第五章 三角函数（单元测试）（含解析）-2025-2026学年人教A版(2019)高一数学必修第一册

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第五章 三角函数
一．选择题（共8小题）
1．（2025秋 广东月考）已知函数的图象向右平移个单位长度后与原图象重合，则ω的最小值是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024秋 霞山区校级月考）已知，则（　　）
A． B． C． D．
3．（2025春 昆明校级期中）已知cos（α﹣β）＝sinαcosβ，tanαtanβ＝2，则tan（α+β）＝（　　）
A． B． C． D．
4．（2025 新余校级模拟）已知，则cos2α+cos2α＝（　　）
A． B． C． D．
5．（2025 合肥校级模拟）已知f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0），若，且|x1﹣x2|的最小值为，则ω＝（　　）
A． B．1 C． D．2
6．（2024秋 武汉期末）已知函数，则f（x）的增区间是（　　）
A．
B．
C．
D．
7．（2025 红桥区一模）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|）的部分图像如图所示，则下列正确个数有（　　）
（1）f（x）关于点（，3）对称
（2）f（x）关于直线x对称
（3）f（x）在区间[，]上单调递减
（4）f（x）在区间（，）上的值域为（1，3）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2025春 曲靖校级期中）设函数f（x）＝sin（2x+φ）+cos（2x+φ）（|φ|）为偶函数，则φ＝（　　）
A． B． C． D．
二．多选题（共4小题）
9．（2025春 顺庆区校级月考）下列三角式中，值为1的是（　　）
A．4sin15°cos15°
B．
C．
D．
10．（2025春 成都校级期中）已知函数，则下列说法正确的是（　　）
A．f（x）的最小正周期为
B．f（x）在上单调递减
C．f（x）的一个对称中心为
D．f（x）的定义域为
11．（2025春 项城市校级期中）化简：（　　）
A． B．
C． D．
12．（2025 吉林校级模拟）已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0）的部分图象如图，将函数f（x）的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，则（　　）
A．
B．g（x）的图象的对称中心为
C．
D．g（x）的递增区间为
三．填空题（共4小题）
13．（2025春 四川校级月考）已知，则sinαcosα＝ 　 　 ．
14．（2024秋 郓城县校级期末）化简：　 　 ．
15．（2025春 成都校级期中）已知，则的值为 　 　 ．
16．（2025春 余干县期末）已知tanα，则的值是　 　 ．
四．解答题（共4小题）
17．（2024秋 海南月考）已知函数．
（1）化简f（x）；
（2）若，且，求的值．
18．（2025春 成都校级期中）已知函数，其相邻两个对称轴之间的距离为．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若当时，f（x）的值域为，求实数t的取值范围．
（3）设g（x）＝f（x）﹣m，若函数g（x）在上有两个不同零点x1，x2，求实数m（x1+x2）的取值范围．
19．（2024秋 房县校级期末）已知函数，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（2）求函数f（x）在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值；
（3）求不等式﹣1≤f（x）≤1的解集．
20．（2024秋 武汉期末）已知函数f（x）＝sin（2x+φ），，x∈R，且．
（1）求f（x）的最小正周期T和φ的值；
（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值；
（3）若，且，求x的取值集合．
第五章 三角函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2025秋 广东月考）已知函数的图象向右平移个单位长度后与原图象重合，则ω的最小值是（　　）
A． B． C． D．
【考点】正弦函数的奇偶性和对称性；函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】B
【分析】根据题意求出f（x）的周期，然后利用三角函数的周期公式建立关于ω的等式，进而求出ω的最小值．
【解答】解：根据题意，可得是函数f（x）周期的整数倍，
即k ，解得，结合ω＞0，可知ω的最小值为．
故选：B．
【点评】本题主要考查三角函数的周期公式、函数图象的平移变换等知识，属于基础题．
2．（2024秋 霞山区校级月考）已知，则（　　）
A． B． C． D．
【考点】运用诱导公式化简求值；同角三角函数间的基本关系．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】C
【分析】先将两边平方，可求出2sinαcosα，再由诱导公式、二倍角公式及同角三角函数的基本关系将切化弦，最后代入计算可得．
【解答】解：因为，
所以（sinα+cosα）2＝1+2sinαcosα，
即2sinαcosα，
所以则
．
故选：C．
【点评】本题考查同角三角函数的基本关系、诱导公式、二倍角公式等知识，是基础题．
