1.2.2 分层抽样与系统抽样 教案1
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文档简介
1.2.2 分层抽样与系统抽样
学案
●三维目标
1．知识与技能
(1)正确理解系统抽样、分层抽样的概念；
(2)掌握系统抽样、分层抽样的一般步骤；
(3)区分简单随机抽样、系统抽样和分层抽样，并选择适当正确的方法进行抽样．
2．过程与方法
(1)能够从现实生活或其他学科中提出具有一定价值的统计问题；
(2)在解决统计问题的过程中，学会用系统和分层的方法从总体中抽取样本．
3．情感、态度与价值观
通过对现实生活和其他学科中统计问题的提出，体会数学知识与现实世界及各学科知识之间的联系，认识数学的重要性.
●重点难点
正确理解系统抽样、分层抽样的概念，掌握系统抽样和分层抽样的步骤，并能灵活应用相关知识从总体中抽取样本．
本节课内容是新课标北师大版必修3第一章第二节《抽样方法》的第二课时．在当今信息社会，数据是一种重要的信息．运用数据进行推断，分析解决生活中的实际问题，是现代社会普遍使用的一种重要方法．因此，统计在社会的各个领域的应用越来越广泛．本节课在学生已有的抽样知识的基础上进一步学习抽样方法，学生将在本节课中对“抽样方法”的全过程有一个系统的感知和理解，为后面学习数据的分析和概率奠定了基础．
(教师用书独具)
●教学建议
本节课要充分利用多媒体辅助教学，在教法上充分体现教师的
“问题诱导，启发讨论”的引导作用，在学法上突出学生的“自主探究，合作交流”的学习方式，真正实现“教师为主导，学生为主体”的新课程理念，让学生通过“析案例，议疑难，现过程，得结论，做小结”等一系列学习活动来掌握重点，突破难点，充分发挥学生的主动性和参与性．
●教学流程
创设情境，引入新课，以课本上的探究为例引入课题 在教师引导下，通过自由讨论，探究得出分层抽样的特点及应用条件 通过生活实例引入系统抽样，学生类比分层抽样总结出系统抽样的特点 通过例1及变式训练使学生掌握分层抽样的方法，突出重点
通过例2及变式训练使学生掌握系统抽样的方法，强化重点 通过对三种抽样方法的应用，学生完成例3及变式训练，提高学生的综合应用能力，突破难点 完成当堂双基达标，巩固本节所学知识，并进行反馈矫正 归纳总结，知识升华，使学生系统的掌握本节知识并完成课下作业
课标解读
1.通过实例，准确把握分层抽样、系统抽样的概念(重点)．2．会用分层抽样、系统抽样解决实际问题(难点)．3．了解各种抽样方法的适用范围能根据具体情况选择恰当的抽样方法(难点).
知识1
分层抽样
【问题导思】
1．某地区有高中生2
400人，初中生10
900人，小学生11
000人．当地教育部门为了了解本地区中小学生的近视率及其形成原因，要从本地区的中小学生抽取1%的学生进行调查，你认为应当怎样抽取样本？
【提示】 应分高中、初中、小学三个层次进行抽取．
2．在高中、初中、小学三部分学生中都按1%的比例抽取，应各抽取多少人？
【提示】 高中生抽取2
400×1%＝24(人)，
初中生抽取10
900×1%＝109(人)，
小学生抽取11
000×1%＝110(人)．
将总体按其特征分成若干类型(有时称作层)，然后在每个类型中按照所占比例随机抽取一定的样本．这种抽样方法通常叫作分层抽样，有时也称为类型抽样．
知识2
系统抽样
【问题导思】
1．某中学从5
000名学生中选出50人参加2013年10月1日的庆国庆文娱活动，若用抽签法可行吗？
【提示】 可行，但费时费力、操作不变．
2．能否设计一个合理的抽样方法完成此样本的抽取？
【提示】 能．
系统抽样是将总体中的个体进行编号，等距分组，在第一组中按照简单随机抽样抽取第一个样本，然后按分组的间隔(称为抽样距)抽取其他样本．这种抽样方法有时也叫等距抽样或机械抽样.
