1.4.1 平均数、中位数、众数、极差、方差 标准差 同步测试（含答案）

1.4.1
平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差
同步测试
一、选择题(每小题3分,共18分)
1.在一次数学测验中,某小组14名学生的成绩分别与全班的平均分85分的差是:2,3,-3,-5,12,12,8,2,-1,4,-10,-2,5,5,那么这个小组的平均分是(　　)
A.97.2
B.87.29
C.92.32
D.82.86
【解析】选B.平均分=85+(2+3-3-5+12+12+8+2-1+4-10-2+5+5)÷14=87.29.
2.在某项体育比赛中,七位裁判为一选手打出的分数如下:
90　89　90　95　93　94　93
去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均值和方差分别为　(　　)
A.92,2
B.92,2.8
C.93,2
D.93,2.8
【解析】选B.平均值==92.
s2=[(90-92)2+(90-92)2+(93-92)2+(94-92)2+(93-92)2]=2.8.
3.有50个数,它们的平均数是45,若将其中的两个数32和58舍去,则余下数的平均数是　(　　)
A.40.5
B.47
C.45
D.52
【解析】选C.设50个数的平均数为,48个数的平均数为,则=[50·-(32+58)]÷48=45.
4.甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛,四人的平均成绩和方差如表所示:
甲
乙
丙
丁
平均环数
8.6
8.9
8.9
8.2
方差s2
3.5
3.5
2.1
5.6
从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛,最佳人选是　(　　)
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
【解析】选C.由表可知,乙、丙的成绩最好,平均环数都为8.9,但乙的方差大,说明乙的波动性大,所以丙为最佳人选.
5.(2013·安徽高考)某班级有50名学生,其中有30名男生和20名女生,随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩,五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90,五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是　(　　)
A.这种抽样方法是一种分层抽样
B.这种抽样方法是一种系统抽样
C.这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差
D.该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数
【解析】选C.因为=×(86+94+88+92+90)=×450=90,
=×(88+93+93+88+93)=×455=91,
所以=×[(86-90)2+(94-90)2+(88-90)2+(92-90)2+(90-90)2]==8,
=×[(88-91)2+(93-91)2+(93-91)2+(88-91)2+(93-91)2]==6,所以>,故选C.
【误区警示】计算平均值时因数字较大易出错,可采用简便方法.
6.(2014·天津高一检测)某人5次上班途中所花的时间(单位:分钟)分别为x,y,10,11,9,已知这组数据的平均数为10,方差为2,则|x-y|的值为　(　　)
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选D.依题意,可得
或所以|x-y|=4.
二、填空题(每小题4分,共12分)
7.学校篮球队五名队员的年龄分别为15,13,15,14,13.其方差为0.8,则三年后这五名队员年龄的方差为__________.
【解析】由题意知,新数据是在原来每个数上加上3得到,原来的平均数为,则新平均数变为+3,则每个数都加了3,原来的方差=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2]=0.8,现在的方差=[(x1+3--3)2+(x2+3--3)2+…+(xn+3--3)2]=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2]=0.8,方差不变.
故三年后这五名队员年龄的方差不变,仍是0.8.
答案:0.8
8.(2014·上海高一检测)一组数据的方差为s2,将这一组数据中的每个数都乘2,所得到的一组新数据的方差为__________.
【解析】每个数都乘以2,则′=2,
s′2=[(2x1-2)2+…+(2xn-2)2]
=[(x1-)2+…+(xn-)2]=4s2.
答案:4s2
【知识拓展】统计量的性质
(1)若x1,x2,…,xn的平均数是,那么mx1+a,mx2+a,…,mxn+a的平均数是m+a.
(2)数据x1,x2,…,xn与数据x1+a,x2+a,…,xn+a的方差相等.
(3)若x1,x2,…,xn的方差为s2,那么ax1,ax2,…,axn的方差为a2s2.
9.一组数据的平均数是2.8,方差是3.6,若将这组数据中的每一个数据都加上60,得到一组新数据,则所得新数据的平均数和方差分别是________,________.
【解析】平均数增加60为62.8,方差不变,仍为3.6.
答案:62.8　3.6
【拓展提升】关于方差与平均数的公式
数据a1,a2,a3,…,an的方差为σ2,平均数为μ,则数据ka1+b,ka2+b,ka3+b,…,kan+b(kb≠0)的标准差为kσ,平均数为kμ+b.
