(共11张PPT)
第12章 全等三角形
12.1 命题、定义、定理与证明
12.1.1 命题
基础 分点训练
中档 提分训练
拓展 素养训练
知识点1 命题的定义
1.下列语句中，是命题的是( )
D
A.你喜欢数学吗？ B.取线段 的中点
C.美丽的天空 D.两直线平行，内错角相等
知识点2 命题的结构
2.将命题“同角的余角相等”，改写成“如果 ，那么……”的形
式:______________________________________________，条件
是________________________，结论是______________．
如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等
两个角是同一个角的余角
这两个角相等
知识点3 判断命题的真假
3.下列命题中真命题是( )
C
A.两个锐角之和为钝角 B.两个锐角之和为锐角
C.钝角大于它的补角 D.锐角小于它的余角
4.用“举反例”的方法说明命题“若，则 ”是假命题时，
这组反例可以是 _____________________________．
，（答案不唯一）
5.下列命题中，①如果，那么 ；②如果两个角相等，
那么这两个角为内错角；③如果，那么 ；④如果
与互补，那么 ，真命题有( )
A
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
6.能说明“锐角 ，锐角 的和是锐角”是假命题的例证图是
( )
C
A. B. C. D.
7.用三个不等式，， 中的两个不等式作为题设，
余下的一个不等式作为结论组成一个命题，能组成真命题的个数
为( )
D
A.0 B.1 C.2 D.3
8.已知命题“如果两条平行线被第三条直线所截，那么一对内错角
的平分线互相平行.”
（1）写出这个命题的条件和结论；
解：条件：两条平行线被第三条直线所截，
结论：一对内错角的平分线互相平行.
（2）画出符合这个命题的几何图形；
解：画几何图形，如图所示.
（3）用几何语言叙述这个命题；
解：如图，已知，直线分别交,于点,, ，
分别平分和 .
求证： .
（4）判断这个命题的真假，并说明理由.
解：这个命题是真命题. 理由如下：
， .
又，分别平分和 ，
， .
.
这个命题是真命题.(共9张PPT)
第12章 全等三角形
易错易混专练
易错点1 对直角三角形全等的依据判断不清
1.如图，，，垂足分别为 ，
，，且 ，那么
的理由是 ( )
B
A. B. C. D.
易错点2 对线段的垂直平分线的判定理解不透而出错
2.如图，直线与线段交于点，点在直线上，且 .则
下列结论中正确的有( )
A
；； ；④点
在线段 的垂直平分线上.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
易错点3 求角度时未进行分类讨论
3.（绥化中考）已知等腰三角形的一个外角为 ，则它的顶
角的度数为___________.
或
4.如图，已知点是射线 上一动点
（即可在射线上运动）， ，
当___________________时， 为等
腰三角形.
或 或
5.（哈尔滨中考）在中，， ，点
在边上，连结.若为直角三角形，则 的度数为
____________.
或
易错点4 一边确定，另两边不确定，确定三角形的个数时
漏解
6.如图，在直线上找一点，使 为等腰三角形，请问这样
的 点有几个？在图上标出来.
解：如解图，点 的位置如图所示.
解图
①若，则符合要求的点为点，点 ，
②若，则符合要求的点为点 ，
③若，则符合要求的点为点 .
这样的 点有4个.
7.请在图中画出三个以为腰的等腰三角形 .
（要求：①锐角三角形，直角三角形，钝角三角形各画一个；②
点 在格点上.）
解：如图所示.(共22张PPT)
第12章 全等三角形
教材回归（五） 全等三角形与等腰三角形的综合运
用（针对教材P115T7）
教材母题（教材P115T7）
如图，在中，，，的延长线交 于
点.求证：， .
证明：在和 中，
， （已知），
（公共边），
．
.
．
是底边 上的中线.
.
1.如图,在等边三角形中，点在内，点在 外，
且，，问 是什么形状的三角形？
试证明你的结论．
解： 为等边三角形．
证明： 为等边三角形，
， ．
在和 中，
，（已知）， （已证），
．
， ．
，
.
又， 是等边三角形．
2.图1、图2中，点为线段上一点，与 都是等边
三角形．
图1
图2
（1）如图1，线段与线段 是否相等？证明你的结论；
解： .证明如下：
与 都是等边三角形，
，， ．
， ．
在和 中，
,
,
,
在和 中，
．
．
（2）如图2，与交于点，与交于点，探究
的形状，并证明你的结论．
解： 是等边三角形.证明如下：
， ，
.
， ，
．
在和 中,
,
,
,
．
．
，
是等边三角形．
3.如图,为等边三角形，直线，为直线 上任一动
点，将一 角的顶点置于点处，它的一边始终经过点 ，另
一边与直线交于点，与交于点，连结 ．
图1
（1）若恰好在 的中点上（如图1），求
证： 是等边三角形；
证明：，且 为等边三角形，
， ．
为中点，， ．
， ，
，
，
， ，
，且 .
是等边三角形．
（2）若为直线 上任一点（如图2），其他条件不变，上述
（1）的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说
明理由．
图2
解：成立.
证明：如图 ，在上取点，使 ，
连结 .
，， 是等边
三角形．
.
，
．
， 为等边三角形，
， .
，
.
又， ，
.
又 ， 是等边三角形．
4.以点为顶点作两个等腰直角三角形 ，如图1所
示放置，使得一直角边重合，连结， ．
图1
（1）求证： ；
证明：， 是等腰直角三角形，
， ， .
在和 中，
.
（2）延长，交于点，求 的度数；
解： ，
.
在中， ，
又 ，
.
（3）若如图2放置，上面的结论还成立吗？请简单说明理由．
图2
解： 成立，且两线段所在直线互相垂直，即
.理由如下：
， 是等腰直角三角形，
，， .
，
.
在和中，
.
， .
.(共21张PPT)
第12章 全等三角形
12.2 三角形全等的判定
12.2.5 斜边直角边
基础 分点训练
中档 提分训练
拓展 素养训练
知识点1 利用“斜边直角边”判定两个三角形全等
第1题图
1.如图，在四边形中，连结 ，且
，，若用“ ”直接判定
和 全等，则需要添加的
条件是( )
D
A. B.
C. D.
第2题图
2.如图， ，添加一个条件，可使
用“”判定与 全等．以下给出
的条件适合的是( )
A
A. B.
C. D.
3.如图，已知，垂足是的中点， ．求证：
．
证明： ，
．
是 的中点，
．
在和 中，
．
知识点2 直角三角形全等的判定方法的灵活运用
4.下列条件中不可以判定两个直角三角形全等的是( )
D
A.两条直角边对应相等 B.斜边和直角边对应相等
C.一条边和一锐角对应相等 D.一条边和一个角对应相等
5.如图，， ，请添加一个条件，
使 .
