(共10张PPT)
第11章 整式的乘除
教材回归（三） 完全平方公式的变形（针对教材P
57复习题T12）
教材母题（教材P57复习题 ）
已知，，求 的值.
解： .
利用完全平方公式进行计算时，若已知，， ，
中的两个，即可求出另外两个式子，常见计算公式如下：
；
；
；
.
1.已知，，则 的值为( )
B
A.3 B.9 C.49 D.100
2.已知，，则 的值是_______．
3.一个长方形的周长是18厘米，设长方形的长、宽分别为 厘米，
厘米，且 ，那么该长方形的面积是____平方厘米．
4.若，，则 的值为_____.
5或
15
5.若，则 ____．
6.【分类讨论思想】已知，，则
________.
10
28或36
7.已知实数，满足， ．
（1）求 的值；
解：因为， ，
所以原式
．
（2）求 的值．
解：
．
8.【阅读理解问题】若满足 ，求
的值.
解：设， ，
则， ，
所以
.
请仿照上面的方法解答下面的问题：
若满足 ，求
的值.
解：设， ，
则 ，
，
所以
.
目
录
利用完全平方公式进行计算时，若已知a2+b2,ab,a+b,
a一b中的两个，即可求出另外两个式子，常见计算公式如下：
(1)a2+b2=(a+b)2-2ab;
(2)a2+b2=(a-b)2+2ab;
(3)a2+b2=[(a+b)2+(a-b)2
(4)ab=4[(a+b)2-(a-b)2]
2.已知a2+b2=13,ab=6,则a+b的值是
3.一个长方形的周长是18厘米，设长方形的长、宽分别为a厘米，
b厘米，且a2+b2=51,那么该长方形的面积是
平方厘米
4.若m-n=4,mn=-3,则(m2-4)(n2-4)的值为
5.若x+y-4+(xy-3)2=0,则x2+y2=
6.【分类讨论思想】已知a+b=8,a2b2=4,则%+b
ab
解：因为m+n=6,mn=-3,
所以原式=mn-2m-2n+4
=n-2(m+n)+4
=-3-2×6+4
一11
解：m2+m2=(m+n2-2mn
=62-2×(-3)
=36十6
=42.
8.【阅读理解问题】若x满足(9-x)(x一4)=4，求
(4-x)2+(x-9)2的值.
解：设9-x=a,x-4=b,，
则(9-x)(x-4)=ab=4,a+b=(9-x)+(x-4)=5,
所以(4-x)2+(x-9)2=a2+b2=
(a+b)2-2ab=52-2×4=17(共21张PPT)
第11章 整式的乘除
11.2 整式的乘法
11.2.3 多项式与多项式相乘
基础 分点训练
中档 提分训练
拓展 素养训练
知识点1 多项式与多项式相乘
1.（武汉中考）计算 的结果是( )
B
A. B. C. D.
2.下列算式计算结果为 的是( )
A
A. B.
C. D.
3.计算的结果中，含 的项的系数为( )
A
A. B.1 C.5 D.
【变式】 若关于的多项式展开合并后不含
项，则 的值是 ( )
A
A.2 B. C.0 D.
4.填空：
（1） ___ _________
________；
（2） ______
______ __________________.
5.已知，，则代数式 的值为___.
5
6.计算：
（1） ；
解：原式
.
（2） ；
解：原式
.
（3） ；
解：原式
.
（4）（2024·重庆B卷节选） .
解：原式
.
7.先化简，再求值： ，其中
.
解：原式
.
当时，原式 .
知识点2 多项式与多项式相乘的应用
8.三个连续奇数，若中间一个数为 ，则它们的积是( )
C
A. B. C. D.
9.小明家承包了一个长方形的鱼塘，原来长为 米，宽为
米，现将这个鱼塘的长和宽都增加2米，则总面积增加了
( )
B
A.平方米 B. 平方米
C.4平方米 D. 平方米
10.设，，则与 的大小
关系为( )
A
A. B. C. D.不能确定
11.（随州中考）设有边长分别为和的类和 类正方形
纸片、长为宽为的 类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边
长为的正方形，需要1张类纸片、1张类纸片和2张 类纸
片．若要拼一个长为、宽为的矩形，则需要 类纸
片的张数为( )
C
A.6 B.7 C.8 D.9
12.将4个数，，， 排成2行2列，两边各加一条竖线记成
，定义 ，上述记号叫做二阶行列式，若
，则 的值为____.
13.解方程： .
解：
，
，
，
，
.
14.已知 ，试求
的值.
解：由题意,知解得
原式 .
15.阅读下列材料，完成相应的任务．#1
平衡多项式
定义：对于一组多项式，，，
（，，， 是常数），当其中两个多项式的乘积与另外两个
多项式乘积的差是一个常数 时，称这样的四个多项式是一组平
衡多项式， 的绝对值是这组平衡多项式的平衡因子．
例如：对于多项式，，， ，因为
，所以多项式，，， 是一组平衡多项式，其平衡因子为 ．
任务：#1.3
（1）小明发现多项式，，， 是一组平衡多
项式，在求其平衡因子时，列式如下：
，根据他的思路求该组平衡多项
式的平衡因子；
解：原式 .
因为 ，所以该组平衡多项式的平衡因子是3.
（2）判断多项式，，， 是否为一组平衡多
项式，若是，求出其平衡因子；若不是，说明理由．
解：多项式，，， 是一组平衡多项式.
因为
，且 .
所以该组平衡多项式的平衡因子是3.
（3）若多项式，，，（ 是常数）是一组
平衡多项式，求 的值．
解：若多项式，，，（ 是常数）是一组
平衡多项式，有三种情况，
①
,
因为该组多项式是一组平衡多项式，
所以，解得 .
②
,
因为该组多项式是一组平衡多项式，
所以，解得 .
