人教九上同步专练：21.2一元二次方程的解法（公式法、因式分解、十字相乘法）

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学生姓名 年级 初三 学科 数学
课题 一元二次方程的解法（公式法、因式分解、十字相乘法）
教学目标 1、理解并能运用公式法解数字系数的一元二次方程； 2、掌握因式分解法解一元二次方程的原理 3、熟练运用提公因式法、完全平方公式、十字相乘法解一元二次方程
Part01.一元二次方程的解法：公式法
知识精讲：
一元二次方程的解法：公式法
知识点 典题范例
公式法： 解一元二次方程时，先将方程化简为ax +bx+c = 0 （a、b、c为常数，a≠0）形式，再将各个系数代入求根公式，直接求取出方程的根。这种解一元二次方程的方法叫做公式法。 x + 2x - 4 = 0 a=1，b=2，c = - 4 △= b - 4ac = 2 - 4×1×（- 4） = 20＞0 方程有两个不相等的实数根 =
= = -1± = -1+ 或 = -1-
1题类:公式法解一元二次方程
用公式法解方程x - 4x - 2 = 0，其中b - 4ac 的值是（ ）
A.16 B. 24 C. 8 D. 4
2题类:公式法解一元二次方程
-2-6 = 0
解：∵ a = ，b = ，c =
∴△= b - 4ac
=
=
∴ 方程有两个不相等的实数根
∴ =
=
=
∴原方程的解是= . = .
3题类:公式法解一元二次方程
用合适的方法解方程：
（1）x - 4x- 7 = 0 （2）2x - 3x + 1 = 0
（3）x - + 4= 0 （4）（-4）= 5 - 8x
4题类：公式法解一元二次方程
用合适的方法解方程：
（1）x - 6x - 7 = 0 （2）x + 2x = 3
（3）x + 4x +8 = 2x + 11 （4）( x - 2 )( 3x - 5 )= 1
Part02.一元二次方程的解法：因式分解
知识精讲：
一元二次方程的解法：配方法
知识点 典题范例
因式分解法： 通过因式分解使得一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0 的形式，然后再使这两个一次式分别等于0 ，从而到达降次的目的，此解法叫做因式分解法 解题步骤： ①移项，将方程右侧化为0 ; ②将方程左侧因式分解为两个一次因式的积; ③令每个因式分别为0，得到两个一元一次方程; ④解这两个一元二次方程，得取原方程的解. ( - 2 )+ - 2 = 0
↓ (- 2) ( + 1)=0 ↓ - 2 = 0，+1 =0 ↓ = 2， = - 1
1 题类：因式分解解一元二次方程
方程( x - 2 )( x + 3)=0的解是（ ）
A.x = 2 B. x = - 3 C. = - 2，= 3 D. = 2，= - 3
2 题类：提取公因式法解一元二次方程
方程x - 5x = 0的解是 .