类型1
分层抽样
某城市有210家百货商店，其中大型商店
20家，中型商店40家，小型商店150家．为了掌握各商店的营业情况，计划抽取一个容量为21的样本，按照分层抽样方法抽取时，各种百货商店分别要抽取多少家？写出抽样过程．
【思路探究】 先算出样本比例，然后求出各层抽样的样本数，最后在各层抽取得到样本．
【自主解答】 (1)样本容量与总体的个体数的比为＝；
(2)确定各种商店要抽取的数目：
大型：20×＝2(家)，
中型：40×＝4(家)，
小型：150×＝15(家)；
(3)采用简单随机抽样在各层中抽取大型：2家；中型：4家；小型：15家；
这样便得到了所要抽取的样本．
1．本题中商店的构成情况具有显著差异．为了抽取好的样本宜采用分层抽样，抽取样本时，要把性质、结构相同的个体组成一层．
2．采用分层抽样时，应先确定抽样比，即k＝，然后用k去分别乘各层个体数，即得各层入样个体数，从而确定样本．
某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取________名学生．
【解析】 抽取比例与学生比例一致．
设应从高二年级抽取x名学生，则x∶50＝3∶10.解得x＝15.
【答案】 15
类型2
系统抽样
从某汽车制造公司生产的800辆轿车中随机抽取80辆测试某项性能，请用系统抽样法写出抽样过程．
【思路探究】 按系统抽样的方法和步骤抽取样本．
【自主解答】 第一步：将800辆汽车进行编号，编号如下：001,002,003，…，800.
第二步：分段，由于样本容量为80，所以可分80段，每段长度为10，分段情况如下：
(001,002，…，010)，(011,012，…，020)，(021,022，…，030)，(031,032，…，040)，…，(791,792，…，800)．
第三步：在第1段中用简单随机抽样法抽取一个号码(如007)作为起始号．
第四步：在后面的各段中依次加间隔10，即可得样本号码如：007,017,027,037，…，797.
这样将编号为007,017,027，…，797的轿车取出就组成了一个样本．
1．解决本题时，对总体、个体先进行编号，然后依据样本容量确定分段数及每段间隔长度，再利用简单随机抽样法在第1段中抽取一个号码作为起始号码，并依次加间隔长度即可获取样本号码．
2．系统抽样又称等距抽样，当给出总体数和样本容量后，应先确定组数和组距(注意一般组数等于样本容量)，在第一组抽取起始号码后，只需依次加间隔长度即可得到样本．
(2013·陕西高考)某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为( )
A．11 B．12 C．13 D．14
【解析】 抽样间隔为＝20.设在1,2，…，20中抽取号码x0(x0∈[1,20])，在[481,720]之间抽取的号码记为20k＋x0，则481≤20k＋x0≤720，k∈N
.
∴24≤k＋≤36.
∵∈，
∴k＝24,25,26，…，35，
∴k值共有35－24＋1＝12(个)，即所求人数为12.
【答案】 B
类型3
三种抽样方法的综合运用
选择合适的抽样方法抽样，写出抽样过程．(1)30个篮球，其中甲厂生产的有21个，乙厂生产的有9个，抽取10个入样；(2)有甲厂生产的30个篮球，其中一箱21个，另一箱9个，抽取3个入样；(3)有甲厂生产的300个篮球，抽取10个入样；(4)有甲厂生产的300个篮球，抽取30个入样．
【思路探究】 根据三种抽样方法的运用特点选取抽样方法，然后按照各自的步骤写出抽样过程．
【自主解答】 (1)总体由差异明显的两个层次组成，需选用分层抽样法，步骤如下：
①确定抽取个数.＝3，所以甲厂生产的应抽取＝7个，乙厂生产的应抽取＝3个；
②用抽签法分别抽取甲厂生产的篮球7个，乙厂生产的篮球3个，这些篮球便组成了我们要抽取的样本．
(2)总体容量较小，用抽签法．步骤如下：
①将30个篮球编号，编号为00,01，…，29；
②将以上30个编号分别写在三十张小纸条上，揉成小球，制成号签；
③把号签放入一个不透明的袋子中，充分搅匀；
④从袋子中逐个抽取3个号签，并记录上面的号码；
⑤找出和所得号码对应的篮球．
(3)总体容量较大，样本容量较小宜用随机数法．
步骤如下：
①将300个篮球用随机方式编号，编号为001,002，…，300；
②在随机数表中随机的确定一个数作为开始，如第8行第29列的数1开始．任选一个方向作为读数方向，比如向右读；
③从数1开始向右读，每次读三位，凡不在001～300中的数跳过去不读，遇到已经读过的数也跳过去，便可依次得到162,074,111,163,024,042,196,125,292,019这10个号码，这就是所要抽取的10个样本个体的号码．
(4)总体容量较大，样本容量也较大，宜用系统抽样法．步骤如下：
①将300个篮球用随机方式编号，编号为000,001,002，…229，并分成30段；
②在第一段000,001,002，…，009这10个编号中用简单随机抽样法抽出一个(如002)作为起始号码；
③将编号为002,012,022，…，292的个体抽出，组成一个样本．
1．(1)当总体容量较小，样本容量也较小时，制签简单，号鉴容易搅匀，可采用抽签法．
(2)当总体容量较大，样本容量较小时，可采用随机数法．
(3)当总体容量较大，样本容量也较大时，可采用系统抽样法．
(4)当总体是由明显几部分组成时，可采用分层抽样．
2．在解决具体问题中，应结合三种抽样方法的使用范围和实际情况恰当选择抽样方法，为了使样本更具有代表性，通常要使用几种抽样方法．
下列问题中，采用怎样的抽样方法较为合理？
(1)从10台电冰箱中抽取3台进行质量检查．
(2)某电影院有32排座位，每排有40个座位，座位号为1～40，有一次报告会坐满了听众，报告会结束后，为听取意见，需留下32名听众进行重谈．
(3)某学校有160名教职工，其中教师120名，行政人员16名，后勤人员24名．为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见拟抽取一个容量为20的样本．
【解】 (1)总体容量较小，用抽签法或随机数法都很方便．
(2)总体容量较大，用抽签法或随机数法都比较麻烦．由于人员没有明显的差异，且刚好32排，每排人数相同，可用系统抽样法．
(3)由于学校各类人员对这一问题的看法可能差异较大，所以应采用分层抽样方法.
