(共23张PPT)
第10章 数的开方
章末复习 数的开方
复习点1 平方根与立方根
1.下列说法正确的是( )
C
A. 一定没有平方根
B.立方根等于它本身的数是0，1
C.25的平方根是
D. 的算术平方根是2
2.一个数的算术平方根是8，则这个数的立方根是( )
D
A.8或 B.4或 C. D.4
3.（2024·德阳）化简： ___.
4.如果为 的算术平方根，
为的立方根，那么 的平方根为____.
3
5.求下列各式中的 ．
（1） ；
解：因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以， ．
（2） ．
解：因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ．
6.如图，小丽想用一块面积为 的正方形纸片，沿着边的方
向裁出一块面积为 的长方形纸片，使它的长是宽的2倍.她
不知能否裁得出来，正在发愁.小明见了说：“别发愁，一定能用
一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片.”你同意小明的说法吗？
你认为小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？为什么？
解：不同意.因为正方形的面积为，故边长为 设长方
形的宽为 ，
则长为 ，根据题意，得
，解得， （舍去）.
则
因为 ，
所以长方形的长大于正方形的边长.
所以不能裁出符合要求的长方形纸片.
7.已知的平方根为， 的立方根为2，
（1）求 的算术平方根；
解：因为的平方根为， 的立方根为2，
所以，
解得，
所以
因为36的算术平方根为 ，
所以 的算术平方根为6.
（2）设是的整数部分，求 的平方根.
解：因为 ，
所以 的整数部分为3，
即
由（1），得， ，
所以
因为25的平方根为 ，
所以的平方根为
复习点2 实数的相关概念及分类
8.（2024·福建）下列实数中，无理数是( )
D
A. B.0 C. D.
9.如图，数轴的正半轴上有，，三点，表示1和 的对应点
分别为，，点到点的距离与点到点的距离相等，设点
所表示的数为
（1）请你写出数 的值；
解：因为点A，B分别表示1， ，
所以，即
（2）求 的立方根.
解：因为 ，
所以
因为1的立方根为1，
所以 的立方根为1.
复习点3 实数的大小比较
10.（重庆中考卷）估计 的值在( )
D
A.6到7之间 B.5到6之间 C.4到5之间 D.3到4之间
11.已知在两个连续的自然数和之间，1是 的一个
平方根.
（1）求， 的值；
解：因为 ，
所以
所以
又因为在两个连续的自然数和之间，1是 的一个
平方根，
所以，
（2）比较 的算术平方根与3的大小.
解：由（1），知， ，
所以
所以的算术平方根是
因为 ，
所以
复习点4 实数的运算
12.计算：
（1） ；
解：原式
（2） ；
解：原式
（3）
解：原式
13.一个数值转换器，如图所示：
（1）当输入的值为256时，输出 的值是____；
（2）若输入有效的值后，始终输不出 值，请写出所有满足要
求的 的值，并说明你的理由；
解：因为0和1的算术平方根是它们本身，0和1是有理数，
所以当的值为0和1时，始终输不出 的值.
（3）若输出的是，请写出两个满足要求的 值：__________
_______________.
5和25
（答案不唯一）
复习点5 两种思想
思想1 数形结合思想
14.（2024·兴安盟）实数， 在数轴上的对应位置如图所示，
则 的化简结果是( )
A
A.2 B. C. D.
15.如图，点，，在数轴上，点表示的数是，点是 的
中点，线段，则点 表示的数是_________．
思想2 分类讨论思想
16.已知数轴上两点，到原点的距离分别是和2，则
________________.
或(共15张PPT)
第10章 数的开方
10.1 平方根和立方根
10.1.2 立方根
基础 分点训练
中档 提分训练
拓展 素养训练
知识点1 立方根
1.（嘉兴中考） 的立方根是( )
A
A. B.2 C. D.不存在
2.如果，那么 是( )
C
A. B.1，0 C. ,0 D.以上均不对
3.下列说法中，不正确的是( )
D
A.0.027的立方根是0.3 B.的立方根是
C.0的立方根是0 D.125的立方根是
4.有以下四个说法：①因为，所以是 的立方根；
②因为 ，所以64是4的立方根；③求2的立方与将8开立方
互为逆运算；④求8的立方与将8开方互为逆运算.其中正确的是
______（填序号）.
①③
5.（教材P6例4变式）求下列各数的立方根：
（1）0.216；
解：因为 ，
所以0.216的立方根是，即 .
