1.5.2 估计总体的数字特征 同步测试（含答案）

1.5.2
估计总体的数字特征
同步测试
一、选择题(每小题3分,共18分)
1.(2014·南昌高一检测)下列说法正确的是　
(　　)
A.甲、乙两个班期末考试数学平均成绩相同,这表明这两个班数学学习情况一样
B.期末考试数学成绩的方差甲班比乙班的小,这表明甲班的数学学习情况比乙班好
C.期末考试数学平均成绩甲、乙两班相同,方差甲班比乙班大,则数学学习情况甲班比乙班好
D.期末考试数学平均成绩甲、乙两班相同,方差甲班比乙班小,则数学学习情况甲班比乙班好
【解析】选D.在平均成绩相同的情况下,方差小的说明成绩比较集中,学习状况较好.
2.(2014·深圳高一检测)一个容量为40的样本数据依次为x1,x2,…,x40,若这个样本的标准差为s=,记s
=,则s
=　(　　)
A.2
B.
C.
D.4
【解析】选A.设s
=x.
由题意得:=,即=,所以x=2.
3.若M个数的平均数是X,N个数的平均数是Y,则这M+N个数的平均数是　(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.该题考查平均数的概念及运算.共有M+N个数,这M+N个数的和为(MX+NY),故这M+N个数的平均数为.
【变式训练】(2012·江西高考)样本(x1,x2,…,xn)的平均数为,样本(y1,y2,…,ym)的平均数为(≠).若样本(x1,x2,…,xn,y1,y2,…,ym)的平均数=α+(1-α),其中0<α<,则n,m的大小关系为　(　　)
A.nB.n>m
C.n=m
D.不能确定
【解题指南】用,表示出,结合已知条件,建立α,m,n所满足的关系式,由α的范围获得n,m所满足的不等关系,进而判断出n与m的大小关系.
【解析】选A.由已知得x1+x2+…+xn=n,
y1+y2+…+ym=m,
==
=α+(1-α),
整理得(-)[αm+(α-1)n]=0,
因为≠,所以αm+(α-1)n=0,
即=,
又α∈,
所以0<<1,
所以0<<1,所以n4.某同学使用计算器求30个数据的平均数时,错将其中一个数据105输入为15,那么由此求出的平均数与实际平均数的差是　(　　)
A.3.5
B.-3
C.3
D.-0.5
【解析】选B.错将数据105输入为15,则平均数少=3,即与实际平均数的差是-3.
5.(2014·珠海高一检测)统计某校1000名学生的数学测试成绩,得到样本频率分布直方图如图所示(每组包含左端点,不包含右端点),若满分为100分,规定不低于60分为及格,则及格率是　(　　)
A.20%
B.25%
C.6%
D.80%
【解析】选D.由样本频率分布直方图得成绩不低于60分的频率为(0.025+0.035+0.010+0.010)×10=0.8=80%.
【误区警示】解答此题时往往因不能正确获取图中信息而致误.准确读图是解决此类问题的关键.
6.(2014·陕西高考)设样本数据x1,x2,…,x10的均值和方差分别为1和4,若yi=xi+a(a为非零常数,i=1,2,…,10),则y1,y2,…,y10的均值和方差分别为
　(　　)
A.1+a,4
B.1+a,4+a
C.1,4
D.1,4+a
【解析】选A.样本数据x1,x2,…,x10的均值=(x1+x2+…+x10)=1,
方差s′2=[(x1-1)2+(x2-1)2+…+(x10-1)2]=4,
新数据x1+a,x2+a,…,x10+a的均值
=(x1+a+x2+a+…+x10+a)=(x1+x2+…+x10)+a=1+a,
新数据x1+a,x2+a,…,x10+a的方差
s2=[(x1+a-1-a)2+(x2+a-1-a)2+…+(x10+a-1-a)2]
=[(x1-1)2+(x2-1)2+…+(x10-1)2]=4.
二、填空题(每小题4分,共12分)
7.从某地区15000位老人中随机抽取500人,其生活能否自理的情况如表所示:
则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多__________人.
【解析】在容量为500的随机样本中,生活不能自理的老人中男性比女性多2人,则在该地区约为2÷=60(人).
答案:60
8.由正整数组成的一组数据x1,x2,x3,x4,其平均数和中位数都是2,且标准差等于1,则这组数据为________.(从小到大排列)
【解题指南】要知道平均数及中位数(按从小到大或从大到小的顺序排列,若奇数个数据取中间的数,若偶数个数据取中间两个数的平均数)的求法,以及标准差公式.
