3)代入y=klog2+n,得解得则y=3log2-3.
当x=90时,y=3log2(6+2)-3=6,
满足每天得分最高不超过6分的条件.
所以函数的解析式为y=3log2-3,0≤x≤90.
(3)由y=3log2-3≥4.5,得log2≥2.5=log2,则+2≥=4≈5.657,得x≥54.855≈55,所以每天至少运动55分钟.§4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
*§5 信息技术支持的函数研究
【学习目标】
1.通过作图,借助数学软件体会并了解指数函数、幂函数、对数函数的增长特性,提升数据分析、直观想象素养.
2.掌握幂函数与对数函数、指数函数的增长差异,并能解决相关问题.
3.能正确选择函数模型解决实际问题,提升数学建模素养.
◆ 知识点 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
给定常数a,b,c,可知函数y=ax(a>1),y=logbx(b>1)和y=xc(x>0,c>1)都是增函数,但它们的函数值增长速度不同,而且不在同一个“级别”上.随着自变量x的增大,y=ax(a>1)的函数值增长速度越来越快,会超过并远远大于y=xc(c>1)的函数值增长速度,而y=logbx(b>1)的函数值增长速度则会越来越慢.
【诊断分析】 1.当a>1,n>0时,对任意的x∈(0,+∞),是否总有logax2.判断某个增函数增长快慢的依据是什么
◆ 探究点一 函数模型的增长差异
例1 (1)[2024·湖北崇阳二中高一月考] 下列函数中,随着x的增大,增长速度最快的是 ( )
A.y=2023x B.y=2023 C.y=log2023x D.y=2023x
(2)四个变量y1,y2,y3,y4随变量x变化的数据如下表:
x 1 5 10 15 20 25 30
y1 2 26 101 226 401 626 901
y2 2 32 1024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109
y3 2 10 20 30 40 50 60
y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907
关于x呈指数函数变化的变量最可能是 .
变式 (1)若函数y1=a·x2,y2=c·2x,y3=b·x3,则由表中数据确定f(x),g(x),h(x)依次对应 ( )
x f(x) g(x) h(x)
1 2 0.2 0.2
5 50 25 3.2
10 200 200 102.4
A.y1,y2,y3 B.y2,y1,y3
C.y3,y2,y1 D.y1,y3,y2
(2)如图是某市相关部门根据统计数据绘制的该市7岁以下女童身高的中位数的散点图,给出下列函数模型,其中可近似刻画身高y(单位:cm)随年龄x(单位:岁)变化规律的是 ( )
A.y=mx+n(m>0)
B.y=m+n(m>0)
C.y=max+n(m>0,a>1)
D.y=mlogax+n(m>0,a>1)
[素养小结]
三种函数(指数函数、幂函数、对数函数)都是增函数时,当自变量充分大时,指数函数的函数值最大,但必须满足自变量的值大到一定程度,因此判断一个增函数是否为指数型函数时,一般比较当自变量增加到一定程度时,自变量增加相同的量,函数值的增长量是否为最大,若是,则这个函数就可能是指数型函数.
◆ 探究点二 指数函数、对数函数与幂函数模型的增长比较
例2 函数f(x)=2x和g(x)=x3的图象如图所示.设两函数的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1(1)请指出图中曲线C1,C2分别对应的函数;
(2)结合函数图象,判断f(6),g(6),f(2021),g(2021)的大小关系.
变式 函数f(x)=lg x,g(x)=0.3x-1的图象如图所示.
(1)指出曲线C1,C2分别对应哪一个函数;
(2)比较两函数的大小(以两图象交点的横坐标x1,x2为分界,对f(x),g(x)的大小进行比较).
[素养小结]
根据图象判断函数是指数函数、对数函数或幂函数时,通常是观察函数图象上升的快慢,即随着自变量的增长,图象最“陡”的函数是指数型函数,图象趋于平缓的函数是对数型函数.