（1）添加__________，根据是____；
（2）添加__________，根据是____；
（3）添加_______________，根据是_____；
（4）添加_______________，根据是_____.
6.如图，在中， ，，分别过点 ，
作过点的直线的垂线，，若， ，
则___ ．
7
7.在课堂上，老师发给每人一张印有 （如图所示）的
卡片，然后，要同学们尝试画一个 ，使得
.小刘和小赵同学先画出了 ，
后续画图的主要过程如图所示.
老师评价：他们的做法都正确.请你选择一位同学的做法，并说
出其作图依据.我选______的做法（填“小赵”或“小刘”），他作图
判定 的依据是____.
小赵
8.如图， ，， ，
，，点和点从 点出发，分
别在线段和射线上运动，且点 运动的速
度是点运动速度的2倍，当点运动到 的什
么地方时，与 全等？请说明理由.
解：当点运动到 的中点处时，
与 全等.理由如下：
为 的中点，
.
.
在和 中，
.
9.如图，在中， ，点是上的一点，过点
作于点；再以点为圆心，长为半径画弧交 于点
，连结，.求证： .
证明：由题意，知 .
， ，
.
在和 中，
.
.
在和 中，
.
10.如图，在中，，是过点的直线，
于点，于点 .
图1
（1）若，在 的同侧（如图1所示）且
.求证： ；
证明：， ，
.
在和 中，
.
， .
，
.
.
.
（2）若，在的两侧（如图2所示），且 ，其他条件
不变，与 仍垂直吗？若是请给出证明；若不是，请说明理由.
图2
解： .
证明：同（1）,证得 .
， .
，
，即 .
.(共12张PPT)
第12章 全等三角形
专题训练（七） 等腰三角形中的分类讨论
类型1 针对腰长和底边长进行分类讨论
1.如果等腰三角形两边长是和 ，那么它的周长是
( )
C
A. B.
C. D.或
2.若实数，满足,则以， 为两边长的等
腰三角形的周长为________.
13或11
3.已知是等腰三角形，若 的周长为27，其中两条边
长分别是和 ，求底边的长．
解：当腰长为时，底边长为，此时 ，
不满足三角形三边条件，舍去；
当腰长为时，底边长为 ，
由题意，得，解得 ，
此时三角形三边长分别为5，11，11，符合题意，
则底边长为5．
类型2 针对顶角和底角进行分类讨论
4.（1）在等腰三角形中, ,则 的度数为_____；
（2）在等腰三角形中, ,则 的度数为__________
___________.
或 或
5.如果等腰三角形的两个内角之比为 ，那么这个三角形三个
内角各是多少度？
解：①当较小角为底角时，设较小角为 ，则
，
解得 ，则 .
故三角形三个内角的度数分别为 ， ， .
②当较大角为底角时，设较小角为，则 ，
解得 ，则 .
故三角形三个内角的度数分别为 ， ， .
综上所述，三角形三个内角的度数分别为 ， ， 或
， ， .
类型3 当高的位置不确定时，分类讨论
6.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 ，则顶角为
( )
D
A. B. C. D. 或
类型4 腰的垂直平分线与另一腰所在的直线的交点位置不
确定时，分类讨论
7.在中，，的垂直平分线与 所在的直线相交
所得的锐角为 ，求底角的度数.
解图1
解：如解图1，当是锐角三角形时， 的垂直
平分线交边于点，交于点 ，则
.
， .
， .
解图2
如解图2，当是钝角三角形时，
的垂直平分线交边于点，交 于
点，交边的延长线于点 ，则
，
.
， .
， ，
综上所述，底角的度数为 或 ．
类型5 腰上的中线引起的分类讨论
8.一等腰三角形的底边长为 ，一腰上的中线把三角形的周长
分为两部分，其中一部分比另一部分长 ，求这个三角形的周长.
解：如图，
等腰三角形，为腰 上的中 线，
设等腰三角形的腰长是 ．
当与的差是 时，
即，解得 ．
故15，20，20能够组成三角形，所以这个三角形的周长为．
当与的差是 时，即
，解得 .
15，10，10能组成三角形，所以这个三角形的周长为 ．
综上所述，所以这个三角形的周长为或 ．(共18张PPT)
第12章 全等三角形
12.4 逆命题和逆定理
12.4.1 互逆命题和互逆定理
基础 分点训练
中档 提分训练
拓展 素养训练
知识点1 互逆命题
1.命题“若，则 ”的逆命题是( )
D
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
2.写出下列命题的逆命题：
（1）等角的补角相等；
解：逆命题：如果两个角的补角相等，那么这两个角也相等.
（2）全等三角形的对应角相等；
解：逆命题：如果两个三角形的三组对应角相等，那么这两个三
角形全等.
（3）如果，那么 .
解：逆命题：如果，那么 .
3.先指出下列命题的条件和结论，写出下列命题的逆命题，并判
断逆命题的真假．
（1）三角形三个内角的和等于 ；
解：命题的条件是“一个多边形是三角形”，结论是“它的内角和
是 ”，
逆命题：如果一个多边形的内角和为 ，那么它就是三角形.
真命题.
（2）两直线平行，同旁内角互补．
解：命题的条件是“两直线平行”，结论是“同旁内角互补”，
逆命题：同旁内角互补，两直线平行.真命题.
知识点2 互逆定理
4.定理“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理是( )
A
A.有两个角相等的三角形是等腰三角形
B.有两个底角相等的三角形是等腰三角形
C.有两个角不相等的三角形不是等腰三角形
D.不是等腰三角形的两个角不相等
5.（上海中考）下列说法正确的是( )
A
A.命题一定有逆命题
B.所有的定理一定有逆定理
C.真命题的逆命题一定是真命题
D.假命题的逆命题一定是假命题
6.下列定理中，逆定理不存在的是( )
D
A.等边三角形的三个内角都等于
B.在一个三角形中，如果两边相等，那么它们所对的角相等
C.同位角相等，两直线平行
D.全等三角形的面积相等
7.下列命题中，真命题的个数是( )
①对顶角相等；②两直线平行，同旁内角相等；③平行于同一条
直线的两直线平行；④若正数，满足，则 ．
C
A.1 B.2 C.3 D.4
8.命题“两直线平行，内错角相等”的条件是____________，结论
是____________，这个命题的逆命题的条件是____________，结
论是____________.
