(共10张PPT)
第13章 勾股定理
13.1 勾股定理
13.1.3 反证法
基础 分点训练
中档 提分训练
拓展 素养训练
知识点1 反证法的概念及步骤
1.牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一．”那么我们
用反证法证明：“在同一平面内，若，，则 ”时，
首先应假设( )
D
A. B. C.与相交 D.与 相交
2.“已知：在中，，求证： ”.下面写出
了用于证明这个命题过程中的四个推理步骤：
①所以 ，这与三角形内角和定理相矛盾；
②所以 ；
③假设 ；
④那么，由，得 ，即 .
这四个步骤正确的顺序应该是( )
C
A.①②③④ B.③④②① C.③④①② D.④③①②
知识点2 利用反证法证明
3.用反证法证明：两直线平行，同旁内角互补
（填空）．
已知：如图，，，都被 所截．
求证： ．
证明：假设___ ．
，
___ ．
___ ，
，这和____________矛盾，
假设___ 不成立，即 ．
平角为
4.利用反证法求证：一个三角形中不能有两个角是钝角．
解：已知： .
求证： 中不能有两个角是钝角.
证明：假设、、中有两个角是钝角，不妨设、 为
钝角， ，
，这与三角形内角和定理相矛盾，故
假设不成立，原命题成立．
一个三角形中不能有两个角是钝角.
5.用反证法证明直角三角形全等的“斜边、直角边”定理.
解：已知：如图，在和中， ，
， .
求证： .
证明：假设与不全等，即 .
不妨设 .
如图，在上截取，连结 .
在和 中，
，， ，
.
， .
，
即 .这与 相矛盾.
因此，的假设不成立，即和 不全等的
假设不成立.
.(共14张PPT)
第13章 勾股定理
专题训练（十） 利用作垂线法构造直角三角形
1.在中， ，点在边上， ，若
，，求 的长．
题图
解图
解：如解图，过点作于点，在 上
截取，连结 .
， ，
为等边三角形．
，
， ．
在 中，由勾股定理，得
．
，
，
设，则 .
在 中，由勾股定理，得
，
即，解得 .
的长为 ．
2.如图,在中， ，为 上一点，且
，.求 的长．
题图
解图
解：如解图，过点作于点，延长
交于点，过点作于点 ，连结
．
，
为等腰三角形.
过点作，交于点 ，
.
垂直平分 .
.
在和 中，
，， （公共边），
.
.
在中， ，， ，
.
.
设,则 ，
在 中，由勾股定理，得
，即，解得 .
.
在 中，
，
.
.
，
.
3.如图，在四边形中， ，， ，
，，求 的长．
题图
解图
解：如解图，过点作于点，在 上
截取，连结， ．
， ，
是等边三角形．
，
， .
.
.
.
.
题图
4.如图，在中， ，
，为延长线上一点， ，
求 的长．
解图
解：如解图，过点作于点 ．
， ，
.
，
.
.
在中，， ，
.
．
目
录
A
B
D
C
A
1粮
B
E
D
∠B=60°，BF=AB=6
人ABF为等边三角形.
.AE⊥BC,
.∠AEB=90°，BE=EF=3.
在Rt△AEB中，由勾股定理，得
AE
BE2
√62-32=V√27
.BC=1
5.CE=BC-BE=7,
设AD=CD=x,则DE=7一x,
在Rt人AED中，由勾股定理，得
AE2十DE2=AD2
即(V272+(7-x)2=x2,解得x
38
8
AD的长为
A
E
B
C
A
非
B
B
C
G
解：如解图，过点A作AD⊥CE于点D,延长AD
交BC于点F,过点E作EGL BC于点G,连结
EF.
.AF垂直平分CE.
.CF=EF。
在个AEF和△ACF
:AE=AC,EF=CF,AF=AF(公共边)，
'.△AEF≌△ACF(SSS)
.∠AEF=∠ACF=90
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=AE=6,BC=8,
5.AB
AC2+BC2=√62+82
=10
3.BE=AB
设CF=EF=X,则BF=8一x,
在Rt△EFB中，由勾股定理，得
EF2十BE2=BF2,即x2+42=(8-x)2,解得x=3.