理解题意错误致误
(2012·福建高考)一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人，按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员人数是________．
【错解】 设应抽取的女运动员为x人，依题意得＝
解得x＝16.
【答案】 16
【错因分析】 本题易出现题意理解错误或计算错误．
【防范措施】 1.明确分层抽样的特点及性质．
2．明确每层在总体中占的比例．
3．提高数学运算能力．
【正解】 利用分层抽样的特点，按比例抽样去分析．
依题意，女运动员有98－56＝42(人)．设应抽取女运动员x人，根据分层抽样特点，得＝，解得x＝12.
【答案】 12
三种抽样方法的比较
类别
共同点
各自特点
相互联系
适用范围
简单随机抽样
系统抽样
分层抽样
(1)抽样过程中每个个体被抽取的概率相等；(2)均属于不放回抽样
从总体中逐个抽取
总体中的个体数较少
将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分抽取
在起始部分抽样时采用简单随机抽样
总体中的个体数较多
将总体分成几层，分层进行抽取
各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样
总体由差异明显的几部分组成
1．有40件产品，其中一等品10件，二等品25件，次品5件，现从中抽出8件进行质量分析，问应采取何种抽样方法( )
A．抽签法 B．随机数法
C．系统抽样
D．分层抽样
【解析】 产品由明显差异的三部分组成故可采用分层抽样．
【答案】 D
2．一个年级有12个班，每个班的同学以1～50排学号，为了交流学习经验，要求每班学号为14的同学留下进行交流，这里运用的是( )
A．分层抽样
B．抽签法
C．随机数法
D．系统抽样
【解析】 要求每班学号为14的同学留下进行交流，是等距抽样．
【答案】 D
3．课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4,12,8，若用分层抽样抽取6个城市，则丙组中应抽取的城市数为________．
【解析】 由分层抽样的性质＝＝＝…，
可知＝，∴x＝2.
【答案】 2
4．某校高三年级有295名学生，为了了解学生的学习情况，要按1∶5的比例抽取一个样本，用系统抽样的方法进行抽取，并写出抽样过程．
【解】 依题意知，样本容量为295÷5＝59，
第一步：编号，将295名学生编号为001,002，…，295；
第二步：分段，分为59段，每段5人；
第三步：在第一段中随机抽取一个号码为起始号码，然后依次加间隔5，可得样本.
一、选择题
1．某学校高一、高二、高三三个年级共有学生3
500人，其中高三学生数是高一学生数的两倍，高二学生数比高一学生数多300人，现在按的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，则应抽取高一学生数为( )
A．8 B．11 C．16 D．10
【解析】 若设高三学生数为x，则高一学生数为，高二学生数为＋300，所以有x＋＋＋300＝3
500，解得x＝1
600.故高一学生数为800，因此应抽取高一学生数为＝8.
【答案】 A
2．某班共有学生52人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知6号、32号、45号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的学号是( )
A．16
B．19
C．26
D．29
【解析】 由于系统抽样是等距抽样，注意到样本中的号码6,32,45，可知另一号码为19，这样样本为6,19,32,45.
【答案】 B
3．中央电视台动画城节目为了对本周的热心小观众给予奖励，要从已确定编号的一万名小观众中抽出十名幸运小观众．现采用系统抽样方法抽取，其组容量为( )
A．10
B．100
C．1
000
D．10
000
【解析】 依题意，要抽十名幸运小观众，所以要分十个组，组容量为10
000÷10＝1
000，即分段间隔．
【答案】 C
4．某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人．为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中的青年职工为7人，则样本容量为( )
A．7
B．15
C．25
D．35
【解析】 ∵青年职工与全体职工的人数比为
＝.