两直线平行
内错角相等
内错角相等
两直线平行
9.（2024·宿迁）命题“两直线平行，同位角相等.”的逆命题是
________________________.
10.（2024·无锡）命题“若,则 ”是____命题.
（填“真”或“假”）
同位角相等，两直线平行
假
11.下列命题中，其逆命题成立的是______.（只填写序号）
①同位角相等，两直线平行；
②如果两个角是直角，那么它们相等；
③如果两个实数相等，那么这两个实数的平方相等；
④如果三角形的三个角相等，那么这个三角形是等边三角形.
①④
12.把下列命题改写成“如果 ，那么……”的形式，写出它的
逆命题，并判断其真假：
（1）不相等的角不是对顶角；
解：如果两个角不相等，那么它们不是对顶角.
逆命题：不是对顶角的两个角不相等.
它是假命题.
（2）直角三角形两锐角互余；
解：如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余.
逆命题：两锐角互余的三角形是直角三角形.
它是真命题.
（3）有两个角和一边对应相等的两个三角形全等；
解：如果有两个角和一边对应相等，那么这两个三角形全等.
逆命题：两个全等三角形有两个角和一边对应相等.
它是真命题.
13.命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平
行．
（1）请将此命题改写成“如果 ，那么……”的形式：______
________________________________________________________
_________．
在同
一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线
互相平行
（2）如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请
补充完整，并写出证明过程（注明理由）．
已知：如图， ，______．
证明：， （已知），
（垂直的定义），
（同位角相等，两直线平行）．
求证：______．
14.下列定理有逆定理吗？如果有，请写出逆定理，并证明；如
果没有，请写出它的逆命题，并举出一个反例说明它是假命题.
在三角形中大角所对的边较大.
解：有.在三角形中大边所对的角较大.
已知：如图，在中， .
求证： .
证明：，在上截取 ，连
结 .
.
， ，
.(共7张PPT)
第12章 全等三角形
全国视野 核心素养专练
1.【几何直观、应用意识，推理能力】（台州中考）如图，点
在的边上，点在射线上（不与点， 重合），连
结， ．下列命题中，假命题是 ( )
D
A.若，，则
B.若，，则
C.若，，则
D.若，，则
2.【应用意识、抽象能力、模型观念】由于木质的衣架没有柔性，
在挂置衣服的时候不太方便操作.小红设计了一种衣架，在使用
时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可.如图1，衣架杆
.若衣架收拢时， ，如图2，则此
时， 两点间的距离是( )
B
图1
图2
A. B. C. D.都不对
3.【应用意识、几何直观】如图是战机在空中展示的轴对称队形.
以飞机，所在直线为轴、队形的对称轴为 轴，建立平面直
角坐标系.若飞机的坐标为，则飞机 的坐标为( )
B
A. B. C. D.
4.【几何直观、应用意识、创新意识】如图，螳螂亦称刀螂，无
脊椎动物，属肉食性昆虫.在螳螂的示意图中， ，
， ， ，则 的度数为
( )
C
A. B. C. D.
5.【几何直观、推理能力、模型观念、应用意识】某地地震过后，
河沿村中学的同学用下面的方法检测教室的房梁是否水平：如图,
在等腰直角三角尺斜边的中点 拴一条线绳，线绳的另一端挂
一个铅锤，把这块三角尺的斜边贴在房梁上.结果线绳经过三角
尺的直角顶点 ，同学们由此确信房梁是水平的.他们的判断对吗？
为什么？
解：对.理由如下：
是等腰直角三角形， .
点是的中点， .
（等腰三角形底边上的中线和底边上的高相互重合）.(共22张PPT)
第12章 全等三角形
专题训练（八） 构造等腰三角形的常用方法
类型1 利用平行线构造等腰三角形
在等腰三角形内部或外部作任意一边的平行线均可构造出新
的等腰三角形.如图,若,过点作平行线,图1可得到
为等腰三角形；图2中可得到 为等腰三角形.
1.如图,点在等边三角形的边上,点在边上,连接 并
延长交的延长线于点,.求证： .
证明：如图,过点作,交于点 ,则
.
在和 中,
.
.
是等边三角形， ,
.
.
.
类型2 角平分线垂线 等腰三角形
如图，在中，平分，，延长 交
于点，则 是等腰三角形.
2.如图，在中，，平分，
于点.求证： .
证明：如图，延长交于点 .
， .
平分 ，
.
在和 中，
.
，， .
，
，
.
.
.
.
，
.
3.如图，在中, ， ，
平分，．求证： ．
解图
证明：如解图，延长，，交于点 ．
平分， ，
为等腰三角形， ．
， ，
．
在和 中,
，
.
.
类型3 利用截长补短法构造等腰三角形
解题技巧：如果题干中出现了几条线段之间的和差关系，一般考
虑用截长补短作辅助线解题.
与角平分线有关的截长补短
角平分线 截长 ____________________________________ 角平分线 补短
______________________________________
条件 ， ，
结论
4.在中，， ，平分，交
于点．求证： ．
题图
解图
证明：如解图，在上截取 ，连结
．
在中，， ，
．
平分 ，
．
又， ，
.
， ．
又 ，
.
.
.
又 ，
.
类型4 倍角关系 等腰三角形
在中， .
图1
图2
图3
方法一：如图1，外构等腰三角形，作
.
方法二：如图2，内构等腰三角形，作
.
方法三：如图3，作平分 .
5.如图，在中，，，垂足为 .若
，，求 的长（用两种不同方法）.
解：（方法一：截长法）如解图,在上截取 ，连
结 .
解图
[答案]
，
.
.
， .
.
.
（方法二：补短法）如解图，延长至点，使得 ，
连结，则 ，
.
， .
， .
， .(共25张PPT)
第12章 全等三角形
章末复习 全等三角形
复习点1 命题、定理
1.下列命题中是真命题的是( )
D
A.三角形的任意两边之和小于第三边
B.三角形的一个外角等于任意两个内角的和
C.两直线平行，同旁内角相等
D.平行于同一条直线的两条直线平行
2.下列定理有逆定理的是( )
B
A.直角都相等 B.同旁内角互补，两直线平行
C.对顶角相等 D.全等三角形的对应角相等
复习点2 全等三角形的性质与判定
3.已知图中的两个三角形全等，则
等于( )
D
A. B. C. D.
第4题图
4.如图，点，，， 在同一条直线上，
，，，则 的
长度为( )
C
A.3 B.4 C.5 D.6
第5题图
5.如图，在中，，高, 交于点
，连结 ，则图中全等三角形的对数为 ( )
C
A.3 B.4 C.5 D.6
6.【新中考·条件开放型试题】（2024·盐城）已知：如图，点
，，，在同一条直线上，， .
