1.4 数据的数字特征 学案1（含答案）

1.4
数据的数字特征
学案
[读教材·填要点]
1．众数、中位数、平均数
(1)众数的定义：
一组数据中重复出现次数最多的数称为这组数的众数，一组数据的众数可以是一个，也可以是多个．
(2)中位数的定义及求法：
把一组数据按从小到大的顺序排列，把处于最中间位置的那个数(或中间两数的平均数)称为这组数据的中位数．
(3)平均数：
①平均数的定义：
如果有n个数x1、x2、…、xn，那么＝，叫作这n个数的平均数．
②平均数的分类：
总体平均数：总体中所有个体的平均数叫总体平均数．
样本平均数：样本中所有个体的平均数叫样本平均数．
2．标准差、方差
(1)标准差的求法：
标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示．
s＝.
(2)方差的求法：
标准差的平方s2叫作方差．
s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]．
其中，xn是样本数据，n是样本容量，是样本均值．
(3)方差的简化计算公式：
s2＝[(x＋x＋…＋x)－n2]＝(x＋x＋…＋x)－2.
3．极差
一组数据的最大值与最小值的差称为这组数据的极差．
4．数字特征的意义
平均数、中位数和众数刻画了一组数据的集中趋势，极差、方差刻画了一组数据的离散程度．
[小问题·大思维]
1．一组数据的众数一定存在吗？若存在，众数是唯一的吗？
提示：不一定．若一组数据中，每个数据出现的次数一样多，则认为这组数据没有众数；不是，可以是一个，也可以是多个．
2．如何确定一组数据的中位数？
提示：(1)当数据个数为奇数时，中位数是按从小到大顺序排列的中间位置的那个数．
(2)当数据个数为偶数时，中位数为排列在最中间的两个数的平均值．
[研一题]
[例1]　据报道，某公司的33名职工的月工资(单位：元)如下：
职务
董事长
副董事长
董事
总经理
经理
管理员
职员
人数
1
1
2
1
5
3
20
工资
5
500
5
000
3
500
3
000
2
500
2
000
1
500
(1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数．
(2)假设副董事长的工资从5
000元提升到20
000元，董事长的工资从5
500元提升到30
000元，那么新的平均数、中位数、众数又是什么？(精确到元)
(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平，结合此问题谈一谈你的看法．
[自主解答]　(1)平均数是
＝1
500＋
≈1
500＋591＝2
091(元)．
中位数是1
500元，众数是1
500元．
(2)新的平均数是′＝1500＋
≈1
500＋1
788＝3
288(元)．
中位数是1
500元，众数是1
500元．
(3)在这个问题中，中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平，因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平．
[悟一法]
1．众数、中位数与平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量．
2．众数考查各个数据出现的频率，大小只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，其众数往往更能反映问题．
3．中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响，中位数可能在所给的数据中，也可能不在所给的数据中．当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述它的某种集中趋势．
[通一类]
1．某公司销售部有销售人员15人，销售部为了制定某种商品的月销售定额，统计了这15人某月的销售量如下：
销售量(件)
1
800
510
250
210
150
120
人数
1
1
3
5
3
2
(1)求这15位销售人员该月销售量的平均数、中位数及众数；
(2)假设销售部负责人把月销售额定为320件，你认为是否合理，为什么？如不合理，请你制定一个较为合理的销售定额．
解：(1)平均数为(1
800×1＋510×1＋250×3＋210×5＋150×3＋120×2)＝320(件)，中位数为210件，众数为210件．
(2)不合理，因为15人中有13人的销售量未达到320件，也就是说，虽然320是这一组数据的平均数，但它却不能反映全体销售人员的销售水平．销售额定为210件更合理些，这是由于210既是中位数，又是众数，是大部分人都能达到的定额.
[研一题]
[例2]　甲、乙两机床同时加工直径为100
cm的零件，为了检验质量，各从中抽取6件进行测量，分别记录数据为：
甲：99　100　98　100　100　103
乙：99　100　102　99　100　100
(1)分别计算两组数据的平均数及方差；
(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定．
[自主解答]　(1)甲＝(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，
乙＝(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100，
s＝[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝，
s＝[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.
