(共10张PPT)
第14章 数据的收集与表示
14.1 数据的收集
14.1.3 检索文献获取二手数据
基础 分点训练
中档 提分训练
知识点1 频数与频率
1.小明在选举班委时得了28票，下列说法中错误的是( )
A
A.不管小明所在班级有多少学生，所有选票中选小明的选票频率
不变
B.不管小明所在班级有多少学生，所有选票中选小明的选票频数
不变
C.小明所在班级的学生人数不少于28人
D.小明的选票的频率不能大于1
2.常数与 一样是常用的无理数． ．在
数字“2.71828182845”中“8”出现的频数和频率分别是( )
A
A.4， B.，4 C.12，4 D.5，
3.为了调查本班学生课外阅读情况，学习委员对学生喜爱的书籍
进行分类统计，其中“古诗词类”的频数为8人，频率为 ，则
被调查的学生人数为____人.
32
知识点2 通过文献获取数据
4.下表是我国 年全国居民人均可支配收入按收入五
等份分组的收入（单位：元，数据来源于国家统计局），则下列
分析正确的是( )
2020 2021 2022 2023 2024
低收入组家庭 7869 8333 8601 9215 9542
中间偏下收入组家庭 16443 18445 19303 20442 21608
中间收入组家庭 26249 29053 30598 32195 33925
中间偏上收入组家庭 41172 44949 47397 50220 53359
高收入组家庭 80294 85836 90116 95055 98809
A.2021年中间收入组家庭人均可支配收入为32195元
B. 年，中间偏上收入组家庭人均可支配收入都是增
长的
C. 年，高收入组家庭人均可支配收入的增长率逐渐
增大
D.从2021年开始中间偏下收入组家庭人均可支配收入超过20000元
√
5.一次数学测试后，某班40名学生的成绩被分为6组，第 组
的频数之和为28，第5组的频率是 ，则第6组的频数为( )
C
A.4 B.6 C.8 D.10
6.已知算式：，，， ，其中负数出现
的频率为____.
0.5
7.（2024·宿迁月考）已知一个样本：6，9，11，8，7，11，12，
10，9，10，12，10，9，8，13，15，10，11，12，13，____出
现的频数最多，__________出现的频数最少.
10
6，7，15
8.如表是某中学七（5）班的40名学生的出生月份的调查记录：
月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
人数 1 4 5 3 3 1 1 3 3 5 3 8
（1）求出10月份出生的学生的频数和频率；
解：由表，得10月份出生的学生的频数是5；
频率是
（2）现在是1月份，如果你准备为下个月过生日的每一名同学送
一份礼物，那你应该准备多少份礼物？
解：2月份有4名同学过生日，因此应该准备4份礼物.(共51张PPT)
第14章 数据的收集与表示
期末复习（三） 全等三角形
核心要点回顾
期末达标训练
知识点1 全等三角形的性质与判定
1.【新中考·条件结论开放型试题】如图，在
和中， ，有下列三个选
项：；； .请你
（1）你选的补充条件为____、____，结论为____；（填序号即可）
①
②
③
在上述三个选项中选择两个作为补充条件，另一个作为结论，并
证明你的结论.（只要求写出一种正确的选法）
（2）根据第（1）问的选择，证明你的结论.
[答案] 解法一：选的条件是①，②，结论是③.
证明：在和 中，
， .
解法二：选的条件是①，③，结论是②
证明：在和 中，
， .
【方法归纳】解决此类开放性问题，要从已知条件出发，从题
目中挖掘出两个三角形中相等的元素，再对比全等三角形的判
定方法，，，, 逐一添加条件即可.
2.（2024·赣州期末）如图，点，，， 在一条直线上，
，，与交于点，且是 的中点.写出图
中的三对全等三角形（不再添加辅助线），并选择一对全等三角
形加以证明.
解：， ，
.
方法一：选 ，证明如下：
与交于点，且是 的中点，
.
， .
在和中，
.
方法二：选 ，证明如下：
由，可得 .
， .
在和中，
.
方法三：选 ，证明如下：
由，可得 .
在与中，
.
知识点2 等腰三角形的性质与判定
题图
3.如图，在等腰中，是斜边 的
中点，以 为顶点的直角的两边分别与边
，交于点，，连接.当 绕顶
点旋转时（点不与，重合）， 也
始终是等腰直角三角形，请你说明理由.
解图
解： 始终是直角三角形，理由如下：
如解图，连结 ，
是等腰底边 上的中线，
（等腰三角形顶角的平分线、底
边上的中线、底边上的高互相重合），
又 ，
， ，
（等量代换）.
， ，
， .
.
由是等腰 边上的中线，得
（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）.
在和中，，， ，
.
（全等三角形对应边相等）.
始终是等腰直角三角形.
【方法归纳】证明一个三角形是等腰三角形，可直接证明有两
边相等，或证明有两个角相等.
4.（2024·沈阳校级月考）如图，过边长为4的等边三角形 的
边上一点，作于点，为 延长线上一点，当
时，连结交边于点 .
题图
（1）求证：为 的中点；
解图
证明：如解图，过点作，交于点 ，
为等边三角形且边长为4，
， .
， ，
.
为等边三角形. .
， .
在和中，
，
即为 的中点.
（2） 的长为___.
2
知识点3 尺规作图
题图
5.如图，在等腰三角形中， ，
.用无刻度直尺和圆规完成下列作图任务，
保留作图痕迹（铅笔作图）.
（1）作线段的垂直平分线交于点 ；
解：如解图，直线 即为所求.
（2）作的平分线交于点 ；
解：如解图，射线 即为所求.
解图
（3） 的周长是____.
11
【方法归纳】解决此类问题，首先要掌握几种基本的尺规作
图，然后分析题意，确定所要作的图形需要用到哪几种基本作
图，再动手操作.
6.（2025·湖南模拟）如图，在 中，
， .以点 为圆心，以适当长为半
径画弧，分别交，于点， ，再分别以点
，为圆心，大于 的长为半径作圆弧，两弧
105
在的右侧交于点，作射线交于点，则 的大
小为_____度.
7.如图，在中， ， .依据尺规作图的
痕迹，当时， 的长是___.
8
知识点4 角平分线与线段垂直平分线
8.如图，在中， ， ，， 分
别为，的垂直平分线，， 分别为垂足.
（1）求 的度数；
解： ，
.
是线段的垂直平分线， .
.
同理可得，， .
.
（2）若的周长为20，求 的长.
解：的周长为20， ，
由（1），可知， ，
.
9.如图，在中，是角平分线，交于点 ，且
，，，垂足分别为， .
（1）求证： ；
证明：平分，于点，于点 ，
， .
在和 中，
.
.
（2）若， ，则 的长为___.
1
10.如图，在中， ， .
题图
（1）尺规作图：①作边的垂直平分线交于点 ；
②连结，作的平分线交于点 ；（要求：保留作图痕
迹，不写作法）
解：如解图，直线，射线 即为所求.
解图
（2）在（1）所作的图中，求 的度数.
解：垂直平分线段 ，
，
，
，
.
.
平分， .
一、选择题（每小题4分，共32分）
1.等边三角形对称轴的条数是( )
C
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
2.利用尺规进行作图，根据下列条件作三角形，画出的三角形不
唯一的是( )
B
A.已知三条边 B.已知三个角
C.已知两角和夹边 D.已知两边和夹角
3.（2024·淄博期末）如图，，点
在线段上， ，则 的度数为( )
C
A. B. C. D.
第4题图
4.（2025·海城一模）如图，在 中，
，， ，观察尺规作图
的痕迹，则 的长度是( )
D
A.2 B.3 C. D.
5.（2025·曲靖期中）有下列命题：①相等的角一定是对顶角；
一定是一个负数；③没有绝对值为的数；④若 ，
则 一定是一个正数；⑤垂线段最短，其中是真命题的有( )
B
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
第6题图
6.如图，已知，，，是
上的两点且，若 ，
，则 ( )
D
A. B. C. D.
7.（2024·玉溪期末）如图，在中， ， 的
平分线交于点，于点.若， ，则
的面积为( )
B
第7题图
A.6 B.7 C.12 D.14
8.如图，在中，， ，点是 内一
点，且，外一点满足，且 平分
，则 的度数为( )
A
第8题图
A. B. C. D.
二、填空题（每小题4分，共24分）
9.下列命题：
①两直线平行，同旁内角相等；
②实数与数轴上的点一一对应；
③ 是无理数；
④三角形的一个外角大于任何一个内角.
其中，不是真命题的是________.（把你认为正确结论的序号都
填上）
①③④
第10题图
10.（2025·榆林一模）如图，在 中，
，平分交于点， ，
垂足为，若，，则 的长为___.