若__，则.请从；； 这3个
选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由.
证明：（答案不唯一）选择①，
， .
， .
在和中，
.
.
选择③，
， .
在和中，
.
，即 .
7.（2024·云南）如图，在和中， ，
，.求证： .
证明： ，
，
即 .
在与 中，
.
复习点3 等腰三角形的性质与判定
第8题图
8.如图，为等边三角形，延长 到
点，使.延长到点 ，使
.连结，，则 的度数是
( )
B
A. B. C. D.
第9题图
9.如图，是等腰三角形， ，
， ，点是射线 上一点，
如果点满足是等腰三角形，那么 的度数
是( )
D
A. 或 B. 或 或
C. 或 D. 或 或
10.如图，在中，，过的延长线上一点 ，作
，垂足为，交边于点 ．
（1）求证： 是等腰三角形；
证明： 在 中，
， ．
， ， .
．
又， .
， 是等腰三角形．
（2）若，为的中点，则 的长为____．
12
11.已知：如图，，都是等边三角形，， 相交
于点，点，分别是线段， 的中点.
（1）求证： ；
证明：， 都是等边三角形，
，， .
，即 .
在和中，
.
（2）求 的度数；
解：， .
是等边三角形， .
.
.
（3）求证： 是等边三角形.
证明： ，
，， .
又 点，分别是线段， 的中点，
， .
在和中，
.
， .
又 ， .
.
. 是等边三角形.
复习点4 线段垂直平分线的性质与判定
12.（河北中考）如图，直线，相交于点 为这两直线外一点，
且.若点关于直线，的对称点分别是点， ，则
， 之间的距离可能是( )
B
A.0 B.5 C.6 D.7
13.如图，在四边形中，，点是的中点， 平
分．求证：是 的平分线．
题图
解图
解：如解图，过点作于点，延长 交
的延长线于点，过点作于点 ．
，， ，
．
点是的中点. ．
在和 中，
，， ，
．
平分， ．
又， ．
又， ，
是 的平分线．
复习点5 角平分线的性质与判定
14.如图，在中，是 的角平分线，
于点．若，，则
的面积为( )
B
A.8 B.16 C.24 D.32
题图
15.（襄阳中考）如图，在中，，
是 的角平分线.
（1）作的平分线，交于点 （尺规作图，
不写作法，保留作图痕迹）；
解：如解图，线段 即为所求.
（2）求证： .
解图
证明：如解图，， .
是的平分线，是 的平分线，
， ，
.
， ，
.(共8张PPT)
第12章 全等三角形
专题训练（六） 角平分线平行线 等腰三角形
常见的“角平分线平行线 等腰三角形”模型有以下四种：
图1
图2
图3
图4
（1）如图1，平分，，，则 ___;
3
（2）如图2，，平分，则 是______三角形;
（3）如图3，在中，是角平分线，交于点 .
若，，则 ____;
等腰
12
（4）如图4，在中，与的平分线相交于点 ，
过点作，分别交，于点，.若 ，
，则 的周长为____.
30
1.如图，在中，，，分别是和 的
平分线，且，，则 的周长是___．
9
2.如图，在中，，和 的平分线分别交
于点，，若，，，则 ___.
3
第2题图
3.如图，的平分线与中的外角 的平分
线相交于点，过作，交于点，交于点 ．若
，，则 的长为___．
3
第3题图
4.（温州中考）如图，是 的角平分线，
，交于点 .
（1）求证： ；
证明：是 的角平分线，
.
，
.
.
（2）当时，请判断与 的大小关系，并说明理由.
解： .理由如下：
， .
，， .
.
由（1），得 ，
.
目
录
A
C
B
D
D
A
E
B
C
A
D
E
B
A
D
F
E
B
(2)如图2，AE/BC,AE平分∠DAC,则△ABC是三角形
(3)如图3，在△ABC中，BE是角平分线，DE/BC交AB于点D.
若DE=7,AD=5,则AB
=
(4)如图4，在△ABC中，∠ABC与LACB的平分线相交于点F,
过点F作DE/BC,分别交AB,AC于点D,E.若AB=12,
AC=18,则△ADE的周长为
A
P
B
D
E
A
G F
D
E
B
3.如图，∠ABC的平分线BF与△ABC中ㄥACB的外角∠ACG的平分
线CF相交于点F,过F作DF//BC,交AB于点D,交AC于点E.若
BD=10,CE=7,则DE的长为
A
D
E
B
C
G
C
D
A
E
B
证明：·BD是△ABC的角平分线，
∴.∠CBD=∠EBD。
DE//BC
,∠CBD=∠EDB。
.∠EBD=∠EDB。
解：CD=ED,理由如下：
AB
=A0
.∠C=∠ABC
.∠ADE
∠AED
AE.5.CI
BE。
,得∠EBD=∠EDB,
.BE=ED.∴。CD=ED(共10张PPT)
第12章 全等三角形
12.1 命题、定义、定理与证明
12.1.2 定义、定理与证明
基础 分点训练
中档 提分训练
拓展 素养训练
知识点1 定义
1.下列语句中，属于定义的是( )
C
A.对顶角相等
B.作一条直线和已知直线垂直
C.在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线
D.图形的平移不改变图形的形状和大小
知识点2 基本事实与定理
2.“两点确定一条直线”是 ( )
B
A.定义 B.基本事实 C.定理 D.假命题
知识点3 证明
3.如图，直线，与 相交，则下列推理错误的是( )
D
第3题图
A.，
B.，
C.，
D.，
4.如图，下列推理及括号中所注明的推理依据错误的是( )
D
第4题图
A.， （内错角相等，两直
线平行）
B.， （两直线平行，内错
角相等）
C.，
（两直线平行，同旁内角互补）
D.， （两直线平行，
同位角相等）
5.如图，是 的邻补角，请你从下面的三个条件中，选
出两个作为已知条件，另一个作为结论，得出一个真命题，并进
行证明．（任选一种情况，写出已知、求证、证明．）
；；平分 ．
解：条件：①②，结论：③.
已知：， ，
求证：平分 ．
证明： ，
， ．
，
.
平分 ．
6.如图，将 的三边分别向两边延长，并在每两条延长线上
任取两点连结起来，又得到了三个新的三角形.求证：
.
证明：， .
同理,得 ，
.
.(共8张PPT)
第12章 全等三角形
综合与实践
折纸是我国的传统文化，折叠的过程也是开发人类大脑智力以及
逻辑思维的一个过程.数学综合实践课上，老师组织同学们开展
了一次折纸探究活动.