.EF=CF=3..BF=BC-CF=8-3=5
在Rt△EFB中，(共20张PPT)
第13章 勾股定理
13.2 勾股定理的应用
第1课时 勾股定理的实际应用
基础 分点训练
中档 提分训练
拓展 素养训练
知识点1 立体图形中两点之间的最短距离
第1题图
1.如图，是一个棱长为1的正方体纸盒．若一只
蚂蚁要沿着正方体纸盒的表面，从顶点 爬到顶
点 去觅食，则需要爬行的最短路程是( )
C
A. B.2 C. D.3
第2题图
2.如图，一只蚂蚁从点 出发沿着圆柱体的侧面爬行
到点 ，若该圆柱体的底面周长是8厘米，高是3厘米，
则蚂蚁爬行的最短距离为( )
D
A.6厘米 B. 厘米
C. 厘米 D.5厘米
知识点2 利用勾股定理解决实际问题
第3题图
3.如图，将长为 的橡皮筋放置在水平
桌面上，固定两端和，然后把中点 竖
直向上拉升至点 ，则橡皮筋被拉长了
( )
C
A. B. C. D.
第4题图
4.（教材P133例2变式）一辆装满货物，宽为2.4
米的卡车，欲通过如图所示的隧道，则卡车的
外形高必须低于( )
A
A.4.1米 B.4.0米 C.3.9米 D.3.8米
5.如图是一圆柱玻璃杯，从内部测得底面半径为 ，
高为，现有一根长为 的吸管任意放入杯中，
则吸管露在杯口外的长度 最少是( )
B
A. B.
C. D.
6.明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写
了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地
秋千未起，踏板一尺离地．送行二步恰竿齐，五尺
板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千 静止
的时候，踏板离地高一尺（ 尺），将它往前
推进两步（尺），此时踏板升高离地五尺（ 尺），
求秋千绳索或 的长度．
解：设 尺，
尺， 尺，
（尺），
尺.
在中， 尺，
尺， 尺，
根据勾股定理,得
，
整理,得 ，
解得 ．
答：秋千绳索或 的长度为14.5尺.
7.暑假期间，小明到某海岛探宝.如图，他到达海岛登陆点 后先
往东走，又往北走，遇到障碍后又往西走 ，再折
向北走后往东一拐，仅走就找到了宝藏，求登陆点 到
埋宝藏点 的直线距离是多少？
题图
解图
解：
如解图，过点作于点 .
根据题意，可知 ，
，
在中， .
答：登陆点到埋宝藏点的直线距离是 .
8.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一
架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左
墙角的距离为 ，梯子顶端到地
面的距离为 ．如果保持梯子底
D
A. B. C. D.
端位置不动，
将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为 ，则小
巷的宽为 ( )
9.《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃
（读 ，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如
图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙 的距离为2
寸，点和点距离门槛都为1尺（1尺寸），则 的长是 ( )
C
图1
图2
A.50.5寸 B.52寸 C.101寸 D.104寸
10.如图，在一棵树的10米高的 处有两只猴子为抢吃池塘边水果，
一只猴子爬下树跑到 处（离树20米）的池塘边．另一只爬到树
顶后直接跃到 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的
距离相等，则这棵树高 ____米．
15
11.如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开
始时绳子 的长为17米，此人以1米/秒的速度收绳，7秒后船移
动到点 的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的）
解：在中， ，米， 米，
（米）.
由题意，得 （米）.
（米）.
（米）.
答：船向岸边移动了9米.
12.如图是一块长、宽、高分别是6，4和3的长方体木块，一只蚂
蚁要从长方体木块的一个顶点 处，沿着长方体的外表面到长方
体上的另一个顶点 处吃食物，求它需要爬行的最短路径长.
图1
解：第一种情况：如图1，把我们所看到的前面和上面组
成一个长方形，则这个长方形的长和宽分别是9和4，所走
的最短路径长为 ；
图2
第二种情况：如图2，把我们看到的左面与上面组成一
个长方形，则这个长方形的长和宽分别是7和6，所走
的最短路径长为 ；
图3
第三种情况：如图3，把我们所看到的前面和右面组
成一个长方形，则这个长方形的长和宽分别是10和3，
所走的最短路径长为 .
