(共33张PPT)
21.2 二次根式的乘除
21.2.3 二次根式的除法
第21章 二次根式
学习目标
1.了解二次根式的除法法则；
2.会运用除法法则及商的算术平方根进行简单运算；
3.能将二次根式化为最简二次根式；
温故知新
二次根式乘法
法则
性质
(计算)
(化简)
小试牛刀
1.计算： 的结果是( )
A.2 B.6 C.8 D.16
练一练：
B
2.计算： 的结果是______.
3.等式 成立的条件是________.
2
x≥0
讲授新课
知识点一 二次根式的除法
思考：你能计算出 ？
解：
是最后的结果吗？还能怎么处理呢？
讲授新课
比较左右两边的等式，你有什么发现
合作交流
1.独立思考，完成计算；
2.四人一组，讨论规律.
计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律
讲授新课
计算下列各式：
对比乘法法则里字母的取值范围，除法法则里字母的取值范围有何变化
观察计算结果，你能发现什么规律
分母不为0
归纳
讲授新课
(1) ___÷___=____;
= _____;
计算下列各式:
(2) ___÷___=____;
(3) ___÷___=____;
= _____;
= _____.
2
3
4
5
6
7
观察两者有什么关系？
知识概括
一般地，二次根式的除法法则是：
语言表述：算术平方根的商等于被开方数商的算术平方根.
即：二次根式相除，________不变，_ _______相除.
根指数
被开方数
当二次根式根号外的因数(式)不为1时，可类比单项式除以单项式法则，易得
讲授新课
典例精析
【例1】计算:
解:
讲授新课
练一练
1、计算：
解:
(1)原式=
(2)原式=
(3)原式=
(4)原式=
讲授新课
2、， ,使分母中不含二次根式,并且被开方数中不含分母
解：
=
=
=
=
=
讲授新课
（2）二次根式的运算结果要尽量化到最简；
（3）如果被开方数是带分数，应先将它化成假分数，以免出现类似
这样的错误；
（4）如果是几个二次根式相除，应按除法法则依次计算，也可以把除法
运算转化为乘法运算来计算．
易错警示：
（1）在 中，特别注意 b＞0，若b＝0，则无意义；
讲授新课
知识点二 最简二次根式
活动 观察以上各题中，化简后的二次根式有什么特点
有如下两个特点：
(1)被开方数不含分母；
(2)被开方数中所有因数(或因式)的幂的指数都小于2．
满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
讲授新课
归纳知识
满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式
(1) 被开方数不含分母；
(2) 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
简记：一根号无分母，分母无根号；二不能再开方.
讲授新课
典例精析
解：（1）
（2）
【例2】将下列各式化为最简二次根式：
（1） （2） （3）
．
（3）
．
讲授新课
练一练
解:
1、化简:
(1) ;
(2) ;
(3) .
（2）
（3）
（1）
讲授新课
解：
讲授新课
知识点三 二次根式除法的应用
【例3】高空抛物现象被称为“悬在城市上空的痛”．据报道：一个30g的鸡蛋从18楼抛下来就可以砸破行人的头骨，从25楼抛下可以使人当场死亡．据研究从高空抛物时间t和高度h近似的满足公式 .从100米高空抛物到落地所需时间t2是从50米高空抛物到落地所需时间t1的多少倍？
解:由题意得
讲授新课
练一练
1、设长方形的面积为S,相邻两边长分别为a,b.已知 ，求a的值.
解:∵
∴
讲授新课
知识点四 二次根式乘除法的混合运算
二次根式的乘除混合运算
1．进行二次根式的乘除混合运算时，有括号的先算括号内的，没有括号的按
照从左到右的顺序进行．
2．两个二次根式相乘除，根号前的系数对应相乘除，根号内的被开方数对应
相乘除．
讲授新课
典例精析
【例4】 计算： ．
分析：先把被开方数中的带分数化为假分数，再根据运算法则，按照运算顺
序进行计算．
解：
＝
．
讲授新课
二次根式的乘除混合运算中的四点注意：
（1）带分数要化成假分数；
（2）要注意确定最后结果的符号；
（3）最后结果一般要化为最简二次根式或整式；
（4）在二次根式的乘除混合运算中，有理数的运算法则同样适用．
练一练
1.计算：
解:(1)原式
．
(2)原式
．
当堂检测
1．下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．的倒数是（ ）
A． B． C． D．
3．若成立，则的值可以是（ ）
A．-4 B．2 C．4 D．5
B
A
B
当堂检测
4.化简 时，最好将分子、分母都乘以( )