（1）探究一：如图1，在一张长方形的纸片上任
意画一条线 ，将纸片沿折叠，重叠的部分
一定是______三角形；
等腰
图1
（2）探究二：你能用一张长方形的纸片折出一个等边三角形吗？
甲小组使用长方形纸片，操作如下：如图2，把长方形纸片
的宽对折，然后展开，折痕记为，再将点翻折到上的点
处，且使折痕过点，折痕与的交点为，再沿 折叠，折痕
与的交点为，则 就是一个等边三角
形.请你说明这样做的道理.（说明：是 的
中点，说理时可直接使用）
图2
解：如图2，在和中， ，
， ，
所以，所以 .
因为 ，
所以 ，
所以 是等边三角形.
（3）探究三：你能用一张正方形的纸片折出一个等边三角形吗？
乙小组使用正方形纸片，操作如下：如图3，先把正方形的纸片
对折后再展开，折痕为；再将点翻折到上的点 处，
且使折痕过点；最后沿折叠，得到的 就是一个等边三
角形.请你说明这样做的道理.
图3
解：由折叠,得 ，
由折叠,得为 的垂直平分线，
所以，所以 ，
所以 是等边三角形.
【迁移应用】
折纸也能为我们数学学习提供解决问题的思路和方法.
例如，如图4,在中，，怎样说明 呢？小
亮发现，利用折纸做一个轴对称变化，得到一对全等的三角形，
从而可将问题解决.
图4
（4）请画图并说明小亮的解题思路.
解：思路：如图，把沿的平分线 翻折，
因为 ，
所以点落在上的点处，即 ，
依据以上操作，可得 ，
所以 ，
又因为，所以 .(共21张PPT)
第12章 全等三角形
12.4 逆命题和逆定理
12.4.2 线段垂直平分线
基础 分点训练
中档 提分训练
拓展 素养训练
知识点1 线段垂直平分线的性质
第1题图
1.如图，是线段 的垂直平分线，则下列结
论一定正确的是( )
A
A. B.
C. D.
第2题图
2.（2024·眉山）如图，在 中，
，，分别以点，点 为圆心，
大于的长为半径作弧，两弧交于点， ，过点
，作直线交于点，连结，则 的周
长为( )
C
A.7 B.8 C.10 D.12
第3题图
3.如图，在中， ， ，
分别以点和点为圆心，大于 的长为半径画
弧，两弧相交于点，，交于点，连结 ，
则 的度数为( )
C
A. B. C. D.
4.如图，是的垂直平分线.若， ，
则四边形 的周长是________.
第4题图
知识点2 线段垂直平分线的判定
5.如图，点是内的一点，若 ，则( )
C
A.点在 的平分线上
B.点在 的平分线上
C.点在边 的垂直平分线上
D.点在边 的垂直平分线上
6.如图，，，是延长线上的一点， 是否
与 相等？试说明理由.
题图
解图
解：相等.理由：如解图，连结 .
，
点在线段 的垂直平分线上.
同理，点也在线段 的垂直平分线上.
两点确定一条直线，
是线段 的垂直平分线.
是延长线上的一点， .
7.温江进行河边公园改造，如图，江安河公园有
三角形草坪 ，现准备在该三角形草坪内
种一棵树，使得该树到 三个顶点的距离
相等，则该树应种在( )
A
A.三条边的垂直平分线的交点 B.三个角的角平分线的交点
C.三角形三条高的交点 D.三角形三条中线的交点
8.如图，在中， ，， 的垂直平分线分
别交于点，，与，分别交于点，，则 的度数
为( )
D
第8题图
A. B. C. D.
9.如图，，，点在 的垂直平分线上.若
，，则 的长为___.
8
第9题图
10.如图，在中，边的垂直平分线分别交边，
于点，，过点作于点，且为线段 的中点．
题图
（1）求证： ；
解图
证明：如解图，连结 ．
于点，且为线段 的中点，
垂直平分 ，
.
垂直平分 ，
，
．
（2）若 ，求 的度数．
解：如解图，， ，
．
， .
.
．
垂直平分， ，
为等腰三角形，
，
．
题图
11.如图，在中，边的垂直平分线
与的平分线交于点，交 的延
长线于点，交于点 .求证：
（1） ；
解图
证明：如解图，连结， .
平分，， ，
， .
垂直平分 ，
.
在和 中，
.
.
（2） .
[答案] ，
.
在和 中，
.
.
.(共19张PPT)
第12章 全等三角形
12.2 三角形全等的判定
12.2.1 全等三角形的判定条件
基础 分点训练
中档 提分训练
拓展 素养训练
知识点1 全等三角形
1.下列命题中，是假命题的是 ( )
C
A.全等三角形的对应角都相等
B.全等三角形的面积相等
C.对应角相等的两个三角形是全等三角形
D.全等三角形的对应边都相等
第2题图
2.如图，，点与点 是对
应点，那么下列结论中错误的是( )
A
A. B.
C. D.
3.如图，若把绕点旋转一定的角度得到 ，则图中
全等的三角形记为________________， 的对应角为______，
的对应边为____.
第3题图
知识点2 全等三角形的性质
4.（厦门中考）如图，点，在线段上，与 全
等，点与点，点与点是对应顶点，与交于点 ，则
( )
A
A. B. C. D.
5.如图,若，且， ，
则 的长为( )
B
A.3 B.4 C.4.5 D.5
6.下列结论中正确的有( )
①全等三角形对应边相等；②全等三角形对应角相等；③全等三
角形周长相等；④全等三角形面积相等；⑤全等三角形对应中线、
对应高线、对应角平分线相等.
A
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
7.如图，，，， 四点在同一条直线上，
且 ．
（1）求证： ;
证明： ,
.
．
（2）若，，求 的长．
解： ，
．
，
.
．
知识点3 探索三角形全等
8.下列说法正确的是( )
A
A.有三条边和三个角分别对应相等的两个三角形全等
B.有两个角分别对应相等的两个三角形全等
C.有两条边分别对应相等的两个三角形全等
D.有一条边和一个角分别对应相等的两个三角形全等
第9题图
9.如图，将沿对折，点与点 重合，
点是上一点，连结， ，则全等的三
角形有( )
C
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
第10题图
10.（2024·济南）如图，已知 ，
， ，则 的度数为( )
C
A. B. C. D.
第11题图
11.（2024·成都）如图， ，若
， ，则 的度数为
______.
第12题图
12.如图，为上一点，, 与
相交于点.若，，则 ___.