，
蚂蚁需要爬行的最短路径的长为 .(共20张PPT)
第13章 勾股定理
13.1 勾股定理
13.1.1 直角三角形三边的关系
第2课时 勾股定理的简单应用
基础 分点训练
中档 提分训练
拓展 素养训练
知识点 勾股定理的简单应用
第1题图
1.如图是一个矩形空地，如果 ，
，那么要从走到 ，至少要走( )
B
A.70 B.50 C.140 D.40
第2题图
2.如图，在水塔的东北方向处有一抽水站 ，
在水塔的东南方向处有一建筑工地，在
间建一条直水管，则水管的长为( )
B
A. B. C. D.
3.如图,在数轴上，点，对应的实数分别为1，3，线段
于点，且长为1个单位长度，若以点为圆心， 长为半径
画弧，交数轴于0和1之间的点，则点 表示的实数为( )
A
第3题图
A. B. C. D.
第4题图
4.如图，每个小正方形的边长为1，则 的三
边，， 的大小关系是( )
C
A. B.
C. D.
5.如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，
两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另
一棵树的树梢，则它至少要飞行( )
C
A.6米 B.8米 C.10米 D.12米
6.如图，这是一个外轮廓为长方形的机器零件平
面示意图，根据图中标出的尺寸（单位： ），
计算两圆孔中心和的距离为_____ .
100
题图
7.在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开
发，现有一处需要爆破．已知点 与公路上
的停靠站 的距离为600米，与公路上另一停
靠站的距离为800米，且 ，如图，
为了安全起见，爆破点 周围半径400米范围内不得进入．问在进
行爆破时，公路 段是否有危险，是否需要暂时封锁？请通过
计算进行说明．
解图
解：
如解图，过点作于点 ．
， ．
在中，米，
米，
根据勾股定理,得 （米）．
，
（米）．
由于400米 米，故没有危险，
因此 段公路不需要暂时封锁．
8.《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，它奠定了中国
传统数学的基本框架．其中记录的一道“折竹”问题：今有竹高一
丈，末折抵地，去根四尺，问折者高几何？题意是：一根竹子原
高1丈（1丈 尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根4
尺，则折断处离地面的高度为( )
B
A.4.1尺 B.4.2尺 C.4.5尺 D.4.8尺
9.如图，每个小正方形的边长为1，则的边上的高 的
长为_ _.
第9题图
第10题图
10.如图是学校艺术馆中的柱子，高 ．为迎接艺
术节的到来，工作人员用一条花带从柱底向柱顶均
匀地缠绕3圈，一直缠到起点的正上方为止．若柱子
的底面周长是，则这条花带至少需要____ ．
7.5
11.如图，一架云梯长为25米，顶端靠在墙 上，此时云梯
底端与墙角距离为7米，云梯滑动后停在 的位置上，测得
长为4米，求云梯底端 在水平方向滑动了多少米
解：在中， ，米， 米，
（米）.
（米）.
在中， ，米， 米，
（米）.
（米）.
答：云梯底端 在水平方向滑动了8米.
12.小王与小林进行遥控赛车游戏，终点为点 ，
小王的赛车从点 出发，以4米/秒的速度由西
向东行驶，同时小林的赛车从点 出发，以3米
/秒的速度由南向北行驶（如图）.已知赛车之
间的距离小于或等于25米时，遥控信号会产生相互干扰，
米， 米.
（1）出发3秒时，遥控信号是否会产生相互干扰？
解图
解：如解图，出发3秒时， 米，
米，
米， 米，
米， 米.
35米 米.
出发3秒时，遥控信号不会产生相互干扰.
（2）当两赛车距点 的距离之和为35米时，遥控信号是否会产生
相互干扰？
解：设出发秒，两赛车距点 的距离之和为35米.根据题意，得
，解得 .
此时两赛车相距 （米）.
答：当两赛车距点 的距离之和为35米时，遥控信号会产生相互
干扰.
构造直角三角形运用勾股定理解题
类型1 作垂线构造直角三角形
1.在中，，，边上的高 ，则
的周长为
________．
44或54
类型2 补形构造直角三角形
第2题图
2.如图，已知一块四边形草地 ，其中
， ， ，
，则这块草地的面积为_____ ．
37.5(共9张PPT)
第13章 勾股定理
教材回归（六） 勾股定理与图形面积（针对教材P
132习题T4）
教材母题（教材P132习题 ）
如图，已知 的三边长分别为6、8、10，分别以它的三边
为直径向上作三个半圆.求图中着色部分的面积.
解：是直角三角形，且 ,
.
以 为直径的半圆的面积为
，
以 为直径的半圆的面积为
，
以 为直径的半圆的面积为
，
三角形的面积为 ，
阴影部分的面积为 .
