第二章 一元二次函数、方程和不等式（单元测试）（含解析）-2025-2026学年人教A版(2019)高一数学必修第一册

中小学教育资源及组卷应用平台
第二章 一元二次函数、方程和不等式
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 单县校级月考）已知p：a﹣4＜x＜a+4，q：（x﹣2）（x﹣3）＜0，若p是q的必要条件，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣1] B．[﹣1，6]
C．（﹣∞，1）∪[6，+∞） D．[6，+∞）
2．（2025春 会泽县期末）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，集合B＝{x|x≤2}，则A∪B＝（　　）
A．{x|x≤3} B．{x|x≤2} C．{x|﹣1≤x≤2} D．{x|﹣1≤x≤3}
3．（2025春 长沙校级月考）在流行病学中，基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数．假设某种传染病的基本传染数为R0，1个感染者在每个传染期会接触到N个新人，这N个人中有V个人接种过疫苗（称为接种率），那么1个感染者传染人数为．已知某种传染病在某地的基本传染数R0＝5，为了使1个感染者传染人数不超过1，则该地疫苗的接种率至少为（　　）
A．65% B．70% C．75% D．80%
4．（2024秋 广东校级期末）若a＞b＞0则下列不等式中一定成立的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025春 高新区月考）设P＝a（2a+5），Q＝（2a+1）（a+2），则（　　）
A．P＞Q B．P＝Q
C．P＜Q D．P与Q的大小与a有关
6．（2025 涪城区校级模拟）已知集合A＝{x|x2﹣4x﹣5≤0}，B＝{x|0≤x≤6}，则A∪B＝（　　）
A．{x|﹣5≤x≤6} B．{x|﹣1≤x≤6} C．{x|0≤x≤1} D．{x|0≤x≤5}
7．（2024秋 重庆校级期末）若a，b，c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是（　　）
A． B．
C．a2＞b2 D．a|c|＞b|c|
8．（2024秋 包头期末）若a是方程x2﹣3x+1＝0的根，则a2+a﹣2＝（　　）
A． B． C．7 D．
二．多选题（共4小题）
9．（2024秋 武汉期末）下列几种说法中，正确的是（　　）
A．若a＞b，则
B．若a＞1，b＞1，则a+b﹣1＜ab
C．若a＞b＞0，m＞0，则
D．若a＞b＞0，c＜d＜0，m＜0，则
10．（2025 肇庆一模）设正实数m，n满足m＞n，且m+2n＝4，则下列说法正确的是（　　）
A．|m﹣4|+2|n﹣4|＝8 B．
C．mn的最大值为2 D．m2+n2的最小值是4
11．（2025春 莲池区校级期中）若a，b均为正实数，且满足2a+b＝1，则（　　）
A．ab的最大值为
B．的最小值为4
C．的最小值为4
D．的最小值为
12．（2025春 锡林郭勒盟校级期末）设正实数m，n满足m+n＝1，则（　　）
A．的最小值为
B．的最大值为
C．的最大值为
D．m2+n2的最小值为
三．填空题（共4小题）
13．（2024秋 荔湾区校级期末）已知方程x2+（m+2）x+m2﹣2m＝0有一正根一负根，则实数m的取值范围是　 　 ．
14．（2025春 张掖校级期中）已知a＞0，b＞0，且2a+b＝2，则4a+2b的最小值为 　 　 ．
15．（2024秋 上饶校级月考）已知不等式ax2+bx+2＞0的解集为{x|x＜﹣2或x＞﹣1}，则不等式2x2+bx+a＜0的解集为 　 　 ．
16．（2024秋 四川期末）若正实数a，b满足，则a+2b的最小值为 　 　 ．
四．解答题（共4小题）
17．（2024秋 四川期末）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，B＝{x|m≤x≤2m﹣1}．
（1）当m＝2时，求A∪B；
（2）若A∩B＝B，求实数m的取值范围．
18．（2024秋 赤坎区校级期末）（1）已知，求的最大值；
（2）若正数x，y满足x2+xy﹣2＝0，求3x+y的最小值．
19．（2024秋 资阳校级期末）已知全集U＝R，集合A＝（x|x2﹣4x+3≤0}，B＝{x||x﹣3|＜1}，C＝{x|2a≤x≤a+2，a∈R}．
（Ⅰ）分别求A∩B，A∪（ UB）；
（Ⅱ）若B∪C＝B，求a的取值范围；
（Ⅲ）若A∩C≠ ，求a的取值范围．