(2)两台机床所加工零件的直径的平均数相同，又s>s，所以乙机床加工零件的质量更稳定．
[悟一法]
在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究方差，方差描述了数据相对平均数的离散程度，在平均数相同的情况下，方差越大，离散程度越大，数据波动性越大，稳定性就越差；方差越小，数据越集中，质量越稳定．
[通一类]
2．对划艇运动员甲、乙两人在相同的条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度(单位：m/s)的数据如下：
甲：27　38　30　37　35　31
乙：33　29　38　34　28　36
根据以上数据，试估计两人最大速度的平均数和标准差，并判断他们谁更优秀．
解：甲＝×(27＋38＋30＋37＋35＋31)＝＝33，
s＝×[(27－33)2＋(38－33)2＋(30－33)2＋(37－33)2＋(35－33)2＋(31－33)2]＝，
s甲＝≈3.96，
乙＝×(33＋29＋38＋34＋28＋36)＝＝33，
s＝×[(33－33)2＋(29－33)2＋(38－33)2＋(34－33)2＋(28－33)2＋(36－33)2]＝，
s乙＝≈3.56.
由上知，甲、乙两人最大速度的平均数均为33
m/s，甲的标准差为3.96
m/s，乙的标准差为3.56
m/s，说明甲、乙两人的最大速度的平均值相同，但乙的成绩比甲的成绩更稳定，故乙比甲更优秀.
[研一题]
[例3]　在一次科技知识竞赛中，两组学生的成绩如下表：
分数
50
60
70
80
90
100
人数
甲组
2
5
10
13
14
6
乙组
4
4
16
2
12
12
已经算得两个组的平均分都是80分．请根据你所学过的统计知识，进一步判断这两个组在这次竞赛中的成绩谁优谁劣，并说明理由．
[自主解答]　(1)甲组成绩的众数为90分，乙组成绩的众数为70分，从成绩的众数比较看，甲组成绩好些．
(2)甲＝(50×2＋60×5＋70×10＋80×13＋90×14＋100×6)
＝×4
000＝80(分)，
乙＝(50×4＋60×4＋70×16＋80×2＋90×12＋100×12)
＝×4
000＝80(分)．
s＝[2×(50－80)2＋5×(60－80)2＋10×(70－80)2＋13×(80－80)2＋14×(90－80)2＋6×(100－80)2]＝172，
s＝[4×(50－80)2＋4×(60－80)2＋16×(70－80)2＋2×(80－80)2＋12×(90－80)2＋12×(100－80)2]＝256.
∵s(3)甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分．其中，甲组成绩在80分以上(包括80分)的有33人，乙组成绩在80分以上(包括80分)的有26人．从这一角度看，甲组的成绩较好．
(4)从成绩统计表看，甲组成绩大于等于90分的有20人，乙组成绩大于等于90分的有24人，∴乙组成绩集中在高分段的人数多．同时，乙组得满分的人数比甲组得满分的人数多6人．从这一角度看，乙组的成绩较好．
[悟一法]
要正确处理此类问题，首先要抓住问题中的关键词语，全方位地进行必要的计算、分析，而不能习惯性地仅从样本方差的大小去决定哪一组的成绩好，像这样的实际问题还得从实际的角度去分析，如本例的“满分人数”；其次要在恰当地评估后，组织好正确的语言作出结论．
[通一类]
3．甲、乙两人在相同条件下各打靶10次，每次打靶的成绩情况如图所示：
(1)请填写下表：
平均数
中位数
命中9环以上的次数(含9环)
甲
7
乙
(2)从下列三个不同角度对这次测试结果进行分析：
①从平均数和中位数相结合看，谁的成绩好些？
②从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看，谁的成绩好些？
③从折线图中两人射击命中环数的走势看，谁更有潜力？
解：(1)由图可知，甲打靶的成绩为：2,4,6,8,7,7,8,9,9,10；乙打靶的成绩为：9,5,7,8,7,6,8,6,7,7.
甲的平均数是7，中位数是7.5，命中9环及9环以上的次数是3；
乙的平均数是7，中位数是7，命中9环及9环以上的次数是1.
(2)由(1)知，甲、乙的平均数相同．
①甲、乙的平均数相同，甲的中位数比乙的中位数大，所以甲成绩较好．
②甲、乙的平均数相同，甲命中9环及9环以上的次数比乙多，所以甲成绩较好．
③从折线图中看，在后半部分，甲呈上升趋势，而乙呈下降趋势，故甲更有潜力.