答：图中着色部分的面积是24．
第1题图
1.如图，分别以直角三角形的三边为边向外作正方形，
根据图中数据，可得出正方形 的面积是( )
B
A.12 B.24 C.30 D.10
2.如图，在中， ，分别以各边为直径作半圆，
图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当 ，
时，阴影部分的面积为( )
D
第2题图
A. B. C. D.9
第3题图
3.如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全
等的直角三角形拼接而成，记图中正方形 、
正方形、正方形的面积分别为 ，
，.若，则 的值是( )
C
A.12 B.15 C.20 D.30
第4题图
4.如图，分别以 的三边为斜边向外作等
腰直角三角形，若斜边 ，则图中阴影部分
的面积为( )
B
A.4 B.8 C.10 D.12
第5题图
5.如图，直线上有三个正方形，， ，若
，的面积分别为5和11，则 的面积为
( )
A
A.6 B.5 C.11 D.16
第6题图
6.如图，正方形 的边长为2，其面积标
记为，以 为斜边作等腰直角三角形，以
该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作
正方形，其面积标记为， 按照此规律继
续下去，则 的值为( )
C
A. B. C. D.(共15张PPT)
第13章 勾股定理
13.2 勾股定理的应用
第2课时 勾股定理及其逆定理的综合运用
基础 分点训练
中档 提分训练
拓展 素养训练
知识点1 在网格中画长为无理数的线段
1.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长
都是1，有，，， 四条线段，其中表
示 的线段是________．
线段
2.如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1.请在图中画出
，和 这样的线段.
题图
解：如解图，线段，线段，线段 即为所求.（答案合理
即可）
解图
知识点2 勾股定理及其逆定理的综合运用
3.如图，在中，是内一点，连结， ，且
．已知，，， ．则图中
阴影部分的面积为____．
24
4.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，四边形
的四个顶点都在格线的交点上，连结，请判断 和
是什么特殊形状的三角形？并说明理由.
解：是直角三角形， 是等腰三角形.理由如下：
由勾股定理，得， ，
，
.
是直角三角形.
，， ，
， .
是等腰三角形.
5.如图， ，， ，
，则 的形状是____________.
直角三角形
6.如图，正方形网格的每个小方格的边长都是1， 的顶点
都在格点上．
（1）分别求出____，_____， ___；
5
（2）试判断 是什么三角形，并说明理由；
解： 是直角三角形．理由如下：
， ，
.
是直角三角形．
（3） 的面积是多少？并写出解答过程．
解：由（2），得 ，
的面积为 ．
答： 的面积为5．
7.如图，在正方形中，为的中点，为 上一点，且
，猜想与 的位置关系，并说明理由.
题图
解图
解： .理由如下：
如解图,连结，设正方形的边长为 ，则
，， .
四边形 是正方形，
.
在中， ，
在中， ，
在中， .
在中， .
为直角三角形，且 .
.(共20张PPT)
第13章 勾股定理
13.1 勾股定理
13.1.2 直角三角形的判定
基础 分点训练
中档 提分训练
拓展 素养训练
知识点1 勾股定理的逆定理
1.在中，，，的对边分别为，， ，且
，则( )
A
A.为直角 B.为直角 C.为直角 D. 为锐角
2.现有长度为，，，， 的五根细木条，
若选择其中的三根首尾顺次相接恰好能摆成直角三角形的是
( )
C
A.，， B.，，
C.，， D.，，
3.已知三角形的三边长分别为，， ，且满足
，则这个三角形是( )
C
A.等边三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.锐角三角形
4.以下列各组数据为边，不能组成直角三角形的是( )
A
A.1，2， B.，，
C.5，12，13 D.2，2，
5.三角形的三边长分别为6，8，10，则这个三角形的面积是____.
24
6.若的三边长为，， ，并且满足
，则 的形状是_________
___．
直角三角
形
7.如图， 的顶点在正方形网格中的格点上，若小方格边长
为1，请你根据所学的知识解决下列问题．
（1） 的面积为___；
5
（2）判断 的形状，并说明理由．
解： 是直角三角形，
理由：由勾股定理，得
,
,
.
．
是直角三角形.
8.如图，在中，，，， .
（1）求 的周长；
解：在 和
中，
根据勾股定理，得 ，
.
又，， ，
， .
的周长为
.
（2）判断 是不是直角三角形？为什么？
解： 不是直角三角形，理由如下：
，， ，
，
不是直角三角形.
知识点2 勾股数
9.下列各组数是勾股数的是 ( )
D
A.1，2，3 B.3，4，7 C.，4， D.5，12，13
10.有一组勾股数，已知其中的两个数分别是17和8，则第三个数
是____.
15
11.已知三角形的三边长，， 满足
，则三角形的形状是( )
C
A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.不能确定
【变式】 若的三边长，， 满足
，则 为_____________________
三角形.