∴样本容量为7÷＝15(人)，故选B.
【答案】 B
5．(2012·山东高考)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A，编号落入区间[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B的人数为( )
A．7
B．9
C．10
D．15
【解析】 由系统抽样的特点知：抽取号码的间隔为＝30，抽取的号码依次为9,39,69，…，939.落入区间[451,750]的有459,489，…，729.所以做问卷B的有10人．
【答案】 C
二、填空题
6．(2012·天津高考)某地区有小学150所，中学75所，大学25所．现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取________所学校，中学中抽取________所学校．
【解析】 150×＝150×＝18,75×＝9.
【答案】 18 9
7．(2013·南京检测)已知某校的初中生人数、高中生人数，教师人数之比为20∶15∶2，现在用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为N的样本进行调查，若应从高中生中抽取60人，则N＝________.
【解析】 由题意知＝，∴N＝148.
【答案】 148
8．某工厂为了检验产品质量，在生产流水线上每隔5分钟就取一件产品，这种抽样方法是________．
【解析】 由于生产流水线均匀生产出产品，所拿出的产品每相邻的两件其“间隔”是相同的，所以是系统抽样．
【答案】 系统抽样
三、解答题
9．一个体育代表队有200名运动员，其中两名是种子选手．现从中抽取13人参加某项运动会．若种子选手必须参加．请用系统抽样法给出抽样过程．
【解】 第一步：将198名运动员用随机方式编号，编号为001,002，…，198.
第二步：将编号按顺序每18个一段，分成11段．
第三步：在第一段001,002，…，018这18个编号中用简单随机抽样法抽出一个(如010)作为起始号码．
第四步：将编号为010,028,046，…，190的个体抽出，与种子选手一起参加这项运动．
10．某校500名学生中，O型血有200人，A型血125人，B型血有125人，AB型血有50人，为了研究血型与色弱的关系，需从中抽取一个容量为20的样本怎样抽取样本？
【解】 用分层抽样抽取样本．
∵＝，即抽样比为，
∴200×＝8,125×＝5,50×＝2.
故O型血抽8人，A型血抽5人，B型血抽5人，AB型血抽2人．
抽样步骤：
(1)确定抽样比.
(2)按比例分配各层所要抽取的个体数，O型血抽8人，A型血抽5人，B型血抽5人，AB型血抽2人．
(3)用简单随机抽样分别在各种血型的人中抽取样本，直至取出容量为20的样本．
11．某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加其中一个组，在参加活动的职工中，青年人占42.5%，中年人占47.5%，老年人占10%.登山组的职工占参加活动总人数的，且该组中，青年人占50%，中年人占40%，老年人占10%.为了了解各组不同年龄层次的职工对本次活动的满意程度，现用分层抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取一个容量为200的样本，试确定：
(1)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例；
(2)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数．
【解】 (1)设登山组人数为x，游泳组中青年人、中年人、老年人所占比例分别为a、b、c，则有＝47.5%，＝10%，解得b＝50%，c＝10%.故a＝100%－50%－10%＝40%，即游泳组中，青年人、中年人、老年人所占比例分别为40%、50%、10%.
(2)游泳组中，抽取的青年人人数为200××40%＝60；抽取的中年人人数为200××50%＝75；抽取的老年人人数为200××10%＝15.
(教师用书独具)
某单位有技术工人18人，技术员12人，工程师6人．需要从这些人中抽取一个容量为n的样本．如果采用系统抽样和分层抽样方法抽取，都不用剔除个体；如果样本容量增加一个，则在采用系统抽样时，需要在总体中剔除一个个体．求样本容量n.
【自主解答】 依题意，此单位一共有36人．
工程师、技术员与技术工人人数之比为1∶2∶3.
设工程师需抽取x人，则技术员、技术工人需分别抽取2x人，3x人．
因为采用系统抽样和分层抽样都不用剔除个体．
所以n＝x＋2x＋3x＝6x，且∈Z.所以n∈{6,12,18,36}．
又因为，当样本容量增加一个时，用系统抽样又需剔除一个个体．
所以∈Z.