A. B. C. D.
5.下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
D
C
当堂检测
6.计算
当堂检测
7.在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的进行化简．
解：只有 (3) 是最简二次根式；
当堂检测
8.把下列二次根式化成最简二次根式：
解:
当堂检测
9.化简.
解:
当堂检测
10.计算.
解:
(1)原式
(2)原式
(3)原式
当堂检测
11．若与是被开方数相同的最简二次根式，求的值．
解：∵ 与是被开方数相同的最简二次根式.
解得：
∴符合题意
.
课堂小结
一般地，二次根式的除法法则是：
语言表述：算术平方根的商等于被开方数商的算术平方根.
即：二次根式相除，________不变，_ _______相除.
根指数
被开方数
当二次根式根号外的因数(式)不为1时，可类比单项式除以单项式法则，易得(共25张PPT)
21.2 二次根式的乘除
21.2.1 二次根式的乘法
21.2.2 积的算术平方根
第21章 二次根式
学习目标
1.理解二次根式的乘法法则；
2.会运用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行简单运算；
温故知新
1.当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义
∴ x＞1.
∴ x＞-3 且 x ≠1.
∴ x ≤ 1.
∴ 2 ≤ x ≤ 3.
∴ x = 3.
∴ x 为任何实数.
导入新课
学校教学楼后有一长方形花坛（长、宽如图所示，单位：m），现在学校根据需要，想把它改建为草坪．若全部铺满，需购买多少平方米的草皮？
讲授新课
知识点一 二次根式的乘法
比较左右两边的等式，你有什么发现
6
6
20
20
30
30
1.计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律
(1)
(2)
(3)
讲授新课
2．用上题你所发现的规律填空:
＝
思考与交流：在前面所发现的规律表达式 · ＝ 中，a，b可否为任意实数？说明理由．
注意：式中a，b
都必须是非负数．
（1） × _____
；
（2） ×＝____________．
知识概括
一般地，二次根式的乘法法则是：
语言表述：算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.
即：二次根式相乘，________不变，_____ ___相乘.
根指数
被开方数
讲授新课
典例精析
【例1】计算:
解:
讲授新课
练一练
1、计算：
解：
讲授新课
讲授新课
知识点二 乘法运算律在二次根式乘法中的应用
（2）．
也就是说，把被开方数和各个根号外面的系数分别相乘，将系数相乘的
积作为积的系数，把被开方数相乘的积作为积的被开方数．
（1）；
．
讲授新课
典例精析
【例2】计算：
（1）；
（3）； （4）(－)．
解：（1）
（2）．
解：（3）
．
（4） (－) ＝(－2)×
．
讲授新课
特别提醒：
（1）二次根式相乘时，可利用乘法交换律和结合律，将二次根式根号外的因数（式）和两个二次根式分别相乘，同时注意确定积的符号．
（2）二次根式相乘时，被开方数的积中有能开得尽方的一定要开方．
讲授新课
练一练
1、化简：
（1）；
（2）；
（3） （a≥0，b≥0）；
（4） （a＜0）.
解：（1）原式＝ ×＝7×11＝77．
（2）＝＝ ×＝4×3＝12．
（3）原式＝×＝a2．
（4）原式＝×＝－a．
讲授新课
解：（1） ；
2、化简：
（1） ；（2） ．
（2）
讲授新课
化简：
解:
讲授新课
知识点三 二次根式乘法的应用
【例3】一个长方形的长和宽分别是 和2 .求这个长方形的面积.
解：长方形的面积
答：这个长方形的面积为4
讲授新课
练一练
1、如图，一个正三角形路标的边长为 个单位，求这个路标的面积.
解：如图，作AD丄BC于点D，
则 BD=CD= BC=
在 Rt△ACD中，
AD=
∴S△ABC = BC×AD= (平方单位).
