1.5.1 估计总体的分布 同步测试（含答案）

1.5.1
估计总体的分布
同步测试
一、选择题(每小题4分,共16分)
1.(2014·马鞍山高一检测)在100个人中,有40个学生,21个干部,29个工人,10个农民,则0.29是工人的　(　　)
A.频数
B.频率
C.累计频率
D.累计频数
【解析】选B.0.29=,表示频率.
2.(2014·郑州高一检测)200辆汽车通过某一段公路时,时速的频率分布直方图如图所示,则时速在[50,70)的汽车大约有　(　　)
A.60辆
B.80辆
C.70辆
D.140辆
【解析】选D.时速在[50,70)的频率为(0.03+0.04)×10=0.7,则200辆汽车中时速在[50,70)的汽车大约有0.7×200=140(辆).
3.(2014·天津高一检测)观察新生婴儿的体重(单位:g),其频率分布直方图如图所示,则新生婴儿体重在[2700,3000)内的频率为　(　　)
A.0.001
B.0.1
C.0.03
D.0.3
【解析】选D.由图可知当新生婴儿体重在[2700,3000)内时,=0.001,而组距为300,所以频率为0.001×300=0.3.故选D.
【误区警示】解答此类题目时,常常把矩形的高误认为频率导致解答错误.
【变式训练】有一个容量为20的样本数据,分组后各组频数如下:
[10,20)　2,　　[20,30)　3,　　[30,40)　4,
[40,50)　5,　　[50,60)　4,　　[60,70)　2.
则样本在区间[10,50)上的频率为　(　　)
A.5%
B.25%
C.50%
D.70%
【解析】选D.在区间[10,50)上的频率为
×100%=70%.
4.(2014·潍坊高一检测)在样本频率分布直方图中共有11个小矩形,若中间一个小矩形的面积等于所有各小矩形面积和的,样本容量是160,则中间一组的频数是　(　　)
A.0.2
B.0.25
C.32
D.40
【解析】选D.因为所有小矩形的面积和为1,所以中间这个小矩形的面积是=0.25,
即这一组样本数据的频率是0.25,所以这组的频数是160×0.25=40.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.一个容量为n的样本,分成若干组,已知某组的频数和频率分别为50和0.25,则n=__________.
【解析】n==200.
答案:200
6.(2014·大连高一检测)对一批数据进行整理,得到频率分布直方图后,已知某个小长方形的面积与其他各小长方形的面积之和相等,那么对应于这个小长方形的小组的频率是__________.
【解析】小长方形的面积即为对应小组的频率,且频率之和为1,所以该小长方形所对应的小组的频率是.
答案:
三、解答题(每小题12分,共24分)
7.调查某校高三年级男生的身高,随机抽取40名高三男生,实测身高数据(单位:cm)如下:
171　163　163　166　166　168　168　160　168
165　171　169　167　169　151　168　170　168
160　174　165　168　174　159　167　156　157
164　169　180　176　157　162　161　158　164
163　163　167　161
(1)作出频率分布表.
(2)画出频率分布直方图.
【解析】(1)最低身高151cm,最高身高180cm,它们的差是180-151=29(cm),即极差为29cm;确定组距为3,组数为10,列表如下:
分组(Δxi)
频数(ni)
频率(%)(fi)
[150.5,153.5)
1
2.
5
[153.5,156.5)
1
2.5
[156.5,159.5)
4
10.0
[159.5,162.5)
5
12.5
[162.5,165.5)
8
20.0
[165.5,168.5)
11
27.5
[168.5,171.5)
6
15.0
[171.5,174.5)
2
5.0
[174.5,177.5)
1
2.5
[177.5,180.5]
1
2.5
合计
40
100.0
(2)频率分布直方图如图所示.
8.(2013·济源高一检测)2012年3月2日,国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》.其中规定:居民区中的PM2.5年平均浓度不得超过35微克/立方米,PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米.某城市环保部门随机抽取了一居民区去年40天的PM2.
5的24小时平均浓度的监测数据,数据统计如下:
组别
PM2.5(微克/立方米)
频数(天)
频率
第一组
(0,15]
4
0.1
第二组
(15,30]
12
y
第三组
(30,45]
8
0.2
第四组
(45,60]
8
0.2
第五组
(60,75]
x
0.1
第六组
(75,90)
4
0.1
(1)试确定x,y的值,并写出该样本的众数和中位数(不必写出计算过程).
(2)完成相应的频率分布直方图.
(3)求出样本的平均数,并根据样本估计总体的思想,从PM2.5的年平均浓度考虑,判断该居民区的环境是否需要改进 说明理由.
【解析】(1)x=4,y=0.3,
众数为22.5微克/立方米,
中位数为37.5微克/立方米.
(2)其频率分布直方图如图所示:
(3)样本的平均数为7.5×0.1+22.5×0.3+37.5×0.2+52.5×0.2+67.5×0.1+82.5×0.1=40.5.
因为40.5>35,所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准,故该居民区的环境需要改进.
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.(2014·淮北高一检测)抽查某产品的尺寸过程中,将其尺寸分成若干组,[a,b]是其中一组,抽查出的个体数在该组上的频率为m,该组上的直方图的高为h,则|a-b|等于　(　　)
A.hm
B.