等腰或直角或等腰直角
12.如图所示是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设
计的“毕达哥拉斯”图案，现在有五种正方形纸片，面
积分别是2，3，4，5，6，选取其中三块（可重复选
取），按如图所示方式组成图案，使所围成的三角形
A
A.3，4，5 B.2，2，4 C.3，3，6 D.2，4，6
是直角三角形，则选取的三块纸片的面积不可以是 ( )
13.五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆
成两个直角三角形，下列选项中正确的是( )
C
A. B. C. D.
14.如图，正方形 由9个边长为1的小正方形组
成，每个小正方形的顶点都叫格点，连结， ，
则 ( )
B
A. B. C. D.
15.（黄冈中考）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》中：
“勾广三，股修四，径隅五”.观察下列勾股数：3，4，5；5，12，
13；7，24，25； ，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股
相差为1.柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，
如：6，8，10；8，15，17；…若此类勾股数的勾为
（，为正整数），则其弦是________（结果用含 的式
子表示）.
16.一种机器零件的形状如图所示，按规定这个零件中和
都应为直角，工人师傅量得这个零件各边尺寸如图所示，这个零
件符合要求吗？请说明理由．
解：这个零件符合要求.理由如下：
，，，， ，
，
．
, 是直角三角形．
， ．
故这个零件符合要求．
题图
17.如图，在中，， ，
点为内一点，将绕点顺时针旋转
得到，连结.若，， ，
求 的度数.
解图
解：
如解图，连结，易知 为等边三角形，
易证 ，
， ，
， .
又 ，
.
.(共18张PPT)
第13章 勾股定理
教材回归（七） 利用勾股定理求最短路径问题
（针对教材P133例1）
教材母题（教材P133例1）
如图，一个圆柱体的底面周长为，高为， 是上
底面的直径.一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱的侧面爬行到点 .求
这只蚂蚁爬行的最短路程. （精确到 ）
题图
解图
解：如解图，在中， 的长
为底面周长的一半为 ，由勾股定
理，得
.
答：爬行的最短路程约为 .
类型1 平面图形中的最短路径问题
图例
模型 一 一定 一动 ___________________________________________
解题思路:利用垂线段最短确定最短路径 构造直
角三角形 利用勾股定理求解
图例
模型 二 两定 一动 __________________________________________________
解题思路:将同侧两点利用轴对称化为异侧两点
利用两点之间线段最短确定最短路线 构造直角
三角形 利用勾股定理求解
第1题图
1.如图，在中， ，
，的平分线交于点 ，且
，点是边上的一动点，则 的
最小值为_____．
第2题图
2.如图，在中， ， ，
，为直线上一动点，连结，则线段
长度的最小值是_ __．
类型2 几何体中的最短路径问题
立体图形中最短路径基本模型如下：#1
图例
圆柱 _________________________________________________________________________
图例
长方体、正 方体 ______________________________________________________________________________________________________
阶梯问题 ____________________________________________________________________________________________________
图例
基本思路 将立体图形展开成平面图形 利用“两点之间，线
段最短”确定最短路线 构造直角三角形 利用
勾股定理求解.
题型1 圆柱中的最短路径问题
3.有一个圆柱形的油罐，油罐的底面半径是，高是 ，
要从点环绕油罐修建梯子，正好建在点的正上方点 处，则梯
子最短需要____. 取
13
第4题图
4.（贵阳中考）如图，这是一个供滑板爱好者使用
的型池，该 型池可以看作是一个长方体去掉一
个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径
为的半圆，其边缘，点在
22
上，，一滑板爱好者从点滑到 点，则他滑行的最短
距离约为____ .（边缘部分的厚度忽略不计，结果保留整数）
5.如图,圆柱形玻璃杯的高为,底面周长为 ,在杯内壁离
杯底的点 处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上
沿与蜂蜜相对的点处,则蚂蚁从外壁处到内壁 处的最短
距离为____ .（杯壁厚度不计）
20
第5题图
题型2 长方体、正方体中的最短路径问题
第6题图
6.如图，正方体盒子的棱长为2，的中点为 ，一
只蚂蚁从点爬行到 点的最短距离为( )
A
A. B. C.5 D.
第7题图
7.如图，长方体的高为，底面是边长为 的正
方形．一只蚂蚁从顶点开始爬向顶点 ，那么它爬
行的最短路程为( )
C
A. B. C. D.
题图
8.如图，长方体的底面是边长为的正方形，高为 .
如果用一根细线从点开始经过4个侧面缠绕2圈到达点 ，
那么所用的细线最短为____ .