答:这个路标的面积为 平方单位.
当堂检测
A. B.
C. D.
1.计算 的结果是 ( )
A. B.4 C. D.2
B
2.下面计算结果正确的是 ( )
D
3.计算： ____.
30
当堂检测
4.己知，a=，b=，用含a,b的代数式表示,这个代数式可以是( )
A.a+2b B.a2b C.4a D.ab2
5.在中，，，，则的面积是（ ）
A．5 B． C．10 D．
6．当时，化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
7．把根号外面的因式移到根号内得( )
A． B． C． D．-1
D
A
A
C
当堂检测
8.=_____， =______.
9.=______， =______，=______.
10.一个长方形的长为2cm,宽为cm，则这个长方形的面积为_____cm2.
12
15
8
7
6
1
当堂检测
11、计算
（1） ； （2） ； （3） ．
解：（1）
（2）
（3）
当堂检测
12. 化简：
解:
当堂检测
13.如图，架在消防车上的云梯AB长为15m，AD：BD=1:0.6,云梯底部离地面的距离BC为2m.你能求出云梯的顶端离地面的距离AE吗？
课堂小结
二次根式
的乘法
一般地，二次根式的乘法法则是
算术平方根的积等于被开方数的积的算术平方根.
乘法法则
应用
1. 乘法运算律在二次根式乘法中的应用
2. 二次根式乘法的实际应用.(共39张PPT)
21.1 二次根式
第21章 二次根式
学习目标
1.理解二次根式的概念；
2.掌握二次根式有意义的条件；
3.会利用二次根式的非负性解决相关问题；
温故知新
1.什么叫做一个数的平方根？如何表示？
2.什么是一个数的算术平方根？如何表示？
一般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫做a的平方根.
a的平方根是 (a≥0).
正数正的平方根叫做它的算术平方根.
0的算术平方根是0.
用 (a≥0)表示.
温故知新
3.(1)16的平方根是什么？算术平方根是什么？
(2)0的平方根是什么？算术平方根是什么？
(3)-7有没有平方根？有没有算术平方根？
导入新课
根据下图所示的直角三角形、正方形和等边三角形的条件，完成以下填空：
2cm
a cm
1.直角三角形的边长是： .
2.正方形的边长是： .
3.等腰直角三角形的的直角边长是 .
(cm2)
你认为所得的各代数式的共同特点是什么？
讲授新课
知识点一 二次根式的概念
用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：
（1）面积为 3 的正方形的边长为_______，面积为 S 的正方形的边长为_______．
（2）一个长方形围栏，长是宽的 2 倍，面积为 130 m2，则它的宽为______m．
讲授新课
（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：s）与开始落下时离地面的高度 h（单位：m）满足关系 h＝5t2．如果用含有 h 的
式子表示 t ，那么 t 为_______．
你发现这些结果有哪些共同特征？
用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：
讲授新课
， ， ， ；它们表示一些正数的算术平方根．
我们知道，一个正数有两个平方根；0 的平方根为 0；在实数范围内，负数没有平方根．因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或 0．
上面问题中，得到的结果分别是： .
讲授新课
一般地，我们把形如 (a≥0)的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号．
1．被开方数 a 可以是非负的数或单项式、多项式、分式等；
2．“ ”中一般把根指数 2 省略，写成“ ”．
讲授新课
典例精析
解：(1)(4)(6) 是二次根式
(2)(3)(5)(7) 均不是二次根式.
【例1】下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？并总结一下方法.
讲授新课
练一练
1、下列代数式中哪些是二次根式？
⑴
⑵
⑶
⑷
⑸
⑹
讲授新课
知识点二 二次根式有意义的条件
当x取何值时，下列根式有意义？
二次根式有意义的条件
被开方数大于或等于0，即a≥0.
解：(1)由x2≥0，得x≥；
(2)由-2x+1≥0，得x≤ .
讲授新课
解：由x2≥0，得x是任意实数，
∴当x为任意实数时， 都有意义.
思考：当x是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？ 呢？
由x3≥0，得x≥0，
∴当x≥0 时， 有意义.
