1.4.1-1.4.2 数据的数字特征 教案1

1.4.1平均数、中位数、众数、极差、方差
1.4.2
标准差
教案
●三维目标
1．知识与技能
(1)正确理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差．
(2)能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并做出合理的解释．
(3)会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征．
(4)形成对数据处理过程进行初步评价的意识．
2．过程与方法
通过对实例的探究，感知平均数、中位数和众数刻画了一组数据的集中趋势，极差、方差、标准差刻画了一组数据的离散程度，而标准差的单位与原始测量单位相同．
3．情感、态度与价值观
通过本节课的学习，感受数据的数字特征的意义和作用，从而提高根据问题的需要而选择不同的统计量来表达数据的信息的能力．
●重点难点
重点：会求一组数据的平均数、方差、标准差．
难点：方差、标准差在实际问题中的应用．
(教师用书独具)
●教学建议
本节内容安排在学生学习了抽样方法、统计图表等知识之后，是在初中学均数、中位数、众数、极差、方差等统计量的基础上对数据的数字特征的进一步研究，在教学过程中，要在教师的引导下，充分发挥学生的主体作用，让学生分析案例，对不同的数字特征进行对比，在对比中，发现其差异、明确其特点，体会其作用，并让学生进行交流、总结并适时给出点拨，从而达到会用数字特征解决问题的目的．
●教学流程
创设问题情境，引出问题 引导学生结合初中学过的众数、中位数、平均数、极差、方差的概念感受这五个数字特征 教师通过多媒体展示这五个数字特征，通过分组讨论总结求法 通过例1的展示及变式训练的强化使学生进一步体会这三个数字特征
通过例2及变式训练使学生掌握求方差及标准差的方法，体会方差的应用 归纳整理进行课堂小结，整体把握本节知识 完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈、矫正
课标解读
1.会求一组数据的平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差(重点)．2．方差、标准差在实际问题中的应用(难点).
知识1
平均数、中位数、众数
【问题导思】　
　初中已学过众数、中位数、平均数的概念，你能完成以下填空吗？
(1)已知数据a，a，b，c，d，b，c，c，且a＜b＜c＜d，则这组数据的众数为________，中位数为________，平均数为________．
(2)某班50名学生右眼视力的检查结果如下表所示：
视力
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
1.0
1.2
1.5
人数
1
1
3
4
3
4
4
6
8
10
6
　则该班学生右眼视力的众数为________，中位数为________．
【提示】　(1)c　　　(2)1.2　0.8
　刻画一组数据集中趋势的统计量有平均数、中位数和众数．
平均数：n个数x1，x2，…，xn，那么它们的平均数为＝(x1＋x2＋…＋xn)．
中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)称为中位数．
众数：一组数据中，出现次数最多的数．
知识2
极差、方差、标准差
【问题导思】　
　甲、乙两名战士在相同条件下各射靶两次，每次命中的环数分别是：
　甲：8,6,7,8,6,5,9,10,4,7
乙：6,7,7,8,6,7,8,7,9,5
1．甲、乙两战士命中环数的平均数甲、乙各是多少？
【提示】　甲＝7环；乙＝7环．
2．由甲，乙能否判断两人的射击水平？
【提示】　由于甲＝乙，故无法判断．
3．观察上述两组数据，你认为哪个人的射击水平更稳定？
【提示】　从数字分布来看，甲命中的环数较分散，乙命中的环数较集中，故乙的射击水平更稳定．
　刻画一组数据离散程度的统计量有极差、方差、标准差．
极差：把一组数据中最大值与最小值的差叫作这组数据的极差．极差对极值非常敏感，一定程度上表明了该组数据的分散程度．
方差：设一组数据为x1，x2，x3，…，xn，其平均数为，则方差s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]，其单位是原始观测数据单位的平方．
标准差：它是方差的正的平方根，s＝＝，其单位与原始测量单位相同.
类型1
众数、中位数、平均数的计算与应用
　某工厂人员及周工资(单位：元)情况如下表：
人员
经理
管理人员
高级技工
工人
学徒
周工资
2
200
250
220
200
100
人数
1
6
5
10
1
(1)分别计算该工厂人员周工资的众数、中位数、平均数；
(2)第(1)问中计算出来的平均数能客观地反映该工厂人员的工资水平吗？为什么？
【思路探究】　平均数的计算应为总工资除以总人员，由表可知总工资为2
200×1＋250×6＋220×5＋200×10＋100×1＝6
900(元)，总人数为1＋6＋5＋10＋1＝23.