3．（2025春 昆明校级期中）已知cos（α﹣β）＝sinαcosβ，tanαtanβ＝2，则tan（α+β）＝（　　）
A． B． C． D．
【考点】求两角和与差的三角函数值．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】D
【分析】根据两角差的余弦公式、同角三角函数的关系，列式求出tanα、tanβ，然后根据两角和的正切公式求出答案．
【解答】解：由题意得cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ＝sinαcosβ，
两边都除以tanαtanβ，可得1，即以1+tanαtanβ＝tanα，
因为tanαtanβ＝2，所以tanα＝1+tanαtanβ＝3，可得，．
故选：D．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角函数公式等知识，属于基础题．
4．（2025 新余校级模拟）已知，则cos2α+cos2α＝（　　）
A． B． C． D．
【考点】两角和与差的三角函数．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】B
【分析】根据已知条件即可求得，代入即可求得．
【解答】解：由，得sinαsinαcosα，
化简得cosα＝﹣sinα，又sin2α+cos2α＝1，
所以，
所以．
故选：B．
【点评】本题考查两角和与差的三角函数，属于基础题．
5．（2025 合肥校级模拟）已知f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0），若，且|x1﹣x2|的最小值为，则ω＝（　　）
A． B．1 C． D．2
【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【专题】函数思想；定义法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】A
【分析】根据正弦函数的图象，结合题意，求解即可．
【解答】解：因为f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0），且f（x1）＝f（x2），根据正弦函数的图象知，且|x1﹣x2|的最小值为，
所以|（ωx1+φ）﹣（ωx2+φ）|＝ω|x1﹣x2|ω，解得ω．
故选：A．
【点评】本题考查了三角函数的图象与性质应用问题，是基础题．
6．（2024秋 武汉期末）已知函数，则f（x）的增区间是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】正弦函数的单调性．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】C
【分析】函数的增区间可以通过分析正弦函数的单调性得到．
【解答】解：正弦函数在区间上单调递增，其中k为整数，
将代入上述区间，得到，
解此不等式，得到，
因此，函数f（x）的增区间为，，其中k为整数．
故选：C．
【点评】本题考查了正弦函数的单调性，属于基础题．
7．（2025 红桥区一模）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|）的部分图像如图所示，则下列正确个数有（　　）
（1）f（x）关于点（，3）对称
（2）f（x）关于直线x对称
（3）f（x）在区间[，]上单调递减
（4）f（x）在区间（，）上的值域为（1，3）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【专题】转化思想；数形结合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】B
【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A和B，由特殊点的坐标求出 φ，由五点法作图求出ω的值，可得函数的解析式，再根据正弦函数的图象和性质，得出结论．
【解答】解：根据函数f（x）＝Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|）的部分图像，
可得B3，A2，故有f（x）＝2sin（ωx+φ）+3．
把点（0，2）代入，可得2sinφ+3＝2，即sinφ，φ，故有f（x）＝2sin（ωx）+3．
再根据五点法作图，可得ω×（），∴ω＝2，f（x）＝2sin（2x）+3．
令x，求得f（x）＝4，故f（x）不关于点（，3）对称，故（1）错误；
令x，求得f（x）＝5，为最大值，故f（x）关于直线x对称，故（2）正确；
当x∈[，]，2x∈[，]，f（x）单调递减，故（3）正确；
当x∈（，），2x∈（﹣π，0），sin（2x）∈[﹣1，0），
∴函数f（x）的值域为[1，3），故（4）错误．
故选：B．
【点评】本题主要考查由函数y＝Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A和B，由特殊点的坐标求出 φ，由五点法作图求出ω的值，正弦函数的图象和性质，属于中档题．
8．（2025春 曲靖校级期中）设函数f（x）＝sin（2x+φ）+cos（2x+φ）（|φ|）为偶函数，则φ＝（　　）
A． B． C． D．
【考点】三角函数中的恒等变换应用．
【专题】计算题；函数思想；综合法；三角函数的求值．
【答案】C
【分析】利用辅助角公式化积，然后利用偶函数的概念可得sin（﹣2x+φ）＝sin（2x+φ），进一步得到﹣2x+φ2x+φ2kπ，或﹣2x+φ2x+φπ+kπ，由此求得满足条件的φ．
【解答】解：f（x）＝sin（2x+φ）+cos（2x+φ），
∵函数f（x）为偶函数，
∴0，