讲授新课
典例精析
【例2】求下列二次根式中字母a的取值范围.
解：(1)由 a+1≥0，得 a≥ -1，所以字母a的取值范围是大于或等于- 1的实数.
(2)由 > 0，得 1 - 2a > 0，即 a< .所以字母a的取值范围是小于 的实数.
(3)因为无论a取何值，都有(a-3) 2 ≥ 0,所以a的取值范围是全体实数.
讲授新课
练一练
1、当x是怎样的实数时, 在实数范围内有意义
解：由x-2≥0，得
x≥2.
当x≥2时， 在实数范围内有意义.
讲授新课
（2）∵被开方数需大于或等于零，
∴3+x≥0，
∴x≥-3.
∵分母不能等于零，∴x-1≠0，∴x≠1.
∴x≥-3 且x≠1.
2、当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
解（1）由题意得x-1＞0，
∴x＞1.
讲授新课
知识点三 二次根式的非负性
问题1 当x是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？ 呢？
前者x为全体实数；后者x为正数和0.
当a＞0时， 表示a的算术平方根，因此 ＞0；当a=0时， 表示0的算术平方根，因此 =0.这就是说，当a≥0时， ≥0.
问题2 二次根式 的被开方数a的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？
讲授新课
二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式 ，我们知道：
（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0；
（2） 表示一个数或式的算术平方根，可知 ≥0.
二次根式的被开方数非负
二次根式的值非负
二次根式的双重非负性
讲授新课
典例精析
【例3】若 ， 求a -b+c的值.
解：
由题意可知a-2=0,b-3=0,c-4=0,
解得a=2,b=3,c=4.
所以a-b+c=2-3+4=3.
讲授新课
【例4】已知 y= , 求3x+2y的算术平方根.
解：由题意得
∴x=3，∴y=8，
∴3x+2y=25.
∵25的算术平方根为5，
∴3x+2y的算术平方根为5．
讲授新课
练一练
1.已知a，b为等腰三角形的两条边长，且a，b满足 ，
求此三角形的周长．
解：由题意得
∴a=3，
∴b=4.
当a为腰长时，三角形的周长为3+3+4=10；
当b为腰长时，三角形的周长为4+4+3=11．
讲授新课
2.已知|3x-y-1|和 互为相反数，求x+4y的平方根．
解：由题意得3x-y-1=0且2x+y-4=0．
解得x=1，y=2．
∴x+4y=1+2×4=9，
∴x+4y的平方根为±3.
讲授新课
知识点四 二次根式的性质
正方形的边长为 ，
用边长表示正方形的面积为 ，
又∵面积为a，
即 .
活动1 如图是一块具有民族风的正方形方巾，面积为a，求它的边长，并用所求得的边长表示出面积，你发现了什么？
这个式子是不是对所有的二次根式都成立呢？
讲授新课
活动2 为了验证活动1的结论是否具有广泛性，下面根据算术平方根及平方的意义填空，你又发现了什么？
...
算术平方根
平方运算
0
2
4
...
a(a≥0)
02 = 0
...
观察两者有什么关系？
22 = 4
讲授新课
4
2
0
根据活动2 直接写出结果，然后根据活动2的探究过程说明理由：
是2的算术平方根，根据算术平方根的意义，
是一个平方等于2的非负数.因此 .
同理， 分别是0,4， 的算术平方根，即得上面的等式.
讲授新课
的性质：
一般地， ＝a (a ≥0).
即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.
注意：不要忽略a≥0这一限制条件.这是使二次根式 有意义的前提条件.
讲授新课
...
平方运算
算术平方根
2
0.1
0
...
a(a≥0)
2
...
观察两者有什么关系？
填一填：
＝a (a≥0).
讲授新课
...
平方运算
算术平方根
-2
-0.1
...
2
...
观察两者有什么关系？
a(a＜0)
思考：当a＜0时， =
？
-a
讲授新课
即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值.
a (a≥0)
-a (a＜0)
的性质：
讲授新课
典例精析
【例5】计算：
解：
讲授新课
【例6】化简：
讲授新课
练一练
解：
1、化简下列各式
当堂检测
3.若式子 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是___________.