③
,
因为该组多项式是一组平衡多项式，
所以，解得 .
综上所述,的值为或7或 ．(共19张PPT)
第11章 整式的乘除
专题训练（二） 幂的运算及应用
类型1 直接利用幂的运算性质进行计算
1.计算：
（1） ____;
（2） ______；
（3） ______;
（4） _______;
（5） _________；
（6） _____;
（7） ____；
（8） ___________；
（9） _____;
（10） ______．
2.计算：
（1） ；
解:原式 .
（2） ；
解：原式
.
（3） ；
解：原式 .
（4） ；
解：原式
.
（5） .
解：原式
.
类型2 逆用幂的运算性质
（1）将指数相加的幂写成同底数幂的积，即 ；
（2）将指数相乘的幂写成幂的乘方，即 ；
（3）将相同指数幂的积写成积的乘方，即 ；
（4）将指数相减的幂写成同底数幂的商，即 .
3.计算: .
解：原式
.
4.已知，，（，都是正整数），用含 ，
或 的式子表示下列各式：
（1） ；
解：
.
（2） .
解： .
5.（1）若，，求 的值；
解：因为 ，
所以 ．
（2） ．
解：原式
．
6.已知，求 的值.
解：因为 ，
且 ，
所以 .
所以 .
所以 .
7.（1）已知，，求 的值；
解：因为， ，
所以
．
（2）已知，求 的值．
解：因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以，解得 ．
所以 的值为6．
8.（ 为正整数）能被13整除吗？说明
理由.
解：（ 为正整数）能被13整除.理由如
下：
.
因为为正整数，所以 是正整数.
所以 能被13整除.
类型3 利用幂的乘方法则比较大小
方法1 化为同指数幂比较——指数有公因数
9.已知，，，试比较，， 的大小，用“
”将它们连接起来：__________.
[解析]， ，
.因为 ，
所以.所以 .
10.试比较，，三个数的大小，用“ ”将它们连
接起来：_____________________.
方法2 化为同底数幂比较——底数有公共的幂因数
11.已知，，，试比较，， 的大小，
用“ ”将它们连接起来：__________.
[解析]， ，
.因为 ，
所以 .
12.，，的大小关系是________________（用“ ”连接）.
13.已知，，则___（填“ ”“ ”或“ ”）.(共21张PPT)
第11章 整式的乘除
11.5 因式分解
第2课时 运用公式法分解因式
基础 分点训练
中档 提分训练
拓展 素养训练
知识点1 运用平方差公式分解因式
1.（柳州中考）下列多项式中，能用平方差公式进行因式分解的
是( )
A
A. B.
C. D.
2.（2023·杭州）分解因式： ( )
A
A. B.
C. D.
3.因式分解:
（1） __________________；
（2） ______________________.
4.分解因式：
（1） ；
解：原式 .
（2） ；
解：原式 .
（3） ；
解：原式
.
（4） .
解：原式
.
知识点2 运用完全平方公式分解因式
5.下列多项式能用完全平方公式进行因式分解的是( )
B
A. B. C. D.
6.因式分解：
（1）（2024·盐城） _________;
（2） __________;
（3）（2024·达州） ___________;
（4）（2024·广元） _________;
（5）（2024·通辽） ___________.
7.分解因式：
（1） ；
解：原式
.
（2） ；
解：原式
.
（3） .
解：原式
.
8.若，则 ( )
B
A.12 B.10 C.8 D.6
9.若一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，则称这个正整
数为“好数”.下列正整数中能称为“好数”的是( )
D
A.205 B.250 C.502 D.520
10.（2024·广西）如果， ，那么
的值为( )
D
A.0 B.1 C.4 D.9
11.分解因式：
（1） ;
解：原式
．
（2） .
解：原式
.
12.运用简便方法计算：
（1） ；
解：原式
.
（2） .
解：原式
.
13.学完《因式分解》之后，某数学兴趣小组对多项式
进行因式分解，过程如下：
解：设 ，
原式
.
（1）该同学因式分解的结果是否彻底？
________（填“彻底”或“不彻底”）；若不彻底，请直接写出正确
的结果：_________；
不彻底
（2）该过程中用到的因式分解的方法是________；
公式法
（3）请你模仿上面的方法对多项式
进行因式分解.
解：设 ，
原式
.
14.有一张边长为 厘米的正方形
桌面，因为实际需要，需将正方
形边长增加 厘米，木工师傅设
计了如图所示的三种方案：
小明发现这三种方案都能验证公式： .
对于方案一，小明是这样验证的：
.
请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程.
解：方案二：
.
方案三：
.(共23张PPT)
第11章 整式的乘除
专题训练（四） 因式分解及其应用
类型1 运用提公因式法因式分解
1.分解因式：
（1） ；
解：原式 .
（2） .
解：原式 .
类型2 运用公式法因式分解
2.分解因式：
（1） ；
解：原式 .
（2） ；
解：原式 ．
（3） ．
解：原式
．
类型3 先提公因式后运用公式法因式分解
3.分解因式：
（1） ；
解：原式
．
（2） ；
解：原式
．
（3） .
解：原式
．
类型4 选择适当的方法因式分解
4.分解因式：
（1） ;
解：原式
．
（2） ;
解：原式
.
（3） ；
解：原式 .
（4） ．
解：原式
.
类型5 运用特殊方法因式分解
方法1 十字相乘法
5.阅读下面的材料．
材料一：当时，，或 ．
材料二：把等式 的左右两边
交换位置后，得到 ，也就是
说一个特殊形式的二次三项式也可以进行因式分解，如
．
所以在解方程 时，可以把方程变形为
，所以，或 ．所以
， ．#1.2.1
根据以上材料回答下列问题：
（1）因式分解： ______________；
（2）解方程： ；
解：由题意，知方程 分解得
，
所以或 ，
解得， ．
（3）若，则与 的关系式是 _____________
_______．
或
方法2 分组分解法
6.（1）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解
的方法是分组分解法．
例如： ．
①分解因式： ；
解：原式
．
②若，都是正整数且满足，求
的值；
解：由题意，得，即 ．
因为，为正整数且 ，
所以即
所以 ．
（2）若，为实数且满足 ，
，求 的最小值．
[答案] 由题意,得 ．
所以
．
因为， ,
所以（当且仅当, 时取等号）．
经验证：,满足 .
