1.4 数据的数字特征 学案2（含答案）

1.4
数据的数字特征
学案
自主学习
学习目标
1．熟练掌握平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差等概念．
2．会根据问题的需要选择不同的统计量表达数据的信息．
自学导引
1．平均数、中位数和众数刻画了一组数据的____________，极差、方差刻画了一组数据的____________．
2．标准差：s＝＝
.
3．标准差的单位与原始测量单位________，在统计中，我们通常用标准差刻画数据的____________．
对点讲练
知识点一众数、中位数及平均数的应用
例1　据报道，某公司的33名职工的月工资(以元为单位)如下：
职务
董事长
副董事长
董事
总经理
经理
管理员
职员
人数
1
1
2
1
5
3
20
工资
5
500
5
000
3
500
3
000
2
500
2
000
1
500
(1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数；
(2)假设副董事长的工资从5
000元提升到20
000元，董事长的工资从5
500元提升到30
000元，那么新的平均数、中位数、众数又是多少？(精确到元)
(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？结合此问题谈一谈你的看法．
点评　(1)在研究实际问题时，根据实际要解决的问题与平均数、中位数、众数的特点分别作以比较，应用相关知识求出有关量．
(2)当数据较大，求平均数时通常减去某一个常数，如本例中可先减一个1
500，然后再求较为简单．
变式迁移1　在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如下表所示：
成绩(单位：m)
1.50
1.60
1.65
1.70
1.75
1.80
1.85
1.90
人数
2
3
2
3
4
1
1
1
分别求这些运动员成绩的众数、中位数和平均数(平均数的计算结果保留到小数点后第2位)，并对这些成绩数据作出科学的评判．
知识点二方差、标准差的计算
例2　对甲、乙的学习成绩进行抽样分析，各抽5门功课，得到的观测值如下：
甲
60
80
70
90
70
乙
80
60
70
80
75
问：甲、乙谁的平均成绩好？谁的各门功课发展较平衡？
变式迁移2　为了了解市民的保护意识，某校高一(1)班50名学生在6月5日(世界环境日)这一天调查了各自家庭丢弃旧塑料袋的情况，有关数据如下表：
每户丢弃塑料袋个数
2
3
4
5
户数
6
16
15
13
求这50户居民每天丢弃旧塑料袋的标准差．
知识点三平均数、方差的应用
例3　从甲、乙两种玉米苗中各抽10株，分别测得它们的株高如下：(单位：cm)
甲：25
41
40
37
22
14
19
39
21
42　　乙：27
16
44
27
44
16
40
40
16
40
问：(1)哪种玉米的苗长得高？(2)哪种玉米的苗长得齐？
点评　特别要注意本题两问中说法的不同，这就意味着计算方式不一样．平均数和方差是样本的两个重要数字特征，方差越大，表明数据越分散；相反地，方差越小，数据越集中．
变式迁移3　甲、乙两名战士在相同条件下各射靶10次，每次命中的环数分别是：
甲：8,6,7,8,6,5,9,10,4,7；　　　　乙：6,7,7,8,6,7,8,7,9,5.
(1)分别计算以上两组数据的平均数；(2)分别求出两组数据的方差；(3)根据计算结果，估计一下两名战士的射击情况．
课堂小结
1．从数字特征上描述一组数据的情况
平均数、众数、中位数描述其集中趋势，方差、极差和标准差描述其波动大小，也可以说方差、标准差和极差反映各个数据与其平均数的离散程度．
2．方差和标准差的运用
一组数据的方差或标准差越大，说明这组数据波动越大，方差的单位是原数据的单位的平方，标准差的单位与原单位相同．
课堂作业
一、选择题
1．期中考试以后，班长算出了全班40个人数学成绩的平均分为M，如果把M当成一个同学的分数，与原来的40个分数一起，算出这41个分数的平均值为N，那么M∶N为(　　)
A.
B．1
C.
D．2
2．已知一组数据为20、30、40、50、50、60、70、80，其中平均数、中位数和众数大小关系是(　　)
A．平均数>中位数>众数
B．平均数<中位数<众数
C．中位数<众数<平均数
D．中位数＝众数＝平均数
3．某中学人数相等的甲、乙两班学生参加同一次数学测试，两班平均分和方差分别为甲＝82分，乙＝82分，s＝245，s＝190，那么成绩较为整齐的是(　　)
A．甲班
B．乙班
C．两班一样齐
D．无法确定
4．下图是某学校举行的运动会上七位评委为某体操项目打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为(　　)
　　　　　　
A．84,4.84
B．84,1.6
C．85,1.6
D．85,4
二、填空题
5．一个样本按从小到大的顺序排列为10,12,13，x,17,19,21,24，其中位数为16，则x＝______.
