本章总结提升
【知识辨析】
1.√ [解析] lg(ln e)=lg 1=0.
2.× [解析] 根据对数函数的定义知,两个函数都不是对数函数.
3.√ [解析] ∵log20.3
log0.21=0,∴log20.34.√ [解析] 因为y=lox=-logax,所以函数y=logax与y=lox的图象关于x轴对称.
5.√ [解析] 同底的指数函数与对数函数互为反函数.
6.√ [解析] 因为lg x+lg y=2lg(x-2y),所以xy=(x-2y)2,即x2-5xy+4y2=0,解得x=y或x=4y.由已知等式知,x>0,y>0,x-2y>0,所以x=y不符合题意,所以=4.
7.√ [解析] 因为0<<1,所以y=lox是定义域上的减函数,而x2-4x+5>0恒成立且函数y=x2-4x+5的单调递减区间为(-∞,2),所以函数y=lo(x2-4x+5)的单调递增区间是(-∞,2).
8.× [解析] 分两种情况讨论:①当a>1时,有loga4-loga2=1,解得a=2;②当0【素养提升】
题型一
例1 (1) (2)10 (3) [解析] (1)∵xlog34=1,∴x==log43,∴4x+4-x=+=3+=3+=.
(2)(lg 5)2+lg 2×lg 5+lg 20+log225×log34×log59=lg 5×(lg 2+lg 5)+lg 20+××=lg 5+lg 20+××=lg 100+8=10.
(3)由10b=3,得b=lg 3,又lg 2=a,所以log245===.
变式 (1) (2) [解析] (1)===.
(2)∵10m=2,10n=3,∴m=lg 2,n=lg 3.∴2m+lg 25+10m-n=2lg 2+lg 25+10lg 2-lg 3=lg 4+lg 25+=lg 100+=.
题型二
例2 B [解析] 因为lg a+lg b=0,所以ab=1,所以g(x)=-logbx=x=logax,故f(x)=ax与函数g(x)=-logbx=logax单调性相同,且二者图象关于直线y=x对称.因为选项A,C,D中图象表示的函数单调性不同,选项B中图象表示的函数单调性相同,且关于直线y=x对称,所以选B.
变式 (1)B (2)A [解析] (1)由题图可知0(2)依题意,f(x)的图象由函数y=loga|x|的图象向上平移1个单位长度得到.因为y=loga|x|是偶函数,所以函数f(x)的图象关于y轴对称,又00时,函数f(x)单调递减,由对称性知,当x<0时,函数f(x)单调递增,排除B,C.当x=1时,f(1)=loga1+1=1,排除D.故选A.
题型三
例3 (1)A (2)ABC [解析] (1)根据题意,因为a=log3ln 1=0,c=>50=1,所以a(2)∵-11,∴b-a>1,∴logb(b-a)>0,故A恒成立;由题意可得b-a>b>1,∴logb(b-a)>log(b-a),故B恒成立;由题意可得b>1>-a>0,∴0<<1,∴logb(-a)<0,log(-a)>0,∴logb(-a)0,故1-与b-1的大小关系不确定,故D不一定成立.故选ABC.
变式 (1)B (2)a>b>c [解析] (1)易知a<0,0c>a.故选B.
(2)因为a=log34=,b=log45=,c=log56=,所以a-b=,又ln 3ln 5<=<=ln24,故a-b>0,则a>b.同理可得b>c,则a>b>c.
例4 或 [解析] 当01时,对数函数y=logax是增函数,∴函数f(x)=logax(a>1)在区间[a,2a]上的最小值是logaa,最大值是loga(2a),∴3logaa=loga(2a),可得2=loga2,可得a=.综上可得a=或.
变式 (0,1)∪(2,+∞) [解析] f(x)=log2x-x+1的定义域为(0,+∞),易知f(1)=log21-1+1=0,f(2)=log22-2+1=0.由f(x)<0,可得log2x0)的图象,如图所示,由图可知,不等式f(x)<0的解集是(0,1)∪(2,+∞).
题型四
例5 (1)ABC [解析] 对于函数f(x)=ln,令>0,得(x-2)(x+2)<0,解得-2(2)解:①由题意可得解得-2则函数f(x)的定义域为(-2,1).
当a=2时,f(x)=log2(x+2)+log2(1-x)=log2(-x2-x+2).