7
13.若，，，且 的周长为奇
数，则 的值为______．
3或5
14.如图，，点在边上，与交于点 ，
已知 ， ，， ．
（1）求 的度数;
解： ， ，
．
，
.
.
即的度数为 ．
（2）求与 的周长和．
解： ，
， .
与 的周长和为
．
15.如图，，， 三点在同一直线
上，且 .
（1）求证： ；
证明： ，
， .
又 ，
.
（2）满足什么条件时， ？
解：满足 时， .
理由如下： ，
.
又 ，
.
.
.
16.如图，方格中 的三个顶点分别在正方形
的顶点（格点）上，这样的三角形叫格点三角形，
图中可以画出与 全等的格点三角形共有
( )（不含 ）
D
A.28个 B.29个 C.30个 D.31个(共22张PPT)
第12章 全等三角形
12.3 等腰三角形
12.3.2 等腰三角形的判定
基础 分点训练
中档 提分训练
拓展 素养训练
知识点1 等角对等边
第1题图
1.如图，在中，， ，
则 的长为( )
D
A.2 B.3 C.4 D.5
2.（2024·重庆B卷）如图，在中， ，
，平分交于点.若，则 的长度
为___.
2
第2题图
3.如图，是的角平分线， ，求
证： 是等腰三角形．
证明：是 的角平分线，
．
，
.
， ，
是等腰三角形．
知识点2 等边三角形的判定
4.下列条件中，不能说明 为等边三角形的是( )
B
A. B.
C. ， D. ，
5.（江西中考）将含 角的直角三角板和直
尺按如图所示的方式放置，已知 ，点
，表示的刻度分别为， ，则线段
的长为___ ．
2
6.（教材P100习题变式）如图，在 中，
，为的中点，， ，
垂足分别为，，且.求证： 是
等边三角形.
证明： ，
.
， ，
.
为 的中点，
.
又 ，
.
.
.
是等边三角形.
7.如图，在中，，和 的平分线分别交
于点,，若，，求 ____．
12
第7题图
8.如图，在中，，， ，将
沿射线的方向平移后得到，连结 ，则
的周长是_______.
第8题图
9.如图，在中， ，是 上
的点，过点作交于点，交 的延
长线于点，连结， ，则下列
结论正确的有________.（填序号）
①②④
；； 是等边
三角形；④若 ，则 .
10.如图，在中,，为 延长线上一点，且
交于点 ．
（1）求证： 是等腰三角形；
证明：， ．
，
， .
.
， .
是等腰三角形．
（2）在（1）的条件下（如图2），为 中点．求证：
．
解图
[答案] 如解图，过作于点 ．
，， .
又， ，
.
又为 中点，
.
在和 中，
.
．
11.数学课上，王老师出示了如下框中的题目.
如图，在等边三角形中，点在上，点在 的延长线
上，且，试判断线段与 的大小关系，并说明理由.
____________________________________
小明与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
特殊情况，探索结论：
（1）在等边三角形中，当点为的中点时，点在 的
延长线上，且.如图1，确定线段与 的大小关系.请
你直接写出结论：__________；
特例启发，解答题目：
（2）王老师给出的题目中，与 的大小关系是__________.
理由如下：如图2，过点作，交于点 ;（请你完成解
答过程）
解： ，
，
.
是等边三角形. . .
， .
， .
又， ，
.
在和 中，
.
.
拓展结论，设计新题：
（3）在中，，点在 的延长线上，
，点在的延长线上，，如图3，则 的长为
___.
3(共22张PPT)
第12章 全等三角形
12.3 等腰三角形
12.3.1 等腰三角形的性质
基础 分点训练
中档 提分训练
拓展 素养训练
知识点1 等边对等角
1.（宿迁中考）若等腰三角形有一个内角为 ，则这个等腰
三角形的底角是 ( )
C
A. B. C. D.
2.（内蒙古中考）如图，直线，直线 与直
线，分别相交于点，，点在直线 上，且
．若 ，则 的度数为( )
C
A. B. C. D.
3.（宿迁中考）若等腰三角形的两边长分别是和 ，则这
个等腰三角形的周长是( )
D
A. B.
C.或 D.或
【拓展变式】 若等腰三角形的一个角为 ，则另外两个角的
度数分别为___________.
，
4.（2024·兰州）如图，在中， ，
，，则 ( )
B
A. B. C. D.
5.（乐山中考）如图，已知 ，
，与相交于点 .求证：
.
证明：在和 中，
.
.
知识点2 等腰三角形的三线合一
6.如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的
操作方法是：从电线杆上一点 往地面拉两条
长度相等的固定绳与，当固定点， 到杆
脚的距离相等，且，， 在同一直线上时，电
D
线杆就垂直于 ，工程人员这种操作方法的依据是( )
A.等边对等角 B.等角对等边
C.垂线段最短 D.等腰三角形的三线合一
第7题图
7.如图，在中，， 于
点，若 ，则 的度数为
( )
B
A. B. C. D.
8.（岳阳中考）如图，在中，，于点 .
若，则 ___.
3
第8题图
知识点3 利用尺规作图证垂直平分线
9.下面是用尺规作线段的垂直平分线的示意图，为证
明直线垂直平分线段 ，需先通过判定
得到 ，然后根据等腰
三角形的三线合一证明直线垂直平分线段 ，其
中判定 的依据是( )
C
A. B. C. D.
知识点4 等边三角形的性质
10.（2024·泰安）如图，直线,等边三角形 的两个顶点
，分别落在直线,上，若 ，则 的度数是
( )
B
A. B. C. D.
11.（荆州中考）如图，是等边三角形的中线，以 为圆
心，的长为半径画弧，交的延长线于点，连结 ．求
证： ．
证明： 是等边三角
形 的中线，
， ，
.
， .
， .
．
12.如图，在等边三角形中， 于
，是线段上一点，是边 上一点，且满
足，是的中点，连结 ，则下列
四个结论：； ；
①③④⑤
；；⑤当 时，
，其中正确的有__________．（填序号）
13.我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等
腰三角形的“特征值”，记作.若 ，则该等腰三角形的顶角为
____度.
36
题图
14.小明研究一道尺规作图题：作一边
上的高线.他的作法如下：如图，在 中，
，以点为圆心， 的长为半径作弧交
于点，再分别以，为圆心，以大于
长度为半径作两弧，两弧交于点，连结交于点，则 是
边上的高线.你是否同意小明的作法，如同意请给出证明，不
同意请说明理由.
解图
解：同意.证明如下：
如解图，连结， .
由作图，知， ，
在和中，
.
又，，即是 边上的
高线.
15.在中， .