◆ 探究点三 实际应用题
例3 [2024·浙江湖州高一期末] 随着电动汽车研发技术的日益成熟,电动汽车的普及率越来越高.某型号电动汽车进行耗电量测试,限速80 km/h(不含80 km/h),经多次测试得到该汽车每小时的耗电量M(单位:Wh)与速度v(单位:km/h)之间的一组数据如下表所示.
v 0 10 30 70
M 0 1325 3375 9275
为了描述该汽车每小时的耗电量与速度的关系,现有以下三种函数模型供选择:
M(v)=v3+bv2+cv,M(v)=1000·+a,M(v)=300logav+b.
(1)当0≤v<80时,请选出一种你认为最符合表格中所列数据的函数模型,并求出相应的函数解析式.
(2)在本次测试中,该电动汽车的最长续航里程为400 km.若测试过程为匀速行驶,请计算本次测试时的车速为何值时,该电动汽车的总耗电量(单位:Wh)最小 并计算出该最小值.
变式 某公司为了实现年销售利润1000万元的目标,准备制订一个激励销售人员的奖励方案(该方案针对的销售利润范围为10万元~1000万元):按销售利润进行奖励,且奖金数额y(单位:万元)随销售利润x(单位:万元)的增加而增加,但奖金数额不超过5万元,同时奖金数额不超过销售利润的25%.现有三个奖励模型:y=0.025x,y=1.003x,y=ln x+1.问其中是否有模型能完全符合公司的要求 请说明理由.
(参考数据:1.003538≈5,e3≈20,e8≈2981,参考结论:f(x)=2ln x+4-x在[10,1000]上单调递减)
[素养小结]
函数模型的选取主要取决于实际问题中变量的变化规律:(1)指数函数模型适合于描述增长速度急剧的变化规律;(2)对数函数模型适合于描述增长速度平缓的变化规律;(3)幂函数模型适合于描述增长速度一般的变化规律.§4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
*§5 信息技术支持的函数研究
一、选择题(本大题共9小题,每小题5分,共45分)
1.四个变量y1,y2,y3,y4随变量x变化的数据如下表:
x 1 2 4 6 8 10 12
y1 16 29 55 81 107 133 159
y2 1 9 82 735 6567 59 055 531 447
y3 1 8 64 216 512 1000 1728
y4 2.000 3.710 5.419 6.419 7.129 7.679 8.129
其中关于x近似呈指数爆炸的变量是 ( )
A.y1 B.y2
C.y3 D.y4
2.某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表:
x 1 2 3 …
y 1 2 5 …
下列函数关系式中,能表达这种关系的是 ( )
A.y=log2(x+1)
B.y=2x-1
C.y=2x-1
D.y=(x-1)2+1
3.已知f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,则当x∈(4,+∞)时,下列结论中正确的是 ( )
A.f(x)>g(x)>h(x)
B.g(x)>f(x)>h(x)
C.g(x)>h(x)>f(x)
D.f(x)>h(x)>g(x)
4.若x∈(0,1),则下列结论正确的是 ( )
A.2x>>lg x
B.2x>lg x>
C.>2x>lg x
D.lg x>>2x
5.如图是某种豆类的生长枝数y与时间t(单位:月)的散点图,那么此种豆类的生长枝数与时间的关系用下列函数模型近似刻画最好的是 ( )
A.y=2t2 B.y=log2t
C.y=t3 D.y=2t
6.小明在研究变量x(x∈N*)与y的关系时,得到了下列一组数据:
x 2 3 4 5 6 …
y 1.40 2.56 5.31 11 21.30 …
请从模型y=,模型y=中选择一个合适的函数模型,并预测满足y>300的x的最小值为(参考数据:lg 3≈0.477,lg 2≈0.301) ( )
A.8 B.9 C.10 D.11
7.有四人同时从同一点出发向同一个方向运动,记四人编号分别为1,2,3,4,且所走路程fi(x)(i=1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)=2x-1,f2(x)=x3,f3(x)=x,f4(x)=log2(x+1),则下列结论正确的是 ( )
A.当x>1时,甲走在最前面
B.当x>1时,乙走在最前面
C.当01时,丁走在最前面
D.当x>1时,丙不可能走在最前面,也不可能走在最后面
8.(多选题)下列说法中正确的是 ( )
A.幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快
B.已知a>1,则对任意的x>0,ax>logax恒成立
C.对任意的x>0,都有xa>logax
D.不一定存在x0,使得当x>x0时,总有ax>xa>logax
9.(多选题)三个变量y1,y2,y3随变量x变化的数据如下表:
x 0 5 10 15 20 25 30
y1 5 130 505 1130 2005 3130 4505
y2 5 90 1620 29 160 524 880 9 447 840 170 061 120
y3 5 30 55 80 105 130 155
则下列说法合理的是 ( )
A.y1关于x呈对数增长
B.y2关于x呈指数爆炸
C.y3关于x呈直线上升
D.y2的增长速度最快
二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
10.由指数函数、幂函数、对数函数增长的比较知:若a>1,n>0,则当x足够大时,一定有ax
xn logax.(从“>”“<”中选填)
11.函数y=x2与函数y=xln x在区间(0,+∞)上增长较快的是 .