令t=-x2-x+2,则y=log2t,易知函数y=log2t在(0,+∞)上单调递增.
函数t=-x2-x+2图象的对称轴为直线x=-,
则当x∈(-2,1)时,函数t=-x2-x+2在上单调递增,在上单调递减.
所以由复合函数的单调性可得函数f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为.
②f(x)=loga(x+2)+loga(1-x)=loga(-x2-x+2)(a>0,且a≠1).
令y=-x2-x+2=-+,
由-1≤x≤,得≤y≤,则y=-+在上的取值范围为.
(i)当0所以函数f(x)在上的最大值为loga,
则loga=2,所以a2=,可得a=,显然0(ii)当a>1时,y=logax在上单调递增,
所以函数f(x)在区间上的最大值为loga,
则loga=2,所以a2=,可得a=,显然a>1,满足题意.
综上所述,存在满足题意的a,且a的值为或.
变式 解:(1)当a>1时,由ax-1>0,得x>0,当00,得x<0.
综上,当a>1时,函数f(x)的定义域为(0,+∞);
当0(2)由(1)知f(x)=loga(ax-1)(a>1)的定义域为(0,+∞),任取x1>x2>0,则f(x1)-f(x2)=loga(-1)-loga(-1)=loga>0,
所以函数f(x)为(0,+∞)上的增函数.
由f(x)故关于x的不等式f(x)(3)设g(x)=f(x)-log3(1+3x)=log3,
t==1-,易知t=1-在[1,3]上单调递增,又y=log3t为增函数,所以g(x)在[1,3]上单调递增,故g(x)min=g(1)=log3.
因为f(x)-log3(1+3x)>m对任意实数x∈[1,3]恒成立,
所以m题型五
例6 (1)D [解析] 由0.9μ0=μ0e-2λ=μ0(e-λ)2,得e-λ=.令0.5μ0=μ0(e-λ)t,得0.5=()t,两边取常用对数,得lg 0.5=lg 0.9,所以t=≈13.故选D.
(2)解:(i)从表格中的数据可知,函数是一个增函数,故①不符合题意,因为数据增长的速度越来越快,而模型②中函数增长的速度越来越慢,所以②不符合题意,
所以应选择③y=m·ax+n(m>0,a>1).
代入表格中的数据可得可得
所以y关于x的函数解析式为y=8·+2,x∈N*.
(ii)由(i)可知f(x)=8·+2,x∈N*,可得8·+2>66.所以>8,则x>8== ≈≈5.13,
所以经过6年,平台会员人数首次超过66万人.
变式 ACD [解析] 方法一:由题意可得燃油汽车的声压级=20×lg∈[60,90],所以=1,∈[60,90]①.同理,=1,∈[50,60]②,=1=102=100③.对于A,由表知≥,可得p1≥p2,故A正确;对于B,②÷③得=1∈[1,10],所以p2≤10p3,故B错误;对于C,=100,即p3=100p0,故C正确;对于D,①÷②得=1∈[100,102],即∈[1,100],即p1≤100p2,故D正确.故选ACD.
方法二:因为Lp=20×lg,所以-=20×lg-20×lg=20×lg,又因为-≥0,所以lg≥0,即≥1,所以p1≥p2,故A正确;同理,-=20×lg-20×lg=20×lg,因为-=20×lg∈[10,20],所以lg∈,即∈[,10],所以∈,则p2≤10p3,故B错误;因为=40,所以20×lg=40,则lg=2,即=100,所以p3=100p0,故C正确;因为-≤40,即20×lg≤40,所以lg≤2,即p1≤100p2,故D正确.故选ACD.本章总结提升
判断下列说法是否正确.(请在括号中填写“√”或“×”)
1.lg(ln e)=0. ( )
2.函数y=2+log2x和y=log5都是对数函数. ( )
3.log20.34.函数y=logax与y=lox(a>0且a≠1)的图象关于x轴对称. ( )
5.函数y=5x与y=log5x互为反函数. ( )
6.已知lg x+lg y=2lg(x-2y),则=4. ( )
7.函数y=lo(x2-4x+5)的单调递增区间是(-∞,2). ( )
8.函数y=logax(a>0且a≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1,则实数a=2. ( )
◆ 题型一 对数式的化简与求值
[类型总述] (1)对数的运算性质;(2)换底公式及常用结论.
例1 (1)若xlog34=1,则4x+4-x= .