（2） .
解：因为，且 ，
所以的立方根是，即 .
6.计算：
（1） ；
解：原式 .
（2） ；
解：原式 .
（3） .
解：原式 .
知识点2 用计算器求立方根
7.（教材P8习题 变式）估计65的立方根大小在( )
C
A.8与9之间 B.3与4之间 C.4与5之间 D.5与6之间
8.用计算器计算：（精确到 ）
（1） ；
解：原式 .
（2） .
解:原式 .
9.下列说法正确的是( )
D
A.一个数的立方根有两个，它们互为相反数
B.一个数的立方根比这个数的平方根小
C.如果一个数有立方根，那么它一定有平方根
D.与 互为相反数
10.若，，那么代数式 的值是( )
D
A.1 B. C.1或 D.1或
11.若，，则 _________.
或
12.已知大正方体的体积为，小正方体的体积为 .如
图所示那样叠放在一起，这个物体的最高点 离地面的距离是___
.
7
13.【注重阅读理解】
（1）填表：
0.000001 0.001 1 1000 1000000
_____ ____ __ ____ _____
0.01
0.1
1
10
100
（2）由上表你发现了什么规律 请用语言叙述这个规律：______
_________________________________；
被开
方数扩大1000倍，则立方根扩大10倍
（3）根据你发现的规律填空：
①已知，则 ______， _______；
14.42
0.1442
②已知 ，
则 ______.
7.697
14.如图，有一个长方体水池的长、宽、高之比为 ，
其体积为 .
（1）求长方体水池的长、宽、高分别为多少？
解：设长方体水池的长、宽、高分别为，， ，则
.
所以.所以 .
解得 .
所以长方体水池的长、宽、高分别为， ，
.
（2）当有一个半径为 的球放入注满水的水池中，溢出水池外的
水的体积为水池体积的 ，求该小球的半径.（球的体积公式：
， 取3，结果精确到 ）
解：依题意，得 ，
所以.所以 .
故该小球的半径约为 .
15.我们知道时，也成立，若将看成 的立
方根，看成 的立方根，我们能否得出这样的结论：若两个数
的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数？
（1）试举一个例子来判断上述猜测结论是否成立；
解：因为，而且 ，
，有 ，
所以“若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数”
是成立的.
（2）若与互为相反数，求 的值.
解：由（1）验证的结果，知 ，
所以 .
所以 .(共22张PPT)
第10章 数的开方
10.1 平方根和立方根
10.1.1 平方根
基础 分点训练
中档 提分训练
拓展 素养训练
知识点1 平方根
1.（2024·内江）16的平方根是( )
D
A.2 B. C.4 D.
2.下列各数没有平方根的是( )
A
A. B.0 C.2 D.6
3.一个数的平方根是 ，这个数是 ____．
16
4.（教材P4练习T2变式）写出下列各数的平方根：
（1）1.69；
解：
（2） .
解： .
知识点2 算术平方根
5.（2024·攀枝花）2的算术平方根是( )
C
A.2 B. C. D.
6.下列说法不正确的是( )
C
A.0的平方根是0 B.1的算术平方根是1
C.的平方根是 D. 是4的一个平方根
7.中国清代学者华衡芳与英国人傅兰雅合译的《代数学》卷首有
“代数之法，无论何数，皆可以任何记号代之”，则2的算术平方
根用符号表示为____.
8.求下列各式的值：
（1） ；
解：原式 .
（2） ；
解：原式 .
（3） ；
解：原式 .
（4） .
解：原式 .
知识点3 用科学计算器求一个正数的算术平方根
9.（湘西州中考）计算 的结果精确到0.01是（可用科学计
算器计算或笔算）( )
C
A.0.30 B.0.31 C.0.32 D.0.33
10.用计算器计算:（精确到 ）
（1） ；
解：原式 .