12.三个变量y1,y2,y3随自变量x的变化情况如表:
x 1 3 5 7 9 11
y1 5 135 625 1 715 3 645 6 633
y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149
y3 5 6.1 6.61 6.95 7.20 7.40
其中关于x呈对数型函数变化的变量是 ,呈指数型函数变化的变量是 ,呈幂函数型函数变化的变量是 .
三、解答题(本大题共2小题,共20分)
13.(10分)函数f(x)=1.1x,g(x)=ln x+1,h(x)=的图象如图所示,试分别指出各曲线对应的函数,并比较三个函数取值的大小(以1,a,b,c,d,e为分界,其中114.(10分)了解某些细菌、病毒的生存条件、繁殖习性等方面的内容对于预防疾病的传播、保护环境有极其重要的意义.某科研团队在培养基中放入一定量某种细菌进行研究,发现其蔓延速度越来越快.经过2分钟菌落的覆盖面积为18 mm2,经过3分钟覆盖面积为
27 mm2,现菌落覆盖面积y(单位:mm2)与经过时间x(x∈N,单位:分钟)的关系有函数模型y=kax(k>0,a>1)与y=p+q(p>0)可供选择.
(1)试判断哪个函数模型更合适描述y与x的关系,说明理由,并求出该模型的解析式;
(2)在理想状态下,求开始时菌落的面积,并求约经过多久培养基中菌落面积是开始时的1000倍.
(参考数据:≈1.414,≈1.732,lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1,lg 1.5≈0.176 1)
15.(5分)[2024·江西吉水中学高一月考] 如图①②是y=3x与y=5x在不同范围内的图象,估算出使3x>5x成立的x的取值范围是 .(参考数据:30.27≈1.35,32.17≈10.85)
16.(15分)学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼,现需要制订一个课余锻炼考核评分制度,即建立一个每天得分y与当天锻炼时间x(单位:分钟,0≤x≤90)的函数关系,要求如下:(i)函数的大致图象如图所示;(ii)每天运动时间为0分钟时,当天得分为0分;(iii)每天运动时间为30分钟时,当天得分为3分;(iv)每天最多得分不超过6分.现有以下三个函数模型供选择:①y=kx+b(k>0);②y=k·1.2x+b(k>0);③y=klog2+n(k>0).
(1)请根据要求从所给函数模型中选择一个合适的函数模型,简要说明理由;
(2)根据你在(1)中的选择,求出函数的解析式;
(3)已知学校要求每天的得分不少于4.5分,求每天至少运动多少分钟(结果保留整数).(共25张PPT)
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§5 信息技术支持的函数研究
◆ 课前预习
◆ 课中探究
◆ 备课素材
◆ 备用习题
【学习目标】
1.通过作图,借助数学软件体会并了解指数函数、幂函数、对数函数的增长
特性，提升数据分析、直观想象素养.
2.掌握幂函数与对数函数、指数函数的增长差异，并能解决相关问题.
3.能正确选择函数模型解决实际问题，提升数学建模素养.