综上所述，的最小值为 ．
类型6 因式分解的应用
7.（2024·徐州）若，，则代数式
的值是___.
2
8.设，， ，比较
数，， 的大小，按从小到大的顺序排列.
解：因为 ，
，
.
所以 .
9.阅读材料：利用公式法，可以将一些形如
的多项式变形为 的形式，我们把这样的变形方法
叫做多项式 的配方法，运用多项式的配方法
及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．
例如： ．
根据以上材料，解答下列问题：
（1）分解因式： ；
解：原式
.
（2）求多项式 的最小值；
解： ，
因为，所以 ，
所以多项式的最小值为 .
（3）已知，，是 的三边长，且满足
，求 的周长．
解：因为 ，
所以 ，
即 ，
所以 .
因为，， ，
所以，， ，
所以的周长为 ．(共16张PPT)
第11章 整式的乘除
专题训练（三） 整式的化简与求值
类型1 整式的化简
1.计算：
（1）（兰州中考） ;
解：原式
．
（2） ；
解：原式
.
（3） ；
解：原式
.
（4） .
解：原式
.
类型2 整式的化简与求值
2.化简求值：
（1）（南充中考），其中 ;
解：原式
．
当时，原式 ．
（2）（2024·赤峰节选）已知 ，求代数式
的值；
解：原式
.
因为，所以 .
当 时，
原式 .
（3），其中 ；
解：原式
．
当时，原式 .
（4）（盐城中考），其中 ，
;
解：原式
．
当，时，原式 ．
（5），其中，
满足 ．
解：原式
.
因为 ，
所以，，解得， .
当， 时，
原式 ．
类型3 运用整式的运算进行推理说明
3.试说明式子的值与 的取值无关．
解：原式
．
因为计算结果中不含字母 ，
所以式子的值与 的取值无关．
4.化简： .
（1）若， 是任意整数，请观察化简后的结果，它能被3整除吗？
[答案] 原式
.
因为 是3的倍数，
所以它能被3整除.
（2）当 时，求式子的值.
[答案] 因为 ，
所以， .
所以， .
当， 时，
原式 .
5.数学老师给学生出了一道题：当， 时，求
的值．题目出完后，小
明说：“老师给出的条件 是多余的．”小亮说：“不是多
余的．”你同意谁的说法？为什么？请给出推理过程．
解：同意小明的说法．理由如下：
．
因为结果只与有关，与 无关，
所以条件 是多余的，
所以当时，原式 ，
所以小明的说法正确．
6.（河北中考）【注重学习过程】发现：两个已知正整数之和与
这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以
表示为两个正整数的平方和.
验证：如, 为偶数，请把10的一半表示为
两个正整数的平方和.
探究：设“发现”中的这两个正整数为， ，请验证“发现”中的结
论正确.
解：验证：10的一半为5， .
探究：
.
故两个正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且
该偶数的一半也可以表示为这两个正整数的平方和.(共11张PPT)
第11章 整式的乘除
11.1 幂的运算
11.1.2 幂的乘方
基础 分点训练
中档 提分训练
拓展 素养训练
知识点1 幂的乘方
1.（2024·攀枝花）计算 的结果是( )
A
A. B. C. D.
2.在下列各式的括号内，应填入 的是( )
C
A.（ ） B.（ ） C.（ ） D.（ ）
3.填空：
4.计算：
（1） ；
解：原式 .
（2） ；
解：原式 .
（3） ；
解：原式 .
（4） .
解：原式 .
知识点2 幂的乘方法则的拓展与逆用
5.逆用幂的乘方的运算法则填空：___ .
5
6.已知，则 ___，
____， ____.
3
27
81
7.已知，，则 _____.
576
8.（2024·河南）计算 的结果是( )
D
A. B. C. D.
9.（2024·河北）若, 是正整数，且满足
，则与 的关系
正确的是( )
A
A. B. C. D.
10.已知，，，那么,, 的大小关系是
( )
D
A. B. C. D.
11.已知，，则 的值是___.
3
12.在幂的运算中规定：若（且，, 是正整
数），则 ．利用上面结论解答下列问题：
（1）若，求 的值；
解：因为，所以 ，
所以，解得 ．
（2）若，求 的值.
解：因为，所以 ，
，所以,所以，解得 .
13.【阅读理解问题】阅读下列材料：
若，，则，的大小关系是___（填“ ”或“
”）.
解答下列问题：
（1）上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质:__________；
幂的乘方
（2）已知，，试比较与 的大小.
解：因为 ，
，
因为，所以 .
所以 .(共12张PPT)
第11章 整式的乘除
11.1 幂的运算
11.1.4 同底数幂的除法
基础 分点训练
中档 提分训练
拓展 素养训练
知识点1 同底数幂的除法
1.（常州中考）计算 的结果是( )
B
A. B. C. D.
2.墨迹覆盖了等式“ ”中的运算符号，则覆盖
的是( )
D
A. B.- C.× D.
3.（临沂中考）计算 的结果是( )
D
A. B. C. D.
4.若，则 ___．
5.计算: ___.
4
9
6.计算：
（1） ；
解：原式 .
（2） ；
解：原式 .
（3） .
解：原式 .
知识点2 同底数幂的除法法则的拓展与应用
7.若，，则 等于( )
B
A.5 B.3 C.15 D.10
【变式】 若，，则 的值等于( )
C
A.1 B. C. D.6
8.逆用同底数幂的除法运算法则填空：
[答案] 6; 9; 6.