(2)(lg 5)2+lg 2×lg 5+lg 20+log225×log34×log59= .
(3)已知lg 2=a,10b=3,则log245可以用a,b表示为 .
变式 (1)= .
(2)已知10m=2,10n=3,则2m+lg 25+10m-n= .(用数字作答)
◆ 题型二 对数函数的图象
[类型总述] (1)含对数式的函数图象的画法;(2)函数图象经过的特殊点;(3)底数对函数图象的影响;(4)简单的图象变换.
例2 [2024·长春三中高一期中] 已知lg a+lg b=0,则函数f(x)=ax与函数g(x)=-logbx的图象可能是 ( )
A B C D
变式 (1)已知a A B C D
(2)函数f(x)=loga|x|+1(0 A B
C D
◆ 题型三 对数函数性质的综合应用
[类型总述] (1)与对数函数有关的单调性、最值及不等式问题;(2)利用单调性比较大小.
例3 (1)设a=log3,b=ln 2,c=,则 ( )
A.aC.c(2)(多选题)已知-11,则下列不等式恒成立的是 ( )
A.logb(b-a)>0
B.logb(b-a)>log(b-a)
C.logb(-a)D.log(-a)变式 (1)若a=log0.32,b=log23,c=log69,则 ( )
A.c>b>a B.b>c>a
C.c>a>b D.a>b>c
(2)[2024·广州南武中学高一期末] 已知a=log34,b=log45,c=log56,则a,b,c的大小关系是 .(用“>”表示)
例4 若函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在区间[a,2a]上的最大值是最小值的3倍,则a= .
变式 已知函数f(x)=log2x-x+1,则不等式f(x)<0的解集是 .
◆ 题型四 函数的综合应用
[类型总述] 对数函数与二次函数、不等式、指数函数结合.
例5 (1)(多选题)[2024·湖南株洲三中高一期末] 已知函数f(x)=ln,则下列说法正确的是 ( )
A.f(x)的定义域为(-2,2)
B.f(x)为奇函数
C.f(x)在定义域上是减函数
D.f(x)为偶函数
(2)[2024·江西景德镇高一期末] 已知函数f(x)=loga(x+2)+loga(1-x)(a>0,且a≠1).
①当a=2时,求函数f(x)的单调区间.
②是否存在实数a,使得函数f(x)在区间上取得最大值2 若存在,请求出a的值;若不存在,请说明理由.
变式 已知函数f(x)=loga(ax-1)(a>0且a≠1).
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)当a>1时,解关于x的不等式f(x)(3)当a=3时,若不等式f(x)-log3(1+3x)>m对任意实数x∈[1,3]恒成立,求实数m的取值范围.
◆ 题型五 指、对数函数的实际应用
[类型总述] (1)已知函数模型解应用题;(2)选择函数模型解应用题.
例6 (1)某种汽车安全行驶的稳定性系数μ随使用年数t的变化规律是μ=μ0e-λt,其中μ0,λ是大于0的常数.经检测,当t=2时,μ=0.9μ0,则当稳定性系数降为0.5μ0时,该种汽车已使用的年数约为(结果精确到1,参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1) ( )
A.10 B.11
C.12 D.13
(2)某机构建立了一个应用心理学的学习平台,该平台积极服务广大群众,从建立起,得到了很多人的关注,也有越来越多的人成为平台的会员,主动在平台上进行学习.已知经过x年,平台会员的人数为y万人,x与y的一组数据如下表所示:
x 1 2 3
y 14 20 29
(i)给出下列三种模型:①y=+b(t>0),②y=d·logrx+s(d>0,r>1),③y=m·ax+n(m>0,a>1).从中选择一个恰当的模型建立y关于x的函数关系式.
(ii)根据(i)中求得的函数模型,计算经过多少年平台会员人数首次超过66万人
参考数据:ln 2≈0.693 1,ln 3≈1.098 6.
变式 (多选题)[2023·新课标Ⅰ卷] 噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱,定义声压级Lp=20×lg,其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值,p是实际声压.下表为不同声源的声压级:
声源 与声源的距离/m 声压级/dB
燃油汽车 10 60~90
混合动力汽车 10 50~60
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1,p2,p3,则 ( )
A.p1≥p2
B.p2>10 p3
C.p3=100 p0
D.p1≤100 p2(共36张PPT)
本章总结提升
◆ 知识网络
◆ 知识辨析
◆ 素养提升
判断下列说法是否正确.（请在括号中填写“√”或“×”）
1. .( )
√
[解析] .