20．（2025春 吉林校级期中）已知二次函数满足f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），满足f（x+1）﹣f（x）＝2x，且f（0）＝1．
（1）函数f（x）的解析式；
（2）函数f（x）在区间[﹣1，1]上的最大值和最小值．
第二章 一元二次函数、方程和不等式
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 单县校级月考）已知p：a﹣4＜x＜a+4，q：（x﹣2）（x﹣3）＜0，若p是q的必要条件，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣1] B．[﹣1，6]
C．（﹣∞，1）∪[6，+∞） D．[6，+∞）
【考点】解一元二次不等式；必要条件的应用与性质定理．
【专题】转化思想；定义法；不等式的解法及应用；简易逻辑；运算求解．
【答案】B
【分析】化简命题q，再利用必要条件的定义列式求解即得．
【解答】解：不等式（x﹣2）（x﹣3）＜0的解集为{x|2＜x＜3}，
所以q：2＜x＜3；
因为p是q的必要条件，且p：a﹣4＜x＜a+4，
所以，解得﹣1≤a≤6；
所以a的取值范围是[﹣1，6]．
故选：B．
【点评】本题考查了解不等式与充分必要条件的应用问题，是基础题．
2．（2025春 会泽县期末）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，集合B＝{x|x≤2}，则A∪B＝（　　）
A．{x|x≤3} B．{x|x≤2} C．{x|﹣1≤x≤2} D．{x|﹣1≤x≤3}
【考点】解一元二次不等式；求集合的并集．
【专题】转化思想；综合法；集合；运算求解．
【答案】A
【分析】解一元二次不等式求集合A，进而求解结论．
【解答】解：因为A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}＝{x|﹣1≤x≤3}，
所以A∪B＝{x|x≤3}．
故选：A．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题．
3．（2025春 长沙校级月考）在流行病学中，基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数．假设某种传染病的基本传染数为R0，1个感染者在每个传染期会接触到N个新人，这N个人中有V个人接种过疫苗（称为接种率），那么1个感染者传染人数为．已知某种传染病在某地的基本传染数R0＝5，为了使1个感染者传染人数不超过1，则该地疫苗的接种率至少为（　　）
A．65% B．70% C．75% D．80%
【考点】不等关系与不等式．
【专题】整体思想；综合法；不等式；运算求解；新文化类．
【答案】D
【分析】根据题意1个感染者传染人数为，解出不等式即可．
【解答】解：因为R0＝5，所以1个感染者传染人数为，
由题意可得，，
则1，
解得，即该地疫苗的接种率至少为80%．
故选：D．
【点评】本题主要考查了不等式及不等关系在实际问题中的应用，属于基础题．
4．（2024秋 广东校级期末）若a＞b＞0则下列不等式中一定成立的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】等式与不等式的性质．
【专题】方程思想；转化法；不等式的解法及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】举特例可判断选项A，C，D，构造函数可判断选项B．
【解答】解：对于A，取，则，选项A错误；
对于B，由于函数在（0，+∞）上单调递增，
又a＞b＞0，则，选项B正确；
对于C，取a＝8，b＝1，则，选项C错误；
对于D，a＝4，b＝1，则，选项D错误．
故选：B．
【点评】本题主要考查不等式的性质，属于基础题．
5．（2025春 高新区月考）设P＝a（2a+5），Q＝（2a+1）（a+2），则（　　）
A．P＞Q B．P＝Q
C．P＜Q D．P与Q的大小与a有关
【考点】不等式比较大小．
【专题】整体思想；综合法；不等式；运算求解．
【答案】C
【分析】根据作差法比较大小即可．
【解答】解：因为P﹣Q＝a（2a+5）﹣（2a+1）（a+2）＝2a2+5a﹣（2a2+5a+2）＝﹣2＜0，
所以P＜Q．
故选：C．
【点评】本题主要考查了比较法的应用，属于基础题．
6．（2025 涪城区校级模拟）已知集合A＝{x|x2﹣4x﹣5≤0}，B＝{x|0≤x≤6}，则A∪B＝（　　）
A．{x|﹣5≤x≤6} B．{x|﹣1≤x≤6} C．{x|0≤x≤1} D．{x|0≤x≤5}