知识点 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
给定常数,,,可知函数， 和
都是增函数，但它们的函数值增长速度不同，而且不在同一个“级别”上.随着自
变量的增大， 的函数值增长速度越来越快，会超过并远远大于
的函数值增长速度，而 的函数值增长速度则会
越来越慢.
【诊断分析】
1.当，时，对任意的，是否总有 成立？
解：不是，但总存在，使得当，，时， 成
立.
2.判断某个增函数增长快慢的依据是什么？
解：依据自变量增加相同的量，函数值增长量的大小判断.增长量越大，增长速
度越快.
探究点一 函数模型的增长差异
例1（1） [2024·湖北崇阳二中高一月考]下列函数中，随着 的增大，增长速度
最快的是( )
D
A. B. C. D.
[解析] 选项A，B，C，D分别为一次函数，常数函数，对数函数，指数函数，
且对数函数与指数函数的底数都大于1，则随着 的增大，增长最快的是指数函数.
故选D.
（2）四个变量，，，随变量 变化的数据如下表：
1 5 10 15 20 25 30
2 26 101 226 401 626 901
2 32 1024 32 768
2 10 20 30 40 50 60
2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907
关于 呈指数函数变化的变量最可能是___.
[解析] 以爆炸式增长的变量是呈指数函数变化的.从表格中可以看出，四个变量
，，，均是从2开始变化的，变量，，， 都是越来越大的，但
是增长速度不同，其中变量的增长速度最快，可知变量最可能关于 呈指数
函数变化.
变式（1） 若函数，， ，则由表中数据确定
，， 依次对应( )
1 2 0.2 0.2
5 50 25 3.2
10 200 200 102.4
D
A.，， B.，， C.，， D.，，
[解析] 因为,，所以 ；
因为,，所以；
因为 ,，所以 ，故选D.
（2）如图是某市相关部门根据
统计数据绘制的该市7岁以下女童
身高的中位数的散点图，给出
下列函数模型，其中可近似刻画
身高（单位： ）随年龄
（单位：岁）变化规律的是( )
B
A. B.
C. D.
[解析] 由散点图知，随着的增长， 的增长速度越来越慢，排除A，C；
当 时，函数有意义，排除D，只有B符合题意.故选B.
［素养小结］
三种函数（指数函数、幂函数、对数函数）都是增函数时，当自变量充分大时，
指数函数的函数值最大，但必须满足自变量的值大到一定程度，因此判断一个增
函数是否为指数型函数时，一般比较当自变量增加到一定程度时，自变量增加相
同的量，函数值的增长量是否为最大，若是，则这个函数就可能是指数型函数.
探究点二 指数函数、对数函数与幂函数模型的增长比较
例2 函数和 的图象如图所示.设两函数的图象交于点
，，且 .
（1）请指出图中曲线， 分别对应的函数；
解：对应的函数为，
对应的函数为 .
（2）结合函数图象，判断，，， 的大小关系.
解：因为，，， ，
所以，，所以 .
从图象可以看出，
当时， ，所以 ；
当时，，所以 .
又因为 ，
所以 .
变式 函数 ，
的图象如图所示.
（1）指出曲线， 分别对应哪
一个函数；
解：由题图知，对应的函数为，对应的函数为 .
（2）比较两函数的大小（以两图象交点的横坐标,为分界，对， 的
大小进行比较）.
解：当时， ；
当时， ；
当时， .
［素养小结］
根据图象判断函数是指数函数、对数函数或幂函数时，通常是观察函数图象上
升的快慢，即随着自变量的增长，图象最“陡”的函数是指数型函数，图象趋于
平缓的函数是对数型函数.
探究点三 实际应用题
例3 [2024·浙江湖州高一期末] 随着电动汽车研发技术的日益成熟，电动汽车
的普及率越来越高．某型号电动汽车进行耗电量测试，限速
（不含），经多次测试得到该汽车每小时的耗电量（单位： ）与
速度（单位： ）之间的一组数据如下表所示．
0 10 30 70
M 0 1325 3375 9275
为了描述该汽车每小时的耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：
，， ．
（1）当 时，请选出一种你认为最符合表格中所列数据的函数模型，
并求出相应的函数解析式.