可以验证当n＝12,18,36时， Z，只有n＝6时，＝5符合题意．
(2013·西安检测)我校在检查学生作业时，抽出每班学号尾数为5的学生作业进行检查，这里运用的是( )
A．分层抽样 B．抽签抽样
C．随机抽样
D．系统抽样
【解析】 抽样取到的样本编号距离相等，所以是系统抽样．
【答案】 D
学案
●三维目标
1．知识与技能
(1)正确理解系统抽样、分层抽样的概念；
(2)掌握系统抽样、分层抽样的一般步骤；
(3)区分简单随机抽样、系统抽样和分层抽样，并选择适当正确的方法进行抽样．
2．过程与方法
(1)能够从现实生活或其他学科中提出具有一定价值的统计问题；
(2)在解决统计问题的过程中，学会用系统和分层的方法从总体中抽取样本．
3．情感、态度与价值观
通过对现实生活和其他学科中统计问题的提出，体会数学知识与现实世界及各学科知识之间的联系，认识数学的重要性.
●重点难点
正确理解系统抽样、分层抽样的概念，掌握系统抽样和分层抽样的步骤，并能灵活应用相关知识从总体中抽取样本．
本节课内容是新课标北师大版必修3第一章第二节《抽样方法》的第二课时．在当今信息社会，数据是一种重要的信息．运用数据进行推断，分析解决生活中的实际问题，是现代社会普遍使用的一种重要方法．因此，统计在社会的各个领域的应用越来越广泛．本节课在学生已有的抽样知识的基础上进一步学习抽样方法，学生将在本节课中对“抽样方法”的全过程有一个系统的感知和理解，为后面学习数据的分析和概率奠定了基础．
(教师用书独具)
●教学建议
本节课要充分利用多媒体辅助教学，在教法上充分体现教师的
“问题诱导，启发讨论”的引导作用，在学法上突出学生的“自主探究，合作交流”的学习方式，真正实现“教师为主导，学生为主体”的新课程理念，让学生通过“析案例，议疑难，现过程，得结论，做小结”等一系列学习活动来掌握重点，突破难点，充分发挥学生的主动性和参与性．
●教学流程
创设情境，引入新课，以课本上的探究为例引入课题 在教师引导下，通过自由讨论，探究得出分层抽样的特点及应用条件 通过生活实例引入系统抽样，学生类比分层抽样总结出系统抽样的特点 通过例1及变式训练使学生掌握分层抽样的方法，突出重点
通过例2及变式训练使学生掌握系统抽样的方法，强化重点 通过对三种抽样方法的应用，学生完成例3及变式训练，提高学生的综合应用能力，突破难点 完成当堂双基达标，巩固本节所学知识，并进行反馈矫正 归纳总结，知识升华，使学生系统的掌握本节知识并完成课下作业
课标解读
1.通过实例，准确把握分层抽样、系统抽样的概念(重点)．2．会用分层抽样、系统抽样解决实际问题(难点)．3．了解各种抽样方法的适用范围能根据具体情况选择恰当的抽样方法(难点).
知识1
分层抽样
【问题导思】
1．某地区有高中生2
400人，初中生10
900人，小学生11
000人．当地教育部门为了了解本地区中小学生的近视率及其形成原因，要从本地区的中小学生抽取1%的学生进行调查，你认为应当怎样抽取样本？
【提示】 应分高中、初中、小学三个层次进行抽取．
2．在高中、初中、小学三部分学生中都按1%的比例抽取，应各抽取多少人？
【提示】 高中生抽取2
400×1%＝24(人)，
初中生抽取10
900×1%＝109(人)，
小学生抽取11
000×1%＝110(人)．
将总体按其特征分成若干类型(有时称作层)，然后在每个类型中按照所占比例随机抽取一定的样本．这种抽样方法通常叫作分层抽样，有时也称为类型抽样．
知识2
系统抽样
【问题导思】
1．某中学从5
000名学生中选出50人参加2013年10月1日的庆国庆文娱活动，若用抽签法可行吗？
【提示】 可行，但费时费力、操作不变．
2．能否设计一个合理的抽样方法完成此样本的抽取？
【提示】 能．
系统抽样是将总体中的个体进行编号，等距分组，在第一组中按照简单随机抽样抽取第一个样本，然后按分组的间隔(称为抽样距)抽取其他样本．这种抽样方法有时也叫等距抽样或机械抽样.