9.下列计算正确的是( )
B
A. B.
C. D.
10.已知，，，则 的值是_ __．
11.计算：
（1） ；
解：原式
.
（2） .
解：原式
.
12.【真实生活情景】某中学科技小组进行了一次统计调查，得
知某市一年中废弃的纽扣电池约为粒，约污染地下水
升，那么平均每一粒纽扣电池每年约污染地下水多少升？假如每
人每年生活用水约为10立方米，那么该市每年约有多少人的生活
用水会被纽扣电池污染？（提示：1立方米 升）
解： （升）.
（人）.
答：平均每一粒纽扣电池每年约污染地下水500升，该市每年约
有 人的生活用水会被纽扣电池污染.
13.已知，，求 的值.
解：因为， ，
所以 .
又因为 ，
所以 .
所以 .(共21张PPT)
第11章 整式的乘除
章末复习 整式的乘除
复习点1 幂的运算
1.（2024·无锡）下列运算正确的是( )
C
A. B.
C. D.
2.下面是小颖同学和小芳同学计算 的过程：
小颖：
小芳：
则她们计算步骤依据的运算性质依次~ 分别是( )
A
A.积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘法、同底数幂的乘法、幂
的乘方
B.幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘法、积的乘方、同底数幂
的乘法
C.同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、幂的乘方、积的乘方
D.幂的乘方、同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方、幂的乘方
3. _ ___．
4.若，，则 _ __.
复习点2 乘法公式
5.在等式（ ） 中，括号里应填的多项式是
( )
C
A. B. C. D.
6.我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成
的图形面积来解释一些代数恒等式．例如图甲可以用来解释
．那么通过图乙面积的计算，验证了
一个恒等式，此等式是( )
图甲
图乙
A.
B.
C.
D.
√
7.阅读理解：
已知，,求 的值.
解：因为，所以 ，即
.
因为，所以 .
参考上述过程，解答下列问题：
（1）若，，则 ___，
___；
5
1
（2）若，.求 的值；
解：， ，
即， ，
（3）若，，则 ____.
.
复习点3 整式的乘、除法
8.弟弟把小明的作业本撕掉了一角，留下一道残缺不全的题目，
如图所示，请你帮他推测出被除式应等于( )
B
A. B.
C. D.
9.如果的乘积中不含的一次项，则 为( )
D
A.2 B. C.1 D.
10.计算：
（1）计算： _______;
（2） ________;
（3） ______________．
11.计算： .
解：原式
.
12.先化简，后求值： ，其中
．
解：原式
．
因为 ，
所以， ．
解得， ，
所以原式 ．
13.现有甲、乙、丙三种矩形卡片
各若干张，卡片的边长如图所示
．某同学分别用6张卡片
拼出了两个矩形（不重叠无缝隙），如表1和表2，其面积分别为
， ．
表1
表2
（1）请用含的式子分别表示，，当时，求 的值；
解：由图,可知 ，
，
当时， ．
（2）比较与 的大小，并说明理由．
解： ．理由如下：
因为 ，
且 ，
所以，所以
复习点4 因式分解
14.分解因式：
（1） ；
解：原式 .
（2） ；
解：原式
.
复习点5 两种思想
思想1 整体思想
15.如果，，求和 的值.
解：因为， ，
所以 .
.
思想2 方程思想
16.若，则 的值为( )
C
A.1 B.2 C.3 D.4
17.若，求, 的值.
解：因为，且，
所以 ，
可得， ，
解得， .(共12张PPT)
第11章 整式的乘除
11.1 幂的运算
11.1.1 同底数幂的乘法
基础 分点训练
中档 提分训练
拓展 素养训练
知识点1 同底数幂的乘法
1.（湖州中考）计算 的结果是( )
C
A. B. C. D.
2.下列各项中，两个幂是同底数幂的是( )
D
A.与 B.与
C.与 D.与
3.在等式中，“ ”所表示的式子为 ( )
B
A. B. C. D.
4.填空：
（1） ；
[答案] ;
（2） __
[答案] ; ;
5.计算：
（1） ；
解：原式 .
（2） ；
解：原式 .
（3） ；
解：原式
.
（4） .
解：原式 .
知识点2 同底数幂的乘法的逆运算
6.若，则 等于 ( )
A
A.7 B.4 C.2 D.6
【变式】 若，则 的值为( )
A
A.2 B.3 C.4 D.5
7.若已知，，则 的值为_____.
8.【数学文化】（河南中考）《孙子算经》中记载：“凡大数之法，
万万曰亿，万万亿曰兆.”说明了大数之间的关系：1亿万
万，1兆万万 亿.则1兆等于( )
C
A. B. C. D.
9.若，则 ____.
10
10.如果，那么我们规定，例如：因为 ，所
以 .
（1）根据上述规定，填空：
___， ___,
____；
3
0
（2）记，，．试说明： ．
解：由题意，得，， ，
所以，所以 ，
即 .
所以 ．
11.已知 ，且
，求 的值.
解：由题意，得 ，
且 ，
解得， .
所以 .
12.我们知道，同底数幂乘法法则为 （其中
，，为正整数）.类似地，我们规定关于任意正整数 ，
的一种新运算：.若 ，则
________.(共16张PPT)
第11章 整式的乘除
全国视野 核心素养专练
1.【推理能力】（荆门中考）对于任意实数， ，
恒成立，则下列关系式正确的是
( )
A
A.
B.
C.
D.