即sin（﹣2x+φ）＝sin（2x+φ），
∴﹣2x+φ2x+φ2kπ，或﹣2x+φ2x+φπ+kπ，
即x（舍）或φ．
∵|φ|，∴φ．
故选：C．
【点评】本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查y＝Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，是中档题．
二．多选题（共4小题）
9．（2025春 顺庆区校级月考）下列三角式中，值为1的是（　　）
A．4sin15°cos15°
B．
C．
D．
【考点】三角函数的恒等变换及化简求值．
【专题】对应思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】AD
【分析】利用二倍角公式可判断ABD选项；计算出的值，可判断C选项．
【解答】解：对于A，，故A正确；
对于B，，而0＜tan22.5°＜1，所以，故B错误；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确．
故选：AD．
【点评】本题考查三角恒等变换知识的应用，属于基础题．
10．（2025春 成都校级期中）已知函数，则下列说法正确的是（　　）
A．f（x）的最小正周期为
B．f（x）在上单调递减
C．f（x）的一个对称中心为
D．f（x）的定义域为
【考点】正切函数的奇偶性与对称性；正切函数的单调性和周期性．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】AD
【分析】由最小正周期公式可判断A；根据复合函数的单调性可判断B；根据整体代换法求解可判断C；由正切函数性质可判断D．
【解答】解：函数，
对于A，最小正周期为，故A正确；
对于B，令，因为函数y＝tant无单调递减区间，且函数为增函数，
所以f（x）无单调递减区间，故B错误；
对于C，由，k∈Z，得，
所以f（x）的对称中心为，故C错误；
对于D，由，k∈Z，得，
所以f（x）的定义域为，故D正确．
故选：AD．
【点评】本题考查三角函数的性质，是基础题．
11．（2025春 项城市校级期中）化简：（　　）
A． B．
C． D．
【考点】两角和与差的三角函数的逆用．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】AC
【分析】根据两角和与差的三角函数公式，结合三角函数的诱导公式进行解答，即可得到本题的答案．
【解答】解：由题意得sinxcosx（sinxcosx）sin（x），A项符合题意，
结合诱导公式可得sin（x）cos（），C项符合题意．
故选：AC．
【点评】本题主要考查三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数公式等知识，属于基础题．
12．（2025 吉林校级模拟）已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0）的部分图象如图，将函数f（x）的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，则（　　）
A．
B．g（x）的图象的对称中心为
C．
D．g（x）的递增区间为
【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的单调性；正弦函数的奇偶性和对称性．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的图象与性质；能力层次；运算求解．
【答案】AD
【分析】求得，逐一验证各个选项即可．
【解答】解：函数f（x）周期为2π，所以ω＝1，由图可知，解得，
所以，
由图，，所以A正确，C错误；
函数g（x）关于对称，所以函数g（x）的对称中心为，k∈Z，B错误；
函数g（x）的递增区间为，k∈Z，D正确．
故选：AD．
【点评】本题主要考查了正弦函数性质的应用，属于中档题．
三．填空题（共4小题）
13．（2025春 四川校级月考）已知，则sinαcosα＝ 　　 ．
【考点】同角三角函数间的基本关系．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】．
【分析】由题意，将已知等式两边平方，结合同角三角函数的关系求出sinαcosα的值．
【解答】解：根据，两边平方可得（sinα+cosα）2，
所以sin2α+2sinαcosα+cos2α，即1+2sinαcosα，可得sinαcosα．
故答案为：．
【点评】本题主要考查运用同角三角函数的基本关系化简求值，属于基础题．
14．（2024秋 郓城县校级期末）化简：　cosα　 ．
【考点】运用诱导公式化简求值．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】cosα．
【分析】由题意，利用诱导公式计算即可．
【解答】解：
．
故答案为：cosα．
【点评】本题考查诱导公式的运用，是基础题．
15．（2025春 成都校级期中）已知，则的值为 　　 ．
【考点】求二倍角的三角函数值．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】．
【分析】根据和差公式及辅助角公式化解得，再利用二倍角公式可求得值．
【解答】解：∵，
则sinαcosαsinαsincosα，
即sin（），
．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了和差角公式，辅助角公式，二倍角公式的应用，属于基础题．
16．（2025春 余干县期末）已知tanα，则的值是　　 ．
【考点】同角三角函数间的基本关系．
【专题】三角函数的求值．
