1.5 用样本估计总体 课时检测（含答案）

1.5
用样本估计总体
课时检测
一、选择题
1．用样本频率估计总体分布的过程中，下列说法中正确的是(　　)
A．总体容量越大，估计越精确
B．总体容量越小，估计越精确
C．样本容量越大，估计越精确
D．样本容量越小，估计越精确
[答案]　C
[解析]　估计实质上是通过研究总体中样本的性状，来判断总体性状．样本容量越大，就与总体越接近，估计也越精确．故选C.
2．下列叙述中正确的是(　　)
A．从频率分布表可以看出样本数据对于平均数的波动大小
B．频数是指落在各个小组内的数据
C．每小组的频数与样本容量之比是这个小组的频率
D．组数是样本平均数除以组距
[答案]　C
[解析]　A中表示样本数据对于平均数波动大小的为方差与标准差；B中频数为落在各小组内数据的个数；D中组数是极差除以组距．
3．从一堆苹果中任取10只，称得它们的质量如下(单位：克)：
125　120　122　105　130　114　116　95　120　134
则样本数据落在[114.5,124.5)内的频率为(　　)
A．0.2
B.0.3
C．0.4
D.0.5
[答案]　C
[解析]　数据落在[114.5,124.5)内的有：120,122,116,120，共4个，故所求频率为＝0.4，故选C.
4．容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：
分组
[10,20)
[20,30)
[30,40)
[40,50)
[50,60)
[60,70)
频数
2
3
4
5
4
2
则样本数据落在区间[10,40)的频率为(　　)
A．0.35
B.0.45
C．0.55
D.0.65
[答案]　B
[解析]　本题考查了频数的运算，
由表可知样本数据落在[10,40)的频数为2＋3＋4＝9，故频率为＝0.45.
求频率要准确确定其频数及该样本的容量．
5．对某校400名学生的体重(单位：kg)进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，则学生体重在60kg以上的人数为(　　)
A．200
B.100
C．40
D.20
[答案]　B
[解析]　由频率分布直方图可知学生体重在60kg以上的频率为(0.04＋0.01)×5＝0.25，故学生体重在60kg以上的人数为400×0.25＝100.
6．已知样本：10,8,6,10,8,13,11,10,12,7,8,9,11,9,11,12,9,10,11,12.那么频率为0.2的范围是(　　)
A．5.5～7.5
B.7.5～9.5
C．9.5～11.5
D.11.5～13.5
[答案]　D
[解析]　只要列出频率分布表，就可找到答案，频率分布表如下表.
分组
频数累计
频数
频率
5.5～7.5
2
0.1
7.5～9.5
正一
6
0.3
9.5～11.5
正
8
0.4
11.5～13.5
4
0.2
合计
20
1
从表中可以知道频率为0.2的范围是11.5～13.5.
二、填空题
7.某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标)，所得数据都在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽样的100根中，有________根棉花纤维的长度小于20
mm.
[答案]　30
[解析]　本题主要考查频率分布直方图的应用，从而考查考生的识图与用图能力，同时也考查了考生的数据处理能力和分析解决问题的能力．
由题意知，棉花纤维的长度小于20mm的频率为(0.01＋0.01＋0.04)×5＝0.3，故抽测的100根中，棉花纤维的长度小于20mm的有0.3×100＝30(根)．
8．将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制成频率分布直方图．若第一组至第六组数据的频率之比为2∶3∶4∶6∶4∶1，且前三组数据的频数之和等于27，则n等于________．
[答案]　60
[解析]　设第一组至第六组数据的频率分别为2x,3x,4x,6x,4x，x，则2x＋3x＋4x＋6x＋4x＋x＝1，解得x＝，所以前三组数据的频率分别是，，，故前三组数据的频数之和等于＋＋＝27，解得n＝60.
三、解答题
9．(2015·青岛检测)某幼儿园根据部分同年龄段女童的身高数据绘制了频率分布直方图，其中身高的变化范围是[96,106](单位：厘米)，样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]．
(1)求出x的值；
(2)已知样本中身高小于100厘米的人数是36，求出样本总量N的数值；
(3)根据频率分布直方图提供的数据，求出样本中身高大于或等于98厘米并且小于104厘米的学生数．
[分析]　根据频率之和等于1可求出x的值，同时运用公式＝样本容量，可求出样本容量及相应频数．
[解析]　(1)由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小，且频率之和等于1，
∴0.050×2＋0.100×2＋0.125×2＋0.150×2＋x×2＝1，
∴x＝0.075.
(2)样本中身高小于100厘米的频率为
(0.050＋0.100)×2＝0.3.
∴样本容量N＝＝120.
(3)样本中身高大于或等于98厘米并且小于104厘米的频率为(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.75.
∴学生数为120×0.75＝90人．
10．在某中学举行的信息知识竞赛中，将高二年级两个班的参赛学生成绩(得分均为整数)进行整理后分成五组，绘制出如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右的第一、第三、第四、第五小组的频率分别是0.30、0.15、0.10、0.05，第二小组的频数是40.