【考点】解一元二次不等式；求集合的并集．
【专题】转化思想；综合法；集合；运算求解．
【答案】B
【分析】先求出集合A，再根据并集的定义求解即可．
【解答】解：x2﹣4x﹣5≤0，即﹣1≤x≤5，
则A＝{x|﹣1≤x≤5}，又B＝{x|0≤x≤6}，
所以A∪B＝{x|﹣1≤x≤6}．
故选：B．
【点评】本题考查一元二次不等式的解法，属于基础题．
7．（2024秋 重庆校级期末）若a，b，c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是（　　）
A． B．
C．a2＞b2 D．a|c|＞b|c|
【考点】等式与不等式的性质．
【专题】不等式的解法及应用．
【答案】B
【分析】利用不等式的性质，和通过取特殊值即可得出．
【解答】解：A．∵1＞﹣2，不成立，
B．∵c2+1≥1，根据不等式的基本性质，∵a＞b，∴，故B正确
C．∵1＞﹣2，a2＞b2，不成立，
D．c＝0时，0＝a|c|＞b|c|＝0，不成立．
故选：B．
【点评】本题考查了不等式的性质，属于基础题．
8．（2024秋 包头期末）若a是方程x2﹣3x+1＝0的根，则a2+a﹣2＝（　　）
A． B． C．7 D．
【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】由已知结合方程的根与系数关系即可求解．
【解答】解：由韦达定理，方程x2﹣3x+1＝0的两根a和b满足a+b＝3且ab＝1，
因为a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝9﹣2＝7，
又因为ab＝1，所以a﹣1＝b，a﹣2＝b2，
因此，a2+a﹣2＝a2+b2＝7．
故选：C．
【点评】本题主要考查了方程的根与系数关系的应用，属于基础题．
二．多选题（共4小题）
9．（2024秋 武汉期末）下列几种说法中，正确的是（　　）
A．若a＞b，则
B．若a＞1，b＞1，则a+b﹣1＜ab
C．若a＞b＞0，m＞0，则
D．若a＞b＞0，c＜d＜0，m＜0，则
【考点】等式与不等式的性质．
【专题】整体思想；综合法；不等式；运算求解．
【答案】BCD
【分析】结合不等式的性质检验各选项即可判断．
【解答】解：当a＝1，b＝﹣1时，A显然错误；
若a＞1，b＞1，则（a﹣1）（b﹣1）＝ab﹣a﹣b+1＞0，即ab＞a+b﹣1，B正确；
若a＞b＞0，m＞0，则b（a+m）﹣a（b+m）＝（b﹣a）m＜0，
所以a（b+m）＞b（a+m）＞0，
所以，C正确；
若a＞b＞0，c＜d＜0，m＜0，
则a﹣c＞b﹣d＞0，
所以，
所以，D正确．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查了不等式性质的应用，属于基础题．
10．（2025 肇庆一模）设正实数m，n满足m＞n，且m+2n＝4，则下列说法正确的是（　　）
A．|m﹣4|+2|n﹣4|＝8 B．
C．mn的最大值为2 D．m2+n2的最小值是4
【考点】运用基本不等式求最值．
【专题】整体思想；综合法；不等式；运算求解．
【答案】AC
【分析】对于A，根据题意得0＜n＜m＜4，化简后可判断；对于B，利用作差法即可判断；对于C，利用基本不等式可求最值；对于D，由题意得m＝4﹣2n，代入m2+n2得关于n的二次函数，进而可求最值．
【解答】解：正实数m，n满足m＞n，且m+2n＝4，
所以m＝4﹣2n，
对于A选项，0＜n＜m＜4，故|m﹣4|+2|n﹣4|＝4﹣m+2（4﹣n）＝8，故A正确；
对于B选项，因为，
所以，故B错误；
对于C选项，因为，当且仅当m＝2n，即m＝2，n＝1时，等号成立，故C正确；
对于D选项，因为m＝4﹣2n，
所以，
根据二次函数的性质可得，当，时，m2+n2有最小值，故D错误．
故选：AC．
【点评】本题主要考查了基本不等式及二次函数的性质在最值求解中的应用，属于中档题．
11．（2025春 莲池区校级期中）若a，b均为正实数，且满足2a+b＝1，则（　　）
A．ab的最大值为
B．的最小值为4
C．的最小值为4
D．的最小值为
【考点】运用基本不等式求最值．
【专题】转化思想；综合法；不等式；运算求解．
【答案】ACD
【分析】根据基本不等式以及“1”的妙用求解判断各选项即可．
【解答】解：对于A，因为a，b均为正实数，且满足2a+b＝1，即1＝2a+b，
解得，当且仅当时等号成立，
所以ab的最大值为，所以A正确；
对于B，因为a＞0，b＞0，
则，
当且仅当，时取等号，又当，时等号能取到，
则的最小值是2，故B错误；
对于C，因为a，b均为正数，且满足2a+b＝1，