6
第11题图
11.（2025·济宁一模）如图，为中 边
上一点，， ，请你补充一个条
件：________________________，使
.
（答案不唯一）
12.（2025·深圳期中）如图，在 中，
的平分线与边的垂直平分线 相交
于点，连接，若 ， ，
则的度数是____ .
35
第13题图
13.如图，在四边形中，，
的平分线交于点，，若 ，
，则四边形 的周长为____.
32
第14题图
14.如图，在和 中，
，， ，
边与边交于点（不与点， 重
合），点，在 异侧.#1
（1）若，，则 _____；
（2）当，，时，设，请用含
的式子表示______，并求出 的最大值为___.
1
三、解答题（共44分）
15.（8分）如图，，，垂足分别为，， 与
相交于，且.求证： .
证明： ，
，
.
在和 中，
.
.
16.（9分）如图，在中， ， 和
都是等边三角形，和交于点，求证： .
证明：和 都是等边三角形，
.
，
.
在 中，
，
.
17.（12分）（2025·江门一模）在中，是 的平分
线，其中点在边 上.
（1）用圆规和直尺在图中作出角平分线 ；（不要求写作法，
保留作图痕迹）
解：如解图，射线 即为所求.
解图
题图
（2）若 ， ，求 的度数.
解： ， ，
.
平分 ，
.
.
18.（15分）综合与实践
问题情境：活动课上，同学们以等
腰三角形为背景展开有关图形旋转
的探究活动，如图1，已知中， .将
从图1的位置开始绕点逆时针旋转，得到
（点，分别是点， 的对应点），旋转角为
，设线段与相交于点，线段 分别交
，于点， .
特例分析：
（1）如图2，当旋转到时，求旋转角 的度数为_____；
探究规律：
（2）如图3，在绕点 逆时针旋转过程中，“求真”小组的
同学发现线段始终等于线段 ，请你证明这一结论.
证明： ，
，
即 .
在和中，
， .
拓展延伸：
（3）①直接写出当是等腰三角形时旋转角 的度数；
②在图3中，作直线，交于点，求出当 是直角三角
形时旋转角 的度数.
解： 或 .
②如图，
当 时，
，
.
.
，
旋转角 为 .(共7张PPT)
第14章 数据的收集与表示
项目学习6 采集一手数据
活动 目标 知道可以借助叶子的长宽比对植物进行分类，体会数据在
实际生活中的用途
问题 情境 综合与实践课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征
对树木进行分类”的实践活动.10位同学每人随机收集核桃
树、枇杷树的树叶各1片,通过测量得到这些树叶长、宽
（单位: ）的数据后，计算每片叶子的长宽比，绘制出
折线统计图如下：
问题 情境 _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
解决问题 根据以上信息，下列说法错误的是( )
C
A.枇杷树叶长宽比为2的频率最大
B.核桃树树叶的长宽比大约为3.1
C.小明测量一片核桃树树叶的长为,断定它的宽一定为
D.小亮同学收集到一片长为、宽为 的树叶，判定它
很可能是一片枇杷树树叶
应用
某校兴趣小组在学科实践活动中，从市场上销售的A,B两个品种
的花生仁中各随机抽取30粒，测量其长轴长度，然后对测量数据
进行了收集、整理和分析.下面是部分信息.
两种花生仁的长轴长度统计表
花生仁长轴长度/mm 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
A品种花生仁粒数 5 10 6 2 2 0 0 0 0 0
B品种花生仁粒数 0 0 2 6 6 4 5 4 4 2
根据以上信息，回答下列问题：
（1）兴趣小组在进行抽样时，以下操作正确的是____
（填序号）.
①从数量足够多的两个品种的花生仁中各挑取长轴长度大的花生
仁30粒；
②将数量足够多的两个品种的花生仁分别放在两个不透明的袋子
中，摇匀后从中各取出30粒.
②
（2）学校食堂准备从A,B两个品种的花生仁中选购一批做食材，
根据菜品质量要求,花生仁大小要均匀，那么兴趣小组应向食堂
推荐选购___（填“A”或“B”）品种花生仁,理由是______________
_____________________________________.
A
A品种花生仁
长轴长度变化范围较小，花生仁大小均匀(共31张PPT)
第14章 数据的收集与表示
期末复习（一） 数的开方
核心要点回顾
期末达标训练
知识点1 平方根、立方根
1. 的平方根是( )
C
A.2 B. C. D.
2.（2024·西峡期末） 的立方根是( )
A
A. B.8 C.和4 D. 和8
3.（2024·项城期中）下列说法正确的是( )
D
A.任何实数都有平方根 B.若，则
C.1的立方根是 D.的立方根是
4.（2024·封丘期中） 的算术平方根等于( )
C
A.4 B. C.2 D.
5.（2025·天津月考）求下列各数的平方根：
解：根据平方根的定义逐项计算，可得
（1）4；
[答案] 4的平方根为
（2） ；
[答案] 的平方根为
（3）0.01.
[答案] 0.01的平方根为
知识点2 实数与数轴
6.（2025·广州校级期中）如图，数轴上， 两点对应的实数分
别是1和，点在点的右边，且，则点 所对应的实
数为( )
A
A. B. C. D.
【方法归纳】实数与数轴上的点一一对应，求数轴上两点间的
距离就用右边的数减去左边的数，知道两点间的距离，求较大
的数，就用较小的数加上两点间的距离.
7.（2025·临沂一模）实数， 在数轴上对应点的位置如图所示，
下列结论正确的是( )
D
A. B.
C. D.
知识点3 实数的大小比较
8.（2024·伊梨州校级期中）比较2，， 的大小，正确的是
( )
C
A. B.
C. D.
【方法归纳】熟记，， ，
等一些常见的无理数的近似值，在解答实数的大小比
较的题目时可以用这些近似值进行估算.
9.（2024·自贡）在0，，， 四个数中，最大的数是
( )
C
A. B.0 C. D.
10.（2024·新疆）估计 的值在( )
A
A.2和3之间 B.3和4之间 C.4和5之间 D.5和6之间
知识点4 实数的运算
11.（2024·临夏州）计算：|
解：原式
【方法归纳】与有理数有关的相反数和绝对值等概念、运算法
则及运算律，对于实数仍适用.
12.（2025·滨州期中）计算：
解：原式
一、选择题（每小题3分，共24分）
1.下列各数中没有平方根的是( )
C
A. B. C. D.0
2.（2025·诸暨二模）在1，， ， 四个数中，最小的数
是( )
B
A.1 B. C. D.
3.（2025·惠州期中）下列算式中，正确的是( )
D
A. B.
C. D.
4.（2025·泰州二模）下列四个数， ，， 中，无
理数的个数是( )
C
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
5.（2024·三明期末）下列各数中，界于5和6之间的数是( )
C
A. B. C. D.
6.（2025·吕梁期中）若的整数部分为，小数部分为 ，
则代数式 的值为( )
D
A. B.1 C. D.
7.若是的平方根，的一个平方根是2，则代数式 的
值为( )
C
A.8 B.0 C.8或0 D.4或
8.（2024·海淀期中）对任意两个实数， 定义两种运算：
， ，并且定义运算顺
序仍然是先做括号内的，例如 ，
那么 等于
( )
A
A. B.3 C.6 D.
二、填空题（每小题5分，共30分）
9.（2025·淮南三模）计算： ____.
10.（2025·信宜模拟）已知实数的绝对值为3，且 在数轴上对
应点的位置位于原点左侧，则 表示的数为____.
11.（2025·惠州模拟） 的平方根是____.
12.（2025·周至期中）某甜品店的李师傅制作的长方体月饼礼
盒的体积为 ，而康师傅制作的正方体月饼礼盒的体积是
李师傅制作的1.5倍，则康师傅制作的正方体月饼礼盒的棱长为
___
6
13.（2025·泰安模拟）若，为实数，且与 互为
相反数，则 的值为____.
14.借助计算器求值：
____；
_____；
______.
仔细观察上面几道题的计算结果，试猜想：
___________
10
110
1110
.
三、解答题（共46分）
15.（14分）（2025·滨州期中）计算：
（1） ；
解：原式
（2）
解：原式
16.（9分）已知：某正数的两个平方根是与 ，且
的算术平方根是5.
（1）求，， 的值；
解：由题意，得， ，
，
，， 的值分别为25，4，13.
（2）求 的立方根.
解：，
的立方根为4.
