2025 年 9 月山东省济南市高三模拟考试数学试卷（图片版，含答案）

2025 年 9 月济南市高三模拟考试
数学试题参考答案
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A C A B B C C
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
题号 9 10 11
答案 ABD BC AC
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
2 5
12．14 13． 14．
7 6
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．【解析】
Tn Tn
（1）当 n≥2 时， an = = ，所以Tn Tn 1 = 2 ，
Tn 1 Tn 2
T1
当 n =1时， a1 = T1 = ，所以 a1 = T1 = 3．
T1 2
所以，{Tn}是以3为首项，以 2为公差的等差数列．
（2）由（1）知，Tn = 3+ 2(n 1)= 2n +1，
1 1 1 1 1
所以Cn = = = ( )
Tn Tn+1 (2n +1)(2n + 3)
．
2 2n +1 2n + 3
1 1 1 1 1 1 1 1 1
Sn = C1 +C2 +C3 + +Cn = ( + + + ) =
2 3 5 5 7 2n +1 2n + 3 6 4n + 6 ．
16. 【解析】
（1）设 A=“标有数字 2 和 4 的小球不相邻”．
四个小球随机排列总数 n( ) = A44 = 24 ，
“标有数字 2 和 4 的小球不相邻” n(A) = 2 A33 =12，
n(A) 12 1
P(A) = = = ．
n( ) 24 2
（2）由题意，X=0，1，2．
- 1 -
2 2 2 1 2(2A3 8) 2 2 A21 1
P(X = 0) = = ； P(X =1) =
3 = ； P(X = 2) =
2 =
A4 3 A4 3 A4
；
4 34 4
X 0 1 2
P 1 1 1
3 3 3
1 1 1
E(X ) = 0 +1 + 2 =1．
3 3 3
17. 【解析】
（1）连接 BD交 AC于O，因为四边形 ABCD为菱形，所以 AC ⊥ BD .
又因为 PA = PC，所以 PO ⊥ AC，
因为 PO BD =O，所以 AC ⊥面PBD，
又因为 PD 面 PBD，所以 AC ⊥ PD .
（2）以O为原点，建系如图.所以 A(0, 1,0),B( 3,0,0),C(0,1,0),D( 3,0,0) ，由（1）得，设
P(x,0, z)，因为 2 2 2 2PA = 2 ，所以 x +1+ z = 2 ，所以 x + z =1，
BP DP 1 3
因为 BP = (x 3,0, z),DP = (x + 3,0, z) ，所以 cos BP,DP = = = ，所
BP DP 4 3x2 3
3
以 x = ，
3
3 6 3 6
因为 PB PD，所以 x = ，则 z = ，所以 P( ,0, ) .
3 3 3 3
3 6
因为 BC = ( 3,1,0),CP = ( , 1, ) ，设面 PBC的法向量为 n = (x1, y , z ， 1 1)
3 3
3 6
x1 y1 + z1 = 0
所以 3 3 ，令 x1 = 1，所以 n = (1, 3, 2) .