2.【数学文化】【推理能力】（为非负整数）当 ，
1，2，3， 时的展开情况如下：
；
；
；
；
；
；
……
观察上面式子的等号右边各项的系数，
我们得到了下图：
这就是南宋数学家杨辉在其著作《详
解九章算法》中列出的一个神奇的
“图”，他揭示了 展开后各项系
C
A.128 B.256 C.512 D.1024
数的情况，被后人称为“杨辉三角”.根据图，你认为 展开
式中所有项系数的和应该是( )
3.【抽象能力、推理能力、应用意识、创新意识】在日常生活中，
如取款、上网等都需要密码，有一种利用“因式分解”法生成的密
码，方便记忆.如：对于多项式 ，因式分解的结果是
，若取， 时，则各个因式的
值是：，， ，于是就可
以把“018162”作为一个六位数的密码.对于多项式 ，取
， 时，用上述方法生成的密码可以是( )
D
A.101001 B.1307 C.1370 D.10137
4.【注重阅读理解、数学文化】（常州中考节
选）第十四届国际数学教育大会
会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了
2022
我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数
符号写出的八进制数3745. 八进制是以8作为进位基数的数字系统，
有 共8个基本数字.八进制数3745换算成十进制数是
，表示 的举
办年份.八进制数3746换算成十进制数是______.
5.【几何直观、运算能力】（六盘水中考）如图，
学校劳动实践基地有两块边长分别为， 的正方
形秧田，，其中不能使用的面积为 .
（1）用含，的代数式表示 中能使用的面积________；
（2）若，，求比 多出的使用面积.
解：比 多出的使用面积为
.
答：比 多出的使用面积为50.
6.【跨学科融合】【抽象能力、运算能力、应用意识】如图，把
，，三个电阻串联起来，线路上的电流为，电压为 ，
则，当 ， ，
，时，求 的值.
解：
.
答：的值为 .
7.【运算能力、推理能力】有一系列等式：
；
；
；
.
（1）根据你的观察、归纳发现的规律，写出
的结果为______;
（2）试猜想 是哪一个数的平方，并
予以证明.
解：根据（1）中的规律，可猜想
.
证明：因为
.
所以 .
8.【几何直观、推理能力、应用意识】用几个小的长方形、正方
形拼成一个大的正方形，然后利用两种不同的方法计算这个大的
正方形的面积，可以得到一个等式，利用这些等式也可以求一些
不规则图形的面积.
（1）由图1可得等式：________________________；
图1
图2
（2）如图2，由几个面积不等的小正方形和
几个小长方形拼成一个边长为 的
正方形，从中你能发现什么结论？该结论用
等式表示为_____________________________
________________；
（3）利用（2）中的结论解决以下问题：已知 ，
，求 的值；
解：因为 ，且
， ，
所以
.
（4）如图3，由两个边长分别为，的正方形拼在一起，点 ，
，在同一直线上，连接,，若， ，则
图3中阴影部分的面积为____.
36
图3(共10张PPT)
第11章 整式的乘除
易错易混专练
易错点1 对幂的乘方法则理解不透而出错
1.下列四个算式中运算正确的有( )
；
；
；
.
C
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
易错点2 整式乘法时容易出现符号或者漏乘错误
2.计算： _____________________.
3.计算： ______________.
4.计算： _______________.
易错点3 对乘法公式的特征理解不透而出错
5.下列计算正确的是( )
C
A.
B.
C.
D.
6.下列计算： ；
； ；
.其中错误的个数有( )
B
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
易错点4 多种情况下出现漏解错误
7.已知，则整数 的值可能为_________.
8.（安顺中考）若代数式是一个完全平方式，则
__________.
9.若，，则 _______.
10.已知，，则 _______.
0，6，4
或10
3或
1或
易错点5 添括号时符号出错
11.计算： .
解：
.
以上解答过程正确吗？若不正确，请指出错在哪里，并写出正确
的解答过程.
解：不正确.将添括号时出错，正确的解答过程如下： .
易错点6 多项式首项符号为“-”号时，因式分解出现符号
错误
12.把 分解因式，正确的结果是
( )
B
A. B.
C. D.
13.分解因式： ___________________.
易错点7 因式分解不彻底致错
14.因式分解： _________________________.
15.因式分解： ________________.(共17张PPT)
第11章 整式的乘除
11.5 因式分解
第1课时 因式分解及提公因式法分解因式
基础 分点训练
中档 提分训练
拓展 素养训练
知识点1 因式分解的概念
1.（济宁中考）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是
( )
C
A. B.
C. D.
2.对于； ，
从左到右的变形，下列表述正确的是( )
C
A.都是因式分解
B.都是乘法运算
C.①是因式分解，②是乘法运算
D.①是乘法运算，②是因式分解
3.将对分解成，则， 的值为( )
D
A.5， B.，14 C.5，14 D.，
知识点2 用提公因式法分解因式
4.（永州中考）与 的公因式为____．
5.因式分解：
（1）（2024·浙江） _________.
（2）（2024·福建） _________.
（3）（黄石中考） ______________．
6.（1）若，，则 的值为_______；
（2）已知，，则代数式 的值为_____．
4 900
7.把下列各式因式分解：
（1） ；
解：原式 .
（2） ；
解：原式
.
（3） .
解：原式
.
8.下列各式的因式分解中正确的是( )
D
A.
B.
C.
D.
9.已知长方形的边长为和，周长为12，面积为8，则
的值为____．
48
10.（1）已知， ，则代数式
的值为____；
（2）若，则 的值为___；
（3）已知，则代数式
的值为____.
2
11.用简便方法计算：
（1） ；
解：原式
.
（2） .
解：原式
.
12.已知， ，
（1）求代数式 的值；
解：因为 ，
且， ，
所以，所以 ．
（2）求代数式 的值．
解：原式 ．
因为， ，
所以原式 ．
13.已知，，为三边的长，且 ，
，试判断 的形状，并说明理由.
解： 是等边三角形.理由如下：
因为 ，
所以 .
所以 .
因为 ，
所以.所以 .
因为 ，
所以 .
所以 .