26
[解析] 如解图所示，因为从点 开始经过4个侧面缠绕2圈到达点
，所以展开后， ，由勾股定
理，得.故所用的细线最短为 .
解图
题型3 阶梯中的最短路径问题
9.如图，有一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为
,,，和是这个台阶两个相对的端点. 点有一只
蚂蚁，想到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到 点的
最短路程为____ .
25
10.如图，在一个长为20米，宽为18米的矩形草地上，放着一根
长方体的木块，已知该木块的较长边和场地的宽 平行，纵截
面是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点 处出发，爬过木块到达
点 处需要走的最短路程是____米.
30(共6张PPT)
第13章 勾股定理
综合与实践
某校“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动．他
们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果
如下表（不完整）．#1
课题 测量学校旗杆的高度
成员 组长： 组员： ， ，
工具 皮尺等
测量 示意 图 _______________________________________________________ 说明：线段表示学校旗杆，
垂直地面于点 ，如图1，第一次
将系在旗杆顶端的绳子垂直到地
面，并多出了一段 ，用皮尺测
出 的长度；如图2，第二次将绳
子拉直，绳子末端落在地面的点
处，用皮尺测出 的距离．
图1
图2
测量 数据 测量项目 数值
图1中 的长度 1米
图2中 的长度 5.2米
… …
（1）根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出学
校旗杆 的高度;
解：由图1可得绳子的长度比旗杆的高度多1米，
设旗杆的高度为米，则绳子的长度为 米.
由图2可得，在中， ，
即 ，
解得 ，
答：旗杆的高度为13.02米．
（2）该小组要写出一份完整的课题活动报告，除上表的项目外，
你认为还需要补充哪些项目（写出一个即可）．
解：旗杆的高度．（答案不唯一，合理即可）．(共17张PPT)
第13章 勾股定理
章末复习 勾股定理
复习点1 勾股定理的认识与证明
1.勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是
论证几何的发端，下面四幅图中不能证明勾股定理的是 ( )
A
A. B. C. D.
2.证明勾股定理的方法已超过400种，其中一种方法是：将两个
全等的和如图所示摆放，使点，， 在同
一条直线上， ，即可借助图中几何图形的面积
关系来证明 ．请写出证明过程．
题图
解图
证明：如解图，连结 ．
， ．
又 ， .
. .
是直角三角形．
，
.
. ．
复习点2 勾股定理及其应用
3.如图，直线，垂足为，线段 ，
，以点为圆心， 的长为半径画弧，交直
线于点，则 的长为( )
D
A.5 B.4 C.3 D.2
4.如图，数学兴趣小组要测量学校旗杆的高度，同学们发现系在
旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段（如图1），同学们首先测
量了多出的这段绳子长度为1米，再将绳子拉直（如图2），测出
绳子末端到旗杆底部 的距离为5米，则旗杆的高度为( )
B
图1
图2
A.5米 B.12米 C.13米 D.17米
5.传说，古埃及人常用“拉绳”的方法画直角，有一根长为 的绳
子，古埃及人用这根绳子拉出了一个斜边长为 的直角三角形，
那么这个直角三角形的面积用含和 的式子可表示为( )
A
A. B. C. D.
第6题图
6.如图，在中， ， ，
，的垂直平分线交于点，交 于
点．则 的长为_ _．
第7题图
7.（泰州中考）如图所示的象棋盘中，各个小
正方形的边长均为1.“马”从图中的位置出发，
不走重复路线，按照“马走日”的规则，走两步
后的落点与出发点间的最短距离为____.
8.如图，长方体的底面边长分别为和，高为 ．若一
只蚂蚁从点开始经过四个侧面爬行一圈到达 点，则蚂蚁爬行
的最短路径长为______ ．
9.如图，在倾斜角为 （即）的山坡 上有一棵
树，由于大风，该树从点处折断，其树顶 恰好落在另一棵
树的根部处.已知， .
（1）求这两棵树的水平距离 ；
解：由题，可知 ，
，
.
.
在中， ，
.
.
答：这两棵树的水平距离为 .
（2）求树 的高度.
解：， ，
.
在中， ，
.
答：树的高度为 .
复习点3 勾股定理的逆定理及其应用
10.在中，，，的对边分别是，， ．下列不能
说明 是直角三角形的是( )
A
A.，，
B.
C.
D.