3x1 + y1 = 0
DC n 2 3 2
因为DC = ( 3,1,0) ，则 cos DC,n = = = ，
DC n 2 6 2
2
所以CD与平面 PBC所成角的余弦值为 .
2
18. 【解析】
（1）由题意 f (x) = ex x a，令 g(x) = f (x) = ex x a， g (x) = e x 1，令 g (x) = 0，解
得 x = 0．
- 2 -
g (x) ， g(x)的变化情况如下表所示．
x ( , 0) 0 (0, + )
g (x) 0 +
g(x) 单调递减 1 a 单调递增
所以，
①当 a 1时，1 a 0， f (x) 0，此时 f (x)无极值点；
②当 a 1时，1 a 0，x→ 时， f (x)→+ ， f (0) =1 a 0，所以 f (x)在 ( , 0)上
存在唯一的零点 x1，
x→+ 时， f (x)→+ ， f (0) =1 a 0，所以 f (x)在 (0, + )上存在唯一的零点 x2 ．
（或者取点： a 0，使得 f ( a) = e a ( a) a = e a 0， f (0) =1 a 0 ，所以 f (x)
在 ( , 0) 上 存 在 唯 一 的 零 点 x1 ； x0 =1+ 1+ 2a 0 ， 使 得
x 1 0 2
1
f (x0 ) = e x0 a x0 x0 a = (1+ 1+ 2a )
2 (1+ 1+ 2a ) a = 0， f (0) =1 a 0 ，
2 2
所以 f (x)在 (0, + )上存在唯一的零点 x2 ．）
当 x变化时， f (x)， f (x)的变化情况如下表所示．
x ( , x1) x1 (x1, x2 ) x2 (x2 , + )
f (x) + 0 0 +
f (x) 单调递增 单调递减 单调递增
所以 f (x)有两个极值点．
综上所述，当 a 1时， f (x)无极值点；当 a 1时 f (x)有两个极值点．
（2）（ⅰ）证明：令G(x) = g(x) g( x)， x 0，
G (x) = g (x) + g ( x) = ex 1+ e x 1= ex + e x 2 2 ex e x 2 = 0 ，
所以G(x)在 (0, + )上单调递增，
所以G(x) = g(x) g( x) g(0) g(0) = 0，即当 x 0时，有 g(x) g( x)．
令 x = x2 ，即得 g(x2 ) g( x2 )，又因为 g(x1) = g(x2 ) ，所以 g(x1) g( x2 )，又因为 g(x)在
( , 0)上单调递减，且有 x1 0 ， x2 0 ，所以 x1 x2 ，即得 x1 + x2 0．
- 3 -
由（1）知 x1 0 x2 ，
要证： x1 + x2 0，
只需证： x1 x2 0 ，因为 g(x)在 ( , 0)上单调递减，
即证： g(x1) g( x2 )，因为 g(x1) = g(x2 ) ，
即证： g(x2 ) g( x2 )，
令G(x) = g(x) g( x)， x 0，
G (x) = g (x) + g ( x) = ex 1+ e x 1= ex + e x 2 2 ex e x 2 = 0 ，
所以G(x)在 (0, + )上单调递增，
所以G(x) = g(x) g( x) g(0) g(0) = 0，
即当 x 0时，有 g(x) g( x)．
令 x = x2 ，即得 g(x2 ) g( x2 )，得证．
（ⅱ）证明：令 F(x) = f (x) + f ( x)， x 0，
F (x) = f (x) f ( x) = (ex x a) (e x + x a) = ex e x 2x，
令 (x) = F (x) ，则 (x) = ex + e x 2 0，所以F (x) 在 (0, + )上单调递增，
所以 F (x) F (0) = 0，从而 F(x)在 (0, + )上单调递增，
所以 F(x) F(0) = 2．
令 x = x2 ，即得 f (x2 ) + f ( x2 ) 2．
由 x1 + x2 0可得， x1 x2 0 ，再由 f (x)在 (x1, x2 )上单调递减可得 f (x1) f ( x2 ) ，
所以 f (x1) + f (x2 ) f ( x2 ) + f (x2 ) 2．
19.【解析】
（1）由题意得抛物线的准线为 x = 1，故 p = 2 .
从而抛物线的标准方程为 y2 = 4x .
（2）设 A1(x1, y1)，由于 A1 在第一象限，估斜率存在。设直线 l1 的方程为 y y1 = k1(x x1) 。
联立 l1与抛物线方程
- 4 -
y2 = 4x

y = k1(x x1)+ y1
2
得 (k1(x x1) + y1)
2 4x = 0 . 令 = 0得 k1 =
y1
即直线 l1的方程为 y1y = 2(x + x1) ，
2x1
令 x = 0得M (0, )
y1
2x1
由题意知 F(1,0)，故 kFM = .
y1
4x
k1 kFM =
1
，
y21
4x1
考虑到 A1(x1, y1)在抛物线上，故有 y
2 k k = = 1
1 = 4x1 ，代入得 1 FM . y21
故 FM ⊥ l1 .
（3）设 A2 (x1, y1) ， A3 (x3 , y3 ) ，同（2）有 l2 : y1y = 2(x + x1) ， l3 : y3 y = 2(x + x3 ) .
联立 l3 与 l1，
y1y = 2(x + x1)

y3y = 2(x + x3 )
x 2 2
x = 1
y3 x3y1 y1 y3 y3 y1 y1y3
解得， P = = ，
y1 y3 4(y1 y3 ) 4
y
同理 x = 1
y3
Q .
4
故 xP + xQ = 0。设直线 l3 与 y轴交于 N，则 P，Q关于点 N对称，即NP = NQ .
类似于（1），可得 FN 垂直于 l3 . 故FP = FQ .
延长QF 交 y轴于 B，则 PFB = 2 PQF，
故 PFB = PFM 。从而 B与M 重合. 即M ,F,Q共线.
k1
进而 k1 = k2 ，注意到 k1 0，故 =1 . k2
- 5 -