一个球队所有队员的身高如下(单位：cm)：
178,179,181,182,176,183,176,180,183,175,181,185,180,184，问这个球队的队员平均身高是多少？(精确到1
cm)
[解]　法一：利用平均数的公式计算．
＝×(178＋179＋181＋…＋180＋184)＝×2
523≈180.
法二：建立新数据，再利用平均数简化公式计算．
取a＝180，将上面各数据同时减去180，得到一组数据：
－2，－1,1,2，－4,3，－4,0,3，－5,1,5,0,4.
′＝×(－2－1＋1＋2－4＋3－4＋0＋3－5＋1＋5＋0＋4)＝×3＝≈0.2，
∴＝′＋a＝0.2＋180≈180.
法三：利用加权平均数公式计算．
＝×(185×1＋184×1＋183×2＋182×1＋181×2＋180×2＋179×1＋178×1＋176×2＋175×1)＝×2
523≈180.
法四：建立新数据，再利用加权平均数公式计算．
′＝×[5×1＋4×1＋3×2＋2×1＋1×2＋0×2＋(－1)×1＋(－2)×1＋(－4)×2＋(－5)×1]
＝×0.3≈0.2.
∴＝′＋a＝0.2＋180≈180.
1．已知一组数据为20,30,40,50,50,60,70,80，其中平均数，中位数和众数大小关系是(　　)
A．平均数＞中位数＞众数
B．平均数＜中位数＜众数
C．中位数＜众数＜平均数
D．众数＝中位数＝平均数
解析：可得出这组数据的平均数、中位数和众数均为50.
答案：D
2．样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均数为1，则样本方差为(　　)
A.　　　　　　　　　
B.
C.
D．2
解析：∵样本的平均数为1，即×(a＋0＋1＋2＋3)＝1，∴a＝－1，∴样本方差s2＝×[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.
答案：D
8
9
7
9
3
1
6
4
0
2
3.若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是(　　)
A．91.5和91.5
B．91.5和92
C．91和91.5
D．92和92
解析：将这组数据从小到大排列，得87,89,90,91,92,93,94,96.故平均数＝
＝91.5，中位数为＝91.5.
答案：A
4．(2012·湖南高考)如图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为________．
(注：方差s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]，其中为x1，x2，…，xn的平均数)
解析：该运动员五场比赛中的得分为8,9,10,13,15，平均得分＝＝11，
方差s2＝[(8－11)2＋(9－11)2＋(10－11)2＋(13－11)2＋(15－11)2]＝6.8.
答案：6.8
5．甲、乙两人在相同条件下练习射击，每人打5发子弹，命中环数如下：
甲
6
8
9
9
8
乙
10
7
7
7
9
则两人射击成绩的稳定程度是________．
解析：∵甲＝8，乙＝8，
s＝1.2，s＝1.6，
∴s∴甲稳定性强．
答案：甲比乙稳定
6．某农科所为寻找高产稳定的油菜品种，选了三个不同的油菜品种进行试验，每一品种在五块试验田试种．每块试验田的面积为0.7公顷，产量情况如下表：
品种
各试验田产量(kg)
1
2
3
4
5
1
21.5
20.4
22.0
21.2
19.9
2
21.3
23.6
18.9
21.4
19.8
3
17.
8
23.3
21.4
19.1
20.8
试评定哪一品种既高产又稳定．
解：1＝21.0
kg，2＝21.0
kg，3＝20.48
kg；
s＝0.572，s＝2.572，s＝3.5976，
∴1＝2＞3，s＜s＜s.
∴第一个品种既高产又稳定．
一、选择题
1．在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：90　89　90　95　93　94　93
去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为(　　)
A．92,2　　　　　　　　
B．92,2.8
C．93,2
D．93,2.8
解析：去掉最高分95和最低分89后，剩余数据的平均数为＝＝92，
方差为s2＝×[(92－90)2＋(92－90)2＋(93－92)2＋(94－92)2＋(93－92)2]＝×(4＋4＋1＋4＋1)＝2.8.
答案：B
2．已知一组数据为－3,5,7，x,11，且这组数据的众数为5，那么数据的中位数是(　　)
A．7
B．5
C．6
D．11
解析：这组数据的众数为5，则5出现的次数最多，
∴x＝5，那么这组数据按从小到大排列为－3,5,5,7,11，则中位数为5.
答案：B
3．如图所示，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为A和B，样本标准差分别为sA和sB，则(　　)
A.A>B，sA>sB
B.AsB
C.A>B，sAD.A解析：A中的数据都不大于B中的数据，所以AsB.