类型1
分层抽样
某城市有210家百货商店，其中大型商店
20家，中型商店40家，小型商店150家．为了掌握各商店的营业情况，计划抽取一个容量为21的样本，按照分层抽样方法抽取时，各种百货商店分别要抽取多少家？写出抽样过程．
【思路探究】 先算出样本比例，然后求出各层抽样的样本数，最后在各层抽取得到样本．
【自主解答】 (1)样本容量与总体的个体数的比为＝；
(2)确定各种商店要抽取的数目：
大型：20×＝2(家)，
中型：40×＝4(家)，
小型：150×＝15(家)；
(3)采用简单随机抽样在各层中抽取大型：2家；中型：4家；小型：15家；
这样便得到了所要抽取的样本．
1．本题中商店的构成情况具有显著差异．为了抽取好的样本宜采用分层抽样，抽取样本时，要把性质、结构相同的个体组成一层．
2．采用分层抽样时，应先确定抽样比，即k＝，然后用k去分别乘各层个体数，即得各层入样个体数，从而确定样本．
某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取________名学生．
【解析】 抽取比例与学生比例一致．
设应从高二年级抽取x名学生，则x∶50＝3∶10.解得x＝15.
【答案】 15
类型2
系统抽样
从某汽车制造公司生产的800辆轿车中随机抽取80辆测试某项性能，请用系统抽样法写出抽样过程．
【思路探究】 按系统抽样的方法和步骤抽取样本．
【自主解答】 第一步：将800辆汽车进行编号，编号如下：001,002,003，…，800.
第二步：分段，由于样本容量为80，所以可分80段，每段长度为10，分段情况如下：
(001,002，…，010)，(011,012，…，020)，(021,022，…，030)，(031,032，…，040)，…，(791,792，…，800)．
第三步：在第1段中用简单随机抽样法抽取一个号码(如007)作为起始号．
第四步：在后面的各段中依次加间隔10，即可得样本号码如：007,017,027,037，…，797.
这样将编号为007,017,027，…，797的轿车取出就组成了一个样本．
1．解决本题时，对总体、个体先进行编号，然后依据样本容量确定分段数及每段间隔长度，再利用简单随机抽样法在第1段中抽取一个号码作为起始号码，并依次加间隔长度即可获取样本号码．
2．系统抽样又称等距抽样，当给出总体数和样本容量后，应先确定组数和组距(注意一般组数等于样本容量)，在第一组抽取起始号码后，只需依次加间隔长度即可得到样本．
(2013·陕西高考)某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为( )
A．11 B．12 C．13 D．14
【解析】 抽样间隔为＝20.设在1,2，…，20中抽取号码x0(x0∈[1,20])，在[481,720]之间抽取的号码记为20k＋x0，则481≤20k＋x0≤720，k∈N
.
∴24≤k＋≤36.
∵∈，
∴k＝24,25,26，…，35，
∴k值共有35－24＋1＝12(个)，即所求人数为12.
【答案】 B
类型3
三种抽样方法的综合运用
选择合适的抽样方法抽样，写出抽样过程．(1)30个篮球，其中甲厂生产的有21个，乙厂生产的有9个，抽取10个入样；(2)有甲厂生产的30个篮球，其中一箱21个，另一箱9个，抽取3个入样；(3)有甲厂生产的300个篮球，抽取10个入样；(4)有甲厂生产的300个篮球，抽取30个入样．
【思路探究】 根据三种抽样方法的运用特点选取抽样方法，然后按照各自的步骤写出抽样过程．
【自主解答】 (1)总体由差异明显的两个层次组成，需选用分层抽样法，步骤如下：
①确定抽取个数.＝3，所以甲厂生产的应抽取＝7个，乙厂生产的应抽取＝3个；
②用抽签法分别抽取甲厂生产的篮球7个，乙厂生产的篮球3个，这些篮球便组成了我们要抽取的样本．
(2)总体容量较小，用抽签法．步骤如下：
①将30个篮球编号，编号为00,01，…，29；
②将以上30个编号分别写在三十张小纸条上，揉成小球，制成号签；
③把号签放入一个不透明的袋子中，充分搅匀；
④从袋子中逐个抽取3个号签，并记录上面的号码；
⑤找出和所得号码对应的篮球．
(3)总体容量较大，样本容量较小宜用随机数法．
步骤如下：
①将300个篮球用随机方式编号，编号为001,002，…，300；
②在随机数表中随机的确定一个数作为开始，如第8行第29列的数1开始．任选一个方向作为读数方向，比如向右读；
③从数1开始向右读，每次读三位，凡不在001～300中的数跳过去不读，遇到已经读过的数也跳过去，便可依次得到162,074,111,163,024,042,196,125,292,019这10个号码，这就是所要抽取的10个样本个体的号码．
(4)总体容量较大，样本容量也较大，宜用系统抽样法．步骤如下：
①将300个篮球用随机方式编号，编号为000,001,002，…229，并分成30段；
②在第一段000,001,002，…，009这10个编号中用简单随机抽样法抽出一个(如002)作为起始号码；
③将编号为002,012,022，…，292的个体抽出，组成一个样本．
1．(1)当总体容量较小，样本容量也较小时，制签简单，号鉴容易搅匀，可采用抽签法．
(2)当总体容量较大，样本容量较小时，可采用随机数法．
(3)当总体容量较大，样本容量也较大时，可采用系统抽样法．
(4)当总体是由明显几部分组成时，可采用分层抽样．
2．在解决具体问题中，应结合三种抽样方法的使用范围和实际情况恰当选择抽样方法，为了使样本更具有代表性，通常要使用几种抽样方法．
下列问题中，采用怎样的抽样方法较为合理？
(1)从10台电冰箱中抽取3台进行质量检查．
(2)某电影院有32排座位，每排有40个座位，座位号为1～40，有一次报告会坐满了听众，报告会结束后，为听取意见，需留下32名听众进行重谈．
(3)某学校有160名教职工，其中教师120名，行政人员16名，后勤人员24名．为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见拟抽取一个容量为20的样本．
【解】 (1)总体容量较小，用抽签法或随机数法都很方便．
(2)总体容量较大，用抽签法或随机数法都比较麻烦．由于人员没有明显的差异，且刚好32排，每排人数相同，可用系统抽样法．
(3)由于学校各类人员对这一问题的看法可能差异较大，所以应采用分层抽样方法.