【答案】见试题解答内容
【分析】原式分子利用同角三角函数间的基本关系及完全平方公式变形，分母利用平方差公式化简，约分后再利用同角三角函数间的基本关系化简后，把tanα的值代入计算即可求出值．
【解答】解：∵tanα，
∴原式．
故答案为：
【点评】此题考查了同角三角函数间基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．
四．解答题（共4小题）
17．（2024秋 海南月考）已知函数．
（1）化简f（x）；
（2）若，且，求的值．
【考点】运用诱导公式化简求值；同角三角函数间的基本关系．
【专题】计算题；转化思想；转化法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）应用同角三角函数关系化简；
（2）应用诱导公式化简结合同角三角函数关系求值．
【解答】解：（1）由题意
；
（2）因为，可得，
所以，
所以，
于是，
可得，
所以．
【点评】本题考查了诱导公式以及同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
18．（2025春 成都校级期中）已知函数，其相邻两个对称轴之间的距离为．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若当时，f（x）的值域为，求实数t的取值范围．
（3）设g（x）＝f（x）﹣m，若函数g（x）在上有两个不同零点x1，x2，求实数m（x1+x2）的取值范围．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；由函数零点所在区间求解函数或参数；三角函数的周期性；正弦函数的定义域和值域．
【专题】转化思想；数形结合法；综合法；三角函数的图象与性质；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【分析】（1）利用三角函数的二倍角公式和辅助角公式化简函数，再根据对称轴距离求出ω的值；
（2）要根据x的范围求出的范围，结合函数值域确定t的取值范围；
（3）先画出的图象，再根据函数零点情况求出m的范围以及x1+x2的值，进而得到m（x1+x2）的取值范围．
【解答】解：（1）因为
，
又相邻两个对称轴之间的距离为，
根据正弦函数性质，可得，
所以T，解得ω＝1，
所以；
（2）因为，
则，
当时，；
当时，，
因为f（x）的值域为，
所以，
即2t，2t≤2π，
解得t≤π，
所以t的取值范围是；
（3）令g（x）＝f（x）﹣m＝0，
即，
画出的图象，如图所示：
因为g（x）＝f（x）﹣m在上有两个不同零点x1，x2，
则与y＝m的交点有两个，
所以x1，x2关于对称，
则，
由图可知，
所以，
则，
即m（x1+x2）的取值范围是．
【点评】本题考查了三角函数的图象及性质，考查了转化思想及数形结合思想，属于中档题．
19．（2024秋 房县校级期末）已知函数，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（2）求函数f（x）在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值；
（3）求不等式﹣1≤f（x）≤1的解集．
【考点】余弦函数的单调性；三角函数的周期性；余弦函数的定义域和值域．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】（1）最小正周期为π；单调递减区间是，k∈Z；
（2），；f（x）min＝﹣1，；
（3）．
【分析】（1）由y＝Acos（ωx+φ）的性质求周期，结合余弦函数单调性得减区间；
（2）求出的范围，再结合余弦函数的性质得最值；
（3）由余弦函数的性质解不等式．
【解答】解：（1）由已知得，f（x）的最小正周期，
令，即解得，k∈Z，
∴f（x）的单调递减区间是，k∈Z．
（2）∵，则，
故，
∴当，即时，，
当，即，f（x）min＝﹣1；
（3）令，即，
即或，k∈Z，
解得或，k∈Z，
所以不等式的解集为．
【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质，属于基础题．
20．（2024秋 武汉期末）已知函数f（x）＝sin（2x+φ），，x∈R，且．
（1）求f（x）的最小正周期T和φ的值；
（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值；
（3）若，且，求x的取值集合．
【考点】正弦函数的定义域和值域；三角函数的周期性．
【专题】函数思想；转化法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】（1）φ，T＝π；
（2）最大值为1，最小值为；
（3）{x|x}．
【分析】（1）由f（）＝1，结合φ的取值范围求出φ，利用T求出最小正周期T；
（2）根据x∈[0，]求出2x的取值范围，再求f（x）的最大值和最小值；
（3）根据正弦函数的图象与性质，结合x的取值范围，即可求出x的取值集合．
【解答】解：（1）由f（）＝sin（2φ）＝1，得φ2kπ，k∈Z；
所以φ2kπ，k∈Z；又φ，所以φ；
所以f（x）＝sin（2x），f（x）的最小正周期为Tπ；
（2）x∈[0，]时，2x∈[，]，
所以2x时，f（x）取得最大值1，2x时，f（x）取得最小值为，
即f（x）在区间上的最大值为1，最小值为；
（3）时，由，得2kπ≤2x2kπ，k∈Z；
解得kπ≤xkπ，k∈Z，所以x的取值集合为{x|x}．
【点评】本题考查了三角函数的图象与性质应用问题，是基础题．
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