3 题类：常规因式分解解一元二次方程
请用因式分解解下列方程
（1）2x - 6x = （2）x - x= 0
（3）x（x-3）- x + 3 = 0 （4）3（2x + 5）= 2x（2x + 5）
4 题类：常规因式分解解一元二次方程
请用因式分解解下列方程
（1）2（-2） - 6（2 - x）= 0 （2）3（ - 5） = 2（5 - x）
Part03.一元二次方程的解法：十字相乘法
知识精讲：
一元二次方程的解法：十字相乘法
知识点 典题范例
十字相乘法（二次项系数为1）： 用十字相乘法把形如x + px + q 分解因式使得q=ab，p=a+b 十字相乘法解一元二次方法步骤： ①竖分二次项和常数项 ②交叉相乘，和相加，使得q = ab，p = a+b ③检验确定，横写因式 （1）x + 4x - 12 = 0 ∵ 1 -2 1 6 ∴ ( x - 2 ) ( x + 6 ) = 0
十字相乘法（二次项系数不为1） 一个二次三项式ax + bx +c ，若可以分解，则一定可以写成( x + ) ( x + ）的形式，使得式子满足= ，= + = b. （1）2x - 7x + 3 = 0 ∵ 1 - 3 2 - 1 ∴ ( x - 3 ) ( 2x - 1 ) = 0
1 题类：十字相乘法解一元二次方程
一元二次方程x - x - 2 = 0 的解是（ ）
= 1，= 2 B. = 1，= - 2
C. = - 1，= - 2 D. = - 1，= 2
2 题类：十字相乘法解一元二次方程
请用十字相乘法解下列方程
（1） + 2 - 3 = 0 （2） = x + 56
（3） - 10 + 9 = 0 （4）x - 3mx + 2m = 0
3 题类：十字相乘法解一元二次方程
请用十字相乘法解下列方程
（1） + 10 - 3 = 0 （2）2 - - 10 = 0
（3） + 5 - 6 = 0 （4）3x - 8x + 4 = 0
4 题类：十字相乘法解一元二次方程
已知15x - 47xy + 28y = 0，求 的值。
课中巩固
1 题类：常规因式分解解一元二次方程
方程2x（x - 3）= 5（x - 3）的根是（ ）
x = B. x = 3 C.= 3，= D. 无解
2 题类：常规因式分解解一元二次方程
请用因式分解法解方程：3x（2x + 1）= 4x + 2
3 题类：十字相乘法解一元二次方程
解方程：2 + 4 = + 2
4 题类：十字相乘法解一元二次方程
解方程：3 - 6 = 4 + 2
5 题类：公式法解一元二次方程
用公式法解方程：5 - 7 - 2 = 0
6 题类：公式法解一元二次方程
用公式法解方程：( x - 2 ) ( x - 5 ) + 1 = 0
7 题类：解一元二次方程
用适当的方法，解下列方程
（1） -2 - 8 = 0 （2）2（x - 2） = x - 3
（3） + - = 0 （4）3- 2 + 1 = 0
真题训练
例1 题类：因式分解解一元二次方程
（2024年白云区九上期末卷）一元二次方程x = 2x的根是 .
例2 题类： 因式分解解一元二次方程
（2024年黄埔区华附中学九上期中卷）方程x（x + 1）= 0 的解是 .
例3 题类：公式法解一元二次方程
（2024年广州二中九上期中卷） 解方程：2x + 3x + 1 = 0
例4 题类：十字相乘法解一元二次方程
（2024年花都区九上期末卷） 解方程：x + 4x - 5 = 0
例5 题类：提取公式式法解一元二次方程
（2024年荔湾区九上期末卷）解方程：x（2x - 5）= 2（2x - 5）
答案：
一元二次方程的解法：公式法
B
-2-6 = 0
解：∵ a = 1 ，b = - 2 ，c = - 6
∴△= b - 4ac
= （- 2） - 4×1×（- 6）
= 28
∴ 方程有两个不相等的实数根
∴ =
=
= 1±
∴原方程的解是= 1+ . = 1 - .
3.（1）= 2+ ，= 2 - （2）= 1，=
（3）== （4）= =﹣5
4. （1）= 6+ ，= 6 - （2） = ，= （3）= = （4）= =
一元二次方程的解法：因式分解法
1.D
2.= 0或= 5
3.（1）= 0 ，= 6 （2）= 0，= 3
（3）= 3 ，= 1 （4）= ，=
4.（1）= 2 ，= - 1 （2）= 5 ，=
一元二次方程的解法：十字相乘法
D
（1）= - 3 ，= 1 （2）= 8 ，= - 7
= 9 ，= 1 （4）= 2m ，= m
（1）= - ，= （2）= ，= - 2
= ，= 6 （4）= ，= 2
解：15x - 47xy + 28y = 0
( 3x - 7y )( 5x - 4y ) = 0
= y ，= y
∴ = 或 =
课中巩固：
C
= - ，=
= ，= - 2
= - ，= 2
= ，= 1
= =
（1）= - 2 ，= 4 （2）= ，= 1
= - ，= 1 （4）= ，=
真题训练：
例1：= 0 ，= 2
例2：= 0 ，= - 1
例3：= ，=
例4：= - 5 ，= 1
例5：= ，= 2