因为 ，
所以.所以 .
所以 .
所以 是等边三角形.
14.阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
.
（1）上述分解因式的方法是____________，共运用了___次；
提公因式法
2
（2）若分解因式
，则需运用上述
方法_____次，结果是___________；
100
（3）分解因式：
（ 为正整数）.
解：原式
.(共16张PPT)
第11章 整式的乘除
11.2 整式的乘法
11.2.1 单项式与单项式相乘
基础 分点训练
中档 提分训练
拓展 素养训练
知识点1 单项式与单项式相乘
1.（2024·湖北省卷）计算 的结果是( )
D
A. B. C. D.
2.（遵义中考）下列计算正确的是( )
C
A. B.
C. D.
3.【答题模板】填空：__×__ =______.
5
4.计算：
（1）（甘肃中考） _____；
（2）（西宁中考） ______；
（3） _______.
3
+
+
5.计算：
（1） ；
解：原式
．
（2） ；
解：原式
.
（3） ；
解：原式
.
（4） ；
解：原式 .
（5） .
解：原式
.
知识点2 单项式与单项式相乘的应用
6.在电子显微镜下测得一个圆球体细胞的直径是 纳米，则
个这样的细胞排成的细胞链的长是( )
B
A.纳米 B.纳米 C.纳米 D. 纳米
7.一种计算机每秒可以做 次运算，它工作600秒可做
___________次运算（用科学记数法表示）.
8.计算 的结果是( )
C
A. B. C. D.
9.，则 ( )
C
A.8 B.9 C.10 D.无法确定
10.若单项式与 是同类项，则这两个单项式的
积是_ ________.
11.计算：
（1） ；
解：原式
.
（2） ；
解：原式
.
（3） ；
解：原式
.
（4） .
解：原式
.
12.有理数，满足条件 ，求代
数式 的值．
解：因为 ，
所以
解得
所以
．
13.如图，长方形 是“阳光小区”内的一块空地，已知
，，且为边的中点， ，现打算在
阴影部分种植一片草坪，求这片草坪的面积.
解：因为为的中点，，， ，
所以， .
所以
.
14.【新中考·新定义型运算】若三角形“ ”表示 ，方框
“ ”表示 ，求 × .
解：原式
.(共16张PPT)
第11章 整式的乘除
11.2 整式的乘法
11.2.2 单项式与多项式相乘
基础 分点训练
中档 提分训练
拓展 素养训练
知识点1 单项式与多项式相乘
1.填空：
（1）单项式与多项式相乘的依据是____________；
乘法分配律
（2）计算：
____ ____ ___
__________________．
6
2.下列运算正确的是 ( )
C
A. B.
C. D.
3.（2024·兰州）计算： ( )
D
A. B. C. D.
4.已知，则代数式 的值为( )
C
A.0 B.1 C.2 D.3
【变式】 已知，则代数式 的值为___．
9
5.计算：
（1） ；
解：原式 .
（2） ；
解：原式
.
（3） .
解：原式 .
6.先化简，再求值： ，其中
．
解：原式
．
当时，原式 ．
知识点2 单项式与多项式相乘的应用
7.若三角形的底边为，对应高为 ，则此三角形的面积
为( )
D
A. B. C. D.
8.一个长方体的高是，底面积是 ，则它的
体积是___________________.
9.如图，根据图形的面积可得到一个整式乘法的等式为________
_______________.
10.下列运算中，正确的是( )
D
A.
B.
C.
D.
11.今天数学课上，老师讲了单项式乘以多项式，放学回到家，小
明拿出课堂笔记复习，发现一道题：
， 的地方被钢笔水
弄污了，你认为 内应填写( )
A
A. B. C. D.1
12.现规定一种运算：，其中， 是实数，则
等于( )
B
A. B. C. D.
13.小明外祖母家的住房装修三年后，地砖出现破损，破损部分
的图形如图所示.现有，，三种地砖可供选择，则需要 砖___
块，砖___块， 砖___块.
0
8
2
14.先化简，再求值：
，其中 .
解：原式
.
当时，原式 .
15.若无论取何值时，多项式 与
的值都相等，求常数， 的值.
解：因为
，且
无论取何值，它与多项式 的值都相等，
所以，，解得 .
所以， .
16.某同学在计算一个多项式乘以时，算成了加上 ，得
到的答案是 ，那么正确的计算结果是多少？
解：设这个多项式为 ，则
，
所以 .
所以
.
17.阅读下列文字，并解决问题.
已知，求 的值.
分析：考虑到满足的， 的可能值较多，不可以逐一代
入求解，故考虑整体思想，将 整体代入.
解： .
请你用上述方法解决问题：已知 ，求
的值.
解：
.(共18张PPT)
第11章 整式的乘除
11.3 乘法公式
11.3.1 两数和乘以这两数的差
基础 分点训练
中档 提分训练
拓展 素养训练
知识点1 平方差公式
1.下列各式中能用平方差公式计算的是 ( )
D
A. B.
C. D.
2.（2024·成都）下列计算正确的是( )
D
A. B.
C. D.
3.计算:
（1）（2024·上海） ________；
（2） _________；
（3） ___________；
（4） _________.
4.填空：（________） ．
5.运用平方差公式计算：
（1） ；
解：原式
.
（2） ；
解：原式
.
（3） .
解：原式
.
知识点2 平方差公式的应用
6.三个连续的整数，中间的一个是 ，则这三个整数的积是( )
D
A. B. C. D.
7.若三角形的底边长为，底边上的高为 ，则此三角
形的面积为( )
D
A. B. C. D.
8.填空：
（1）（____-____）（________） _______-______
__________；
60
0.2
60
0.2
3 600
0.04
（2）（教材P37例2变式）计算：
（_____- ___）（________） _______．
100
2
100
2
9 996
9.（2024·吉林）先化简，再求值： ，其
中 .