【解析】假设这组数据按从小到大的顺序排列为x1,x2,x3,x4,
则所以
s=
=
=,
又s=1,所以(x1-2)2+(x2-2)2=2,
同理可求得(x3-2)2+(x4-2)2=2,
由x1,x2,x3,x4均为正整数,且(x1,x2),(x3,x4)均为圆(x-2)2+(y-2)2=2上的点,分析知x1,x2,x3,x4应为1,1,3,3.
答案:1,1,3,3
9.若k1,k2,…,k8的平均数为8,方差为3,则2(k1-3),2(k2-3),…,2(k8-3)的平均数为__________.
【解析】因为k1,k2,…,k8的平均数为=,
2(k1-3),2(k2-3),…,2(k8-3)的平均数为==2-6=2×8-6=10.
答案:10
【举一反三】本题中,2(k1-3),2(k2-3),…,2(k8-3)的方差为__________.
【解析】因为k1,k2,…,k8的方差为3,即
3=[(k1-)2+(k2-)2+…+(k8-)2],
所以2(k1-3),2(k2-3),…,2(k8-3)的方差
s2=[(2k1-6-)2+(2k2-6-′)2+…+(2k8-6-′)2]
=[(2k1-6-2+6)2+(2k2-6-2+6)2+…+(2k8-6-2+6)2]
=[4(k1-)2+4(k2-)2+…+4(k8-)2]
=4×
[(k1-)2+(k2-)2+…+(k8-)2]
=4×3=12.
答案:12
三、解答题(每小题10分,共20分)
10.农场种植的甲、乙两种水稻在面积相等的两块稻田连续6年的年平均产量如下:
甲:900,920,900,850,910,920;
乙:890,960,950,850,860,890.
哪种水稻的产量比较稳定
【解析】==900,
==900.
s甲=
==,
s乙=
==,
=,s甲所以甲水稻的产量比较稳定.
【一题多解】将甲、乙两组数据分别减去900得
甲′:0,20,0,-50,10,20.
乙′:-10,60,50,-50,-40,-10.
因此,==0;
==0.
s甲′=
==,
s乙′=
==,
所以=+900=900,=+900=900,
s甲=s甲′=,s乙=s乙′=.
因此,=,s甲故甲水稻的产量比较稳定.
11.(2014·烟台高一检测)为了了解高中学生的体能情况,体育组决定抽取三个年级部分学生进行跳绳测试,并将所得的数据整理后画出频率分布直方图(如图).已知图中从左到右的前三个小组的频率分别是0.1,0.3,0.4,第一小组的频数是5.
(1)求第四小组的频率和参加这次测试的学生人数.
(2)在这次测试中,学生跳绳次数的中位数落在第几小组内
(3)若跳绳成绩在100以上(含100)为优秀,试估计此次跳绳测试的优秀率.
【解析】(1)第四小组的频率为1-(0.1+0.3+0.4)=0.2,因为第一小组的频数为5,第一小组的频率为0.1,
所以参加这次测试的学生人数为5÷0.1=50(人).
(2)0.3×50=15,0.4×50=20,
0.2×50=10,则第一、第二、第三、第四小组的频数分别为5,15,20,10.所以学生跳绳次数的中位数落在第三小组内.
(3)跳绳成绩的优秀率为(0.4+0.2)×100%=60%.
一、选择题(每小题4分,共16分)
1.(2014·西安高一检测)为了解我国13岁男孩的平均身高,从北方抽取了300个男孩,平均身高1.60m;从南方抽取了200个男孩,平均身高为1.50m.由此可推断我国13岁男孩的平均身高为　(　　)
A.1.57m
B.1.56cm
C.1.55cm
D.1.54cm
【解析】选B.因为从北方抽取了300个男孩,平均身高1.60m;从南方抽取了200个男孩,平均身高为1.50m,
所以这500个13岁男孩的平均身高是
=1.56(m).
所以由此可推断我国13岁男孩的平均身高为1.56m.
2.李大伯承包了一个果园,种植了100棵樱桃树,今年已进入收获期,收获时,从中任选并采摘了10棵树的樱桃,分别称得每棵树所产樱桃的质量如表:
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
质量/千克
14
21
27
17
18
20
19
23
19
22
据调查,市场上今年樱桃的批发价格为每千克15元,用所学的统计知识估计今年此果园樱桃的总产量与按批发价格销售樱桃所得的总收入分别约为　(　　)
A.200千克,3
000元　　　
B.1
900千克,28
500元
C.2
000千克,30
000元
D.1
850千克,27
750元
【解题指南】计算每棵树的平均产量,从而得出总产量和总收入.
【解析】选C.样本平均数为=
=20(千克).
由此可估计每棵樱桃树所产樱桃平均约为20千克,所以这100棵樱桃树所产樱桃的质量约为20×100=2000(千克).再根据樱桃批发价格为每千克15元,可得总收入约为15×2000=30000(元).