1.下列各式： . 一定是二次根式的有 ( )
A. 3 个 B. 4 个 C. 5 个 D. 6 个
B
2.若式子 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是_______；
x≥1
x≥0 且 x≠2
当堂检测
4.当x 取何值时，下列式子在实数范围内有意义
分析：(1)由x＋7≥0可得， x ≥－7 ；
(2)由 ，且x－1≠0可得， x－1＜0，即x ＜1；
(3) x 为任意实数时，＞0，
可得， 在实数范围内有意义.
当堂检测
5.(1)若二次根式 有意义，求m的取值范围．
解：由题意得m-2≥0且m2-m-2≠0，
解得m≥2且m≠-1，m≠2，
∴m＞2．
(2)无论x取任何实数，代数式 都有意义，求m的取值范围．
解：由题意得x2+6x+m≥0，
即(x+3)2+m-9≥0.
∵(x+3)2≥0，
∴m-9≥0，即m≥9.
当堂检测
6.若x，y是实数，且y＜ ,求 的值.
解：根据题意得，
∴x=1.
∵y＜ ,
∴y＜ ，
∴ .
当堂检测
7.实数a、b在数轴上的对应点如图所示，
化简： .
解：根据数轴可知b＜a＜0，
∴a+2b＜0，a-b＞0，
则
=|a+2b|+|a-b|
=-a-2b+a-b=-3b．
a
b
0
当堂检测
8.已知 a，b 为等腰三角形的两条边长，且a，b 满足 ，求此三角形的周长．
解：由题意得
∴ a = 3.
∴ b = 4.
当 a 为腰长时，三角形的周长为 3 + 3 + 4 = 10；
当 b 为腰长时，三角形的周长为 4 + 4 + 3 = 11．
课堂小结
带有二次根号
建立不等式求出其解集
被开方数为非负数
多个二次根式
二次根式+分式
分母≠0 并且 被开数≥0
性质
定义
有意义
算术平方根
分式
二次根式(共32张PPT)
21.3 二次根式的加减
第1课时 二次根式的加减
第21章 二次根式
学习目标
1.了解二次根式的加、减运算法则；
2.会用二次根式的加、减运算法则进行简单的运算.
温故知新
一、满足什么条件的根式是最简二次根式
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.
简记为：一根号无分母，分母无根号；二不能再开方.
在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式.
温故知新
1.下列二次根式中，最简二次根式是( )
A. B. C. D.
2.把下列二次根式化成最简二次根式：
(1) =____；(2) =_______；(3) =_____.
二、练一练：
C
导入新课
【问题】 现有一块长 7.5 dm、宽 5 dm 的木板，能否采用如图的方式，在这块木板上截出两个分别是 8 dm2 和 18 dm2 的正方形木板？
5 dm
5 dm
18
8
提示：先化简成最简二次根式；
讲授新课
知识点一 同类二次根式
【活动1】观察下列二次根式的被开数有什么共同特征：
每组的二次根式的被开方数相同
（1） ···
（2） ···
（3） ···
【活动2】思考下列二次根式具有的被开数以上特征吗？你怎样发现的？：
知识梳理
1.同类二次根式
经过化简后，各根式被开方数相同，像这样的几个二次根式被称为同类二次根式
讲授新课
典例精析
【例1】若最简根式 与 可以合并，求 的值.
解：由题意得
解得
即
讲授新课
练一练
1、如果最简二次根式 和 是同类二次根式，求，的值．
解：由题意，得：，
解得： ,
∴，．
讲授新课
2.下列各式中哪些是同类二次根式
讲授新课
知识点二 二次根式的加减
【案例1】 某新建医院计划在院内修建一个正方形的花坛，在花坛中央还要修一个正方形的小喷水池．如果小喷水池的面积是2平方米，花坛的边长是小喷水池的3倍，问花坛的外周与小喷水池的周长一共是多少米？
2
4＋12（米）
4 (＋3)（米）
或
讲授新课
8
10
案例2 如果小喷水池的面积是8平方米，花坛的绿化面积是10平方米，你能
求出花坛的外周与喷水池的周长一共是多少米吗？
4＋4（米）
4＋（米）
或
讲授新课
案例3 现有一块长7.5dm、宽5dm的木板，能否采用如图的方式，在这块木板上截出两个面积分别是8dm2和18dm2的正方形木板？
∵ 5＞ ＞
∴ 木板够宽
两个正方形的边长和为：( )dm
(化成最简二次根式)
(分配律)
由 ＜1.5可知 ＜7.5，即两个正方形木板的边长的和小于木板的长，
因此可以用这块木板按要求截出两个面积分是8dm2和18dm2的正方形木板.
