1.4 数据的数字特征 学案3（含答案）

1.4
数据的数字特征
学案
1．能结合具体情境理解不同数字特征的意义，并能根据问题的需要选择适当的数字特征来表达数据的信息．
2．通过实例理解数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差．
1．众数
(1)定义：一组数据中出现次数________的数称为这组数据的众数．
(2)特征：一组数据的众数可能________个，也可能没有，它反映了该组数据的________．
众数体现了样本数据的最大集中点，但它对其他数据信息的忽视使其无法客观地反映总体特征．
2．中位数
(1)定义：一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排成一列，处于________位置的数称为这组数据的中位数．
(2)特征：一组数据中的中位数是________的，反映了该组数据的________．
中位数是样本数据所占频率的等分线，它不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是优点，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点．
【做一做1】某班50名学生右眼视力的检查结果如下表所示：
视力
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
1.0
1.2
1.5
人数
1
1
3
4
3
4
4
6
8
10
6
则该班学生右眼视力的众数为__________，中位数为__________．
3．平均数
(1)定义：一组数据的和与这组数据的个数的商叫做这组数据的平均数，数据x1，x2，…，xn的平均数为＝________________.
(2)特征：平均数对数据有“取齐”的作用，代表该组数据的________．任何一个数据的改变都会引起平均数的变化，这是________和________都不具有的性质．所以与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的________，但平均数受数据中的________的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低．
【做一做2】对甲、乙二人的学习成绩进行抽样分析，各抽4门功课，得到的观测值如下：
甲
65
82
80
85
乙
75
65
70
90
问：甲、乙谁的平均成绩较好？
4．标准差
(1)定义：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示，通常用以下公式来计算
s＝________________________________________________________________________.
可以用计算器或计算机计算标准差．
(2)特征：标准差描述一组数据围绕________波动的大小，反映了一组数据变化的幅度和离散程度的大小．标准差较大，数据的离散程度较________；标准差较小，数据的离散程度较______．
【做一做3】从某项综合能力测试中抽取100人的成绩如下表，则这100人成绩的标准差为(　　)．
分数
5
4
3
2
1
人数
20
10
30
30
10
A．
B．
C．3
D．
5．方差
(1)定义：标准差的平方，即
s2＝________________________________________________________________________.
(2)特征：与标准差的作用________，描述一组数据围绕平均数波动的大小．
(3)取值范围：________.
数据组x1，x2，…，xn的平均数为，方差为s2，标准差为s，则数据组ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b(a，b为非零常数)的平均数为a＋b，方差为a2s2，标准差为as.
【做一做4】下列能刻画一组数据离散程度的是(　　)．
A．平均数
B．方差
C．中位数
D．众数
6．极差
(1)定义：一组数据的最______值与最______值的差称为这组数据的极差．
(2)特征：表示该组数据之间的差异情况．
极差利用了数据组中最大和最小的两个值，对极值过于敏感．但由于只涉及两个数据，便于得到，所以极差在实际中也经常应用．
【做一做5】一组数据3，－1，0，2，x的极差是5，则x＝__________.
平均数与标准差(方差)这两个数字特征在实际问题中如何应用？
剖析：平均数反映的是数据的平均水平，在实际应用中，平均数常被理解为平均水平．标准差反映的是数据的离散程度的大小，反映了各个样本数据聚集于样本平均数周围的程度，标准差越小表明在样本平均数的周围越集中；反之，标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数的两边越分散．在实际应用中，标准差常被理解为稳定性，常常与平均数结合起来解决问题．
例如，要从甲、乙两名射击运动员中选一名参加2012年伦敦奥运会，如果你是教练，你会制定怎样的选拔标准？制定怎样的选拔方案？
选拔标准是：要考虑射击运动员的射击水平即平均射击环数，再就是考虑射击运动员发挥的稳定性．当射击环数的平均数不相同时，选择平均数较大的运动员；当射击环数的平均数相同时，选择发挥稳定(标准差较小)的运动员．
选拔方案：让这两名运动员在相同的环境中进行相同次数的射击，比如参加射击世锦赛、世界杯、国际邀请赛、热身赛或国内比赛，并记录每次射击的环数．然后计算两名运动员射击环数的平均数和方差，再根据选拔标准作出选择．
题型一
平均数、中位数、众数的应用
【例题1】某公司30名职工的月工资(单位：元)如下：
职务
董事长
副董事长
董事
总经理
经理
管理员
职员
人数
1
1
2
1
2
3
20
工资
5
500
5
000
3
500
3
000
2
500
2
000
1
500
(1)求该公司职工的月工资的平均数、中位数、众数．
(2)假设副董事长的工资从5
000元提升到20
000元，董事长的工资从5
500元提升到30
000元，那么该公司职工的月工资的平均数、中位数、众数又是多少？(精确到元)
(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司职工的月工资水平？结合此问题谈一谈你的看法．
分析：根据平均数、中位数、众数的概念求解．
反思：平均数是将所有的数据都考虑进去得到的量，它是反映数据集中趋势最常用的量，中位数可靠性较差，当一组数据中个别数据变动较大时，常用中位数表示该组数据的集中趋势．而众数求法较简便，也经常被用到．考查一组数据的特征时，这三个数字特征要结合在一起考虑．
大多情况下人们会把眼光仅停留在工资表中的最大值与最小值处，把最高工资作为一个单位工资的评价，这是一种错误的评价方式．
题型二
标准差、方差的计算
【例题2】已知一个样本为x,1，y,5，其中x，y是方程组的解，则这个样本的标准差是(　　)．
A．2
B．
C．5
D．
反思：深刻理解平均数、方差的计算公式，灵活应用x＋y＝2和x2＋y2＝10进行整体求解是提高解题速度的关键．
题型三
综合应用题
【例题3】对划艇运动员甲、乙二人在相同的条件下进行了6次测试，测得他们最大速度(m/s)的数据如下：
甲：27,38,30,37,35,31；
乙：33,29,38,34,28,36.