（1）如图1，若 ，是边上的高， ，
则 _____；
图1
（2）如图2，若 ，是边上的高， ，
则 _____；
图2
（3）思考：通过以上两题，你发现与 之间有什么关
系？并给予证明.
解：（或 ）.
证明：， .
， .
， ，
，
，
即 .
16.如图， 是一钢架的一部
分，为使钢架更加坚固，在其内
部添加了一些钢管， ，
B
A.7根 B.8根 C.9根 D.10根
， .添加的这些钢管的长度都与 的长度相等．如果
，那么添加这样的钢管的根数最多是( )(共25张PPT)
第12章 全等三角形
专题训练（五） 全等三角形的基本模型
类型1 平移模型
此模型的特征是有一组边共线或部分重合，另两组边分别平
行，常要在移动方向上加（减）公共线段，构造线段相等，或利
用平行线性质找到对应角相等.
1.如图，点，，，在一条直线上，， ，
，与交于点 ．
（1）求证： ；
证明： ，
．
，
．
在和 中，
．
（2）若 ， ，求 的度数．
解：， ， ，
， .
．
类型2 对称模型
所给图形可沿某一直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，
重合的顶点就是全等三角形的对应顶点.解题时要注意其隐含条
件，即公共边或公共角相等.
2.如图，，，点是 上一点．
求证：
（1） ；
证明：在和 中，
.
.
．
在和 中，
．
（2） ．
[答案] ， ．
类型3 旋转模型
3.（2024·南充）如图，在中，点为 边的中点，过点
作交的延长线于点 .
（1）求证： ；
证明： 点为 的中点，
.
， ，
.
在和中，
.
（2）若，求证： .
[答案] 点为的中点， ，
直线为线段 的垂直平分线，
.
由（1），知 ，
， .
类型4 三垂直模型
在三垂直模型中，利用余角的性质寻求两直角三角形中一组
锐角相等，再加上任一组对应边相等，易证两直角三角形全等，
常见的模型如下：
4.如图，在中， ，，直线 经过点
，且于，于 ．
图1
（1）当直线绕点 旋转到图1的位置时，
求证： ；
；
证明： ， ，
．
在和 中，
．
②由①，知，， .
．
（2）当直线绕点 旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成
立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
图2
解：成立， 不成立，此时应有
．
理由如下： ，
，
．
又， ，
．
， ．
．
类型5 一线三等角模型
“一线三等角”是指三个相等的角的顶点在一条直线上.图1是
三个直角的顶点在一条直线上，图2是非特殊角的三个顶点在一
条直线上.在证明三角形全等时，除了已知相等的角外，还能提
供一组对角相等.如图2中，已知，则 ，
.
图1
图2
5.如图，在中， ，
，点在线段 上运动
（点不与点,重合），连结 ，作
，交线段于点 ．
（1）当 时，____ ，____ ；
20
62
（2）若，求证： ；
证明：， ，
.
，
．
，
.
．
在和 中，
．
（3）在点的运动过程中，的形状可以是以 为腰的等腰
三角形吗？若可以，求 的度数；若不可以，请说明理由．
解：的形状可以是以 为腰的等腰三角形，
①当时， ，
此时，点与点 重合，不合题意；
②当时， ，
．
综上所述，的度数为 ．(共12张PPT)
第12章 全等三角形
专题训练（九） 尺规作图与全等三角形
类型1 作一个角等于已知角
1.如图，小明在纸上画了一个三角形，不料被墨水污染了一部分，
请你画一个与他画的一样的（全等的）三角形，你能做到吗
题图
解图
解：能，作法如解图.
（1）作 ；
（2）在射线上截取线段 ；
（3）以为顶点，以 为一边作
，与交于点，则 就
是所求作的三角形.
题图
2.如图，在中，，为边 上一
点，，连结 .
（1）作，射线交线段于点
（不写作法，保留作图痕迹）；
解：如解图， 即为所求作的角.
解图
（2）求证： .
解：如解图，， ，
.
，
,
.
， .
.
.
类型2 作角的平分线
3.如图，在和中，，， 平分
交于点
（1）在中，作出的平分线交于点 ；
（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
解：如解图， 即为所求.
解图
（2）在（1）的条件下，若，求证： .
证明： ，
，
.
平分，是 的平分线，
，
， ，
.
4.【一题多解】如图，在中， .
题图
（1）请你用直尺和圆规分别作出和的平分线 和
，分别交和于点，，与相交于点 ；
[答案] 如解图，线段， 即为所求.
解图
（2）请你判断并写出与 之间的数量关系，然后证明关系成立.
[答案] 与之间的数量关系为 .
证明如下：
证法一：如解图，过点分别作于点，于点 .
，且，分别是， 的平分线，
， .
.
又， .
,
,
,
在与 中，
.
证法二：在上截取，连接 .
易证，，则 ，
， .(共25张PPT)
第12章 全等三角形
12.2 三角形全等的判定
12.2.4 边边边
基础 分点训练
中档 提分训练
拓展 素养训练
知识点1 利用“边边边”判定两个三角形全等
1.如图，点，在上， ，
，，相交于点 ，添加下列哪一
个条件，可使得 ( )
D
A. B.
C. D.
第2题图
2.（2024·德州）如图，是的中点，且 ，
请添加一个条件_________（答案不唯一），使得
第3题图
3.如图，在四边形中， ，
．若 ，则 ______．
4.（云南中考）如图，是的中点，， ．求
证： ．
证明：是 的中点，
在和 中，
．
5.（2024·内江）如图，点，，， 在同一条直线上，
，，
（1）求证： ；
证明： ，
，
即
在和 中，
（2）若 ， ，求 的度数.
解： ， ，
由（1），知 ，
.
.
知识点2 判定两个三角形全等的四种方法的综合运用
6.（重庆卷）如图，点，，，共线，， ，
添加一个条件，不能判定 的是( )
C
A. B. C. D.
7.（柳州中考）如图，点，，， 在同
一条直线上，， 有下列三
个条件：； ；
（1）请在上述三个条件中选取一个条件，使得
你选取的条件为（填写序号）____（只需选一个条件，多选不得
分），你判定的依据是_____（填“”或“ ”
或“”或“ ”）；
①
（2）利用（1）的结论求证：
证明：，
知识点3 利用尺规作图证明角相等
8.（2023·信阳月考）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意
图如图所示，则说明 的依据是( )
A
A. B. C. D.
9.如图，在中，， ，，， 分别是
，，上的点，且，，则 的度数
为( )
B
A. B. C. D.
10.如图，以点为圆心，适当长为半径画弧，交
于点，交于点分别以点， 为圆心，大于
的长为半径画弧，两弧在 的内部相交于点
，画射线
（1）根据以上尺规作图得到的结论：射线为 的______
___；
平分线
（2）连结， ，运用三角形全等的相关判定方法证明（1）
中的结论.
