1.4 数据的数字特征 课时训练（含答案）

1.4
数据的数字特征
课时训练
课时目标　1.会求样本的众数、中位数、平均数、标准差、方差.2.理解用样本的数字特征来估计总体数字特征的方法.3.会应用相关知识解决简单的统计实际问题．
1．众数、中位数、平均数
(1)众数的定义：
一组数据中重复出现次数________的数称为这组数的众数．
(2)中位数的定义及求法
把一组数据按从小到大的顺序排列，把处于最______位置的那个数称为这组数据的中位数．
①当数据个数为奇数时，中位数是按从小到大顺序排列的__________那个数．
②当数据个数为偶数时，中位数为排列的最中间的两个数的________．
(3)平均数
①平均数的定义：
如果有n个数x1，x2，…，xn，那么＝____________，叫做这n个数的平均数．
②平均数的分类：
总体平均数：总体中所有个体的平均数叫总体平均数．
样本平均数：样本中所有个体的平均数叫样本平均数．
2．标准差、方差
(1)标准差的求法：
标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示．
s＝________________________________________________________________________.
(2)方差的求法：
标准差的平方s2叫做方差．
s2＝________________________________________________________________________.
一、选择题
1．下列说法正确的是(　　)
A．在两组数据中，平均值较大的一组方差较大
B．平均数反映数据的集中趋势，方差则反映数据离平均值的波动大小
C．方差的求法是求出各个数据与平均值的差的平方后再求和
D．在记录两个人射击环数的两组数据中，方差大的表示射击水平高
2．已知10名工人生产同一零件，生产的件数分别是16,18,15,11,16,18,18,17,15,13，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有(　　)
A．a>b>c
B．a>c>b
C．c>a>b
D．c>b>a
3．甲、乙两位同学都参加了由学校举办的篮球比赛，他们都参加了全部的7场比赛，平均得分均为16分，标准差分别为5.09和3.72，则甲、乙两同学在这次篮球比赛活动中，发挥得更稳定的是(　　)
A．甲
B．乙
C．甲、乙相同
D．不能确定
4．一组数据的方差为s2，将这组数据中的每个数据都扩大3倍，所得到的一组数据的方差是(　　)
A.s2
B．s2
C．3s2
D．9s2
5．如图是2010年某校举行的元旦诗歌朗诵比赛中，七位评委为某位选手打出分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的平均数和方差分别为(　　)
A．84,4.84
B．84,1.6
C．85,1.6
D．85,0.4
6．如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为A和B，样本标准差分别为sA和sB则(　　)
A.A>B，sA>sB
B.AsB
C.A>B，sAD.A题　号
1
2
3
4
5
6
答　案
二、填空题
7．已知样本9,10,11，x，y的平均数是10，方差是4，则xy＝________.
8．甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，成绩如下表(单位：环)：
甲
10
8
9
9
9
乙
10
10
7
9
9
如果甲、乙两人只能有1人入选，则入选的应为________．
9．若a1，a2，…，a20，这20个数据的平均数为x，方差为0.20，则数据a1，a2，…，a20，这21个数据的方差为________．
三、解答题
10．(1)已知一组数据x1，x2，…，xn的方差是a，求另一组数据x1－2，x2－2，…，xn－2的方差；
(2)设一组数据x1，x2，…，xn的标准差为sx，另一组数据3x1＋a,3x2＋a，…，3xn＋a的标准差为sy，求sx与sy的关系．
11．甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图所示：
(1)请填写表：
平均数
方差
中位数
命中9环及9环以上的次数
甲
乙
(2)请从下列四个不同的角度对这次测试结果进行分析：
①从平均数和方差相结合看(分析谁的成绩更稳定)；
②从平均数和中位数相结合看(分析谁的成绩好些)；
③从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看(分析谁的成绩好些)；
④从折线图上两人射击命中环数的走势看(分析谁更有潜力)．
能力提升
12．为了了解市民的保护意识，某校高一(1)班50名学生在6月5日(世界环境日)这一天调查了各自家庭丢弃旧塑料袋的情况，有关数据如下表：
每户丢弃塑料袋个数
2
3
4
5
户数
6
16
15
13
求这50户居民每天丢弃旧塑料袋的标准差．
13．师大附中三年级一班40人随机平均分成两组，两组学生一次考试的成绩情况如下表：
平均成绩
标准差
第一组
90
6
第二组
80
4
求全班的平均成绩和标准差．
平均数、众数、中位数都是描述数据的集中趋势的，其中平均数是最重要的量．
众数体现了样本数据的最大集中点，但它对其他数据信息的忽视使得无法客观地反映总体特征；中位数是样本数据所占频率的等分线，它不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是优点，但它对极端值的不敏感有时也成为缺点，因为这些极端值有时是不能忽视的．
由于平均数与每一个样本的数据有关，所以任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变，这是众数、中位数不具有的性质．也正因为这个原因，与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息．但平均数受数据中的极端值的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低．
2．极差、方差、标准差是描述数据的离散程度的，即各数据与其平均数的离散程度．标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．
答案
知识梳理
1．(1)最多　(2)中间　①中间位置的　②平均数　(3)①
2．(1)　
(2)[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]
作业设计
1．B　[A中平均值和方差是数据的两个特征，不存在这种关系；C中求和后还需取平均数；D中方差越大，射击越不平稳，水平越低．]
2．D　[由题意a＝(16＋18＋15＋11＋16＋18＋18＋17＋15＋13)＝＝15.7，
中位数为16，众数为18，即b＝16，c＝18，∴c>b>a.]