所以，
当且仅当，即时取等号，则的最小值是4，故C正确；
对于D，观察知2a+b+1＝2，所以[2a+（b+1）]＝1，
所以（） [2a+（b+1）]（1+4）
（5+2）（5+4），
当且仅当，即时取等号，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查基本不等式的性质的应用，属于基础题．
12．（2025春 锡林郭勒盟校级期末）设正实数m，n满足m+n＝1，则（　　）
A．的最小值为
B．的最大值为
C．的最大值为
D．m2+n2的最小值为
【考点】运用基本不等式求最值．
【专题】整体思想；综合法；不等式；运算求解．
【答案】ABD
【分析】运用基本不等式逐一运算判断即可．
【解答】解：对于A，因为正实数m，n，满足m+n＝1，
所以，当且仅当且m+n＝1，即，时等号成立，故A正确；
对于B，，
则，当且仅当且m+n＝1，即时等号成立，故B正确；
对于C，，解得，，当且仅当时等号成立，
所以的最大值为，故C错误；
对于D，由，可得，
当且仅当时等号成立，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查了基本不等式及相关结论在最值求解中的应用，属于中档题．
三．填空题（共4小题）
13．（2024秋 荔湾区校级期末）已知方程x2+（m+2）x+m2﹣2m＝0有一正根一负根，则实数m的取值范围是　（0，2）　 ．
【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（0，2）．
【分析】根据两根之积小于0列不等式，求解可得结果．
【解答】解：设方程的两根为x1，x2，
由韦达定理得且Δ＝（m+2）2﹣4（m2﹣2m）＞0，
∵方程有一正根一负根，
∴x1x2＜0，即m2﹣2m＜0，且Δ＝（m+2）2﹣4（m2﹣2m）＞0，
解得0＜m＜2．
故答案为：（0，2）．
【点评】本题主要考查了二次方程根的分布，属于基础题．
14．（2025春 张掖校级期中）已知a＞0，b＞0，且2a+b＝2，则4a+2b的最小值为 　4　 ．
【考点】运用基本不等式求最值．
【专题】整体思想；综合法；不等式；运算求解．
【答案】4．
【分析】利用基本不等式结合指数的运算，即可得解．
【解答】解：a＞0，b＞0，且2a+b＝2，
由题意，，当且仅当2a＝b＝1时等号成立，
所以4a+2b的最小值为4．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了基本不等式求解最值，属于基础题．
15．（2024秋 上饶校级月考）已知不等式ax2+bx+2＞0的解集为{x|x＜﹣2或x＞﹣1}，则不等式2x2+bx+a＜0的解集为 　{x|﹣1＜x}　 ．
【考点】由一元二次不等式的解求参数；解一元二次不等式．
【专题】计算题；整体思想；综合法；不等式；运算求解．
【答案】．
【分析】由题意，﹣2，﹣1为方程ax2+bx+2＝0的根，且a＞0，进而结合韦达定理求出a＝1，b＝3，再解不等式即可．
【解答】解：已知不等式ax2+bx+2＞0的解集为{x|x＜﹣2或x＞﹣1}，
则﹣2，﹣1为方程ax2+bx+2＝0的两个根，且a＞0，
则，解得a＝1，b＝3，
不等式2x2+bx+a＜0，即为2x2+3x+1＜0，
即（2x+1）（x+1）＜0，解得，
则不等式2x2+bx+a＜0的解集为．
故答案为：．
【点评】本题考查了一元二次不等式的求解，属于中档题．
16．（2024秋 四川期末）若正实数a，b满足，则a+2b的最小值为 　1　 ．
【考点】运用“1”的代换构造基本不等式．
【专题】整体思想；综合法；不等式；运算求解．
【答案】1．
【分析】根据基本不等式中的常数代换技巧求解即可．
【解答】解：因为正实数a，b满足，
所以，
当且仅当时等号成立．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
四．解答题（共4小题）
17．（2024秋 四川期末）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，B＝{x|m≤x≤2m﹣1}．
（1）当m＝2时，求A∪B；
（2）若A∩B＝B，求实数m的取值范围．
【考点】解一元二次不等式；集合的包含关系的应用；求集合的并集．
【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用；集合；运算求解．
【答案】（1）{x|﹣1≤x≤3}；
（2）（﹣∞，2]．
【分析】（1）解一元二次不等式求出集合A，然后由并集运算可得；