17.（11分）（2025·惠州期中）2024年5月6日，“从北京到巴
黎——中法艺术家奥林匹克行”中国艺术大展在巴黎举办.苏绣作
品《荷娇欲语》亮相巴黎，向世人展示东方美学的韵味.现有一
张长方形绣布，长、宽之比为，绣布面积为
（1）求绣布的周长；
解：设绣布的长为，宽为
根据题意，得 ，
即 ，
则 ，
，
，
，
绣布的长为，宽为 ，
其周长为
（2）刺绣师傅想用这张绣布裁出一张面积为 的完整圆
形绣布来绣花鸟图，她能够裁出来吗？请说明理由.（ 取3）
解：不能够裁出来.理由如下：
设完整的圆形绣布的半径为 ，
由题意，得 ，
取3， ，
解得 （负值已舍去）.
，
，
不能够裁出来.
18.（12分）阅读与思考
下面是小亮写的数学日记的一部分，请你认真阅读，并完成相应
的任务.#1.1
2025年×月×日 天气：晴
正方形的剪拼与无理数
今天在数学课上同学们利用准备好的两个边长为1的小正方形进
行剪拼（无缝隙不重叠的拼接），得到了一个大的正方形，在
老师的引导下认识了无理数.
我在课堂上是按照图1所示的方法进行剪拼的，课后我有了进一
步的思考：
问题1：能否利用一个边长为1的正方形和一个边长为2的正方形
剪拼出一个大正方形？
对于上面的问题我进行了尝试并找到了图2和图3两种剪拼的方
法；
问题2：一个边长为1和一个边长为3的正方形也能剪拼出一个大
正方形吗？
如果能，该如何剪拼呢？
______________________________________________________________________________________________________
任务：
（1）图1中拼成的大正方形的边长为____，图2和图3中拼成的大
正方形的边长为____；
（2）请参考材料中图2或图3的剪拼方法，解决问题2.
要求：①在图4中画出剪切线并在图中仿照图2或图3标出相应线
段的长度；
②在图4右侧画出拼接成的大正方形的示意图及其内部的拼接线.
解：①剪切线如解图1所示.
②拼接成的大正方形的示意图及其内部的拼接线如解图2所示.
解图1
截图2(共24张PPT)
第14章 数据的收集与表示
14.2 数据的表示
14.2.3 容易误导读者的统计图
基础 分点训练
中档 提分训练
拓展 素养训练
知识点1 统计图的选择与制作
1.（扬州中考）空气的成分（除去水汽、杂质等）是：氮气约占
，氧气约占，其他微量气体约占 ．要反映上述信息，
宜采用的统计图是( )
C
A.条形统计图 B.折线统计图
C.扇形统计图 D.频数分布直方图
2.下列统计图中，制作错误的是( )
A
A. B.
C. D.
知识点2 利用统计图表传递信息
3.如图是小宇同学每天作息时间扇形统计图，得到下列信息，错
误的是( )
C
A.小宇睡眠时间占全天时间的
B.小宇每天体育活动时间为2.4小时
C.各项统计中，小宇课业学习时间最多
D.小宇每天睡眠时间为8.4小时
4.（2024·潍坊）中国中医科学院教授屠呦呦因其在青蒿素抗疟
方面的研究获2015年诺贝尔生理学或医学奖.某科研小组用石油醚
做溶剂进行提取青蒿素的实验，控制其他实验条件不变，分别研
究提取时间和提取温度对青蒿素提取率的影响，其结果如图所示：
由图可知，最佳的提取时间和提取温度分别为( )
B
A.， B.，
C.， D.，
5.如图是友谊商场某商品 月份单个的进价和售价的折线统计
图，则售出该商品单个利润最大的是___月份．
2
第5题图
6.（株洲中考改编）A市安排若干名医护工作人员援助某地工作，
人员结构统计如下表：
人员 领队 心理医生 专业医生 专业护士
占总人数的百分比 ★
则该批医护工作人员中“专业医生”占总人数的百分比为______.
第7题图
7.（广州中考）2023年5月30日是第7个全国
科技工作者日，某中学举行了科普知识手
抄报评比活动，共有100件作品获得一、二、
三等奖和优胜奖，根据获奖结果绘制如图
所示的条形图，则 的值为 ____.若将获奖
作品按四个等级所占比例绘制成扇形统计
30
36
图，则“一等奖”对应扇形的圆心角度数为 ____ ．
知识点3 容易误导读者的统计图
8.某地三年的自来水价格（元/吨）如下：
年份 2022 2023 2024
水价/（元/吨） 1.46 1.92 2.53
该地自来水公司若根据上述信息制作统计图，并据此向物价部门
申请涨价，你觉得下面两幅图，图____是自来水公司制作的.
乙
甲
乙
9.（岳阳中考）聚焦“双减”政策落地，凸显寒假作业特色．某学校
评选出的寒假优质特色作业共分为四类：A（节日文化篇），B
（安全消防篇），C（劳动实践篇），D（冬奥运动篇）．下面是
根据统计结果绘制的两幅不完整的统计图，则B类作业有 ____份．
20
10.甲、乙两家汽车销售公司根据近几年的销售量分别制作了如
图所示的统计图，从 年，这两家公司中销售量增长
较快的是____公司.（填“甲”或“乙”）
甲
11.（湘西州中考）某校计划开展以弘扬“文化自信”为主题的系列
才艺展示活动，要求每位学生从绘画、合唱、朗诵、书法中自主
选择其中一项参加活动.为此，学校从全体学生中随机抽取了部
分学生进行问卷调查，根据统计的数据，绘制了如图所示的条形
统计图和扇形统计图（部分信息未给出）．
请你根据图中所提供的信息，完成下列问题：
（1）该校此次调查共抽取了 _____名学生；
（2）在扇形统计图中，“书法”部分所对应的圆心角的度数为
_____；
200
（3）请补全条形统计图（画图后标注相应的数据）；
解：朗诵的人数为 （名），
补全条形统计图如下.
（4）若该校共有2 000名学生，请根据此次调查结果，估计该校
参加朗诵的学生人数．
解： （名），
答：估计该校参加朗诵的学生有800名．
12.【关注社会生活】如图1，，， 是三个垃圾存放点，存放
点，分别位于存放点的正北和正东方向，四人分别测得
的度数如下表：
测量人员 甲 乙 丙 丁
他们又调查了各存放点的垃圾量，并绘制了下列尚不完整的统计
图2，图3.
图1
图2
图3
（1）求表中 度数的平均数；
解：度数的平均数为 .
（2）求 处的垃圾量，并将图2补充完整.
解：处垃圾存放量为 ，在扇形统计图中所占比例为
， 垃圾总量为
处垃圾量为
补全条形图如图所示.(共22张PPT)
第14章 数据的收集与表示
14.2 数据的表示
14.2.1 频数分布直方图
基础 分点训练
中档 提分训练
拓展 素养训练
知识点1 组距与频数
1.为绘制一组数据的频数分布直方图，首先要算出这组数据的变
动范围，即数据的( )
D
A.最大值 B.最小值
C.个数 D.最大值与最小值的差
2.（2024·武威二模）已知在一个样本中，40个数据分别落在4
个组内，第一、二、四组数据个数分别为5，12，8，则第三组的
频数为( )
C
A.0.375 B.0.6 C.15 D.25
3.已知一组数据有80个，其中最大值为143，最小值为50，取组
距为10，则可分成( )
A
A.10组 B.9组 C.8组 D.7组
4.某次测验后，分这组人数占全班总人数的 若全班
有45人，则该组的频数为___.
9
知识点2 频数分布表与频数分布直方图
5.（金华中考）观察如图所示的频
数分布直方图，其中组界为
这一组的频数为( )
D
A.5 B.6 C.7 D.8
6.（温州中考）某校学生“亚运知识”竞赛成绩的频数分布直方图
（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值）如图所示，其中
成绩在80分及以上的学生有_____人.
140
7.体育老师统计了全班同学60秒跳绳的次数，并列出频数分布表：
次数
频数 4 13 19 7 5 2
请你结合表中所给信息解答下列问题：
（1）全班有____名学生；
（2）组距是____，组数是___；
（3）跳绳次数在范围的学生占全班学生的____
50
20
6
52
8.在学习完部分统计知识后，某数学兴趣小组对一农场主的蔬菜
大棚中每株西红柿的个数做了随机抽样调查.兴趣小组搜集了该
农场主蔬菜大棚中30株西红柿秧上小西红柿的个数：
28 62 54 39 32 47 68 27 65
43 61 59 67 56 45 36 79 46
54 25 82 16 39 32 64 74 49
36 39 52
（1）将抽样调查的30株西红柿秧上小西红柿的个数（记为 ）按
组距为10将数据分组，列频数分布表，画出频数分布直方图；
解：用 表示数据，
按组距为10将数据分组，
分组如下：，， ，
，，， ，共7组.
列频数分布表如下：
分组 划记 频数
____________ 2
___________ 4
_________________ 7
_________________ 7
___________ 5
分组 划记 频数
____________ 3
___________ 2
画出频数分布直方图如图所示.