3．B　[方差或标准差越小，数据的离散程度越小，表明发挥得越稳定．∵5.09>3.72，故选B.]
4．D　[s＝[9x＋9x＋…＋9x－n(3)2]＝9·(x＋x＋…＋x－n
2)＝9s2(s为新数据的方差)．]
5．C　[由题意＝(84＋84＋86＋84＋87)＝85.
s2＝[(84－85)2＋(84－85)2＋(86－85)2＋(84－85)2＋(87－85)2]＝(1＋1＋1＋1＋4)＝＝1.6.]
6．B　[样本A数据均小于或等于10，样本B数据均大于或等于10，故A又样本B波动范围较小，故sA>sB.]
7．91
解析　由题意得
即
解得，或.所以xy＝91.
8．甲
解析　甲＝9，＝0.4，乙＝9，=2，故甲的成绩较稳定，选甲．
9．0.19
解析　这21个数的平均数仍为20，从而方差为×[20×0.2＋(20－20)2]≈0.19.
10．解　(1)设x1，x2，…，xn的平均数为，则有：
a＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]．
∵x1－2，x2－2，…，xn－2的平均数为－2，
则这组数据的方差
s2＝＝＝a.
(2)设x1，x2，…，xn的平均数为，则3x1＋a,3x2＋a，…，3xn＋a的平均数为3＋a.
sy＝eq
\r()＝
＝
＝eq
\r(9·)＝3sx，∴sy＝.
11．解　由折线图，知
甲射击10次中靶环数分别为：9,5,7,8,7,6,8,6,7,7.
将它们由小到大重排为：5,6,6,7,7,7,7,8,8,9.
乙射击10次中靶环数分别为：2,4,6,8,7,7,8,9,9,10.
也将它们由小到大重排为：2,4,6,7,7,8,8,9,9,10.
(1)甲＝×(5＋6×2＋7×4＋8×2＋9)＝＝7(环)，
乙＝×(2＋4＋6＋7×2＋8×2＋9×2＋10)＝＝7(环)，
s＝×[(5－7)2＋(6－7)2×2＋(7－7)2×4＋(8－7)2×2＋(9－7)2]
＝×(4＋2＋0＋2＋4)＝1.2，
s＝×[(2－7)2＋(4－7)2＋(6－7)2＋(7－7)2×2＋(8－7)2×2＋(9－7)2×2＋(10－7)2]
＝×(25＋9＋1＋0＋2＋8＋9)＝5.4.
根据以上的分析与计算填表如下：
平均数
方差
中位数
命中9环及9环以上的次数
甲
7
1.2
7
1
乙
7
5.4
7.5
3
(2)①∵平均数相同，s<
s，∴甲成绩比乙稳定．
②∵平均数相同，甲的中位数<乙的中位数，
∴乙的成绩比甲好些．
③∵平均数相同，命中9环及9环以上的次数甲比乙少，∴乙成绩比甲好些．
④甲成绩在平均数上下波动，而乙处于上升势头，从第四次以后就没有比甲少的情况发生，所以乙较有潜力．
12．解　∵＝＝3.7，
s2＝×[6×(2－3.7)2＋16×(3－3.7)2＋15×(4－3.7)2＋13×(5－3.7)2]
＝×(17.34＋7.84＋1.35＋21.97)＝0.97，
∴标准差s＝≈0.985.
13．解　设第一组20名学生的成绩为xi(i＝1,2，…，20)，
第二组20名学生的成绩为yi(i＝1,2，…，20)，
依题意有：＝(x1＋x2＋…＋x20)＝90，
＝(y1＋y2＋…＋y20)＝80，
故全班平均成绩为：(x1＋x2＋…＋x20＋y1＋y2＋…＋y20)＝×(90×20＋80×20)＝85；
又设第一组学生成绩的标准差为s1，第二组学生成绩的标准差为s2，则s＝(x＋x＋…＋x－20
2)，
s＝(y＋y＋…＋y－202)
(此处，＝90，＝80)，
又设全班40名学生的标准差为s，
平均成绩为(＝85)，故有
s2＝(x＋x＋…x＋y＋y＋…＋y－40
2)
＝(20s＋202＋20s＋202－402)
＝(62＋42＋902＋802－2×852)＝51.
s＝.
所以全班同学的平均成绩为85分，标准差为.