【自主解答】　(1)由上表可知：周工资的众数为200元，中位数为220元，平均数为＝300(元)．
(2)不能．虽然工厂人员的周平均工资为300元，但由表格中所列出的数据可知，只有经理的周工资在300元以上，其余人的周工资都在300元以下，故用平均数不能客观地反映该工厂人员的工资水平．
1．由此题可见，平均数受数据中的极端值的影响较大，这时平均数对总体估计的可靠性反而不如众数和中位数．
2．如果样本平均数大于样本中位数，说明数据中存在许多较大的极端值；反之，说明数据中存在许多较小的极端值．
　据报道，某公司的33名职工的月工资(以元为单位)如下：
职务
董事长
副董事长
董事
总经理
经理
管理员
职员
人数
1
1
2
1
5
3
20
工资
5
500
5
000
3
500
3
000
2
500
2
000
1
500
(1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数；
(2)假设副董事长的工资从5
000元提升到20
000元，董事长的工资从5
500元提升到30
000元，那么新的平均数、中位数、众数又是多少？(精确到元)
(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平，结合此题谈谈你的看法．
【解】　(1)平均数为＝
≈2
091(元)．
中位数为1
500元，众数为1
500元．
(2)平均数为′＝
≈3
288(元)．
中位数为1
500元，众数为1
500元．
(3)在此问题上，中位数和众数均能反映该公司员工的工资水平，因为该公司少数职工的月工资与大多数职工的月工资差距太大，故平均数不能反映该公司员工的工资水平．
类型2
方差、标准差的应用
　甲、乙两名战士在相同条件下各射靶10次，每次命中的环数分别是：
甲：8　6　7　8　6　5　9　10　4　7
乙：6　7　7　8　6　7　8　7　9　5
(1)分别计算以上两组数据的平均数；
(2)分别求出两组数据的方差；
(3)根据计算结果，估计一下两名战士的射击情况．
【思路探究】　求甲、乙→求s，s→
比较甲与乙，s与s→作出分析
【自主解答】　(1)甲＝(8＋6＋7＋8＋6＋5＋9＋10＋4＋7)＝7(环)．
乙＝(6＋7＋7＋8＋6＋7＋8＋7＋9＋5)＝7(环)．
(2)法一　由方差公式
s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]
可求得s＝3.0(环2)，s＝1.2(环2)．
法二　由方差公式s2＝[(x′＋x′＋…＋x′)－n2]计算s，s，求得s＝3.0(环2)，s＝1.2(环2)．
(3)∵甲＝乙，s>s，∴乙战士的射击成绩较稳定．
1．准确运用公式计算是本题的难点和关键，本题中两组数据的平均数相同，需比较它们的方差说明它们的波动大小．
2．计算方差(标准差)时，由于计算量较大，计算时需保证准确性．一般地，方差(标准差)越小，该组数据波动越小，越稳定．
　一机床加工直径为100
mm的零件，该机床在一小时内生产了6件产品并进行测量，测得如下数据(单位：mm)：
99,100,102,99,100,100.
计算上述数据的方差和标准差．
【解】　＝100＋(－1＋0＋2－1＋0＋0)＝100(mm)．
∵xi－(i＝1,2，…，6)得数据分别为－1,0,2，－1,0,0.
∴(xi－)2(i＝1,2，…，6)得数据分别为1,0,4,1,0,0.
所以s2＝×(1＋0＋4＋1＋0＋0)＝1(mm2)，
s＝1(mm).
对茎叶图结构理解错误致误
　(2011·北京高考改编)以下茎叶图记录了甲、乙两组各四位同学的植树棵数，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示
图1－4－1
如果X＝8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差．
【错解】　当X＝8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数为8,8,9,0，所以平均数为＝＝，
方差为：s2＝[(8－)2＋(8－)2＋(9－)2＋(0－)2]＝
【错因分析】　1.看不懂茎叶图，当X＝8时，认为乙组同学的植树棵数为8,8,9,0.
2．对方差公式的应用不熟练，出现计算错误．
【防范措施】　1.明确茎叶图的结构特征，分清茎上的数字及叶上的数字代表的几何意义．
2．熟记公式s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]提高运算求解的能力．
【正解】　当X＝8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数为8,8,9,10，所以平均数为＝＝，
方差为：s2＝[(8－)2＋(8－)2＋(9－)2＋(10－)2]＝.
1．平均数、中位数及众数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量，与每个样本数据有关，这是中位数、众数所不具有的性质．
2．标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小，标准差、方差越大，数据的离散程度就越大．
1．已知一组数据为10,20,30,40,40,40,50,60,70，其中平均数、中位数、众数的大小关系为(　　)
A．平均数>中位数>众数
B．平均数<中位数<众数
C．中位数<众数<平均数
D．中位数＝众数＝平均数
【解析】　中位数、众数、平均数均为40.