(1)求第二小组的频率，并补全这个频率分布直方图．
(2)求这两个班参赛的学生人数是多少？
(3)这两个班参赛学生的成绩的中位数应落在第几小组内？(不必说明理由)
[解析]　(1)因为各小组的频率之和为1.00，第一、三、四、五小组的频率分别是0.30、0.15、0.10、0.05，所以第二小组的频率为1.00－(0.30＋0.15＋0.10＋0.05)＝0.40.
因为第二小组的频率为0.40，所以落在59.5～69.5内的第二小组的小长方形的高＝＝＝0.04，由此可补全频率分布直方图(如图阴影部分所示)．
(2)设高二年级两个班参赛的学生人数为x人，因为第二小组的频数为40，频率为0.40，所以＝0.40.
解得x＝100(人)．
所以高二年级两个班参赛的学生人数为100人．
(3)高二年级两个班参赛学生的成绩的中位数应落在第二小组内.
一、选择题
1．从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为(　　)
分数
5
4
3
2
1
人数
20
10
30
30
10
A.
B.
C．3
D.
[答案]　B
[解析]　∵＝
＝＝3，
∴s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]
＝×[20×22＋10×12＋30×02＋30×12＋10×22]
＝＝.
∴s＝，故选B.
2．在抽查某批产品尺寸的过程中，样本尺寸数据的频率分布表如下，则b等于(　　)
分组
[100，200]
(200，300]
(300，400]
(400，500]
(500，600]
(600，700]
频数
10
30
40
80
20
m
频率
0.05
0.15
0.2
0.4
a
b
A.0.1
B.0.2
C．0.25
D.0.3
[答案]　A
[解析]　样本容量n＝＝200，∴m＝20.
又＝a，∴a＝0.1.
则b＝1－(0.05＋0.15＋0.2＋0.4＋0.1)＝0.1.
二、填空题
3．某中学为了解学生数学课程的学习情况，在3
000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图(如图)．根据频率分布直方图推测，这3
000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是________．
[答案]　600
[解析]　由频率分布直方图易得，成绩低于60分的频率为0.002×10＋0.006×10＋0.012×10＝0.2，
故3
000名学生中成绩低于60分的学生数为：3
000×0.2＝600(人)．
4．(2015·湖北文，14)某电子商务公司对10
000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示．
(1)直方图中的a＝________；
(2)在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为________．
[答案]　3　6
000
[解析]　由频率分布直方图及频率和等于1可得0.2×0.1＋0.8×0.1＋1.5×0.1＋2×0.1＋2.5×0.1＋a×0.1＝1，解之得a＝3.于是消费金额在区间[0.5，0.9]内频率为0.2×0.1＋0.8×0.1＋2×0.1＋3×0.1＝0.6，所以消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为：0.6×10
000＝6
000，故应填3；6
000.
三、解答题
5．“八·一”前夕，某中学举行国防知识竞赛，满分为100分，80分以上为优秀，现将高一的两个班参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是0.30、0.40、0.15、0.10、0.05.
求：(1)成绩的众数、中位数．
(2)平均成绩．
[解析]　(1)由众数的概念可知，众数是出现次数最多的数，在直方图中高度最高的小长方形的中间值即为所求，所以众数为65.
∵第一个小矩形的面积为0.03×10＝0.3，
第二个小矩形的面积为0.04×10＝0.4，
∴第二个小矩形的中间线对应的成绩65分即为中位数．
(2)取每个小矩形底边的中点值乘每个小矩形面积即为平均数．
∴平均数为55×0.3＋65×0.4＋75×0.15＋85×0.10＋95×0.05＝67.
6．一名射击运动员射击8次所中环数如下：
9．9,10.3,9.8,10.1,10.4,10,9.8,9.7.
(1)8次射击平均环数是多少？标准差是多少？
(2)环数落在－s与＋s之间有几次？所占百分比是多少？
(提示：≈0.742，≈0.235，≈0.663)
[解析]　(1)＝10＋(－0.1＋0.3－0.2＋0.1＋0.4＋0－0.2－0.3)＝10(环)，
s2＝[(9.9－10)2＋(10.3－10)2＋…＋(9.7－10)2]＝[0.01＋0.09＋…＋0.09]＝×0.44＝0.055(环2)，所以s＝≈0.235(环)．
(2)－s＝9.765，＋s＝10.235.
所以环数落在－s与＋s之间的有5次，所占百分比为62.5%.
7.(2015·新课标Ⅱ文，18)某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表．
A地区用户满意度评分的频率分布直方图
B地区用户满意度评分的频数分布表
满意度评分分组
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
[90,100]
频数
2
8
14
10
6
(1)作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；
B地区用户满意度评分的频率分布直方图
(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级：
满意度评分
低于70分
70分到89分
不低于90分
满意度等级
不满意
满意
非常满意
估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由．
[解析]　(1)通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值，B地区用户满意度评分比较集中，而A地区用户满意度评分比较分散．
(2)A地区的用户的满意度等级为不满意的概率大．
记CA表示事件“A地区的用户的满意度等级为不满意”；CB表示事件“B地区的用户的满意度等级为不满意”．由直方图得P(CA)的估计值为(0.01＋0.02＋0.03)×10＝0.6，P(CB)的估计值为(0.005＋0.02)×10＝0.25.所以A地区的用户的满意度等级为不满意的概率大．