2.函数和 都是对数函数.( )
×
[解析] 根据对数函数的定义知，两个函数都不是对数函数.
3. .( )
√
[解析] ，，
4.函数与且的图象关于 轴对称.( )
√
[解析] 因为，所以函数与的图象关于
轴对称.
5.函数与 互为反函数.( )
√
[解析] 同底的指数函数与对数函数互为反函数.
6.已知，则 .( )
√
[解析] 因为，所以 ，
即，解得或.
由已知等式知，, , ，所以不符合题意，所以 .
7.函数的单调递增区间是 .( )
√
[解析] 因为，所以 是定义域上的减函数，
而恒成立且函数的单调递减区间为 ，
所以函数的单调递增区间是 .
8.函数且在 上的最大值与最小值的差是1，则实
数 .( )
×
[解析] 分两种情况讨论：①当时，有，解得 ；
②当时，有，解得.故或 .
题型一 对数式的化简与求值
［类型总述］（1）对数的运算性质;（2）换底公式及常用结论.
例1（1） 若，则 ___.
[解析] , ,
.
（2） ____.
10
[解析]
.
（3）已知,,则可以用， 表示为_____.
[解析] 由,得,又,所以 .
变式（1） __.
[解析] .
（2）已知,,则 ___．（用数字作答）
[解析] ,, ,
.
题型二 对数函数的图象
［类型总述］（1）含对数式的函数图象的画法；（2）函数图象经过的特殊点；
（3）底数对函数图象的影响；（4）简单的图象变换.
例2 [2024·长春三中高一期中]已知，则函数 与函数
的图象可能是( )
B
A. B. C. D.
[解析] 因为，所以，所以 ，
故与函数 单调性相同，且二者图象关于直线
对称.
因为选项A，C，D中图象表示的函数单调性不同，
选项B中图象表示的函数单调性相同，且关于直线 对称，所以选B.
变式（1） 已知，函数 的图象如
图所示，则函数 的图象大致为( )
B
A. B. C. D.
[解析] 由题图可知，故函数 在定义域上是增函数，排除A，D.
令，得,因为，所以，易知 的
图象过定点 ，排除C.故选B.
（2）函数 的图象大致为( )
A
A. B. C. D.
[解析] 依题意，的图象由函数 的图象向上平移1个单位长度得到.
因为是偶函数，所以函数的图象关于轴对称，
又 ，所以当时，函数单调递减，
由对称性知，当时，函数 单调递增，排除B,C.
当时， ,排除D.故选A.
题型三 对数函数性质的综合应用
［类型总述］（1）与对数函数有关的单调性、最值及不等式问题;（2）利用单
调性比较大小.
例3（1） 设,, ，则( )
A
A. B. C. D.
[解析] 根据题意，因为， 且
，，所以 .故选A.
（2）（多选题）已知且 ，则下列不等式恒成立的是 ( )
ABC
A. B.
C. D.
[解析] 且,, ,故A恒成立；
由题意可得, ,故B恒成立；
由题意可得,,, ,
,故C恒成立；
由于,, ,故与的大小关系不确定，
故D不一定成立.故选 .
变式（1） 若,, ,则( )
B
A. B. C. D.
[解析] 易知,, .故选B.
（2）[2024·广州南武中学高一期末] 已知,, ，则
,,的大小关系是__________.（用“ ”表示）
[解析] 因为,, ，
所以，又 ，
故，则.同理可得，则 .
例4 若函数在区间 上的最大值是最小值的3
倍，则 _ _______.
或
[解析] 当时，对数函数是减函数，
函数在区间上的最大值是 ，
最小值是，，可得，可得.
当 时，对数函数是增函数，
函数在区间 上的最小值是，最大值是，
，可得 ，可得.综上可得或 ．
变式 已知函数，则不等式 的解集是 __________
_______.
[解析] 的定义域为 ，
易知，
.
由，可得，
则 的图象在 的图象上方时，
对应点的横坐标组成不等式的解集.
画出, 的图象，如图所示，
由图可知，不等式 的解集是 .
题型四 函数的综合应用
［类型总述］ 对数函数与二次函数、不等式、指数函数结合.