（2）根据频数分布表和频数分布直方图，分析数据的分布情况
（写出两条信息即可）.
解：答案不唯一，比如：每株西红柿的个数在 和
范围内的一样多，且较少；每株西红柿的个数在
和 范围内的最多.
9.（2024·广州）为了解公园用地面积 （单位：公顷）的基本
情况，某地随机调查了本地50个公园的用地面积，按照
，，，，
的分组绘制了如图所示的频数分布直方图，下列说法正确的是
( )
A. 的值为20
B.用地面积在 这一组的公园
个数最多
C.用地面积在 这一组的公园个
数最少
D.这50个公园中有一半以上的公园用地
面积超过12公顷
√
10.学校为七年级学生订做校服，校服型号有小号、中号、大号、
特大号四种.随机抽取了100名学生调查他们的身高，得到身高频
数分布表如下，已知该校七年级学生有800名，那么中号校服大
约应订制_____套.
360
型号 身高 人数（频数）
小号 22
中号 45
大号 28
特大号 5
11.（2024·济宁期末）为了解七年级
学生的体能情况，抽取了某校七年级
若干名学生进行1分钟跳绳测试，并将
所得数据绘制成如图所示的统计图
30
（各组只含最小值，不含最大值），已知统计图中从左到右各小
长方形的面积比为 ，则跳绳次数不低于100次的学生有
____人.
12.【新考向·结论开放型试题】某数学老师将本班学生的身高数
据（精确到 ）交给甲、乙两同学，要求他们各自独立地绘制
一幅频数分布直方图，甲绘制的图如图1所示，乙绘制的图如图2
所示，经检测确定，甲绘制的频数分布直方图是正确的，乙在整
理数据及绘图过程中均有个别错误.
图1
图2
（1）问：该班学生有多少人？
解：由甲的直方图可得该班学生总数为
（人）.
（2）某同学身高为 ，他说：“我们班上比我高的人不超过
”他的说法正确吗？
解：正确 （人），由甲直方图可以看出，身高在
中间的总人数也恰好是15人，
因此当同学身高是 时，比他高的人无论如何也不会超过
15人.
所以他的说法是正确的.
（3）请指出乙在整理数据或绘图过程中存在的一个错误.
解：因为甲绘制的频数分布直方图是正确的，根据甲的直方图能
够得出身高在 之间的人数为5人，
从乙图中发现，身高在 的人数是4人，
因此，该处存在错误.(共1张PPT)
第14章 数据的收集与表示
14.1 数据的收集
14.1.2 亲自调查获取一手数据
目
录(共43张PPT)
第14章 数据的收集与表示
期末复习（四） 勾股定理
核心要点回顾
期末达标训练
知识点1 勾股定理的证明
1.（2024·攀枝花二模）将两个全等的直角三角形按如图所示摆
放，使点，， 在同一条直线上.利用此图的面积表示式证明
勾股定理.
证明：由已知，可得
，
.
，
.
. 是直角三角形.
，
.
. .
2.图1为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》
作注时给出的，它标志着中国古代的数学成就.根据该图，赵爽用
两种不同的方法计算正方形的面积，通过正方形面积相等，从而
证明了勾股定理.现有4个全等的直角三角形（图2中灰色部分），
直角边长分别为，，斜边长为 ，将它们拼合为图2的形状.
图1
图2
（1）小诚同学在图2中加了相应的虚线，从而轻松证明了勾股定
理，请你根据小诚同学的思路写出证明过程；
证明：图2中图形的总面积可以表示为以为边的正方形的面积
两个直角三角形的面积，
即 ；
也可以表示为以和为边的两个小正方形的面积 两个直角三角
形的面积，
即 ，
，即 .
（2）当， 时，求图2中空白部分的面积.
解：当，时， ，
由图可知，空白部分面积以 为边的正方形的面积-两个直角三
角形的面积，
即空白部分面积为 .
知识点2 图形的折叠与勾股定理
第3题图
3.如图，有一张直角三角形纸片， 是直角顶点，
，，将纸片折叠，使点与
点重合，折痕，则 长为( )
D
A. B. C. D.
第4题图
4.如图，将长方形纸片折叠，使点与点 重
合，折痕为.已知， ，则
的面积为( )
B
A. B. C. D.
知识点3 勾股定理的应用
5.学习了“勾股定理”之后，为了测量
风筝的垂直高度 ，小军进行了如
下操作：①测得水平距离 的长为
15米；②根据手中剩余线的长度计算
出风筝线 的长为17米；③牵线放
风筝的小军的手离地面的高 为1.6米.
（1）如图1，求风筝的垂直高度 为多少米；
解：在中，米， 米，
（米）.
米， （米）.
答：风筝的垂直高度 为9.6米.
（2）如图2，如果小军想在长度不变的情况下，让风筝沿
方向再上升12米到点 ，则他应该再向外放线多少米？
解：在中， ，
（米），
（米）.
（米）.
答：他应该再向外放线8米.
6.在一条东西走向河的一侧有一村庄 ，河
边原有两个取水点，，其中 ，由
于某种原因，由到 的路现在已经不通，某
村为方便村民取水决定在河边新建一个取水
点（，，在一条直线上），并新修一条路 ，测得
千米，千米， 千米.
（1）问是否为从村庄到河边的最近路？（即问：与 是
否垂直？）请通过计算加以说明；
解： 在中， ，
，， 为直角三角形，
. ，
是从村庄 到河边的最近路.
（2）求原来的路线 的长.
解：设 千米，
在中，由已知得千米， 千米，
千米.
由勾股定理，得 ，
.解得 .
答：原来的路线 的长为2.5千米.
一、选择题（每小题4分，共32分）
1.下列各组线段中，能够组成直角三角形的是( )
D
A.6，7，8 B.5，6，7
C.，， D.5，12，13
2.如图，直角三角形的两直角边长分别是3和4，则斜
边上的高 长是( )
B
A.1.2 B.2.4 C.4.8 D.6
3.下列说法中正确的是( )
C
A.已知，，是三角形的三边，则
B.在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方
C.在中， ，所以
D.在中， ，所以
4.如图，阴影部分的长方形的面积是( )
C
A. B. C. D.
第5题图
5.古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：将一根
长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距，4
个结间距，5个结间距的长度为边长，用木桩钉成
一个三角形，其中一角便是直角，这样做的道理
是( )
D
A.直角三角形两个锐角互余 B.三角形的稳定性
C.勾股定理 D.勾股定理的逆定理
第6题图
6.（2025·江津期中）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证
明了勾股定理.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的
直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形.设
直角三角形的两条直角边长度分别为， .若
D
A. B. C. D.
小正方形的面积为9， ，则大正方形的边长为
( )
第7题图
7.如图是一张探宝图，根据图中的尺寸，起点 到终点
的距离是( )
A
A.10 B.8 C. D.9
第8题图
8.如图，在中，，，
于点，为上任一点，则 ( )
D
A.1 B.2 C.4 D.5
二、填空题（每小题4分，共20分）
9.（2025·无锡二模）用反证法证明“若，则 ”时，
应假设_______.
10.已知一个三角形的三边之比为 ，则这个三角形的最小
角等于____ .
30
第11题图
11.（2025·西城期中）古代著作《九章算术》中记
载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴
岸，适与岸齐，水深几何？其大意是：如图，有一
个边长为8尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在它的正
7.5
中央，高出水面1尺.如果把该芦苇拉向岸边，那么芦苇的顶部恰
好碰到岸边，则水深____尺.
12.如图，有一个高为8，底面直径为 的圆柱，在圆柱下底面的
点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点相对的点 处的食物，
它从点爬到点，然后再沿另一面爬回 点，蚂蚁爬行的最短路
程是____.
20
第12题图
13.（2025·平顶山一模）如图，在中，已知 ，
，是的中点，交于点，连结 .当
是以为底的等腰三角形时，边 的长为_____；当
是以为底的等腰三角形时，边 的长为_____.
三、解答题（共48分）
14.（8分）（2025·项城期中）如图，已知在中，是 上
一点，且，，，.求 的面积.
解：， ，
， .
， .
.
的面积 .
15.（9分）如图1，图2，正方形网格中每个小正方形的边长都是1，
每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画图.
（1）在图1中，画一个直角三角形，使每条边的长度都是整数；
解： ，
两条直角边长为3和4的直角三角形 即为所求，如解图1所示.
解图1
（2）在图2中，画出一个面积为10的正方形.
解： 面积为10的正方形的边长为 ，
，
四边形 即为所求，如解图2所示.
解图2
16.（10分）阅读理解并解答问题.
如果，，为正整数，且满足，那么，， 叫做
一组勾股数.