解：原式 .
当时，原式 .
10.为了运用平方差公式计算 ,下列变形
正确的是( )
B
A. B.
C. D.
11.从前，古希腊一位庄园主把一块边长为米 的正方形土
地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一
边增加6米，相邻的另一边减少6米，变成矩形土地继续租给你，
租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老
汉的租地面积会( )
C
A.没有变化 B.变大了 C.变小了 D.无法确定
12.【整体思想】（2024·凉山州）已知 ，且
，则 ____.
【变式】若，则 ___．
6
13.计算 .
解：原式
．
14.如图1，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为 的小正方形，
再沿着线段 剪开，把剪成的两张纸片拼成如图2的等腰梯形.
（1）设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为 ，请
直接用含，的代数式表示， ；
解： ，
.
（2）请写出上述过程所揭示的乘法公式.
解： .
15.下面的式子均是多项式乘以多项式，其中第1个多项式都是
第1个等式： ；
第2个等式： ；
第3个等式： ；
…
（1）请根据规律，写出第4个等式：________________________
__________________________；
（2）猜想：________（其中为正整数，且 ）；
（3）利用（2）猜想的结论计算：
．
解：设（2）式中的，， ，则有
.
即 ，
所以 ，
所以 ．(共11张PPT)
第11章 整式的乘除
综合与实践
1.数形结合思想是根据数与形之
间的对应关系，通过数与形的相
互转化来解决数学问题的思
想．我们常利用数形结合思想，
借助形的几何直观性来阐明数之
间某种关系.如：探索整式乘法的一些法则和公式．
（1）探究一：将图1的阴影部分沿虚线剪开后，拼成图2的形状，
拼图前后图形的面积不变，因此可得一个多项式的分解因式为
________________________;
（2）探究二：类似地，我们可以借助一个棱长为 的大正方体进
行以下探索：
在大正方体一角截去一个棱长为 的小正方体，如图3所
示，则得到的几何体的体积为________；
（3）将图3中的几何体分割成三个长方体①，②，③，如图4，
图5所示，，，， 长方体①的体积
为__________．类似地，长方体②的体积为 __________，长方
体③的体积为 __________；（结果不需要化简）
（4）用不同的方法表示图3中几何体的体积，可以得到的恒等式
（将一个多项式因式分解）为 _____________________________
____;
（5）问题应用：利用上面的结论，解决问题：已知 ，
，求 的值．
解：因为，， ，所以
，
所以 ，
所以
．
2.“数缺形时少直观，形少数时难入微”，在“整式的乘除”这一章
的学习过程中，我们经常采用构造几何图形的方法对整式的变形
加以说明，借助直观、形象的几何模型，加深对乘法公式的认识
和理解，从中感悟数形结合的思想方法，感悟代数与几何内在的
统一性．#1
材料1：如图1，现有若干张3种不同型号的卡片：边长分别为 ，
的正方形卡片，长为，宽为 的长方形卡片；#1.1
材料2：用材料1中的卡片拼成图2（卡片间不重叠无缝隙），可
以用来验证我们学过的“和的完全平方公式”:
．
验证如下：因为
，
且，所以 .
（1）写出图3中所验证的等式：_________________________；
（2）请利用材料1中的卡片，设计一个几何图形来计算
，并写出计算过程；
解：
.如图所示.
（3）用（1）中的等式解决下面问题：
如图4，已知正方形的边长为，,分别为, 上的点，
已知，，长方形的面积为6，分别以 ,
为边作正方形，求阴影部分的面积．
解：由图4,知， ，
.
因为长方形 的面积是6，
所以 .
设，，，，则， ，
由，得 ，
所以，所以 ，即
.
答：阴影部分的面积为5．(共16张PPT)
第11章 整式的乘除
11.4 整式的除法
11.4.2 多项式除以单项式
基础 分点训练
中档 提分训练
拓展 素养训练
知识点 多项式除以单项式
1.【答题模板】计算: ______
_______________ _ ________________
.
2.计算： 的结果是( )
B
A. B. C. D.
3.计算 的结果为( )
B
A. B.
C. D.
4.若长方形的面积是，它的一边长为 ，则它的
周长为( )
D
A. B. C. D.
5.如果，那么单项式 等于
( )
B
A. B. C. D.
6.计算：
（1） _______;
（2） ___________;
（3） _ _______________.
7.当时，式子 的值为__.
8.计算：
（1） ；
解：原式
.
（2） ；
解：原式
.
（3） .
解：原式
.
9.（2024·白银）先化简，再求值：
,其中， .
解：原式
.
当，时，原式 .
10.（吉林中考）【阅读理解问题】下面是一道例题及其解答过
程的一部分，其中是关于的多项式.请写出多项式 ，并将该
例题的解答过程补充完整.
例：先去括号，再合并同类项：
.
解：
________.
解：由题意，得 .
11.对任意整数 ，按下列程序计算，则输出结果为( )
D
A. B. C. D.1
12.如果，且 为正整数，我们称多项式
能被整除.已知多项式能被 整除，
则常数 只能为___.
0
13.计算：
（1） ；
解：原式
.
（2） .
解：原式
.
14.化简求值： ，
其中， ．
解：原式
．
当，时，原式 ．
15.小明在做练习册上的一道多项式除以单项式的习题时，一不
小心污染了这道习题，只看见了被除式的最后一项“ ”和中
间的“ ”，污染后的习题形式如下：（ ） ，
小明翻看了书后的答案是“ ”，你能复原这个
算式吗？
解：能复原这个算式.
由题意，得原来的除式是 .
所以被除式是 .
所以原来的算式为
.
16.如图1所示的瓶子中盛满水，如果将这个瓶子中的水全部倒入
如图2所示的杯子中，那么你知道一共需要多少个这样的杯子吗？
（单位： ）
图1
图2
解：依题意，得
.