（2） .
解：原式 .
知识点4 估算
11.（2024·天津）估计 的值在( )
C
A.1和2之间 B.2和3之间 C.3和4之间 D.4和5之间
12.估计 的值介于( )
B
A.1与2之间 B.2与3之间 C.3与4之间 D.4与5之间
13.如图，长方形内有两个相邻的正方形，面
积分别是 和4，那么阴影部分的面积
是( )
B
A. B. C. D.
14.【注重阅读理解】观察：已知 ，
.
填空：
（1） _______，
______；
0.2284
228.4
（2）若，则 __________.
0.0005217
15.（孝感中考）请写出一个正整数的值使得是整数：
_________________．
2（答案不唯一）
16.已知， ．
（1）已知的算术平方根为3，求 的值；
解： 的算术平方根为3，
，即 ，
解得 ．
（2）如果一个正数的平方根分别为， ，求这个正数．
解：根据题意，得，即 ，
解得 ．
，
这个正数为 ．
17.小丽想用一块面积为 的正方形纸片，沿着边的方向裁
出一块面积为 的长方形纸片．
（1）请帮小丽设计一种可行的裁剪方案；
解：设面积为的正方形纸片的边长为 ，则
.
又因为 ，
所以 .
又因为要裁出的长方形面积为 ，
所以若以原正方形纸片的边长为长方形的长，
则长方形的宽为 .
所以可以以正方形一边为长方形的长，在其邻边上截取长为
的线段作为宽即可裁出符合要求的长方形.
（2）若要使长方形的长、宽之比为 ，小丽能用这块纸片裁出
符合要求的纸片吗？若能，请帮小丽设计一种裁剪方案；若不能，
请简要说明理由．
解：不能.理由如下：因为长方形纸片的长、宽之比为 ，
所以设长方形纸片的长为，则宽为 .
所以 .
所以 .
又因为，所以 .
所以长方形纸片的长为 .
所以小丽不能用这块纸片裁出符合要求的纸片．
算术平方根的非负性
【思想方法】（1）算术平方根是一个非负数；（2）算术平方根
的被开方数是一个非负数；（3）若几个非负数的和等于0，则这
几个非负数都等于0；（4）常见的几个非负数：平方，绝对值，
算术平方根.
1.如果，则____， ___.
2.（2024·成都）若,为实数，且 ,则
的值为___.
3.（荆州中考）若，则 ___．
3
1
2
4.已知，，满足 ，求
的算术平方根.
解：因为，所以 ，
，.解得，， .则
.因为 的算
术平方根是，所以的算术平方根是 .(共17张PPT)
第10章 数的开方
10.2 实数
基础 分点训练
中档 提分训练
拓展 素养训练
知识点1 实数的分类
1.（2024·遂宁）下列各数中，无理数是( )
C
A. B. C. D.0
2.下列说法正确的是 ( )
D
A.实数包括有理数、无理数和零
B.有理数包括正有理数和负有理数
C.无限不循环小数和无限循环小数都是无理数
D.无论是有理数还是无理数都是实数
3.把下列各数的序号写入相应的大括号内：
，，，，，
（相邻两个5之间0的个数逐次加1）．
（1）负数{ ________}；
（2）有理数{ __________}；
（3）无理数{ ______}．
①④⑥
①③④⑤
②⑥
知识点2 实数与数轴上的点的关系
4.（2024·北京）实数, 在数轴上的对应点的位置如图所示，下
列结论中正确的是( )
C
A. B. C. D.
5.（2024·南充）如图，数轴上表示 的点是( )
C
A.点 B.点 C.点 D.点
知识点3 实数的相反数、绝对值
6.（2024·连云港） 的相反数是( )
A
A. B. C. D.2
7.（2024·东营） 的绝对值是( )
A
A.3 B. C. D.
8.求出下列等式中的
（1） ；
解： .
（2） .
解：或 .
知识点4 实数的大小比较及运算
9.（2024·巴中）在0，1，， 中最小的实数是( )
B
A.0 B. C.1 D.
10.计算 的结果是( )
C
A.1 B. C.0 D.