（1）请你根据勾股数的定义，说明为什么3，4，5是一组勾股数；
解：，4，5是正整数，且 ，
，4，5是一组勾股数.
（2）写出一组不同于3，4，5的勾股数；
解： ，且12，16，20都是正整数，
一组勾股数可以是12，16，20.（答案不唯一）
（3）如果表示大于1的整数，且， ，
，请你根据勾股数的定义，说明，， 为勾股数.
解：表示大于1的整数， 由， ，
，得到，，均为正整数.又 ，
，，， 为
勾股数.
17.（10分）2024年9月第11号台风“摩
羯”登陆，使我国很多地区受到严重影
响.据报道，这是今年以来对我国影响
最大的台风，风力影响半径
（即以台风中心为圆心， 为半径的圆形区域都会受台风
影响）.如图，线段是台风中心从市移动到 市的大致路线，
是某个大型农场，且.若，之间相距，，
之间相距 .
（1）判断农场 是否会受到台风的影响，请说明理由；
解：农场 会受到台风的影响，理由如下：
如解图，过点作于点 .
，，之间相距，，之间相距 .
在 中，由勾股定理，得
.
的面积 ，
.
， 农场 会受到台风的影响.
（2）若台风中心的移动速度为 ，则台风影响该农场持续
时间有多长？
解图
解：如解图，设台风从点开始影响该农场，到点
以后结束影响，连结， ，
.
， ，
，
由勾股定理，得 ，
.
台风中心的移动速度为 ，
台风影响该农场持续时间是 .
18.（11分）如图，在中， ， ，
，若点从点 出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线
运动，设运动时间为秒 .
（1）若点在上，且满足，求此时 的值；
解： ，， ，
在 中，由勾股定理，得
，
点从点 出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线
运动，运动时间为 秒，
， .
， .
在中，由勾股定理，得 ，即
，解得 .
（2）若点恰好在的平分线上，求此时 的值.
解：如图，作的平分线，过点作 于点
， ，
在和 中，
.
.
由题意，得，则 .
在中，由勾股定理，得 ，即
，解得 .(共8张PPT)
第14章 数据的收集与表示
综合与实践
在丙午马年到来之际，某中学组织学生利用寒假时间走进山西博
物院，共赴一场跨越时空的文化之旅，体验华夏文明的深厚底蕴
与独特魅力!山西博物院现有藏品50余万件，主要来源于20世纪
20年代以来的考古出土和百年来的征集积累，尤以青铜、书画、
瓷器、壁画、石刻等颇具特色.
（1）某校“综合与实践”小组为了了解全校1800名学生最感兴趣
的山西博物院藏品情况，计划开展调查，下列调查方式中最为合
理的是___.
D
A.对全校1800名学生进行全面调查
B.选择部分年级的学生进行调查
C.选择该校文物爱好小组的学生进行调查
D.在全校每个年级中随机抽取部分学生进行调查
（2）通过选择最为合理的调查方式开展调查，形成了如下调查
报告（不完整）：
中学学生最感兴趣的山西博物院藏品情况调查报告#2.1.1
调查目的 了解本校学生最感兴趣的山西博物院藏品情况
调查方式 随机抽样调查 调查对象 中学部分学生
调查内容 你最感兴趣的山西博物院藏品是________. （必选且只能选一项） A.青铜 B.书画 C.瓷器 D.壁画 E.石刻
调查结果 _________________________________________________________________ ____________________________________________________________________
调查结论 …
结合调查信息，解决下列问题：
①本次共调查了多少名学生？
解：本次共调查的学生人数为
（名）.
②被调查的学生中对石刻最感兴趣的人数有多少？
解：被调查的学生中对石刻最感兴趣的人数有
（名）.
③补全扇形统计图；
解：C类别人数所占百分比为 ，D类别人数所
占百分比为 ，
则A类别人数所占百分比为
，补全扇形统计图如下：
④估计该校1800名学生中对壁画最感兴趣的人数.
解： （名），
答：估计该校1800名学生中对壁画最感兴趣的人数为270名.(共37张PPT)
第14章 数据的收集与表示
期末复习（五） 数据的收集与表示
核心要点回顾
期末达标训练
知识点1 频数与频率
1.“教育强国”四字的汉语拼音中，字母“ ”出现的频率是( )
C
A. B. C. D.
2.在一个不透明袋子中装有12个只有颜色不同的球，其中1个红
球、5个黄球、2个蓝球和4个绿球，从中任意摸出一个球，某种
颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是( )
D
A.红色 B.黄色 C.蓝色 D.绿色
3.梁启超先生曾说：“少年智则国智，少年富则国富，少年强则国
强， ”在这句话划线部分的所有汉字中，“国”字出现的频率
是_ _.
4.秋季新学期开学，某中学对初一新生掌握“中学生日常行为规范”
的情况进行了知识测试，测试成绩全部合格.现随机抽取了部分
学生的成绩制作成如下表格，则____， ___.
0.3
9
分数段 频数 频率
6
20 0.4
15
0.18
知识点2 从统计图中获取信息
5.（2025·广西模拟）我国古诗
词源远流长.某校以“赏诗词之美、
寻文化之根、铸民族之魂”为主
若该校共有2 000人参加本次竞赛活动，竞赛成绩为B等级的学生
大约有_____人.
800
题，组织学生开展了古诗词知识竞赛活动.为了解学生对古诗词的
掌握情况，该校随机抽取了部分学生的竞赛成绩，将成绩分为A，
B，C，D四个等级，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图：
6.常见的运动健身方式有三种：有氧运动、
力量训练和拉伸运动.某社区为了解本社
区居民的健身情况，对居民进行了随机
1600
抽样调查，得到了一个样本，制成了样本统计图：图1是三种运
动健身方式占比的扇形图（每人只能选一种健身方式）；图2是
选择有氧运动的居民，对有氧运动有关项目选择的条形图
（每人只能选一种项目）.如果该社区居民约有8000人，那么根
据抽样调查结果，估计该社区最喜欢快走的居民有______人.
7.黄老师退休在家，为选择一个合
适的时间参观世博会，他查阅了5月
10日至16日（星期一至星期日）每
天的参观人数，得到图1、图2所示
的统计图，其中图1是每天参观人数
的统计图，图2是5月15日（星期六）这一天上午、中午、下午和
晚上四个时间段参观人数的扇形统计图.请你根据统计图解答下
面的问题：
（1）5月10日至16日这一周中，参观人数最多的是哪一天？有多
少人？参观人数最少的又是哪一天？有多少人？
解：由图1知参观人数最多的是15日（或周六），有34万人；参
观人数最少的是10日（或周一），有16万人.
（2）5月15日（星期六）这一天，上午的参观人数比下午的参观
人数多多少人（精确到1万人）？
解： ，
答：上午参观人数比下午参观人数多23万人.
（3）如果黄老师想尽可能选择参观人数较少的时间去参观世博
会，你认为他选择什么时间比较合适？
解：答案不唯一，基本合理即可，如选择星期一下午参观等.
8.《2024年春节联欢晚会》辽宁沈阳、湖南长沙、新疆喀什、陕
西西安四地作为分会场和北京主会场一起，在除夕之夜为全球华
人带来了一台情意浓浓热气腾腾的龙年春晚，通过春晚分会场的
展示，大家更加了解这四所城市，向往着到这些城市旅游打卡.
为了解学生对这四所城市的喜爱程度，某校数学兴趣小组制作了
《2024年我最想要打卡的春晚分会场》问卷调查表，分别用A，
B，C，D表示沈阳、长沙、喀什、西安，在学校随机抽选了部分
学生进行调查，根据调查数据绘制了以下两幅不完整的统计图.
结合图中所给信息回答问题：#1
图1
图2
（1）此次抽样调查的人数是_____人；
（2）两幅图表中的未知数分别为____， ____；
200
40
30
（3）请将条形统计图补充完整；
解：去B地长沙的人数为 （人），
补全条形统计图略.
（4）该校共有学生2 400人，准备在暑期社会实践活动中组织学
生去到这四所城市打卡，根据调查情况估计选择去C新疆喀什的
有多少人？
解：估计选择去C新疆喀什的有
（人）.