讲授新课
(化成最简二次根式)
(分配律)
二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式(同类二次根式)进行合并.
(1)化—将非最简二次根式的二次根式化简；
加减法的运算步骤：
(2)找—找出被开方数相同的二次根式；
(3)并—把被开方数相同的二次根式合并.
“一化简二判断三合并”
讲授新课
二次根式的加减法法则
将二次根式化成最简二次根式，再将同类二次根式进行合并.
简记：一化、二找、三合并
讲授新课
典例精析
【例2】计算:
解：
讲授新课
练一练
2.计算:
解：
1.下列计算是否正确？为什么？
(1) ( ) (2) ( )
(3) ( ) (4) ( )
√
√
×
×
讲授新课
3、计算:
解：
讲授新课
4、计算:
解：
讲授新课
知识点三 二次根式加减的应用
【例4】如图，用四张一样大小的长方形纸片拼成一个面积是125的正方形ABCD，，图中空白部分是一个小正方形，求这个小正方形的周长．
解：∵正方形ABCD的面积是125，
∴，
∵，
∴，
∴空白部分的小正方形的边长为，
∴这个小正方形的周长为．
讲授新课
练一练
1、如图，两个圆的圆心相同，它们的面积分别是12.56和25.12.求圆环的宽度d(π取3.14，结果保留小数点后两位).
解：依题意得
答：圆环的宽度约为0.83.
讲授新课
2、已知a,b,c满足 .
(1)求a,b,c的值；
(2)以a,b,c为三边长能否构成三角形？若能构成三角形，求出其周长；若不能，请说明理由.
解：(1)由题意得 ；
(2)能.理由如下：∵ ，即a＜c＜b，
又∵ ∴ a+c＞b，
∴能够成三角形，周长为
分析：(1)若几个非负数的和为零，则这几个非负数必须为零；(2)根据三角形的三边关系来判断.
当堂检测
当堂检测
当堂检测
当堂检测
当堂检测
5．估算的值是（ ）
A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间
6．若两个最简二次根式与可以合并，则合并后的结果是（ ）
A． B． C． D．
7．已知的整数部分是，小数部分是，则的值是（ ）
A． B． C．2 D．1
B
D
C
当堂检测
8.计算：
(1); (2)； (3)．
(1)解：原式．
(2)解：原式
；
(3)解：原式
．
当堂检测
9.若最简根式 与 可以合并，求 的值.
解：由题意得
解之得
∴
当堂检测
10. 已知 a，b，c 满足 .
(1)求 a，b，c 的值；
(2)以 a，b，c 为三边长能否构成三角形？若能构成 三角形，求出其周长；若不能，请说明理由.
解：(1)由题意得 .
(2) 能. 理由如下：∵ 即 a＜c＜b，
又∵
∴ a + c＞b，
∴ 能构成三角形，周长为
当堂检测
11、已知a，b都是有理数，现定义新运算：a*b= ，求（2*3）－（27*32）的值．
解：∵a*b= ，
∴（2*3）－（27*32）
=
=
=
课堂小结
二次根式加减
法则
注意
运算顺序
运算原理
一般地，二次根式的加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.
运算律仍然适用
与实数的运算顺序一样(共33张PPT)
21.3 二次根式的加减
第2课时 二次根式混合运算
第21章 二次根式
学习目标
1.掌握二次根式的混合运算的运算法则；
2.会运用二次根式的混合运算法则进行有关的运算.
温故知新
二次根式的乘法法则：= （a≥0，b≥0）.
拓展：
二次根式的除法法则： （a≥0，b>0）.
拓展：
温故知新
二次根式的加减：一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.