三、解答题(每小题10分,共20分)
10.(2014·西安高一检测)某城区举行“奥运知识”演讲比赛,中学组根据初赛成绩在高一、高二年级中分别选出10名同学参加决赛,这些选手的决赛成绩如图所示(虚线为高一年级,实线为高二年级).
团体成绩
众数
平均数
方差
高一年级
85.7
39.6
高二年级
85.7
26.8
(1)请把上边的表格填写完整.
(2)考虑平均数与方差,你认为哪个年级的团体成绩更好些
【解析】(1)高一年级众数是80,高二年级众数是85.
(2)因为两个年级的得分的平均数相同,高二年级成绩的方差小,说明高二年级的成绩偏离平均数的程度小,所以高二年级的团体成绩更好些.
11.某校在统计一班级50名学生的数学考试成绩时,将两名学生的成绩统计错了,一个将115分统计为95分,1个将65分统计为85分,若根据统计的数据得出平均分为90分,标准差为5分,则该50名学生实际成绩的平均分及标准差分别为多少
【解题指南】围绕相同数据和两个不同数据代入公式进行计算.
【解析】设没统计错的数据为x1,x2,…,x48,统计错的两个成绩为x49=95,x50=85,实际成绩为x1,x2,…,x48,t49=115,t50=65,那么,
(x1+x2+…+x48+95+85)=90,
所以(x1+x2+…+x48)=90-,
所以=(x1+x2+…+x48+t49+t50)
=(x1+x2+…+x48)+×(115+65)
=90-+=90.
由=[(x1-90)2+…+(x48-90)2+(95-90)2+(85-90)2].
=[(x1-90)2+…+(x48-90)2+(115-90)2+(65-90)2]得:
-=×(252+252-52-52)=×1200=24,
所以=+24=52+24=49,所以s2=7,
即该50名学生实际成绩的平均分为90分,标准差为7分.
一、选择题(每小题4分,共16分)
1.(2014·青岛高一检测)期中考试以后,班长算出了全班40个人数学成绩的平均分为M,如果把M当成一个同学的分数,与原来的40个分数一起,算出这41个分数的平均值为N,那么M∶N为　(　　)
A.
B.1
C.
D.2
【解析】选B.M=,
N===M,
所以M∶N=1.
2.(2014·长沙高一检测)甲、乙两支女子曲棍球队在去年的国际联赛中,甲队平均每场进球数为3.2,全年比赛进球个数的标准差为3;乙队平均每场进球数为1.8,全年比赛进球个数的标准差为0.3,下列说法正确的有　(　　)
①甲队的技术比乙队好;②乙队发挥比甲队稳定;③乙队几乎每场都进球;④甲队的表现时好时坏
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【解题指南】标准差确定稳定性,平均值说明水平高低,两个方面结合决定哪个队的好坏.
【解析】选D.s甲>s乙,说明乙队发挥比甲队稳定,>,说明甲队平均进球多于乙队,但乙队平均进球数为1.8,标准差仅有0.3,说明乙队的确很少不进球.
3.在一次国际乒乓球单项锦标赛中,我国一年轻运动员,在先输三局的情况下,连扳4局,反败为胜,终以4∶3淘汰一外国名将,这七局的比分依次是:6∶11,10∶12,7∶11,11∶8,13∶11,12∶10,11∶6,我国运动员七局得分分别为6,10,7,11,13,12,11,其众数、中位数、平均数分别是　(　　)
A.6,11,11
B.11,12,10
C.11,11,9
D.11,11,10
【解析】选D.观察七局的得分可知众数是11,按从小到大的顺序排列为6,7,10,11,11,12,13,中位数是11,
=×(6+7+10+11+11+12+13)=10.
【举一反三】本题的条件不变,则众数、中位数、平均数的大小关系如何
【解析】由原题可知,众数是11,中位数是11,平均数是10,因为11=11>10,
所以本题中的众数=中位数>平均数.
