滚动习题(七)
[范围§3~§4]
(时间:45分钟 分值:100分)
一、选择题(本大题共7小题,每小题5分,共35分)
1.“a>b”是“log2a>log2b”的 ( )
A.充分不必要条件
B.充要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
2.已知a=2-0.2,b=ln 3,c=log0.23,则 ( )
A.b
C.c3.某地区植被改善效果显著,森林覆盖面积越来越高,2021,2022,2023年森林面积增加量分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷,记2021,2022,2023年分别为第1,2,3年,则森林面积增加量y(单位:万公顷)关于年数x的函数关系较为接近的是 ( )
A.y=0.2x B.y=0.1x2+0.1x
C.y=0.2+log4x D.y=
4.若函数y=log2(kx2+4kx+5)的定义域为R,则k的取值范围是 ( )
A.
B.
C.
D.(-∞,0)∪
5.[2024·山东青岛海尔学校高一月考] 已知函数f(x)=log2(2-x+a),若对任意x1,x2∈[-2,0],均有|f(x1)-f(x2)|≤1成立,则a的取值范围为 ( )
A.(-∞,-1)∪[2,+∞)
B.(-1,2]
C.[2,+∞)
D.(2,+∞)
6.(多选题)函数f(x)=loga(x+2)(0A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
7.(多选题)[2024·合肥十中高一期末] 下列说法中错误的有 ( )
A.函数y=-在其定义域上是增函数
B.函数y=log2(x-1)的图象可由y=log2(x+1)的图象向右平移2个单位长度得到
C.函数f(x)=是奇函数
D.若2a=3b>1,则a>b
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
8.已知a>0,a≠1,且loga>loga,则实数a的取值范围是 .
9.已知函数t=-144lg中,t表示达到某一英文打字水平所需的学习时间(单位:分钟),N表示每分钟打出的字数,则当N=40时,t≈ .(参考数据:lg 5≈0.699,lg 3≈0.477)
10.函数f(x)=lg(x2-2x-8)的单调递增区间是 .
11.若函数f(x)=loga(x+1)(a>0且a≠1)的定义域和值域都为[0,1],则实数a的值为 .
三、解答题(本大题共3小题,共45分)
12.(15分)设函数f(x)=
(1)求方程f(x)=的解;
(2)求不等式f(x)≤2的解集.
13.(15分)已知函数f(x)=ax-2(a>0且a≠1)的图象恒过定点A,且点A在函数g(x)=logax的图象上.
(1)求函数g(x)的解析式;
(2)存在互不相等的实数m,n,使得|g(m)|=|g(n)|,求mn的值.
14.(15分)已知函数f(x)=loga(2x-3)+1(a>0,且a≠1).
(1)当a=2时,求不等式f(x)<3的解集.
(2)当a=10时,设g(x)=f(x)-1,且g(3)=m,g(4)=n,求log645(用m,n表示).
(3)在(2)的条件下,是否存在正整数k,使得关于x的不等式2g(x+1)>lg(kx2)在区间[3,5]上有解 若存在,求出k的最大值;若不存在,请说明理由.滚动习题(七)
1.C [解析] 当a>b时,log2a>log2b不一定成立,例如取a=-1,b=-2,此时log2a,log2b均无意义;反之,当log2a>log2b时,必有a>b>0.故选C.
2.C [解析] 0<2-0.2<20=1,ln 3>ln e>1,log0.233.D [解析] 由题意,当x=1,2,3时,森林面积增加量分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷,即(1,0.2),(2,0.4),(3,0.76).对于A,函数y=0.2x,当x=3时,y=0.6,和0.76相差较大;对于B,函数y=0.1x2+0.1x,当x=2时,y=0.6,和0.4相差较大;对于C,函数y=0.2+log4x,当x=2时,y=0.7,和0.4相差较大;对于D,函数y=,当x=1时,y=0.2,当x=2时,y=0.4,当x=3时,y=0.8,和0.76相差0.04.综合可得,选用函数关系y=较为近似.故选D.
4.B [解析] 由题意得kx2+4kx+5>0对任意x∈R恒成立,当k=0时,5>0恒成立;当k≠0时,需满足
解得05.C [解析] 由题知当x∈[-2,0]时,f(x)max-f(x)min≤1.由x∈[-2,0],得2-x∈[1,4],故t=2-x+a∈[a+1,a+4],而y=log2t为增函数,所以
则可得a≥2,故a的取值范围为[2,+∞).故选C.
6.BCD [解析] 作出函数f(x)=loga(x+2)(07.AC [解析] 对于A选项,y=-的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),可得y=-的单调递增区间为(-∞,0),(0,+∞),在定义域上不是增函数,A中说法错误;对于B选项,y=log2(x+1)的图象向右平移2个单位长度得到y=log2(x-1)的图象,B中说法正确;对于C选项,f(x)=的定义域为(-∞,-1)∪(-1,+∞),定义域不关于原点对称,故f(x)不是奇函数,C中说法错误;对于D选项,设2a=3b=k>1,则a=log2k=,b=log3k=,因为lg k>0,0,即a>b,D中说法正确.故选AC.
8.(0,1) [解析] 对于对数函数f(x)=logax,当a>1时,f(x)在(0,+∞)上是增函数;当0loga,所以09.36.72 [解析] 当N=40时,t=-144lg=-144lg =-144(lg 5-2lg 3)≈36.72.
10.(4,+∞) [解析] 对于函数f(x)=lg(x2-2x-8),有x2-2x-8>0,解得x<-2或x>4,故函数f(x)的定义域为(-∞,-2)∪(4,+∞).令u=x2-2x-8,则u=x2-2x-8在区间(-∞,-2)上单调递减,在区间(4,+∞)上单调递增.因为y=lg u为增函数,所以函数f(x)的单调递增区间为(4,+∞).
11.2 [解析] 由对数函数的单调性分情况讨论.当a>1时,f(0)=0,f(1)=1,即解得a=2;当012.解:(1)由f(x)=,得或解得x=.∴方程f(x)=的解为x=.
(2)由f(x)≤2,得或解得或即-1≤x<1或1≤x≤16,即-1≤x≤16.∴不等式f(x)≤2的解集为[-1,16].
13.解:(1)令x-2=0,得x=2,此时ax-2=a0=1,
所以函数f(x)的图象恒过定点A(2,1),
所以g(2)=loga2=1,解得a=2,所以g(x)=log2x.
(2)由|g(m)|=|g(n)|,得|log2m|=|log2n|,
所以log2m=log2n或log2m=-log2n.当log2m=log2n时,由y=log2x在(0,+∞)上单调递增知,m=n,不符合题意;当log2m=-log2n时,log2m+log2n=log2mn=0,所以mn=1.
14.解:(1)当a=2时,不等式f(x)<3即为log2(2x-3)+1<3,得0<2x-3<4,∴(2)当a=10时,g(x)=f(x)-1=lg(2x-3),
∴m=g(3)=lg 3,n=g(4)=lg 5,∴log645====.
(3)假设存在正整数k满足题意.
在(2)的条件下,不等式2g(x+1)>lg(kx2)可化为lg[(2x-1)2]>lg(kx2),可得(2x-1)2>kx2,
∴关于x的不等式k<在区间[3,5]上有解.
令h(x)=,x∈[3,5],则k∵h(x)==,∈,
∴h(x)max=h(5)=,∴k<,
又k是正整数,∴k的最大值为3.
故存在正整数k满足题意,且k的最大值为3.