根据以上数据，试判断他们谁更优秀．
分析：分别计算两组数据的平均值与方差，然后加以比较并作出判断．
反思：判断甲、乙两运动员成绩的优劣，通常用平均数和方差作为标准来比较，当平均数相同时，还应考察他们的成绩波动情况(方差)，以达到判断上的合理性和全面性．
1(2011广东汕头期中，6)若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是(　　)．
A．91.5和91.5
B．91.5和92
C．91和91.5
D．92和92
2甲、乙两台机床同时生产一种零件，现要检验它们的运行情况，统计10天中两台机床每天出的次品数分别为甲：0,1,0,2,2,0,3,1,2,4；乙：2,3,1,1,0,2,1,1,0,1.则出次品数较少的为(　　)．
A．甲
B．乙
C．相同
D．不能比较
3已知一个样本中含有5个数据3,5,7,4,6，则样本方差为(　　)．
A．1
B．2
C．3
D．4
4已知一组数据x1，x2，…，xn的方差是a，那么另一组数据x1－2，x2－2，…，xn－2的方差是________．
5对甲、乙的学习成绩进行抽样分析，各抽5门功课，得到的观测值如下：
甲
60
80
70
90
70
乙
80
60
70
80
75
问：甲、乙谁的平均成绩较好？谁的各门功课发展较平衡？
答案：
基础知识·梳理
1．(1)最多　(2)不止一　集中趋势
2．(1)中间　(2)唯一　集中趋势
【做一做1】1.2　0.8
3．(1)　(2)平均水平　众数　中位数
信息　极端值
【做一做2】解：甲＝(65＋82＋80＋85)＝78，
乙＝(75＋65＋70＋90)＝75，
∴甲的平均成绩较好．
4．(1)
(2)平均数　大　小
【做一做3】B　这100人的总成绩为5×20＋4×10＋3×30＋2×30＋1×10＝300，则平均成绩为＝3，则这100人成绩的标准差为
＝.
5．(1)[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]　(2)相同　(3)[0，＋∞)
【做一做4】B　方差能刻画一组数据离散程度的大小．
6．(1)大　小
【做一做5】－2或4
典型例题·领悟
【例题1】解：(1)平均数是
＝2
050(元)，中位数是1
500元，众数是1
500元．
(2)平均数是
≈3
367(元)，
中位数是1
500元，众数是1
500元．
(3)在这个问题中，中位数或众数均能反映该公司职工的月工资水平．因为公司中少数人的月工资与大多数人的月工资差别较大，这样导致平均数与职工整体月工资的偏差较大，所以平均数不能反映这个公司职工的月工资水平．
【例题2】D　∵x＋y＝2，x2＋y2＝10，
∴＝(x＋1＋y＋5)＝[(x＋y)＋6]＝2，
s2＝[(x－2)2＋(1－2)2＋(y－2)2＋(5－2)2]
＝[(x2＋y2)－4(x＋y)＋18]＝×20＝5，
∴s＝＝.
【例题3】解：甲＝×(27＋38＋30＋37＋35＋31)＝33，
s甲2＝×[(27－33)2＋(38－33)2＋…＋(31－33)2]
＝×94≈15.7，
乙＝×(33＋29＋38＋34＋28＋36)＝33，
s乙2＝×[(33－33)2＋(29－33)2＋…＋(36－33)2]
＝×76≈12.7.
∴甲＝乙，s甲2＞s乙2．
这说明甲、乙二人的最大速度的平均值相同，但乙比甲更稳定，故乙比甲更优秀．
随堂练习·巩固
1．A　＝90＋(－1－3＋3＋1＋6＋4＋0＋2)＝91.5.中位数＝＝91.5.
2．B　甲＝1.5，乙＝1.2.
3．B　＝＝5，
则方差s2＝[(3－5)2＋(5－5)2＋(7－5)2＋(4－5)2＋(6－5)2]＝2.
4．a　将一组数据同时减去一个数，所得新数据的方差与原数据的方差相等．
5．解：甲＝×(60＋80＋70＋90＋70)＝74；
乙＝×(80＋60＋70＋80＋75)＝73.
s甲2＝×(142＋62＋42＋162＋42)＝104；
s乙2＝×(72＋132＋32＋72＋22)＝56.
∵甲＞乙，s甲2＞s乙2，
∴甲的平均成绩较好，乙的各门功课发展较平衡．