证明：由作图过程，可得
，
在和 中，
射线为 的平分线.
11.如图1，油纸伞是起源于中国的一种纸制或布制伞.油纸伞的制
作工艺十分巧妙.如图2，伞圈沿着伞柄 滑动时，总有伞骨
，，从而使得伞柄 始终平分同一平面内两条
伞骨所成的 为了说明这一制作方法的正确性，需要对其进
行证明.现给出了如下不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并
写出“证明”过程.
图1
图2
已知：如图2，点，，， 在同一平面内，__________，
_________.
求证：______________.
平分
证明：在和中，
，
平分
12.如图，已知，，，在同一条直线上， ，
，，与交于点
（1）求证： ；
证明： ，
，
即 ．
， ，
，
．
（2）若 ， ，求 的度数．
解：由（1），知，
．
， ，
.
．
13.如图，，，
求证：
（1） ；
证明： ，
在和 中，
（2）
[答案] ，
， ，(共25张PPT)
第12章 全等三角形
12.2 三角形全等的判定
12.2.3 角边角
基础 分点训练
中档 提分训练
拓展 素养训练
知识点1 利用“角边角”判定两个三角形全等
第1题图
1.如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，
他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完全
一样的三角形，那么小明画图的依据是( )
D
A. B. C. D.
2.（牡丹江中考改编）如图，，与交于点 ，添加
一个条件 ________________________，可用“ ”判定
．
（答案不唯一）
第2题图
3.（2024·攀枝花）如图，，， 求证：
证明：， ，
，
，
在与 中，
，
知识点2 利用“角角边”判定两个三角形全等
4.下列各图中，， 为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角
形和左侧 一定全等的是( )
B
A.甲和乙 B.乙和丙 C.甲和丙 D.只有丙
5.（2024·镇江）如图， ，
（1）求证： ；
证明：在和 中，
（2）若 ，则____ .
20
知识点3 角边角和角角边的应用
6.证明命题“全等三角形的面积相等”，要求根据题意，画出图形，
并用符号表示已知和求证，写出证明过程.
下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和
求证.
已知：如图，_________________.
求证：_______________.
请你补全已知和求证，并写出证明过程.
解图
证明：如解图，过点 作
，过点 作
，垂足分别为 ，
（已知），
，
（全等三角形的对应边相等）， （全等三角形的对应
角相等）.
在和 中，
（全等三角形的对应边相等）.
， ，
第7题图
7.如图，，是锐角三角形 的高，相交
于点，若，，，则
的长为( )
B
A.2 B.3 C.4 D.5
第8题图
8.如图，，且，是 上两
点，，若， ，
，则 的长为( )
D
A. B. C. D.
9.如图，点，，，在一条直线上，， ，
交于点 ．
（1）求证： ；
证明： ，
在和 中，
．
（2）若，．求证： ．
[答案] ，
．
，
，即
在和 中，
．
10.【类比思想】问题情境：如图1，在 中，
，于点，可知： （不需要证
明）；
图1
图2
图3
特例探究： 如图2， ，射线 在这个角的内部，
点，分别在的边，上，且， 于
点，于点求证： ；
证明：，， ，
， ，
.
在和 中，
归纳证明： 如图3，点，分别在的边， 上，点
，在内部的射线上，，分别是，
的外角.已知，求证： ；
[答案] ， ，
， ，
，
在和 中，
拓展应用： 如图4，在中，，点 在边
上，，点，在线段上， 若
的面积为15，则与 的面积之和为___.
5
图4(共19张PPT)
第12章 全等三角形
12.4 逆命题和逆定理
12.4.3 角平分线
基础 分点训练
中档 提分训练
知识点1 角平分线的性质
1.（2024·青海）如图，平分，点在
上，，，则点到 的距离是
( )
C
A.4 B.3 C.2 D.1
第2题图
2.如图，平分，于点 ，若
，点是边上一动点，关于线段 叙
述正确的是( )
D
A. B. C. D.
第3题图
3.（2024·绵阳）如图，在中，，
平分交于点，，垂足为 ，
的面积为5，则 的长为( )
B
A.1 B.2 C.3 D.5
4.【新中考·补充解题过程型试题】证明命题“角平分线上的点到
角的两边的距离相等”，要求根据题意，画出图形，并用符号表
示已知和求证，写出证明过程.下面是小明同学根据题意画出的
图形，并写出了不完整的已知和求证.
已知：如图， ，______________
___________________.
点在上，，
求证：__________.
请你补全已知和求证，并写出证明过程.
证明：， ，
.
， .
在和 中，
.
知识点2 角平分线的判定
5.如图，在上求一点，使它到，的距离相等，则 点是
( )
C
第5题图
A.线段 的中点
B.与 的垂直平分线的交点
C.与 的平分线的交点
D.与 的垂直平分线的交点
6.如图，要在区建一个加工厂，使它到， 两条公路的距离
相等，且工厂到两路的交叉点 的实际距离为5千米（比例尺为
），则工厂应建在_________________，且到点 的图
上距离是____厘米.
的平分线上
2.5
第6题图
7.如图，于点，于点，和交于点 ，且
.求证：平分 ．
证明：于点，于点 ，
．
在和 中，
.
.
平分 ．
8.如图，，是的两个外角 ，
的平分线，， ，且
．下列结论中正确的个数有___个．
3
； ；
； ．
9.如图，已知的周长是21，， 分别平
分和，于点，且 ，
的面积是____．
42
10.如图，直线，， 表示三条公路．现要建
造一个中转站，使 到三条公路的距离都相等，
则中转站 可选择的点有______.
四处
11.如图，在四边形中， ，，为 边上
的一点，且平分，平分 .求证：
（1） ；
证明： ，
.
平分，平分 ，
.
. ，
即 .
（2）为 的中点.
解图
[答案] 如解图，过点作于点 .
， ，
， .
平分，平分， ，
，，即
为 的中点.
与角平分线有关的面积问题
【结论1】如图1，在中， 是它的角平分线，则
.【结论2】如图2，当点在角平分线 上
的任何位置（不与点重合）时，都有 .
图1
图2
1.的三边，，的长分别是6，9，12，是 三
条角平分线的交点，则 _______．
2
第2题图
2.如图，在中，平分 ，
于点，， ，
，则 长是___．
4
3.如图，是的平分线，是中线，， 相交于点
，于点.若，，，则 的
长为___.
2
第3题图