11.如图，在边长为1的正方形方格中，，，， 均为格点，
有三条线段，，.现将线段，， 首尾相连拼成三
角形，下列判断正确的是( )
B
A.能拼成一个锐角三角形 B.能拼成一个直角三角形
C.能拼成一个钝角三角形 D.不能拼成三角形
题图
12.如图，在中，， ，
，是的垂直平分线， 分别交
，于点， ．
（1）求证： 是直角三角形；
证明： 在中，，， ，
又，即 ，
是直角三角形．
（2）求 的长．
解图
解：如解图，连结 ．
是 的垂直平分线，
.
设，则 ．
．
解得，即的长是 ．
复习点4 反证法
13.用反证法证明命题“已知中， ，求证：
．”第一步应先假设 __________．(共27张PPT)
第13章 勾股定理
专题训练（十一） 方程思想在勾股定理中的运用
类型1 单勾股列方程求解
【例1】 如图，在中， ，
，，为的垂直平分线，求
的长.
解题思路：连结，设，则，
______.
在中，根据勾股定理，得 ，
可列方程为__________________.
解得 _ __.
1.如图，在中， ，，, 是
的角平分线，则点到 的距离为___．
3
2.如图,在中,,,是 内一点,
.求 的长.
题图
解图
解：如解图，延长交于点 .
，
点在线段 的垂直平分线上.
，
点在线段 的垂直平分线上.
垂直平分线段 .
.
， .
，
.
设，则 .
在中， ， ，
即，解得 .
.
类型2 双勾股列方程求解
模型一
条件:已知 的三边长.
________________________________________________________________________________
方法:作,垂足为 .
结论: .
【例2】 如图，在中， ，
，，，求 的长.
解题思路：设，则 _______.
根据勾股定理，得
，
9
可列方程为__________________________.
解得 ___.
3.如图，在中，， ，
，求 .
解：如图，过点作，交 的延长线
于点.设 ，
，
.
解得 .
.
.
.
4.如图，在中， ，为的中点， ，
．求 的长．
解：由题意，设，则， ， ，
，
，
即 .
同理，得 ，
解得 .
.
解得 .
模型二
条件: ，于点 .
___________________________________________________
结论:，，，，， 中，知二
可求四；
；
；
.
5.如图，在中， ，于点 ，
，，求 的长.
解：设 .
在中， ，
在中， ，
在中， ，
，解得 .
的长为8.
类型3 折叠问题
【例3】 如图，在三角形纸片中，， ，
，折叠三角形纸片，使点与的中点 重合，折
痕为，求线段 的长.
解： 在中， ，
， ，
.
.
为 的中点，
.
设，则 ，
在 中，由勾股定理，得
，解得.故的长为 .
___________________________________________
解决折叠问题的关键是抓住对称性.勾股定理的数学表达式
是一个含有平方关系的等式，求线段的长时，可利用勾股定理
直接计算，也可设未知数，由勾股定理列出方程，运用方程思
想解决问题.
第6题图
6.（济宁中考）如图，三角形纸片 中，
，，．沿过点 的
直线将纸片折叠，使点落在边上的点 处；
再折叠纸片，使点与点重合，若折痕与
的交点为，则 的长是( )
A
A. B. C. D.
第7题图
7.（2024·徐州改编）如图，将长方形纸片
沿折叠，使点落在边中点 处.
若，，则 _ _.
8.如图，已知三角形纸片， ， ，
，是边的中点，点在边上，将沿 翻折
压平，使点恰好落在线段上，则 的长等于 ______．
3或4
第8题图
第9题图
9.（雅安中考）如图，把一张长方形纸片沿对角
线折叠.若， ，则阴影部分的面积
为_ __.
第10题图
10.如图，长方形中，是 的中点，将
沿直线折叠后得到，延长 交
于点．若，，则 的长为
___.
4
11.如图，在直角三角形纸片中， ， ，
，是的中点，是上一动点，将沿 折叠
得到，连结.当是直角三角形时， 的长为
_ ______.
或5
第11题图
12.如图，将长方形沿折叠后，点落在点
处，且交于点，，．求 的长．
解： 四边形 是长方形,
，， ， .
.
由折叠的性质，得 ，
.
.
设，则 ，
在中，由勾股定理,得 ，
即，解得 ，
．(共19张PPT)
第13章 勾股定理
13.1 勾股定理
13.1.1 直角三角形三边的关系
第1课时 勾股定理
基础 分点训练
中档 提分训练
拓展 素养训练
知识点1 探索直角三角形三边关系
1.如图，三个直角三角形（ ，Ⅱ，Ⅲ）拼成一个直
角梯形（两底分别为,，高为 ），利用这个图
形，小明验证了勾股定理．请你填写计算过程中留下
的空格：
（上底下底） 高 ，
即 （______________）,①
（罗马数字表示相应图形的面积） _______
__________，即 （__________）,②
由①,②，得_____________．
知识点2 利用勾股定理进行计算
第2题图
2.如图，在中， ，若
，，则 的长为( )
A
A.5 B. C. D.