一、选择题（每小题5分，共40分）
1.（2025·湖南模拟）下列调查方式适合抽样调查的是( )
D
A.对鹊桥二号和嫦娥六号探测器的零部件进行检查
B.高铁站安检处检查乘客随身携带物品的安全性
C.了解某班同学每周的体育锻炼时间
D.了解长沙段湘江水质情况
2.（2024·舒城期末）3月21日是世界睡眠日，良好的睡眠状况
是保持身体健康的重要基础，合肥瑶海区某中学为了解全校
1 200名七年级学生的睡眠时间，从25个班级中随机抽取100名学
生进行调查，下列说法不正确的是( )
C
A.1 200名七年级学生的睡眠时间是总体
B.100是样本容量
C.25个班级是抽取的一个样本
D.每名七年级学生的睡眠时间是个体
3.（2024·沧州月考）嘉淇将一枚质量分布均匀的硬币连续抛掷
10次，落地后正面朝上的次数为7次，反面朝上的次数为3次，下
列正确的是( )
C
A.出现正面朝上的频率是7 B.出现正面朝上的频率是3
C.出现正面朝上的频率是0.7 D.出现正面朝上的频率是0.3
4.在实数，，，，，， 中，无理
数出现的频数为( )
B
A.2 B.3 C.4 D.5
5.（2025·东莞校级一模）如图，是某天参观
科技馆数学科普展的学生人数统计图，若大学
生有60人，则总人数有( )
D
A.45人 B.75人 C.120人 D.300人
6.八年级（1）班要组织暑假旅游,班长把全班48名同学对旅游地
点的意向绘制成了扇形统计图，其中“想去洛阳的学生数”的扇形
圆心角为 ，则下列说法正确的是( )
D
A.想去洛阳的学生占全班学生的
B.想去洛阳的学生有12人
C.想去洛阳的学生肯定最多
D.想去洛阳的学生占全班学生的
7.（2025·玉溪二模）某学校准
备购买一批课外读物.为使课外
读物能够满足学生的需求，学校
就“我最喜爱的课外读物类型”作
C
A.1 280册 B.1 000册 C.800册 D.80册
了一次抽样调查.如图是根据调查结果绘制的不完整的统计图. 若
学校计划购买课外读物4 000册，根据样本数据，估计学校购买
科普类课外读物比较合理的数量是( )
8.某商场今年 月的商品销售总额一共是410万元，图1表示的
是其中每个月销售总额的情况，图2表示的是商场服装部各月销
售额占商场当月销售总额的百分比情况，观察图1、图2，下列说
法不正确的是( )
A.4月份商场的商品销售总额是75万元
B.1月份商场服装部的销售额是22万元
C.5月份商场服装部的销售额比4月份减少了
D.3月份商场服装部的销售额比2月份减少了
√
二、填空题（每小题5分，共25分）
9.（2025·晋中三模）“植树造林滋沃土，防风固沙护良田”.要反
映一个区域近15年森林覆盖率的变化情况，从“扇形统计图”“条
形统计图”“折线统计图”中选择一种统计图，最适合的统计图是
____________.
折线统计图
10.2024年4月15日是第9个全民国家安全教育日，为此某中学特
地举办国家安全知识竞赛，并对竞赛结果进行了统计.已知竞赛
结果的数据分成四组后前三组的频率分别是，， ，则
第四组的频率为_____.
0.25
11.某班在期中考试后，对数学成绩进行了统计，将成绩分成 ，
，， 四个等级并制成条形统计图，若各小长方形的高度比依
次为，则 等级的人数占总人数的______；若将此条
形统计图改制成扇形统计图，则代表 等级的扇形圆心角度数是
______.
12.为了解某地区30万电视观众对新闻、动画、娱乐三类节目的
喜爱情况，根据老年人、成年人、青少年各年龄段实际人口的比
例 ，随机抽取一定数量的观众进行调查，得到如下统计图.
该地区喜爱娱乐类节目的成年人的人数为____万人.
4.5
13.2024年4月23日是第29个世界读书日，
今年世界读书日的主题是“阅读改变未来”，
为了解栖霞市2000名学生每周课外阅读时
间的情况，随机抽查了100名学生的每周课
抽取的学生中，每周的课外阅
读时间在小时之间的学生人数最多（答案不唯一）
外阅读时间进行统计，并绘制成如图所示的频数分布直方图
（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值），请根据直方图
提出一个有用的数据统计信息：____________________________
__________________________________________________.
三、解答题（共35分）
14.（9分）为了了解某校七年级400名学生应用数学意识和创新
能力的提高情况，进行了一次测验，从中抽取了50名学生的成绩
进行调查，在这个问题中：
（1）采用了哪种调查方式？
解：采用的调查方式是抽样调查.
（2）总体、个体和样本各是什么？
解：总体：七年级400名学生这次测验的成绩；
个体：七年级每名学生这次测验的成绩；
样本：从中抽取的50名学生的测验成绩.
15.（12分）为了迎接中考体育测试，
学校想了解九年级学生的准备情况，
随机抽取了部分学生的检测成绩进
行调查，并将调查结果绘制成如图
的条形统计图和扇形统计图，其中：A等级表示检测分数为57分
分，B等级表示检测分数为53分 分，C等级表示检测分
数为49分 分，D等级表示检测分数为48分及以下. 请你结合
图中信息解答下列问题：
（1）样本中B等级的人数所在扇形统计图中的圆心角的度数是
_____；
（2）把条形统计图补充完整；
解：本次抽取的总人数为 （人），
故样本中B等级的人数为 （人），
补全条形统计图略.
（3）已知该校九年级的学生有600人，根据样本估计全校九年级
学生D等级的人数；
解： （人），
估计全校九年级学生D等级的人数为168人.
（4）根据抽样调查的结果，为学校提一个合理的建议.
解：由扇形统计图，可得A等级的人数所占的比例为 ，不到
一半，D等级的人数所占比例 ，故应该合理加强学生的训练.
16.（14分）某班数学“综合与实践”小组为了解本校2 000名学生
的阅读时间，随机抽取部分学生进行了问卷调查，并根据调查结
果绘制了两幅统计图，根据统计图解答下列问题：#1
每周阅读时间的调查表
以下问题为单选题，根据实际情况填写.
问题：你每周阅读的时间大约是__.
10小时及以上
小时
小时
小时
（1）参与本次问卷调查的学生共有_____人，扇形统计图中 的
值是____；
200
25
（2）请将条形统计图补充完整；
解：C类人数为 （人）.
补全条形统计图略.
（3）根据抽样调查结果，请你估计该校2 000名学生中，每周阅
读时间在10小时及以上的人数.
解： （人）.
估计该校2 000名学生中，每周阅读时间在10小时及以上的有
100人.(共7张PPT)
第14章 数据的收集与表示
项目学习5 几何的妙用
活动 目标 了解代数恒等式的几何背景，体会它们的几何意义；通过
对几何图形面积关系的观察、分析、研究，从中抽象、归
纳代数恒等式，体会代数恒等式与几何图形之间的联系
活动 准备 边长分别为， 的两种正方形卡片若干张，长和宽分别为
和 的长方形卡片若干张
活动 任务 在前面的学习中，大家接触了许多等式和公式,例如
, ,
等,这些等式都称为代数恒等式
活动一： 从图形面积到代数恒等式
（1）如图1,请观察用卡片拼成的图形：
思考：①如何求图形的面积？②你能根据面积的不同表示方法写
一个代数恒等式吗？
方法1:把图1看成1个边长为的正方形，面积可表示为 .
方法2:把图1看成4个边长为 的小正方形，面积可表示为_____.
写出代数恒等式：_____________.
（2）用同样的方法，写出图2中的代数恒等式：______________
_____________.
（3）如图3,用4个长为,宽为 的长方形卡片拼成一个正方形,请
你根据白色部分面积的不同表示方法写出一个代数恒等式：
_________________________.
图1
图2
图3
（4）根据（3）中的代数恒等式,解决如下问题:已知 ,
,则 ____.
结论：利用同一图形面积的不同表示方法可以得出代数恒等式
活动二： 从代数恒等式到图形面积
观察等式 .
（1）你能画图来解释它的正确性吗？试着画一画.
图4
（2）有若干张如图4所示的正方形和
长方形卡片，选用若干张卡片拼成面
积为 的大长方形，
则需卡片①___张,卡片②___张,卡片
③___张.
2
5
2
结论：由代数恒等式来设计图形，可根据恒等式左右两边的特点
来进行
小结(共20张PPT)
第14章 数据的收集与表示
章末复习 数据的收集与表示
复习点1 数据的收集
1.有人说“数学是思维的体操”，运用和掌握必要的“数学思想方法”
是取胜数学的重要法宝．张老师为了了解八年级学生对“数学思
想方法”的掌握情况，他应采用的收集数据的方式是( )
D
A.对图书馆的学生发放问卷进行调查
B.对八年级某班的学生发放问卷进行调查
C.对全校的学生发放问卷进行调查
D.对八年级的学生发放问卷进行调查
复习点2 频数与频率
2.一组数据共40个数，分为5组，第1组到第3组的频数之和为27，
第4组的频率是 ，则第5组的频数为( )
B
A.8 B.9 C.10 D.11
3.小华调查了某地1月份上旬的最低气温（单位： ），分别是
，0，3，，1，0，4，，，0，其中 以下
（不含 ）出现的频数是___．
4
4.王老师对本班40名学生的血型作了统计，列出如下的统计表，
则本班A型血的人数是____.