一共需要 个这样的杯子.(共13张PPT)
第11章 整式的乘除
11.1 幂的运算
11.1.3 积的乘方
基础 分点训练
中档 提分训练
拓展 素养训练
知识点1 积的乘方
1.（江西中考）计算 的结果为 ( )
A
A. B. C. D.
2.计算 正确的是( )
B
A. B. C. D.
3.填空：
（1）（天津中考改编） ___；
[答案] ; ;
（2）（2024·上海） ______.
4.计算：
（1） ；
解：原式 .
（2） ；
解：原式 .
（3） ；
解：原式 .
（4） .
解：原式 .
知识点2 积的乘方的逆运算
5. ___．
6.若，，则 _____．
7.已知，则 的值为___.
1
2
8.指出下列的计算哪些是对的，哪些是错的，并将错误的改正.
（1） ；
[答案] ；
（2） ；
[答案] ；
（3） ；
[答案] ；
（4） .
[答案] .
9.一个立方体的棱长是 ，则这个立方体的体积为
_____________ .（结果用科学记数法表示）
10.计算：
（1） ；
解：原式
.
（2） .
解：原式
.
11.若，，试求 的值．
解：因为， ，
所以， ，
所以， ，
解得， ．
所以 ．
12.已知，则 的值为______.
1025
目
录
5.(-4)100×(-0.25)100=
6.若a2n=25,b2m=36,则(ab)n=
7.已知a-2引+(b+)2=0,则a2023b2022的值为
解：原式=64x6y12-27x6y12
=37x6y12.
解：原式=-×(-
2022×42022
2022
解：因为2x=4y+1,27y=3x-1,
所以2x=22y+2,33y
所以x=2y+2,3y=X一1，
解得x=4,y=1,
所以(2y)x=(2×1)4=24=16.(共19张PPT)
第11章 整式的乘除
11.3 乘法公式
11.3.2 两数和（差）的平方
基础 分点训练
中档 提分训练
拓展 素养训练
知识点1 两数和的平方
1.利用乘法公式计算 等于( )
D
A. B.
C. D.
2.【答题模板】根据完全平方公式填空：
（___） （___） （___） （___）
.
1
1
3.计算：
（1） __________；
（2） ________.
4.计算：
（1）（兰州中考改编） ；
解：原式 .
（2） .
解：原式 .
知识点2 两数差的平方
5.【答题模板】根据完全平方公式填空：
（___） （___） （___） （___）
.
1
1
6.如果为完全平方式，则 的值为 ( )
C
A.4 B. C. D.16
7. 的计算结果为( )
B
A. B.
C. D.
8.小明在计算时算得正确结果 ，最
后一项不慎被墨水污染，则被墨水污染的这一项应该是( )
C
A. B. C. D.
9.将 变形正确的是( )
C
A.
B.
C.
D.
10.已知，满足，,则 _______．
11.（2024·乐山）已知，，则 ____.
1或
29
12.计算：
（1） ；
解：原式 .
（2） ；
解：原式 .
（3）（西宁中考）
解:原式
．
13.先化简，再求值：，其中， .
解：原式 .
当，时，原式 .
14.（河北中考）现有甲、乙、
丙三种不同的矩形纸片
（边长如图）.
（1）取甲、乙纸片各1块，其面积和为________；
（2）嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸
片1块，再取乙纸片4块，还需取丙纸片___块.
4
15.对于实数，，定义新运算“◎”如下： ◎
.若◎，则 的值为
____.
16.（1）运用完全平方公式进行简便运算： ；
解：原式
.
（2）已知 ，求代数式
的值；
解：原式
.
因为 ，
所以 .
所以原式 .
（3）已知：,，求 的值．
解：因为， ，
所以，所以 ，解得
.
因为 ，
所以
．
17.如图，某市有一块长为 米，
宽为 米的长方形地块，规划部
门计划将阴影部分进行绿化，中间将修
建一座雕像，则绿化的面积是多少平方
米？并求出当， 时的绿化面
积.
解:长方形地块绿化的面积为
（平方米）.
当， 时，
原式 .
答：绿化的面积为平方米，当， 时的绿
化面积为63平方米.
18.（教材P42阅读材料变式）（巴中中考）我国南宋时期数学家
杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了
展开式的系数规律．
当代数式的值为1时，则 的值为
( )
C
A.2 B. C.2或4 D.2或(共11张PPT)
第11章 整式的乘除
11.4 整式的除法
11.4.1 单项式除以单项式
基础 分点训练
中档 提分训练
拓展 素养训练
知识点 单项式除以单项式
1.计算:
（1）【答题模板】[____ ______]
（____ ____）（____ ___） ___ ________.
（2）（青岛中考） _____．
12
2.计算 的结果是( )
D
A. B. C. D.
3.若，则， 的取值分别为 ( )
A
A.， B.，
C.， D.，
4. （ ） ，则括号内应填的代数式是( )
C
A. B. C. D.
5.计算：
（1） ；
解：原式 .
（2） ；
解：原式 .
（3） .
解：原式
.
6.一个三角形的面积为，一边长为 ，则这个三角形这边
上的高为( )
B
A. B. C. D.
7.若单项式为与是同类项，且， ，
则 __.
8.计算：
（1） ________；
（2） _______.
9.地球到太阳的距离约为 ，光的速度约为
，则光从太阳射到地球的时间约为________ .
10.已知 ，且
，求 的值.
解：因为 ，
所以
.
又因为 ，
所以.所以 ，
即 .
11.观察下面的一行单项式：，，，，，
（1）从第二个单项式开始，计算每个单项式与它前一个单项式
的商，你有什么发现？
解：从第二个单项式开始，每个单项式与前一个单项式的商都是
.
（2）试写出第八个单项式，第 个单项式.
解：第八个单项式是，第个单项式为 .