第3题图
3.如图，在中，，是
的平分线．已知，，则 的
长为( )
A
A.16 B.12 C.10 D.8
4.求出下列直角三角形中未知边的长度.
____; ____.
10
12
5.如图，在中，两直角边和 的长分别3和4，以斜
边为边作一个正方形，再以正方形的边 为斜边作
，然后依次以两直角边和 为边分别作正方形
和 ，则图中阴影部分的面积为____．
25
6.在中， .若，，则 的
长是____.
7.已知， 为直角三角形的两边长，且满足
，则第三边长为_______．
17
5或
8.如图，已知在中，于点 ，
，， ．
（1）求 的长；
解：在 中，
，
.
（2）求 的长．
解：在中， ，
．
9.如图，在中， ，
，，是斜边上的高，则 的长
为( )
A
A. B. C.5 D.10
10.如图，分别以直角三角形的边，， 为直径、斜边和边，向
外作半圆、等腰直角三角形和正方形，上述三种情况的面积关系
满足 的图形有( )
D
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
第11题图
11.如图，在中，分别以点和点 为
圆心，大于 的长为半径作弧（弧所在圆
的半径都相等），两弧相交于， 两点，
直线分别与边，相交于点， ，
连结．若，， ，
则 的长为( )
D
A.9 B.8 C.7 D.6
12.如图，若 ，， ，
，则 ____.
13
第12题图
13.如图所示，校园有一块四边形草坪，测得 ，
，，， ，则这块四边
形草坪的面积是 _____ ．
234
14.在中，，， ，
求 的面积.某学习小组经过合作交流，给
出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思
路完成解答过程.
如图，作于点，设，用含的代数式表示
根据勾股定理，利用作为 “桥梁”，建立方程模型求出 利
用勾股定理求出的长，再计算 的面积.
解：在中，，， ，
设，则有 ，
由勾股定理，得 ，
.
.
解得 .
.
.
15.对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形.现有如图所示的
“垂美”四边形，对角线，交于点.若 ，
，则 ____.
20(共9张PPT)
第13章 勾股定理
全国视野 核心素养专练
第1题图
1.【运算能力、几何直观、模型观念、应用意识】
八（3）班松松同学学习了“勾股定理”之后，为
了计算如图所示的风筝高度 ，测得如下数据：
①测得的长度为 ；②根据手中
剩余线的长度计算出风筝线的长为 ；③
松松身高为.若松松同学想使风筝沿
方向下降 ，则他应该往回收线( )
A
A. B. C. D.
第2题图
2.【模型观念、应用意识】为加快旧城改
造步伐，增强城市功能，改善人居环境，
我市对部分旧城区天然气管道进行改造.在
改造过程中发现原有管道因弯道过多带来
安全隐患，因此需要改造.某小区管道 改造方案如图所示.
（实线为改造前，所有实线均互相平行或垂直，虚线为改造后）
（1）改造前管道的长度是_______；
（2）改造后 之间的距离减少了_______.
3.【几何直观、推理能力、应用意识、创新
意识】如图1，直角三角形的两个锐角分别
48
是 和 ，其三边上分别有一个正方形.执行下面的操作：由
两个小正方形向外分别作锐角为 和 的直角三角形，再分
别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形.图2是1次操
作后的图形.图3是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它
称为“毕达哥拉斯树”.若图1中的直角三角形斜边长为2，则10次操
作后图形中所有正方形的面积和为____.
4.【空间观念、推理能力、创新意识】把一个直立的火柴盒放倒
（如图），请你用不同的方法计算梯形 的面积，并验证勾
股定理.（设火柴盒截面宽为，长为，对角线长为 ）
解：由题意，知图中的四边形为直角梯形， 为等腰
直角三角形，
和 的形状和大小完全一样.
设梯形的面积为 ，则
.
又 ，
.
5.【代数推理】古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果 表示大于1
的整数，，，，那么，， 为勾股
数.你认为对吗？如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗？
解：对.
表示大于1的整数，
，，都是正整数，且 是最大边，
，
，即，， 为勾股数.
当 时，可得一组勾股数3，4，5.（答案不唯一）