4.(2014·芜湖高一检测)甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次,三人的测试成绩如表所示:
甲的成绩
环数
7
8
9
10
频数
5
5
5
5
乙的成绩
环数
7
8
9
10
频数
6
4
4
6
丙的成绩
环数
7
8
9
10
频数
4
6
6
4
s1,s2,s3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差,则有　(　　)
A.s3>s1>s2
B.s2>s1>s3
C.s1>s2>s3
D.s2>s3>s1
【解析】选B.将已知数据代入求平均数、标准差的公式即可解决问题.设甲、乙、丙三人的平均成绩分别为,,,经计算可得===8.5,=[(7-8.5)2×5+(8-8.5)2×5+(9-8.5)2×5+(10-8.5)2×5]=,s1=;=[(7-8.5)2×6+(8-8.5)2×4+(9-8.5)2×4+(10-8.5)2×6]=,s2=;=[(7-8.5)2×4+(8-8.5)2×6+(9-8.5)2×6+(10-8.5)2×4]=,s3=.所以s2>s1>s3,故选B.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.(2013·江苏高考)抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位:环),结果如下:
运动员
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
甲
87
91
90
89
93
乙
89
90
91
88
92
则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为________.
【解题指南】利用平均数公式与方差公式求解.
【解析】==90,
==90,
故==4,
==2.
答案:2
6.(2014·淮北高一检测)若样本x1+2,x2+2,…,xn+2的平均值为10,则样本2x1+3,2x2+3,…,2xn+3的平均值为__________.
【解题指南】由x1+2,x2+2,…,xn+2的平均值为10,可算出x1,x2,…,xn的平均值为8,从而得出所求平均值.
【解析】因为x1+2,x2+2,…,xn+2的平均值为10,所以x1,x2,…,xn的平均值为8,所以2x1+3,2x2+3,…,2xn+3的平均值为2×8+3=19.
答案:19
三、解答题(每小题12分,共24分)
7.某市对上、下班时的交通情况做抽样调查,在上、下班时间各抽取了12辆机动车,行驶时速如下(单位:km/h):
上班时间
30
33
18
27
32
40
26
28
21
28
35
20
下班时间
27
19
32
29
36
29
30
22
25
16
17
30
用茎叶图表示上面的样本数据,并求出样本数据的中位数、平均数及众数.
【解析】根据题意绘出该市上、下班交通情况的茎叶图,如图所示:
由图可知,上班时间的中位数为=28(km/h),
下班时间的中位数为=28(km/h).
上班时间的众数为28km/h,
下班时间的众数为29km/h和30km/h.
上班时间的平均数为
≈28.2(km/h),
下班时间的平均数为
=26(km/h).
【拓展延伸】众数、中位数与平均数的异同
(1)众数、中位数、平均数都是描述一组数据集中趋势的量,平均数是最重要的量.
(2)平均数的大小与一组数据里每个数据均有关系.
(3)众数考察各数据出现的频率,大小只与这组数据中的部分数据有关,当一组数据中有不少数据多次重复出现时其众数往往更能反映问题.
(4)中位数仅与数据的排列位置有关,某些数据的变动对中位数没有影响.中位数可能出现在所给数据中,也可能不在所给数据中,当一组数据中的个别数据变动较大时,可用中位数描述其集中趋势.
(5)实际问题中求得的平均数、众数和中位数应带上单位.
8.(2014·广东高考)某车间20名工人年龄数据如表:
(1)求这20名工人年龄的众数与极差.
(2)以十位数为茎,个位数为叶,作出这20名工人年龄的茎叶图.
(3)求这20名工人年龄的方差.
【解题指南】第(1)问众数和极差可根据概念直接从表里得出,第(2)问茎叶图也容易画出,第(3)问先求平均数,再利用公式求方差.
【解析】(1)这20名工人年龄的众数为30,极差为40-19=21.
(2)这20名工人年龄的茎叶图为:
(3)年龄的平均数==30,
故方差s2=[(-11)2+3×(-2)2+3×(-1)2+5×02+4×12+3×22+102]=12.6.
【变式训练】对甲、乙的学习成绩进行抽样分析,各抽5门功课,得到的数据如下:
甲
60
80
70
90
70
乙
80
60
70
80
75
问:甲、乙谁的平均成绩较好 谁的各门功课发展较平衡
【解析】=×(60+80+70+90+70)=74,
=×(80+60+70+80+75)=73,
=×(142+62+42+162+42)=104,
=×(72+132+32+72+22)=56,
因为>,>,
所以甲的平均成绩较好,乙的各门功课发展较平衡.