【答案】　D
2．(2012·山东高考)在某次测量中得到的A样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B样本数据恰好是A样本数据每个都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是(　　)
A．众数　　　　　　　　B．平均数
C．中位数
D．标准差
【解析】　对样本中每个数据都加上一个非零常数时不改变样本的方差和标准差，众数、中位数、平均数都发生改变．
【答案】　D
图1－4－2
A．84,4.84
B．84,1.6
C．85,1.6
D．85,4
【解析】　由题意知平均分＝＝85，
s2＝[(84－85)2＋(84－85)2＋(86－85)2＋(84－85)2＋(87－85)2]＝×8＝1.6.
【答案】　C
4．对自行车运动员甲、乙两人在相同条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度(m/s)的数据如下：
甲
27
38
30
37
35
31
乙
33
29
38
34
28
36
试判断选谁参加某项重大比赛更合适．
【解】　他们的平均速度为
甲＝(27＋38＋30＋37＋35＋31)＝33(m/s)，
乙＝(33＋29＋38＋34＋28＋36)＝33(m/s)．
他们的平均速度相同，再看方差：
s＝[(－6)2＋52＋(－3)2＋42＋22＋(－2)2]
＝(m2/s2)，
s＝[(－4)2＋52＋12＋(－5)2＋32]＝(m2/s2)．
则s>s，
即s甲>s乙，
故乙的成绩比甲稳定．
所以，选乙参加该项重大比赛更合适.
一、选择题
1．一组样本数据按从小到大的顺序排列为13,14,19，x,23,27,28,31，其中位数为22，则x等于(　　)
A．21　　　　　　　　　B．22
C．20
D．23
【解析】　∵＝22，
∴x＝21.
【答案】　A
2．运动员参加体操比赛，当评委亮分后，其成绩往往是先去掉一个最高分，去掉一个最低分，再计算剩下分数的平均值，这是因为(　　)
A．减少计算量
B．避免故障
C．剔除异常值
D．活跃赛场气氛
【解析】　因为在体操比赛的评分中使用的是平均分．记分过程中采用“去掉一个最高分，去掉一个最低分”的方法，就是为了防止个别裁判的人为因素而给出过高或过低的分数对选手的得分造成较大的影响，可以降低误差，尽量公平．
【答案】　C
3．甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表：
甲的成绩
环数
7
8
9
10
频数
5
5
5
5
　
乙的成绩
环数
7
8
9
10
频数
6
4
4
6
　
丙的成绩
环数
7
8
9
10
频数
4
6
6
4
s1，s2，s3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有(　　)
A．s3＞s1＞s2
B．s2＞s1＞s3
C．s1＞s2＞s3
D．s2＞s3＞s1
【解析】　由表可知：甲、乙、丙的成绩的平均数相等，均为8.5，经计算得甲、乙、丙的标准差分别为：
s1＝
≈1.118；
s2＝
≈1.204；
s3＝
≈1.025，
∴s2>s1>s3，故选B.
【答案】　B
4．如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为A和B，样本标准差分别为sA和sB则(　　)
图1－4－3
A.A>B，sA>sB
B.AsB
C.A>B，sAD.A【解析】　样本A数据均小于或等于10，样本B数据均大于或等于10，故A又样本B波动范围较小，故sA>sB.
【答案】　B
5．(2012·安徽高考)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图1－4－4所示，则(　　)
图1－4－4
A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数
B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数
C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差
D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差
【解析】　由条形统计图知：
甲射靶5次的成绩分别为：4,5,6,7,8；
乙射靶5次的成绩分别为：5,5,5,6,9，
所以甲＝＝6；乙＝＝6.
所以甲＝乙．
故A不正确．
甲的成绩的中位数为6，乙的成绩的中位数为5，故B不正确．
s＝[(4－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(7－6)2＋(8－6)2]＝×10＝2，s＝[(5－6)2＋(5－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(9－6)2]＝×12＝，因为2<，所以s【答案】　C
二、填空题
6．某老师从星期一到星期五收到的信件数分别是10,6,8,5,6，则该组数据的方差s2＝________.
【解析】　＝＝7，
s2＝(9＋1＋1＋4＋1)＝3.2.
【答案】　3.2
图1－4－5
7．如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人比赛得分的中位数之和是________．
【解析】　甲组数据为：13,15,23,26,28,34,37,39,41，故中位数为28.
乙组数据为：24,25,32,33,36,37,38,45,47，中位数为36，
故中位数之和为28＋36＝64.
