1.5.2 估计总体的数字特征 学案3（含答案）

1.5.2　估计总体的数字特征
学案
1．能根据实际问题的需求合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并作出合理的解释．
2．会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征；初步体会数字特征的随机性．
1．样本均值和样本标准差
假设通过随机抽样得到的样本为x1，x2，…，xn，则
样本平均数为＝__________________，
样本标准差为
s＝________________________.
2．估计总体的数字特征
利用随机抽样得到样本，从样本数据得到的分布、平均数和标准差(通常称之为样本分布、样本平均数和样本标准差)并不是总体真正的分布、平均数和标准差，而只是总体的一个________，但这个估计是合理的，特别是当样本容量________时，它们确实反映了总体的信息．
【做一做】甲、乙两人学习成绩的茎叶图如图所示．
(1)分别求出这两名同学学习成绩的平均数和标准差；
(2)比较这两名同学的成绩，谈谈你的看法．
方差和标准差有什么区别？
剖析：方差和标准差的计算公式是：
一般地，设样本为x1，x2，…，xn，样本的平均数为，则
样本方差s2＝.
样本标准差s＝.
由计算公式来看样本方差是样本标准差的平方，即样本标准差是样本方差的平方根，这是它们的最本质区别，它们表达的意义和作用完全相同．但是由于标准差的单位与原始数据测量单位相同，在统计中，通常用标准差来刻画数据的离散程度．
题型一
利用方差分析数据
【例题1】甲、乙两种冬小麦试验品种连续5年的平均单位面积产量如下(单位：t/hm2)：
品种
第一年
第二年
第三年
第四年
第五年
甲
9.8
9.9
10.1
10
10.2
乙
9.4
10.3
10.8
9.7
9.8
根据这组数据判断应该选择哪一种小麦进行推广．
分析：从平均数和方差两个角度去考虑．
反思：平均数和方差是样本的两个重要的数字特征，方差越大，表明数据越分散，相反地，方差越小，数据越集中稳定；平均数越大，表明数据的平均水平越高；平均数越小，表明数据的平均水平越低．
题型二
用样本的数字特征估计总体的数字特征
【例题2】甲、乙两台机床同时加工直径为100
mm的零件，为了检验产品的质量，从产品中各随机抽取6件进行测量，测得数据如下(单位：mm)：
甲：99　100　98　100　100　103
乙：99　100　102　99　100　100
(1)分别计算上述两组数据的平均数和方差；
(2)根据(1)的计算结果，说明哪一台机床加工的这种零件更符合要求．
分析：利用平均数与方差公式分别进行计算，并作出判断．
反思：平均数描述了数据的平均水平，定量地反映了数据的集中趋势所处的水平．方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．
1在统计中，样本的标准差可以近似地反映总体的(　　)．
A．平均状态
B．分布规律
C．波动大小
D．最大值和最小值
2用分层抽样抽取了容量为10的样本，其平均数为5.1，方差为0.
2，则总体的平均数与方差分别估计是(　　)．
A．5.1,0.2
B．0.2,0.2
C．5.1,2
D．都不能估计
3已知一组数据按从小到大的顺序排列为－3,0,5，x,9,16，且这组数据的中位数为7，那么这组数据的众数为(　　)．
A．0
B．9
C．16
D．9.5
4已知一个样本为1,3,2,5，x，它的平均数是3，则这个样本的标准差是________．
5下面是某校学生日睡眠时间的抽样频率分布表(单位：h)：
日睡眠时间/h
人数
频率
[6,6.5)[6.5,7)[7,7.5)[7.5,8)[8,8.5)[8.5,9)
517333762
0.050．170．330．370．060．02
合计
100
1
试估计该校学生的日平均睡眠时间．
答案：
基础知识·梳理
1．　
2．估计　很大
【做一做】分析：首先由茎叶图读出数据，计算平均数，注意用简便方法，然后求出标准差，最后依据结果比较，可以借助于计算器．
解：(1)甲≈87，s甲≈12.7；乙≈93，s乙≈11.2.
(2)由于甲＜乙，s甲＞s乙，
所以甲的学习成绩没有乙的学习成绩好，也没有乙的学习成绩稳定．
典型例题·领悟
【例题1】解：甲种冬小麦的平均单位面积产量
甲＝＝10，
乙种冬小麦的平均单位面积产量
乙＝＝10，
则甲、乙两种冬小麦平均单位面积产量相同．
甲种冬小麦平均单位面积产量的方差为
s甲2＝×[(9.8－10)2＋(9.9－10)2＋(10.1－10)2＋(10－10)2＋(10.2－10)2]＝0.02，
乙种冬小麦平均单位面积产量的方差为
s乙2＝×[(9.4－10)2＋(10.3－10)2＋(10.8－10)2＋(9.7－10)2＋(9.8－10)2]＝0.244，
则s甲2＝0.02＜s乙2＝0.244，
所以甲种小麦的平均单位面积产量比较稳定．
因此选择甲种小麦进行推广．
【例题2】解：(1)甲＝＝100，
乙＝＝100，
s甲2＝[(99－100)2＋(100－100)2×3＋(98－100)2＋(103－100)2]＝，
s乙2＝[(99－100)2×2＋(100－100)2×3＋(102－100)2]＝1.
(2)因为s甲2＞s乙2，说明甲机床加工的这种零件波动比较大，因此乙机床加工的这种零件更符合要求．
随堂练习·巩固
1．C　2．A
3．B　由中位数定义得，＝7，∴x＝9.∴众数为9，故选B.
4．　＝3，从而x＝4，∴标准差为.
5．分析：利用这个样本来估计该校学生的日平均睡眠时间．要确定这100名学生的日平均睡眠时间，就必须计算总睡眠时间，由于每组中的个体睡眠时间只是一个范围，可以用各组区间的组中值近似地表示．
解法一：总睡眠时间约为
6.25×5＋6.75×17＋7.25×33＋7.75×37＋8.25×6＋8.75×2＝739(h)．
故平均睡眠时间约为＝7.39(h)．
解法二：求组中值与对应频率之积的和：
6.25×0.05＋6.75×0.17＋7.25×0.33＋7.75×0.37＋8.25×0.06＋8.75×0.02＝7.39(h)．
故该校学生的日平均睡眠时间约为7.39
h.