例5（1） （多选题）[2024·湖南株洲三中高一期末] 已知函数 ，
则下列说法正确的是( )
ABC
A.的定义域为 B. 为奇函数
C.在定义域上是减函数 D. 为偶函数
[解析] 对于函数，令，得 ，
解得，所以函数的定义域为 ，故A正确；
因为，所以 为奇函数，
故B正确，D错误；
因为在上单调递减， 在定义域上单调递增，
所以在定义域上是减函数，故C正确.故选 .
（2）[2024·江西景德镇高一期末] 已知函数
，且 ．
①当时，求函数 的单调区间.
解：由题意可得解得 ，
则函数的定义域为 .
当时， .
令，则，易知函数在 上单调递增.
函数图象的对称轴为直线 ，
则当时，函数在上单调递增，
在 上单调递减．
所以由复合函数的单调性可得函数的单调递增区间为 ，
单调递减区间为 .
②是否存在实数，使得函数在区间 上取得最大值2？若存在，请求
出 的值；若不存在，请说明理由．
解：，且 .
令 ，
由，得，则在 上的取值范围为
.
当时，在 上单调递减，
所以函数在上的最大值为 ，
则，所以，可得，显然 ，满足题意.
当时，在 上单调递增，
所以函数在区间上的最大值为 ，
则，所以，可得，显然 ，满足题意．
综上所述，存在满足题意的，且的值为或 .
变式 已知函数且 .
（1）求函数 的定义域；
解：当时，由，得，
当时，由 ，得 .
综上，当时，函数的定义域为 ；
当时，函数的定义域为 .
（2）当时，解关于的不等式 ；
解：由（1）知的定义域为 ，
任取 ，
则 ，
所以函数为 上的增函数.
由，知
故关于的不等式的解集为 .
（3）当时，若不等式对任意实数 恒成立，
求实数 的取值范围.
解：设 ，，
易知在上单调递增，
又 为增函数，所以在上单调递增，
故 .
因为对任意实数 恒成立，
所以，故实数的取值范围为 .
题型五 指、对数函数的实际应用
［类型总述］（1）已知函数模型解应用题;（2）选择函数模型解应用题.
例6（1） 某种汽车安全行驶的稳定性系数 随使用年数 的变化规律是
，其中, 是大于0的常数．经检测，当时， ，则当
稳定性系数降为 时，该种汽车已使用的年数约为（结果精确到1，参考数
据：， ）( )
D
A.10 B.11 C.12 D.13
[解析] 由，得.
令 ，得，两边取常用对数，
得，所以 ．故选D.
（2）某机构建立了一个应用心理学的学习平台，该平台积极服务广大群众，从建
立起，得到了很多人的关注，也有越来越多的人成为平台的会员，主动在平台上进
行学习.已知经过年，平台会员的人数为万人，与 的一组数据如下表所示：
1 2 3
14 20 29
（i）给出下列三种模型： ，
， .从中选择一
个恰当的模型建立关于 的函数关系式.
解：从表格中的数据可知，函数是一个增函数，故①不符合题意，
因为数据增长的速度越来越快，而模型②中函数增长的速度越来越慢，
所以②不符合题意，
所以应选择 .
代入表格中的数据可得可得
所以关于的函数解析式为， ．
（ii）根据 中求得的函数模型，计算经过多少年平台会员人数首次超过66万人？
参考数据：， ．
解：由可知，，可得 ．
所以，则 ，
所以经过6年，平台会员人数首次超过66万人.
变式 （多选题）[2023· 新课标Ⅰ卷] 噪声污染问题越来越受到重视．用声压级
来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数 是听觉下
限阈值， 是实际声压．下表为不同声源的声压级：
声源
燃油汽车 10
混合动力汽车 10
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为 ,
, ，则( )
ACD
A. B. C. D.
[解析] 方法一：由题意可得燃油汽车的声压级 ，
所以,.
同理，, ，.
对于A，由表知，可得 ，故A正确；
对于B，得，所以 ，故B错误；
对于C，，即，故C正确；
对于D， 得，即,即，
故D正确.故选 .
方法二：因为 ，
所以，
又因为 ，所以，即，所以 ，故A正确；
同理， ，
因为，所以，即 ，
所以，则，故B错误；
因为，所以 ，则，即，
所以，故C正确；
因为 ，即， ·所以，即，
故D正确.故选 .