理解题意错误致误
(2012·福建高考)一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人，按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员人数是________．
【错解】 设应抽取的女运动员为x人，依题意得＝
解得x＝16.
【答案】 16
【错因分析】 本题易出现题意理解错误或计算错误．
【防范措施】 1.明确分层抽样的特点及性质．
2．明确每层在总体中占的比例．
3．提高数学运算能力．
【正解】 利用分层抽样的特点，按比例抽样去分析．
依题意，女运动员有98－56＝42(人)．设应抽取女运动员x人，根据分层抽样特点，得＝，解得x＝12.
【答案】 12
三种抽样方法的比较
类别
共同点
各自特点
相互联系
适用范围
简单随机抽样
系统抽样
分层抽样
(1)抽样过程中每个个体被抽取的概率相等；(2)均属于不放回抽样
从总体中逐个抽取
总体中的个体数较少
将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分抽取
在起始部分抽样时采用简单随机抽样
总体中的个体数较多
将总体分成几层，分层进行抽取
各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样
总体由差异明显的几部分组成
1．有40件产品，其中一等品10件，二等品25件，次品5件，现从中抽出8件进行质量分析，问应采取何种抽样方法( )
A．抽签法 B．随机数法
C．系统抽样
D．分层抽样
【解析】 产品由明显差异的三部分组成故可采用分层抽样．
【答案】 D
2．一个年级有12个班，每个班的同学以1～50排学号，为了交流学习经验，要求每班学号为14的同学留下进行交流，这里运用的是( )
A．分层抽样
B．抽签法
C．随机数法
D．系统抽样
【解析】 要求每班学号为14的同学留下进行交流，是等距抽样．
【答案】 D
3．课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4,12,8，若用分层抽样抽取6个城市，则丙组中应抽取的城市数为________．
【解析】 由分层抽样的性质＝＝＝…，
可知＝，∴x＝2.
【答案】 2
4．某校高三年级有295名学生，为了了解学生的学习情况，要按1∶5的比例抽取一个样本，用系统抽样的方法进行抽取，并写出抽样过程．
【解】 依题意知，样本容量为295÷5＝59，
第一步：编号，将295名学生编号为001,002，…，295；
第二步：分段，分为59段，每段5人；
第三步：在第一段中随机抽取一个号码为起始号码，然后依次加间隔5，可得样本.
一、选择题
1．某学校高一、高二、高三三个年级共有学生3
500人，其中高三学生数是高一学生数的两倍，高二学生数比高一学生数多300人，现在按的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，则应抽取高一学生数为( )
A．8 B．11 C．16 D．10
【解析】 若设高三学生数为x，则高一学生数为，高二学生数为＋300，所以有x＋＋＋300＝3
500，解得x＝1
600.故高一学生数为800，因此应抽取高一学生数为＝8.
【答案】 A
2．某班共有学生52人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知6号、32号、45号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的学号是( )
A．16
B．19
C．26
D．29
【解析】 由于系统抽样是等距抽样，注意到样本中的号码6,32,45，可知另一号码为19，这样样本为6,19,32,45.
【答案】 B
3．中央电视台动画城节目为了对本周的热心小观众给予奖励，要从已确定编号的一万名小观众中抽出十名幸运小观众．现采用系统抽样方法抽取，其组容量为( )
A．10
B．100
C．1
000
D．10
000
【解析】 依题意，要抽十名幸运小观众，所以要分十个组，组容量为10
000÷10＝1
000，即分段间隔．
【答案】 C
4．某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人．为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中的青年职工为7人，则样本容量为( )
A．7
B．15
C．25
D．35
【解析】 ∵青年职工与全体职工的人数比为
＝.