6．如果数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为10，方差为2，则数据7x1－2,7x2－2,7x3－2，…，7xn－2的平均数为________，方差为________．
7．甲、乙、丙、丁四名射击手在选拔赛中的平均环数及其标准差s如下表所示，则选送决赛的最佳人选应是________．
甲
乙
丙
丁
7
8
8
7
s
2.5
2.5
2.8
3
三、解答题
8．个体户王某经营一家餐馆，下面是餐馆所有工作人员在某个月份的工资：
王某
厨师甲
厨师乙
杂工
招待甲
招待乙
会计
3
000元
450元
400元
320元
350元
320元
410元
(1)计算平均工资；
(2)计算出的平均工资能否反映帮工人员这个月收入的一般水平？
(3)去掉王某的工资后，再计算平均工资；
(4)(3)中所求的平均工资能代表帮工人员的收入吗？
9．某校团委为响应顺义区倡导的“我与奥运同行，人人爱护环境”的号召，举办了英语口语竞赛．甲、乙两个小组成绩如下：
甲组：76　90　84　86　81　87　86
乙组：82　84　85　89　80　94　76
(1)分别求出甲、乙两个小组的平均分、标准差(精确到0.01)；
(2)说明哪个小组成绩比较稳定？
1.4　数据的数字特征
自学导引
1．集中趋势　离散程度
3．相同　离散程度
对点讲练
例1　解　(1)平均数是＝
≈2
091(元)．
中位数是1
500元，众数是1
500元．
(2)平均数是＝
＝3
288(元)．
中位数是1
500元，众数是1
500元．
(3)在这个问题中，中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平．因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平．
变式迁移1　解　在这17个数据中，1.75出现了4次，出现的次数最多，即这组数据的众数是1.75；表中的17个数据看成按从小到大顺序排列的，其中第9个数据1.70是最中间的一个数据，即这组数据的中位数是1.70；这组数据的平均数是＝×(1.50×2＋1.60×3＋…＋1.90×1)≈1.69(m)．故这17名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次是1.75
m、1.70
m、1.69
m.
在以上数据中，运动员成绩的众数是1.75
m，说明成绩为1.75
m的人数最多；运动员成绩的中位数是1.70
m，说明成绩在1.70
m以下和1.70
m以上的人数各占一半；运动员成绩的平均数是1.69
m，说明所有参赛运动员的平均成绩是1.69
m.
例2　解　甲＝×(60＋80＋70＋90＋70)＝74，
乙＝×(80＋60＋70＋80＋75)＝73，
s＝×(142＋62＋42＋162＋42)＝104，
s＝×(72＋132＋32＋72＋22)＝56，
∵甲>乙，s>s，
∴甲的平均成绩较好，乙的各门功课发展较平衡．
变式迁移2　解　＝
＝3.7，
s2＝×[6×(2－3.7)2＋16×(3－3.7)2＋15×(4－3.7)2＋13×(5－3.7)2]
＝×(17.34＋7.84＋1.35＋21.97)
＝0.97
标准差s＝≈0.985.
例3　解　(1)甲＝×(25＋41＋40＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋42)＝×300＝30
(cm)，
乙＝×(27＋16＋44＋27＋44＋16＋40＋40＋16＋40)
＝×310＝31
(cm)．
∴甲<乙．
(2)s＝×[(25－30)2＋(41－30)2＋(40－30)2＋(37－30)2＋(22－30)2＋(14－30)2＋(19－30)2＋(39－30)2＋(21－30)2＋(42－30)2]
＝×(25＋121＋100＋49＋64＋256＋121＋81＋81＋144)
＝×1
042＝104.2
(cm2)，
s＝×[(2×272＋3×162＋3×402＋2×442)－10×312]
＝×1
288＝128.8
(cm2)．
∴s答　乙种玉米的苗长得高，甲种玉米的苗长得齐．
变式迁移3　解　(1)甲＝×(8＋6＋7＋8＋6＋5＋9＋10＋4＋7)＝7(环)，
乙＝×(6＋7＋7＋8＋6＋7＋8＋7＋9＋5)
＝7(环)．
(2)由方差公式s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]，得s＝3.0(环2)，s＝1.2
(环2)．
(3)甲＝乙，说明甲、乙两战士的平均水平相当；
s>s，说明甲战士射击情况波动大，因此乙战士比甲战士射击情况稳定．
课堂作业
1．B　[N＝＝M，∴M∶N＝1.]
2．D
3．B
4．C　[去掉最高分93，最低分79，
平均分为(84＋84＋86＋84＋87)＝85，
方差s2＝[(84－85)2＋(84－85)2＋(86－85)2＋(84－85)2＋(87－85)2]＝＝1.6.]
5．15
6．68　98
解析　平均数＝7×10－2＝68，方差＝72×2＝98.
7．乙
解析　平均数反映平均水平大小，标准差表明稳定性．标准差越小，稳定性越好．
8．解　(1)平均工资＝(3
000＋450＋400＋320＋350＋320＋410)＝750(元)；
(2)因为帮工人员的工资低于平均工资，所以(1)中算出的平均工资不能反映帮工人员在这个月份的月收入的一般水平；
(3)去掉王某的工资后的平均工资＝(450＋400＋320＋350＋320＋410)＝375(元)；
(4)(3)中计算的平均工资接近于帮工人员月工资收入，所以它能代表帮工人员的平均月收入．
9．解　(1)甲＝(76＋90＋84＋86＋81＋87＋86)≈84.29，
乙＝(82＋84＋85＋89＋80＋94＋76)≈84.29，
s甲＝
≈4.15，
s乙＝
≈5.40.
(2)∵s甲