C.
D.与m,h无关
【解析】选C.因为|a-b|·h=m,
所以|a-b|=.
2.(2013·陕西高考)对一批产品的长度(单位:mm)进行抽样检测,如图为检测结果的频率分布直方图.根据标准,产品长度在区间[20,25)上的为一等品,在区间[15,20)和区间[25,30)上的为二等品,在区间[10,15)和[30,35]上的为三等品.用频率估计概率,现从该批产品中随机抽取一件,则其为二等品的概率为
　(　　)
A.0.09
B.0.20
C.0.25
D.0.45
【解题指南】根据频率分布直方图中纵轴的意义,计算样本数据落在区间[15,20)和区间[25,30)上的频率,用频率代替概率得二等品的概率.
【解析】选D.组距为5,二等品的概率为1-(0.02+0.06+0.03)×5=0.45.所以,从该批产品中随机抽取一件,则其为二等品的概率为0.45.
【举一反三】在本题中,若二等品有90件,那么一等品有多少件
【解析】产品总数为90÷0.45=200件.
200×0.06×5=60件.
3.(2014·山东高考)为研究某药品的疗效,选取若干名志愿者进行临床试验,所有志愿者的舒张压数据(单位:kPa)的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),
[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组,第二组,……,第五组.如图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人,第三组中没有疗效的有6人,则第三组中有疗效的人数为　(　　)
A.1
B.8
C.12
D.18
【解题指南】本题考查了频率分布直方图,先利用已知数据估计总体数据,然后再根据比例计算第三组中有效的人数.
【解析】选C.由图知,样本总数为N==50.设第三组中有疗效的人数为x,则=0.36,解得x=12.
【拓展延伸】巧用比例求频率
在频率分布直方图中,有时所求的区间不恰好是组的端点值,这时可以根据同底小矩形的面积(即频率)与它们的高成比例,来求需要的频率.
二、填空题(每小题4分,共8分)
4.(2013·湖北高考改编)从某小区抽取100户居民进行月用电量调查,发现其用电量的度数在[50，350],频率分布直方图如图所示.
(1)直方图中x的值为________.
(2)在这些用户中,用电量落在区间[100,250]内的户数为________.
【解题指南】各小矩形的面积即每小组的频率,面积和为1,矩形的高是频率比组距.
【解析】(1)50x=1-50×(0.0012+0.0024×2+0.0036+0.0060)=0.22,x=0.0044.
(2)100×(0.18+0.3+0.22)=70.
答案:(1)0.0044　(2)70
5.某乡镇供电所为了调查农村居民用电量情况,随机抽取了500户居民去年的用电量(单位:kW·h),将所得数据整理后,画出频率分布直方图如图.直方图中从左到右前3个小矩形的面积之比为1∶2∶3,该乡镇月均用电量在37～39(kW·h)的居民共有________户.
【解析】设频率分布直方图中从左到右前3个小矩形的面积分别为P,2P,3P.由频率分布直方图可知,最后两个小矩形的面积之和为(0.0875+0.0375)×2=0.25.因为频率分布直方图中各小矩形的面积之和为1,所以P+2P+3P=0.75,即P=0.125.则2P=0.25,那么可知月均用电量在37～39(kW·h)的居民共有0.25×500=125(户).
答案:125
三、解答题
(每小题10分,共20分)
6.(2014·长春高一检测)已知50个样本数据的分组以及各组的频数如下:
153.5～155.5,2　161.5～163.5,10
155.5～157.5,7　163.5～165.5,6
157.5～159.5,9　165.5～167.5,4
159.5～161.5,11　167.5～169.5,1
(1)列出频率分布表.
(2)画出频率分布直方图和频率分布折线图.
【解析】(1)频率分布表如下:
分组(Δxi)
频数(ni)
频率(fi)
153.5～155.5
2
0.04
155.5～157.5
7
0.14
157.5～159.5
9
0.18
159.5～161.5
11
0.22
161.5～163.5
10
0.20
163.5～165.5
6
0.12
165.5～167.5
4
0.08
167.5～169.5
1
0.02
合计
50
1.00
(2)频率分布直方图和频率分布折线图如图所示.
7.某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩,按成绩分组,得到的频率分布表如下所示.
组号
分组
频数
频率
第1组
[160,165)
5
0.050
第2组
[165,170)
①
0.350
第3组
[170,175)
30
②
第4组
[175,180)
20
0.200
第5组
[180,185]
10
0.100
合计
100
1.000
(1)请先求出频率分布表中①②位置相应的数据,再作出频率分布直方图.
(2)为了能选拔出最优秀的学生,高校决定在笔试成绩高的第3,4,5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试,则第3,4,5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试
【解题指南】由频率分布表的性质特点易知第2组的频数和第3组的频率,再根据分层抽样的方法计算出各组应抽取的人数.
【解析】(1)由题意可知,第2组的频数为0.350×100=35,第3组的频率为=0.300,
频率分布直方图如下:
(2)因为第3,4,5组共有60名学生,所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生,第3组:×6=3(名),第4组:×6=2(名),第5组:×6=1(名),所以第3,4,5组分别抽取3名,2名,1名.