【答案】　64
8．甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：
甲
乙
丙
丁
平均数
8.5
8.7
8.8
8.0
方差s2
3.5
3.5
2.1
8.7
则参加奥运会的最佳人选应为________．
【解析】　因丙的平均数最大，方差最小，故应选丙．
【答案】　丙
三、解答题
9．某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装传送带上，每隔30分钟抽一包产品，检验其质量是否合格．分别记录抽查数据如下：
甲车间：102,101,99,103,98,99,98；
乙车间：110,115,90,85,75,115,110.
计算甲、乙两车间包装的产品的均值与方差，并说明哪个车间包装的产品较稳定．
【解】　甲＝(102＋101＋99＋103＋98＋99＋98)
＝100，
乙＝(110＋115＋90＋85＋75＋115＋110)
＝100.
s＝[22＋12＋(－1)2＋32＋22＋12＋22]
≈3.428，
s＝[102＋152＋102＋152＋252＋152＋102]
＝×1
600≈228.6
s10．某公司销售部有销售人员15人，销售部为了制定某种商品的月销售定额，统计了这15人某月的销售量如下：
销售量(件)
1
800
510
250
210
150
120
人数
1
1
3
5
3
2
(1)求这15位销售人员该月销售量的平均数、中位数及众数；
(2)假设销售部负责人把月销售额定为320件，你认为是否合理，为什么？如不合理，请你制定一个较为合理的销售定额．
【解】　平均数为(1
800×1＋510×1＋250×3＋210×5＋150×3＋120×2)＝320(件)，
中位数为210件，众数为210件．
(2)不合理，因为15人中有13人的销售量未达到320件，也就是说虽然320是这一组数据的平均数，但它却不能反映全体销售人员的销售水平．销售额定为210件更合理些，这是由于210既是中位数又是众数，是大部分人能达到的定额．
11．农科院的专家为了了解新培育的甲、乙两种麦苗的长势情况，从甲、乙两种麦苗的试验田中各抽取6株麦苗测量麦苗的株高，数据如下：
(单位：cm)
甲：9,10,11,12,10,20
乙：8,14,13,10,12,21
(1)绘出所抽取的甲、乙两种麦苗株高的茎叶图；
(2)分别计算所抽取的甲、乙两种麦苗株高的平均数与方差，并由此判断甲、乙两种麦苗的长势情况．
【解】　(1)茎叶图如图所示：
(2)甲＝12，乙＝13，s＝13.67，s＝16.67.
乙种麦苗平均株高较高；甲种麦苗长的较为整齐.
(教师用书独具)
　在一次人才招聘会上，某公司的招聘人员告诉你：“我们公司员工的收入水平很高．去年，在50名员工中，最高年收入达到100万元，他们年收入的平均数是3.5万元”，如果你希望获得年收入2.5万元．
(1)判断自己能否成为此公司的一名高收入者？
(2)如果招聘人员继续告诉你：“员工年收入的变化范围是从0.5万元到100万元”，这个信息能否足以使你作出自己是否受聘的决定？为什么？
(3)如果招聘人员继续给你提供了如下的信息：“员工中年收入在中间50%(即去掉最少的25%和最多的25%后所剩下的)的变化范围是从1万元到3万元”，你又该如何使用这条信息来作出自己是否受聘的决定？
(4)你能估计出该公司员工年收入的中位数是多少吗？为什么平均数比估计出的中位数高很多？
【解】　(1)不能．因为平均年收入与最高年收入相差太多，说明高收入的员工只占极少数．现在已经知道至少有一名员工的年收入为100万元，由年收入的平均数是3.5万元知，其他员工的年收入总和为75万元，每人平均年收入只有≈1.53(万元)．如果再有几名年收入较高的员工，那么初进公司的员工的年收入将会更低．
(2)不能，要看中位数是多少．
(3)能受聘．可以确定有75%的员工年收入在1万元以上，其中25%的员工年收入在3万元以上．
(4)年收入的中位数大约是2万元．因为有年收入100万元这个极端值的影响，使得年收入平均数比中位数高许多．
　(2013·安徽高考)某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是(　　)
A．这种抽样方法是一种分层抽样
B．这种抽样方法是一种系统抽样
C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差
D．该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数
【解析】　A，不是分层抽样，因为抽样比不同．
B，不是系统抽样，因为随机询问，抽样间隔未知．
C，五名男生成绩的平均数是＝＝90，
五名女生成绩的平均数是＝＝91，
五名男生成绩的方差为s＝(16＋16＋4＋4＋0)＝8，
五名女生成绩的方差为s＝(9＋4＋4＋9＋4)＝6，
显然，五名男生成绩的方差大于五名女生成绩的方差．
D，由于五名男生和五名女生的成绩无代表性，不能确定该班男生和女生的平均成绩．
【答案】　C