∴样本容量为7÷＝15(人)，故选B.
【答案】 B
5．(2012·山东高考)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A，编号落入区间[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B的人数为( )
A．7
B．9
C．10
D．15
【解析】 由系统抽样的特点知：抽取号码的间隔为＝30，抽取的号码依次为9,39,69，…，939.落入区间[451,750]的有459,489，…，729.所以做问卷B的有10人．
【答案】 C
二、填空题
6．(2012·天津高考)某地区有小学150所，中学75所，大学25所．现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取________所学校，中学中抽取________所学校．
【解析】 150×＝150×＝18,75×＝9.
【答案】 18 9
7．(2013·南京检测)已知某校的初中生人数、高中生人数，教师人数之比为20∶15∶2，现在用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为N的样本进行调查，若应从高中生中抽取60人，则N＝________.
【解析】 由题意知＝，∴N＝148.
【答案】 148
8．某工厂为了检验产品质量，在生产流水线上每隔5分钟就取一件产品，这种抽样方法是________．
【解析】 由于生产流水线均匀生产出产品，所拿出的产品每相邻的两件其“间隔”是相同的，所以是系统抽样．
【答案】 系统抽样
三、解答题
9．一个体育代表队有200名运动员，其中两名是种子选手．现从中抽取13人参加某项运动会．若种子选手必须参加．请用系统抽样法给出抽样过程．
【解】 第一步：将198名运动员用随机方式编号，编号为001,002，…，198.
第二步：将编号按顺序每18个一段，分成11段．
第三步：在第一段001,002，…，018这18个编号中用简单随机抽样法抽出一个(如010)作为起始号码．
第四步：将编号为010,028,046，…，190的个体抽出，与种子选手一起参加这项运动．
10．某校500名学生中，O型血有200人，A型血125人，B型血有125人，AB型血有50人，为了研究血型与色弱的关系，需从中抽取一个容量为20的样本怎样抽取样本？
【解】 用分层抽样抽取样本．
∵＝，即抽样比为，
∴200×＝8,125×＝5,50×＝2.
故O型血抽8人，A型血抽5人，B型血抽5人，AB型血抽2人．
抽样步骤：
(1)确定抽样比.
(2)按比例分配各层所要抽取的个体数，O型血抽8人，A型血抽5人，B型血抽5人，AB型血抽2人．
(3)用简单随机抽样分别在各种血型的人中抽取样本，直至取出容量为20的样本．
11．某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加其中一个组，在参加活动的职工中，青年人占42.5%，中年人占47.5%，老年人占10%.登山组的职工占参加活动总人数的，且该组中，青年人占50%，中年人占40%，老年人占10%.为了了解各组不同年龄层次的职工对本次活动的满意程度，现用分层抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取一个容量为200的样本，试确定：
(1)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例；
(2)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数．
【解】 (1)设登山组人数为x，游泳组中青年人、中年人、老年人所占比例分别为a、b、c，则有＝47.5%，＝10%，解得b＝50%，c＝10%.故a＝100%－50%－10%＝40%，即游泳组中，青年人、中年人、老年人所占比例分别为40%、50%、10%.
(2)游泳组中，抽取的青年人人数为200××40%＝60；抽取的中年人人数为200××50%＝75；抽取的老年人人数为200××10%＝15.
(教师用书独具)
某单位有技术工人18人，技术员12人，工程师6人．需要从这些人中抽取一个容量为n的样本．如果采用系统抽样和分层抽样方法抽取，都不用剔除个体；如果样本容量增加一个，则在采用系统抽样时，需要在总体中剔除一个个体．求样本容量n.
【自主解答】 依题意，此单位一共有36人．
工程师、技术员与技术工人人数之比为1∶2∶3.
设工程师需抽取x人，则技术员、技术工人需分别抽取2x人，3x人．
因为采用系统抽样和分层抽样都不用剔除个体．
所以n＝x＋2x＋3x＝6x，且∈Z.所以n∈{6,12,18,36}．
又因为，当样本容量增加一个时，用系统抽样又需剔除一个个体．
所以∈Z.
可以验证当n＝12,18,36时， Z，只有n＝6时，＝5符合题意．
(2013·西安检测)我校在检查学生作业时，抽出每班学号尾数为5的学生作业进行检查，这里运用的是( )
A．分层抽样 B．抽签抽样
C．随机抽样
D．系统抽样
【解析】 抽样取到的样本编号距离相等，所以是系统抽样．
【答案】 D