11.用计算器计算：
（1） （精确到 ）；
解：原式 .
（2）（精确到 ）.
解：原式 .
12.如图，小明设计了一个计算程序，当输入的值为 时，输出
的值为( )
C
A. B. C. D.3
13.如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点 与数轴上表示
的点重合，将该圆沿数轴滚动1周，点到达点 的位置，则点
表示的数是( )
D
A. B.
C. D.或
14.（教材P12练习T3变式）比较下列实数的大小（填“ ”“ ”
或“ ”）.
（1） ___1;
（2）___ ．
15.计算：
（1） ；
解：原式
.
（2） ；
解：原式
.
（3） .
解：原式
.
16.已知实数，，，，，，且，互为倒数，， 互为相
反数，的绝对值为， 的算术平方根是8，求
的值.
解：由题意，可知，，， ，
所以， .
所以 .
17.已知，， ，
， ，.定义： ，
，
，
，按此规律类推 ____________.(共8张PPT)
第10章 数的开方
教材回归（一） 实数大小比较的几种常用方法
（针对教材P11例1）
教材母题（教材P11例1）
试比较与 的大小.
解：用计算器求得 ，
而
因此 .
方法1 利用数轴比较实数大小
1.在数轴上表示下列各数，并用“ ”连接起来.
，，0，，
解：，
在数轴上表示各数如图所示.
所以
方法2 利用平方法或立方法比较实数大小
2.比较下列数的大小：
___4；4___
[解析] ， .
因为，所以
，
因为，所以
3.（2024·山西）比较大小：___2（填“ ”“ ”或“ ”）
[解析] ， .
因为，所以
方法3 利用作差法比较实数大小
4.试判断与 的大小，并说明理由.
解：
理由如下：
因为，所以 ，
所以，所以 ，
所以，所以
方法4 利用近似值法比较实数大小
5.比较 和 的大小.
解：，
因为，所以
目
录
教材母题（教材P11例1）
试比较√3+√2与π的大小
解：用计算器求得√3+√2≈3.14626437，
而π≈3.141592654.
因此√3+√2>π.
1.在数轴上表示下列各数，并用<连接起来
-2,1-3.51,0,-27,V5
解：|-3.51=3.5，√-27=-3.
在数轴上表示各数如图所示。
解折(V17可2=17,42=16.
因为17>16，所以V17>4.
43=64,(√50)3=50
因为64>50，所以4>50.
解折22=4，（√62=6
因为6>4，所以√6>2.
解：
V19-4
5
5
理由如下：
V19-4
V19-5
5
5
5
因为16<19<25，所以√16<√19
<√25
所以4≤V19<5,所以V19-5
所以5<0,所以94
5
5
5
解：T≈3.14，
6.24
=3.12
2
因为3.14>3.12，所以π>
√39
2(共8张PPT)
第10章 数的开方
教材回归（二） 平方根与实际问题（针对教材P2
平方根概念提出的问题）
教材母题（教材P2平方根概念提出的问题）
已知正方形的面积为 ，求这个正方形的边长.
解：因为，所以正方形的边长应是
答：这个正方形的边长应是
1.如果底边为，高为 的三角形的面积，正好与一个正
方形的面积相等，求这个正方形的边长.
解：根据题意，得三角形的面积为
设与三角形等面积的正方形的边长为根据题意，得
因为 ，
所以
答：这个正方形的边长为
2.如图，海啸是由海底地震、火山爆发、海底
滑坡或气象变化所产生的破坏性海浪，海啸的
波速高达每小时 千米，在几小时内就
能横过大洋；波长可达数百千米、可以传播几
千千米而能量损失很小．海啸的行进速度可按
公式计算，其中表示海啸的速度， 表示海水的
深度，表示重力加速度．若在海洋深度 处发
生海啸，求其行进的速度．
解：由题意，得， ，
则 ．
答：其行进的速度为 ．
3.【综合与实践】如图，把两个面
积均为 的小正方形纸片分
别沿对角线裁剪后拼成一个大的
正方形纸片．
（1）求大正方形纸片的边长；
解：由题意，得大正方形的面积为
，
所以大正方形纸片的边长为 ．
（2）若沿此大正方形纸片边的方向裁剪出一个长方形纸片，能
否使裁剪出的长方形纸片的长、宽之比为，且面积为 ？
若能，求剪出的长方形纸片的长和宽；若不能，试说明理由．
解：不能.理由如下：
因为长方形纸片的长、宽之比为 ，
所以设长方形纸片的长和宽分别是， ，
所以，所以
因为，所以 ，
所以长方形纸片的长是
因为 ，
所以沿此大正方形纸片边的方向，不能裁剪出符合要求的长方形
纸片．(共10张PPT)
第10章 数的开方
专题训练（一） 实数与数轴
1.（2024·青岛）实数，，， 在数轴上对应点的位置如图所
示，这四个实数中绝对值最小的是( )