（1）化成最简二次根式后，被开方数不同的二次根式不能合并；
（2）对于不能合并的二次根式，一定不要漏写，要保持不变，它们也是结果的一部分.
导入新课
1.下列二次根式中，最简二次根式是( )
A. B. C. D.
2.计算：(1) =_____；(2) =_____；
(3) =______.
3.填空：(1)(a+b)(a-b)=_______； (2)(a+b)2=______________；
(3)(a-b)2=____________.
B
24
a2-b2
a2+2ab+b2
a2-2ab+b2
讲授新课
知识点一 二次根式的混合运算及应用
二次根式的加、减、乘、除混合运算与整式运算一样，体现在：运算律、运算顺序、乘法法则仍然适用.
【例1】计算：
解：
讲授新课
二次根式的混合运算，先要弄清运算种类，再确定运算顺序：先乘除，再加减，有括号的要先算括号内的，最后按照二次根式的相应的运算法则进行.
归纳
解：
此处类比“多项式×多项式”即(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab.
讲授新课
二次根式混合运算的顺序
与数、整式和分式的混合运算一样，二次根式的混合运算，也应先算乘除，后算加减；有括号时，先算括号内的．
二次根式的混合运算中，实数的运算律、多项式乘法法则以及乘法公式仍然适用．
二次根式混合运算的法则
讲授新课
练一练
1.计算：（1） （2）
解：（1）
+
=+=2
=4
（2）
==
讲授新课
2、计算：
解：
讲授新课
知识点二 利用乘法公式计算二次根式
回顾提问1 整式乘法运算中的乘法公式有哪些
平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2;
完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2;
(a-b)2=a2-2ab+b2.
回顾提问2 整式的乘法公式对于二次根式的运算也适用吗
利用乘法公式计算二次根式
前面我们已经知道二次根式运算类比整式运算，所以适用.
讲授新课
典例精析
【例2】计算：
解：
讲授新课
练一练
讲授新课
2、计算：
解：
讲授新课
(1)； (2).
（2）原式
．
解：（1）原式
；
3、计算：
讲授新课
知识点三 二次根式的化简
在前面我们学习了二次根式的除法法则时，学会了怎样去掉分母的二次根式的方法，比如:
如果分母不是单个的二次根式，而是含二次根式的式子，如：
等，该怎样去掉分母中的二次根式呢？
根据整式的乘法公式在二次根式中也适用，你能想到什么好方法吗？
讲授新课
典例精析
【例3】已知，，求的值．
解：∵，
，
∴
．
讲授新课
练一练
1、化简并求值：已知，求的值．
解：∵，
∴
．
讲授新课
多项式分母的分母有理化
例5
解：原式
这个式子结果是最简二次根式吗？
不是最简二次根式，但按照之前的方法达不到分母有理化的目标。例如：
= .
如果平方才能去掉根号的话，我们试试平方差公式呢？
讲授新课
例5
解：原式
分母形如 的式子，分子、分母同乘以 的式子，构成平方差公式，可以使分母不含根号.
讲授新课
练一练
计算:
解:
1.
讲授新课
2.已知 , 求 .
解:∵
当堂检测
1.计算:
解：
当堂检测
当堂检测
3、已知 的整数部分是a,小数部分是b,求a2-b2的值.
解：
当堂检测
4.下列计算中正确的是（ ）
B
5.计算：
5
6.设 则a b(填“>”“ < ”或
“= ”）.
=
当堂检测
7.计算：
解：
当堂检测
解：原式
当堂检测
8.在一个边长为 cm的正方形内部，挖去一个边长为 cm的正方形，求剩余部分的面积.
解：由题意得
即剩余部分的面积是
当堂检测
9.(1) 已知 ，求 的值；
解：x2-2x-3=(x-3)(x+1)
(2)已知 ，求 的值.
解：
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10.阅读下列材料，然后回答问题：
在进行类似于二次根式 的运算时，通常有如下两种方法将其进一步化简：
方法一：
方法二：
当堂检测
(1)请用两种不同的方法化简：
(2)化简：
解：(1)
课堂小结
二次根式混合运算
乘法公式
化简求值
分母有理化
化简已知条件和所求代数式
(a+b)(a-b)=a2-b2
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