（2）由A∩B＝B先得出集合A与集合B的关系，再对集合B进行分类讨论，
【解答】解：集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，B＝{x|m≤x≤2m﹣1}．
（1）已知得，A＝{x|（x+1）（x﹣3）≤0}＝{x|﹣1≤x≤3}，
当m＝2时，B＝{x|2≤x≤3}，
∴A∪B＝{x|﹣1≤x≤3}；
（2）∵A∩B＝B，
∴B A，
当B＝ 时，m＞2m﹣1，即m＜1，
当B≠ 时，，
综上所述，实数m的取值范围为（﹣∞，2]．
【点评】本题主要考查集合的基本关系以及一元二次不等式的求解，属于基础题．
18．（2024秋 赤坎区校级期末）（1）已知，求的最大值；
（2）若正数x，y满足x2+xy﹣2＝0，求3x+y的最小值．
【考点】运用基本不等式求最值．
【专题】整体思想；综合法；不等式；运算求解．
【答案】（1）1；（2）4．
【分析】（1）利用基本不等式求得正确答案．
（2）先化简已知条件，然后利用基本不等式求得正确答案．
【解答】解：（1）由于，
所以，
当且仅当5﹣4x，即x＝1时等号成立，
所以的最大值为1．
（2）依题意，x2+xy﹣2＝0，x＞0，y＞0，
所以，
所以，
当且仅当时等号成立，
所以3x+y的最小值为4．
【点评】本题主要考查了基本不等式及相关结论在最值求解中的应用，属于中档题．
19．（2024秋 资阳校级期末）已知全集U＝R，集合A＝（x|x2﹣4x+3≤0}，B＝{x||x﹣3|＜1}，C＝{x|2a≤x≤a+2，a∈R}．
（Ⅰ）分别求A∩B，A∪（ UB）；
（Ⅱ）若B∪C＝B，求a的取值范围；
（Ⅲ）若A∩C≠ ，求a的取值范围．
【考点】一元二次不等式及其应用；交、并、补集的混合运算．
【专题】集合思想；综合法；集合；运算求解．
【答案】（Ⅰ）A∩B＝{x|2＜x≤3}，A∪（ UB）＝{x|x≤3或x≥4}；
（Ⅱ）（1，2）；
（Ⅲ）[﹣1，]．
【分析】（Ⅰ）先求出集合A，B，再利用集合的基本运算求解；
（Ⅱ）由B∪C＝B可得C B，分C＝ 和C≠ 两种情况讨论，分别求出a的取值范围，最后取并集即可；
（Ⅲ）先求出A∩C＝ 时a的取值范围，再取补集即可．
【解答】解：（Ⅰ）集合A＝（x|x2﹣4x+3≤0}＝{x|1≤x≤3}，B＝{x||x﹣3|＜1}＝{x|2＜x＜4}，
∴A∩B＝{x|2＜x≤3}， UB＝{x|x≤2或x≥4}，
∴A∪（ UB）＝{x|x≤3或x≥4}；
（Ⅱ）∵B∪C＝B，∴C B，
①当C＝ 时，2a＞a+2，∴a＞2，
②当C≠ 时，则，
解得1＜a＜2，
综上所述，a的取值范围为（1，2）∪（2，+∞）；
（Ⅲ）若A∩C＝ ，
①当C＝ 时，2a＞a+2，∴a＞2，
②当C≠ 时，或，
∴a＜﹣1或a≤2，
综上所述，若A∩C＝ ，则a的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（，+∞），
所以若A∩C≠ ，则a的取值范围[﹣1，]．
【点评】本题主要考查了一元二次不等式的解法，考查了集合的包含关系，以及集合的基本运算，属于中档题．
20．（2025春 吉林校级期中）已知二次函数满足f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），满足f（x+1）﹣f（x）＝2x，且f（0）＝1．
（1）函数f（x）的解析式；
（2）函数f（x）在区间[﹣1，1]上的最大值和最小值．
【考点】二次函数的性质与图象；函数解析式的求解及常用方法．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1）f（x）＝x2﹣x+1；（2），f（x）max＝3
【分析】（1）先设出函数解析式，然后代入已知条件可分别求出a，b，c，进而可求函数解析式；
（2）根据函数的性质可判断函数在[﹣1，1]上单调性，进而可求函数的最值．
【解答】解：（1）由题意f（x）为二次函数，设f（x）＝ax2+bx+c，
∵f（0）＝1，∴c＝1．
则f（x）＝ax2+bx+1，
又∵f（x+1）﹣f（x）＝2x，
∴a（x+1）2+b（x+1）+1﹣ax2﹣bx﹣1＝2ax+a+b，即2ax+a+b＝2x，
由，
解得：a＝1，b＝﹣1，f（x）＝x2﹣x+1．
（2）由（1）知，根据二次函数的性质可知：开口向上，对称轴，
∴当时，f（x）有最小值，当x＝﹣1时，f（x）有最大值3；
∴f（x）的值域为
【点评】本题主要考查了二次函数解析式的求解及闭区间上最值的求解，属于中档试题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)