C
A. B. C. D.
2.（南通中考）如图，数轴上，，，， 五个点分别表示数
1，2，3，4，5，则表示数 的点应在( )
C
A.线段上 B.线段上 C.线段上 D.线段 上
3.如图，数轴上表示1，的对应点分别为，， ，则
点 所表示的实数是( )
C
A. B. C. D.
4.如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点 ，
点表示，设点所表示的数为 ．
（1）实数 的值是________；
（2）求 的值；
解：因为，则， ，
所以 ，
所以 的值为2．
（3）在数轴上还有，两点分别表示实数和，且有
与互为相反数，求 的平方根．
解：因为与 互为相反数，
所以 ，
所以，且 ．
解得，或， ．
①当， 时，
，无平方根.
②当， 时，
，
所以的平方根为 ．
综上所述，的平方根为
5.如图，直径为1的圆从原点沿数轴向左滚动一周，圆上与原点
重合的点到达，设点表示的数为
（1）求 的值；
解：根据题意，知 的长度等于直径为1的圆的周长，所以
.
因为点在原点左侧，所以 .
所以的值为 .
（2）求 的算术平方根.
解：把 代入 ，得
因为4的算术平方根为2，
所以 的算术平方根为2.
6.有理数，， 在数轴上的位置如图所示.
（1）用“ ”或“ ”填空： ___0，
___0， ___0；
（2）化简： ．
解：因为，， ，
所以原式
．(共12张PPT)
第10章 数的开方
易错易混专练
易错点1 对无理数的概念理解不透彻或对实数的分类不清
1.在 （每相邻两个1之间0的个数逐次加1），
， ，，， 中，有理数的个数是( )
C
A.5 B.4 C.3 D.2
2.把下列各数分别填入相应的大括号中：
，，，0，，，，， ，
， （每相邻两个4之间3的个数逐次加1）.
有理数：
_ _________________________________________________________
无理数：________________________________________________
________________
，，，0，，，，， ；
， （每相邻两个4之间3的
个数逐次加1） .
易错点2 平方根中遗漏负根
3.9的平方根是( )
C
A.3 B. C. D.81
4.如果，则 _______.
3或
易错点3 混淆与 的平方根
5.实数 的平方根是( )
B
A. B. C. D.3
6. 的平方根是( )
A
A. B. C. D.
7.下列说法或等式中，正确的个数是( )
； ；
的平方根是 ；
的算术平方根是 ；
是 的平方根.
A
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
易错点4 搞不清求哪个数的立方根
8. 的立方根是( )
C
A.8 B.4 C.2 D.16
易错点5 忽视被开方数的意义
9.下列判断：
的平方根是0.5；
②只有正数才有平方根；
的平方根是 ；
是 的一个平方根.
其中正确的有( )
A
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
10.已知实数，满足，则 的值为__.
11.已知与互为相反数，则 __.
易错点6 乱用运算律
12.下列运算中，错误的有( )
；
；
；
C
A.①② B.③④ C.①②③ D.②③④
易错点7 认为负数没有立方根
13.当取__________时， 有意义.
任意实数
易错点8 不能正确理解一一对应的含义
14.下列语句正确的是( )
B
A.有理数和数轴上的点一一对应
B.无理数都可以用数轴上的点表示
C.数轴上的点所表示的数不是正实数就是负实数
D.数轴上的点只表示有理数