3.(2014·广州高二检测)一组数据的平均数、方差分别是,s2,将这组数据中的每一个数都乘以2,得到一组新数据,这组新数据的平均数、方差分别是　(　　)
A.,s2
B.2,2s2
C.2,4s2
D.,s2
【解析】选C.因为本题中新数据中每一个数都是原数据的2倍,所以新样本中的每一个数据是原样本中每个数据的2倍,所以新样本的平均数是原样本平均数的2倍,方差为原样本方差的4倍.
【举一反三】在本题中,若每一个样本数据都增加2,则平均数、方差将分别有怎样的变化
【解析】样本数据都增加2,则平均值增加2,方差不变.
4.为了了解市民的环保意识,某校高一(1)班50名学生在6月5日(世界环境日)这一天调查了各自家庭丢弃旧塑料袋的情况,有关数据如下表:
每户丢弃塑料袋个数
2
3
4
5
户数
6
16
15
13
则这50户居民每天丢弃旧塑料袋的标准差为　(　　)
A.0.955
B.0.965
C.0.975
D.0.985
【解析】选D.==3.7,
s2=×[6×(2-3.7)2+16×(3-3.7)2+15×(4-3.7)2+13×(5-3.7)2]
=×(17.34+7.84+1.35+21.97)
=0.97.
标准差s=≈0.985.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.如果数据x1,x2,x3,…,xn的平均数为10,方差为2,则数据7x1-2,7x2-2,7x3-2,
…,7xn-2的平均数为__________,方差为__________.
【解析】平均数=7×10-2=68,
方差=72×2=98.
答案:68　98
6.若6个数的标准差为2,平均数为1,则此6个数的平方和为__________.
【解析】由s=
=,
即2=,
由此即得结论:++…+=30.
答案:30
三、解答题(每小题12分,共24分)
7.(2014·重庆高一检测)某校高一学生共有500人,为了了解学生的历史学习情况,随机抽取了50名学生,对他们一年来4次考试的历史平均成绩进行统计,得到频率分布直方图如图所示,后三组频数成等比数列.
(1)求第五、六组的频数,补全频率分布直方图.
(2)若每组数据用该组区间中点值(例如区间[70,80)的中点值是75)作为代表,试估计该校高一学生历史成绩的平均分.
(3)估计该校高一学生历史成绩在70～100分范围内的人数.
【解析】(1)设第五、六组的频数分别为x,y.
由题设得,第四组的频数是0.024×10×50=12.
则x2=12y.
又x+y=50-(0.012+0.016+0.03+0.024)×10×50,即x+y=9,
所以x=6,y=3.
补全频率分布直方图如图.
(2)该校高一学生历史成绩的平均分
=(45×0.012+55×0.016+65×0.03+75×0.024+85×0.012+95×0.006)×10=67.6.
(3)该校高一学生历史成绩在70～100分范围内的人数为500×(0.024+0.012+0.006)×10=210.
【拓展延伸】由特征数估计总体的策略
平均数与方差,都是重要的数学特征数,是对总体的一种简明的描述.它们所反映的情况有着重要的实际意义,所以,不仅需要掌握其计算公式和方法,还要学会通过这些数据分析其含义,从而为正确决策提供依据.
【变式训练】甲、乙两名战士在相同条件下各射靶10次,每次命中的环数分别是:
甲:8,6,7,8,6,5,9,10,4,7;
乙:6,7,7,8,6,7,8,7,9,5.
(1)分别计算以上两组数据的平均数.
(2)分别求出两组数据的方差.
(3)根据计算结果,估计一下两名战士的射击情况.
【解析】(1)=×(8+6+7+8+6+5+9+10+4+7)=7(环),
=×(6+7+7+8+6+7+8+7+9+5)
=7(环).
(2)由方差公式s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2],得=3.0(环2),=1.2(环2).
(3)=,说明甲、乙两战士的平均水平相当;
>,说明甲战士射击情况波动大,因此乙战士比甲战士射击情况稳定.
8.从某校参加数学竞赛的试卷中抽取一个样本,考查竞赛的成绩分布,将样本分成6组,得到频率分布直方图如图,从左到右各小组的小长方形的高的比为1∶1∶3∶6∶4∶2,最右边的一组的频数是8.请结合直方图的信息,解答下列问题:
(1)样本容量是多少
(2)成绩落在哪个范围的人数最多 并求出该小组的频数和频率.
(3)估计这次数学竞赛成绩的众数、中位数和平均数.
【解析】(1)从左到右各小组的频率分别为,,,,,,样本容量为=68.
(2)成绩落在70～80的人数最多,频率为,频数为68×=24.
(3)众数的估计值是75.
中位数的估计值是70+×10=≈75.83.
平均数的估计值是×45+×55+×65+×75+×85+×95=75.