答案：B
4．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分值的中位数为me，众数为m0，平均数为，则(　　)
A．me＝m0＝
B．me＝m0<
C．meD．m0解析：易知中位数的值me＝＝5.5，众数m0＝5，平均数＝×(3×2＋4×3＋5×10＋6×6＋7×3＋8×2＋9×2＋10×2)≈6，所以m0答案：D
5．(2013·济南高一检测)一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是(　　)
A．57.2　3.6
B．57.2　56.4
C．62.8　63.6
D．62.8　3.6
解析：设该组数据为x1，x2，…，xn，则(x1＋x2＋…＋xn)＝2.8，
[(x1－2.8)2＋(x2－2.8)2＋…＋(xn－2.8)2]＝3.6，
所以，所得新数据的平均数为[(x1＋60)＋(x2＋60)＋…＋(xn＋60)]＝(x1＋x2＋…＋xn)＋60＝2.8＋60＝62.8.
所得新数据的方差为[(x1＋60－62.8)2＋(x2＋60－62.8)2＋…＋(xn＋60－62.8)2]
＝[(x1－2.8)2＋(x2－2.8)2＋…＋(xn－2.8)2]＝3.6.
答案：D
二、填空题
6．一个样本按从小到大的顺序排列为10,12,13，x,17,19,21,24，其中位数为16，则x＝________.
解析：由中位数的定义知＝16，∴x＝15.
答案：15
7．某校甲、乙两个班级各有5名编号为1,2,3,4,5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：
学生
1号
2号
3号
4号
5号
甲班
6
7
7
8
7
乙班
6
7
6
7
9
则以上两组数据的方差中较小的一个为
s2＝________.
解析：计算可得两组数据的平均数均为7，
甲班的方差s＝＝；
乙班的方差
s＝＝.
则两组数据的方差中较小的一个为s＝.
答案：　
甲
乙
6
7
9
9
4
7
6
4
3
2
1
8
0
2
4
9
0
9
1
8.甲、乙两个小组各8名同学的英语口语测试成绩的茎叶图如右图所示，则甲、乙两组的平均数与中位数之差较大的组是________．
解析：由茎叶图可知，甲的平均数和中位数分别是83.625和83.5；乙的平均数和中位数分别是82.25和81.故乙的平均数和中位数之差较大．
答案：乙组
三、解答题
9．为了了解市民的环保意识，某校高一(1)班50名学生在6月5日(世界环境日)这一天调查了各自家庭丢弃旧塑料袋的情况，有关数据如下表：
每户丢弃旧塑料袋个数
2
3
4
5
户数
6
16
15
13
(1)求这50户居民每天丢弃旧塑料袋的平均数、众数和中位数；
(2)求这50户居民每天丢弃旧塑料袋的标准差．
解：(1)平均数＝×(2×6＋3×16＋4×15＋5×13)＝＝3.7.
众数是3，中位数是4.
(2)这50户居民每天丢弃旧塑料袋的方差为
s2＝×[6×(2－3.7)2＋16×(3－3.7)2＋15×(4－3.7)2＋13×(5－3.7)2]
＝×48.5＝0.97，
所以标准差s≈0.985.
10．某校甲班、乙班各有49名学生，两班在一次数学测验中的成绩(满分100分)统计如下表：
班级
平均分
众数
中位数
标准差
甲班
79
70
87
19.8
乙班
79
70
79
5.2
(1)请你对下面的一段话给予简要分析：
甲班的小刚回家对妈妈说：“昨天的数学测验，全班平均79分，得70分的人最多，我得了85分，在班里算是上游了！”
(2)请你根据表中数据，对这两个班的测验情况进行简要分析，并提出教学建议．
解：(1)由中位数可知，85分排在第25名之后，从名次上讲，85分不算是上游．但也不能单以名次来判断学习成绩的好坏，小刚得了85分，说明他对这阶段的学习内容掌握较好．
(2)甲班学生成绩的中位数为87分，说明高于或等于87分的学生占一半以上，而平均分为79分，标准差很大，说明低分也多，两极分化严重，建议对学习有困难的同学多给一些帮助；
乙班学生成绩的中位数和平均分均为79分，标准差小，说明学生成绩之间差别较小，成绩很差的学生少，但成绩优异的学生也很少，建议采取措施提高优秀率．