组别 A型 B型 型 型
频率 0.4 0.35 0.1 0.15
16
复习点3 频数分布直方图
5.为了解中学生的体能情况，抽取了某
中学七年级50名学生进行1分钟跳绳测
试，将所得数据整理后画出如图所示的
频数分布直方图（各组只含最小值，不
D
A.，30 B.，30 C.,20 D. ，30
含最大值）.已知图中从左到右各组所占的百分比分别是 ，
，，，设跳绳次数不低于100次的学生有 人，则
， 的值分别是( )
6.某养殖场400头猪的重量 频数分布表如下（其中数据不在分
界点上），计算各组的频率，填在频率分布表中，并绘制频数分
布直方图.
组数 频数 频率
40 ____
80 ____
160 ____
80 ____
30 ______
10 ______
合计 400 1
0.1
0.2
0.4
0.2
0.075
0.025
解：绘制频数分布直方图如图所示.
复习点4 扇形统计图
7.（大连中考）2023年5月18日，《大连日报》公布《下一站，
去博物馆!》问卷调查结果．本次调查共收回3 666份有效问卷，
其中将“您去博物馆最喜欢看什么？”这一问题的调查数据制成扇
形统计图，如图所示．下列说法错误的是( )
第7题图
A.最喜欢看“文物展品”的人数最多
B.最喜欢看“文创产品”的人数占被调查
人数的
C.最喜欢看“布展设计”的人数超过500人
D.统计图中“特效体验及其他”对应的圆
心角是
√
第8题图
8.（苏州中考）某校开展了“学党史，悟初心”系列
活动.学校对学生参加各项活动的人数进行了调查，
并将数据绘制成统计图.如图，若参加“书法”的人数
为80，则参加“大合唱”的人数为( )
C
A.60人 B.100人 C.160人 D.400人
9.某课外学习小组调查了本校学生最喜欢的颜色，采用抽样调查
的方式进行，共收回100份有效问卷，经统计完成如下数据表格：
最喜欢的颜色 红 黄 蓝 其他
人数 28 32 30 10
小组成员选择了扇形统计图，分析最喜欢的不
同颜色人数所占总人数的百分比.下面是制作扇
形统计图的步骤（顺序打乱）
②计算出最喜欢的不同颜色人数占总人数的百分比分别为 ，
，， .
①计算各部分扇形的圆心角度数分别为
， ， ， .
③在同一个圆中，根据所得的圆心角度数画出各个扇形，并注明
各部分的名称及相应的百分比.
请把上面①②③三个步骤按照制作扇形统计图的正确顺序排序:
________.
②①③
复习点5 从统计图表中获取信息
10.（2024·甘肃）近年来，我国重视农村电子商务的发展.下面的
统计图反映了 年中国农村网络零售额情况，根据统计
图提供的信息，下列结论错误的是( )
D
A.2023年中国农村网络零售额最高
B.2016年中国农村网络零售额最低
C. 年，中国农村网络零
售额持续增加
D.从2020年开始，中国农村网络零售
额突破20 000亿元
11.（徐州中考）我国近十年的人口出生率及人口死亡率如图所示.
已知人口自然增长率 人口出生率-人口死亡率，下列判断错误的
是( )
C
A.与2012年相比，2021年的人口出生
率下降了近一半
B.近十年的人口死亡率基本稳定
C.近五年的人口总数持续下降
D.近五年的人口自然增长率持续下降
12.为了传承中国传统文化，某校八年级组织了一次全体学生“汉
字听写”大赛，每位学生听写汉字39个，随机抽取了部分学生的
听写结果作为样本进行整理，绘制成如下的统计图表：
组别 正确字数 人数
A 10
B 15
C 25
D
根据以上信息完成下列问题：
（1）统计表中的____， ____，并补全条形统计图；
30
20
解：补全条形统计图如图所示.
（2）扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数是 _____；
（3）已知该校八年级共有800名学生，如果听写正确的字的个数不
少于24个定为合格，请你估计该校本次听写比赛合格的学生人数．
解： 400（人），
答：估计该校本次听写比赛合格的学生人数为400人．(共11张PPT)
第14章 数据的收集与表示
14.2 数据的表示
14.2.2 扇形统计图
基础 分点训练
中档 提分训练
拓展 素养训练
知识点 扇形统计图
1.（湖州中考）如图是七年级（1）班参加
课外兴趣小组人数的扇形统计图，则表示
唱歌兴趣小组人数的扇形的圆心角度数是
( )
B
A. B. C. D.
第2题图
2.（温州中考）某校参加课外兴趣小组的学生人
数统计图如图所示.若信息技术小组有60人，则
劳动实践小组有 ( )
B
A.75人 B.90人 C.108人 D.150人
3.（2024·济宁）为了解全班同学对新闻、体育、动画、娱乐、
戏曲五类节目的喜爱情况，班主任对全班50名同学进行了问卷调
查（每名同学只选其中的一类），依据50份问卷调查结果绘制了
全班同学喜爱节目情况扇形统计图（如图所示）.下列说法正确
的是( )
第3题图
A.班主任采用的是抽样调查
B.喜爱动画节目的同学最多
C.喜爱戏曲节目的同学有6名
D.“体育”对应扇形的圆心角为
√
4.如图所示的两个统计图中，女生人数多的学校是( )
D
甲校
乙校
A.甲校 B.乙校
C.甲、乙两校一样多 D.无法确定
5.（2024·成都）2024年成都世界园艺博览会以“公园城市美好人
居”为主题，秉持“绿色低碳、节约持续、共享包容”的理念，以
园艺为媒介，向世界人民传递绿色发展理念和适宜栖居的美好生
活场景.在主会场有多条游园线路，某单位准备组织全体员工前
往参观，每位员工从其中四条线路（国风古韵观赏线、世界公园
打卡线、亲子互动慢游线、园艺小清新线）中选择一条.现随机
选取部分员工进行了“线路选择意愿”的摸底调查，并根据调查结
果绘制成如下统计图表.#1
游园线路 人数
国风古韵观赏线 44
世界公园打卡线
亲子互动慢游线 48
园艺小清新线
根据图表信息，解答下列问题：
（1）本次调查的员工共有_____人，表中 的值
为____；
160
40
（2）在扇形统计图中，求“国风古韵观赏线”对应的圆心角度数；
解： .
答：在扇形统计图中，“国风古韵观赏线”对应的圆心角度数为
.
（3）若该单位共有2 200人，请你根据调查结果，估计选择“园
艺小清新线”的员工人数.
解： （人）.
答：估计选择“园艺小清新线”的员工人数为385人.(共21张PPT)
第14章 数据的收集与表示
14.1 数据的收集
14.1.1 数据有用吗
基础 分点训练
中档 提分训练
知识点1 数据的收集
1.当前，“低头族”已成为热门话题之一，小颖为了了解路边行人
边走路边低头看手机的情况，她应采用的收集数据的方式是
( )
D
A.对学校的同学发放问卷进行调查
B.对在路边行走的学生随机发放问卷进行调查
C.对在图书馆里看书的人发放问卷进行调查
D.对在路边行走的路人随机发放问卷进行调查
2.小明想知道银河系里恒星大约有多少颗，他可以获取有关数据
的方式是( )
C
A.问卷调查 B.实地考察
C.查阅文献资料 D.实验
3.假如你想知道本班男同学的平均身高，那么，
（1）你的调查问题是______________________；
（2）你的调查对象是__________________；
（3）你采用的调查方法是_________________________________
_______________________________________.
本班男同学的平均身高
本班的全体男同学
实地调查（一个一个地量并用身高之
和除以男同学的人数）（或采用问卷调查）
知识点2 普查与抽样调查
4.（2025·郑州模拟）下列问题中应采用全面调查的是( )
D
A.检测某城市的空气质量
B.了解全国中学生的视力和用眼卫生情况
C.调查某池塘中现有鱼的数量
D.企业招聘，对应聘人员进行面试
5.（2024·新县期末）端午节期间，食品药品监督管理局对市场
上的粽子质量进行了调查.你认为适合采用的调查方式是_______
___.（填“普查”或“抽样调查”）
抽样调
查
知识点3 总体、个体、样本和样本容量
6.（2024·河南期末）学生评教工作是学生对教师课堂教学质量
进行系统的评价、提出教学改进的重要途径，是学校教学质量监
控的重要手段.我市某校为了了解800名学生对教师课堂教学的满
意程度，随机抽取了共300名学生进行问卷调查.以下说法错误的
是( )
A.300名学生的满意程度是总体
B.每个学生的满意程度是个体
C.300名学生的满意程度是总体的一个样本
D.样本容量是300
√
7.（2024·汉中期末）某中学要了解七年级学生的视力情况，在
全校七年级学生中抽取了50名学生进行检测.在这个问题中，“50
名学生的视力情况”是______.（填“总体”或“样本”）
样本
知识点4 简单随机抽样
8.下面的抽样方法是简单随机抽样的是( )
D
A.在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通
过随机抽取的方式确定号码的后四位为2709的为三等奖
B.某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽
一包产品，称其质量是否合格
C.某学校从行政人员、教师、后勤人员中分别抽取2人、14人、4
人了解对学校机构改革的意见
D.用抽签法从10件产品中抽取3件进行质量检验
9.一家电脑生产厂家在某城市三个经销本厂产品的大商场调查，
产品的销量占这三个大商场同类产品销量的 .由此在广告中
宣传，他们的产品在国内同类产品的销售量占 .请你根据所
学的统计知识，判断该宣传中的数据是否可靠：________，理由
是______________________.