解：对于，当 时，它无意义，所以不符合题意；
对于 ，显然该函数是减函数，所以不符合题意，
故应选 ．
根据提供的数据，可得解得
所以当时， ．
（2）在本次测试中，该电动汽车的最长续航里程为 ．若测试过程为匀
速行驶，请计算本次测试时的车速为何值时，该电动汽车的总耗电量
（单位： ）最小？并计算出该最小值．
解：设车速为，则所用时间为 ，
总耗电量 ，
所以当测试时的车速为 时，
该电动汽车的总耗电量最小，最小值为 ．
变式 某公司为了实现年销售利润1000万元的目标，准备制订一个激励销售人
员的奖励方案（该方案针对的销售利润范围为10万元万元 ） 按销售利
润进行奖励，且奖金数额（单位:万元）随销售利润 （单位:万元）的增加而增
加，但奖金数额不超过5万元，同时奖金数额不超过销售利润的 .现有三个
奖励模型:，， .问其中是否有模型能完全符
合公司的要求？请说明理由.
（参考数据:，， ,参考结论：
在 上单调递减）
解：由题意，符合公司要求的模型需同时满足当 时，
①函数单调递增；； .
（1）对于，易知满足①，但当时， ，故不满足公司的要求.
（2）对于，易知满足①，但当时， ，故不满足公司的要求.
（3）对于 ，易知满足①.
当时， ，
因为，所以 ，满足②.
下面证明 ，即， .
设， ，
则由题意知在 上单调递减，
所以 ，
所以 ，满足③.
综上，奖励模型 能完全符合公司的要求.
［素养小结］
函数模型的选取主要取决于实际问题中变量的变化规律:（1）指数函数模型适
合于描述增长速度急剧的变化规律;（2）对数函数模型适合于描述增长速度平
缓的变化规律;（3）幂函数模型适合于描述增长速度一般的变化规律.
（1）对于指数型函数，，为常数，，且 ，
当时，增长特点是随着自变量 的增大，函数值增长的速度越来越快，常
称之为“指数爆炸”；当时，随着自变量 的增大，函数值由快到慢地
减少.生活中经常接触的储蓄问题，也就是增长率问题，就是指数函数模型，指
数型函数增长随底数的不同而不同.
复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起作为本金，再
计算下一期的利息，我国现行定期储蓄中的自动转存业务类似复利计息的储蓄.
（2）对于对数型函数，，为常数，， 且
，当时，增长的特点是开始阶段增长得较快，但随着 的值逐渐增
大，其函数值变化得越来越慢，常称之为“蜗牛式增长”；当 时，随着
的值逐渐增大，相应函数值逐渐减少，变化得越来越慢.
（3）对于幂函数模型，， 为常数，， ，
，其增长情况由和 的取值确定.
函数模型的选择
例 18世纪70年代，德国科学家提丢斯发现金星、地球、火星、木星、土星离
太阳的平均距离（天文单位）如下表：
行星 1 （金星） 2 （地球） 3 （火星） 4 （ ） 5 （木星） 6 （土星） 7
（ ）
距离 0.7 1.0 1.6 （ ） 5.2 10.0 （ ）
他研究行星排列规律后预测在火星与木星之间应该有一颗大的行星，后来果然
发现了一颗谷神星，但不算大行星，它可能是一颗大行星爆炸后的产物，请你
推测谷神星的位置.在土星外面是什么星？它离太阳的平均距离大约是多少？
解：作出散点图如图所示，根据散点图
知，宜选用指数型函数.
设,且 ，
将表中前三个数据， ，
分别代入，解得 ，
， ，所以，把和 分别代入检验，
得，，符合题意.故， .
谷神星在离太阳的平均距离为2.8天文单位的位置.实际上，后来在离太阳的平均距
离约为19.2天文单位处发现了天王星，与19.6非常接近,提丢斯创造了一个天文史上
的神话.