不可靠
因为抽样不具有广泛性
10.（2024·泰安模拟）某食品厂对其生产的甲、乙两种品牌产
品的质量进行调查，已知两种产品共3 000个，其中甲产品1 800
个，乙产品1 200个，用简单随机抽样的方式产生样本，如果样
本大小为30，现有四种调查方案，其中调查结果更精确的是
( )
A.在甲产品抽取30个进行调查
B.在甲、乙产品各抽取15个进行调查
C.分别在甲产品抽取18个，在乙产品抽取12个进行调查
D.分别在甲产品抽取12个，在乙产品抽取18个进行调查
√
11.为了解某校七年级900名学生的心理健康评估报告，从中抽取
了200名学生的心理健康评估报告进行统计分析，在这个问题中：
（1）采用了______调查方式，样本容量是_____.
抽样
200
（2）写出调查中的总体、个体和样本.
解：总体：900名学生的心理健康评估报告；
个体：每一名学生的心理健康评估报告；
样本：200名学生的心理健康评估报告.
12.（2025·盐城校级月考）判断下面这几个抽样调查选取样本
的方法是否合适，并说明理由.
（1）为了解全班同学期末考试的平均成绩，老师抽查了前5名同
学的平均成绩；
解：不合适，前5名同学成绩的平均数会大于整个班级同学成绩
的平均数，这样，样本就不具有代表性了.
（2）教育部为了调查全国中小学乱收费情况，调查了某市所有
中小学；
解：不合适，样本虽然足够大，但遗漏了其他地区的这些群体，
应该在全国范围内选取样本.此外，将某市所有中小学乱收费情
况作为样本是没有必要的.
（3）某兴趣小组为了解本校1 800名学生的视力情况，随机抽查
了本校九年级学生中50名学生的视力情况.
解：不合适，本校九年级学生视力情况的调查结果不能代表本校
全部学生的视力情况，应该从全校各年级的学生中随机抽查.
13.下面是某赛季 总决赛第一场比赛后公布的得分统计表
（ 表示60投30中）.
最终比 分 二分 球 二分球命 中率 三分 球 三分球命 中率 罚球 罚球命
中率
105 ______ ______ ______
116 ______ ______ ______
（1）补全上述表格；
[答案] ; ; ; ; ;
解：补全表格如表所示.
最终 比分 二分球 二分球 命中率 三分 球 三分球 命中率 罚球 罚球命
中率
105
116
（2）从得分情况看，你认为 取胜的原因是？
[答案] 因为二分球和三分球的命中率都比 的命中率高，所
以这是 取胜的原因.(共38张PPT)
第14章 数据的收集与表示
期末复习（二） 整式的乘除
核心要点回顾
期末达标训练
知识点1 幂的运算
1.（2024·徐州）下列运算正确的是( )
D
A. B. C. D.
【方法归纳】运用幂的运算法则进行计算时，应注意几种运算
性质之间的区别，不能混淆.
2.（2024·青岛）下列计算正确的是( )
B
A. B.
C. D.
3.（2025·佛山校级期中）已知：，，则 的值
为_ _.
4.计算：
（1） ；
解：原式
（2） ；
解：原式
（3） ；
解：原式
（4）
解：原式
知识点2 整式的乘除
5.（2025·松原三模）先化简，再求值：
，其中，
解：原式
当，时，原式
【方法归纳】在整式的加、减、乘、除、乘方运算中，一要注
意运算顺序，二要熟练正确地运用运算法则.
6.（2025·宿州期中）先化简，再求值：
，其中 ，
解：
当，时，原式
7.（2024·烟台期中）已知，是一个多项式，单项式为 ，小
明计算的结果为
（1）请求出多项式 ；
解：由题意，得
多项式A为
（2）请计算 的结果；
解：
的结果为
（3）若，请求出多项式 的值.
解： ，
多项式A的值为7.
知识点3 乘法公式
8.（2024·烟台期末）已知， ，则多项式
的值是( )
C
A.10 B.16 C.39 D.78
【方法归纳】用乘法公式求值时，要灵活利用乘法公式的变式
解题.如 ；
； 等.
9.（2025·石家庄校级月考）填空：（____ ___）
10.（2025·宿迁期中）已知，
（1）求 的值；
[答案] ， ，
①，
，得 ，
则
（2）求 的值.
[答案] ，得 ，
则，那么
知识点4 因式分解
11.（2025·重庆模拟）对多项式 分解因式，正确的选
项是( )
B
A. B.
C. D.
【方法归纳】把一个多项式因式分解通常采用的方法是先提公
因式，再运用公式.
12.因式分解：
（1） _______________；
（2） ___________；
（3） ____________；
（4） ______________________.
一、选择题（每小题4分，共32分）
1.（2025·蚌埠模拟）计算 的结果正确的是( )
A
A. B. C. D.
2.（2024·天津期末）把多项式 分解因
式时，应提取的公因式是( )
C
A. B. C. D.
3.（2025·东莞校级二模）下列算式计算正确的是( )
D
A. B.
C. D.
4.下列各题计算结果为 的是( )
B
A. B. C. D.
5.（2024·绵阳期末）式子从左到右的变形中，属于因式分解的
是( )
C
A.
B.
C.
D.
6.（2024·重庆期末）若 可以配成一个完全平方
公式，则 的值为( )
D
A. B. C.16 D.
7.若，则 等于( )
D
A.5 B.10 C.15 D.25
8.将一多项式，除以
后，得商式为，余式为0.则 ( )
D
A.3 B.23 C.25 D.29
二、填空题（每小题4分，共20分）
9.一个长方形的长为，宽为 ，则这个长方形的面积为
_____________.
10.【新中考·结论开放型试题】一个多项式，把它因式分解后有
一个因式为 ，请你写出一个符合条件的多项式：________
_______________.
（答案不唯一）
11.小明在做作业的时候，不小心把墨水滴到了作业本上的等
式 处，阴影部分即为被墨汁遮住的部分，
那么被墨汁遮住的代数式是_________.
12.若是完全平方式，与 的乘积中
不含的一次项，则 的值为_______.
4或16
13.学方差公式之后，数学兴趣小组在活动中发现：
；
；
；
…
请你利用发现的规律计算：
__________.
三、解答题（共48分）
14.（16分）计算：
（1） ；
解：原式
（2） ；
解：原式
（3） ；
解：原式
（4） （简便计算）
解：原式
15.（10分）先化简，再求值：
，其中 ，
解：
当，时，原式
16.（10分）现有长与宽分别为， 的小长方形若干个，用两个
相同的小长方形拼成如图1所示的图形，用四个相同的小长方形
拼成如图2所示的图形，请认真观察图形，解答下列问题：
（1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于， 的关系
式（用含， 的代数式表示出来）：
图1表示：________________________；
图2表示：_________________________.
（2）根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
①若，，求 的值；
解：由题意，得 ，
， ，
②如果，，求 的值；
③请直接写出下列问题答案：如果 ，
那么 ___.
7
解： ，
，
17.（12分）【例题讲解】因式分解：
为三次二项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次
二项式和一个二次多项式的乘积.故我们可以猜想 可以分解
成 ，
展开等式右边，得 ，
恒成立.
等式两边多项式的同类项的对应系数相等，即 解得
【学以致用】#2
【方法归纳】设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用
当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系
数，从而得到待求的值，这种方法叫待定系数法.
（1）若，则 ___；
1
（2）若有一个因式是，求 的值及另一
个因式；
解：设多项式另一个因式为 ，
，，
解得，，
则另一个因式为
（3）若多项式有因式和，求 ，
的值.
解： 的次数为4，
设多项式
的系数为1，常数项为 ，
，，
原多项式不含有 项，
，
