1.6-1.7 统计活动、相关性 学案1（含答案）

1.6-1.7
统计活动、相关性
学案
[读教材·填要点]
1．散点图
在考虑两个变量的关系时，为了对变量之间的关系有一个大致的了解，通常将变量所对应的点描出来，这些点就组成了变量之间的一个图，通常称这种图为变量之间的散点图．
2．变量之间的相关关系
从散点图上可以看出，如果变量之间存在着某种关系，这些点会有一个集中的大趋势，这种趋势通常可以用一条光滑的曲线来近似，这样的近似过程称为曲线拟合．若两个变量x和y的散点图中，所有点看上去都在一条直线附近波动，则称这两个变量是线性相关的，而若所有点看上去在某条曲线(不是直线)附近波动，则称此相关为非线性相关．如果所有点在散点图中没有显示任何关系，则称变量间是不相关的．
[小问题·大思维]
1．相关关系和函数关系有什么异同？
提示：如果一个变量每取一个值，另一个变量总有唯一确定的值与之对应，那么，这两个变量就是函数关系；如果一个变量每取一个值，另一个变量的取值带有一定的随机性，并且从总体上来看有关系，但不是确定性关系，那么，就说这两个变量具有相关关系．
2．判断下列图中的两个变量，具有相关关系的有哪些？
提示：由图易知，(1)、(3)描述的是函数关系，(2)、(4)是散点图，其中(4)不存在明显的依赖关系，所以只有(2)中的两个变量具有相关关系．
[研一题]
[例1]　下列关系中，属于相关关系的是________．
①正方形的边长与面积之间的关系；
②农作物的产量与施肥量之间的关系；
③人的身高与年龄之间的关系；
④降雪量与交通事故的发生率之间的关系．
[自主解答]　在①中，正方形的边长与面积之间的关系是函数关系；在②中，农作物的产量与施肥量之间不具有严格的函数关系，但具有相关关系；在③中，人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系，也不是相关关系，因为人的年龄达到一定时期身高就不发生明显变化了，因而它们不具有相关关系；在④中，降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系．
[答案]　②④
[悟一法]
两个变量x和y相关关系的确定方法：
(1)散点图法：通过散点图，观察它们的分布是否存在一定规律，直观地判断；
(2)表格、关系式法：结合表格或关系式进行判断；
(3)经验法：借助积累的经验进行分析判断．
[通一类]
1．下列关系中为相关关系的有(　　)
①学生的学习态度和学习成绩之间的关系；
②老师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系；
③学生的身高与学生的学习成绩之间的关系；
④家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的关系．
A．①②　　　　　　　　
B．①③
C．②③
D．②④
解析：由相关关系定义可知，①②是相关关系，③④无相关关系．
答案：A
[研一题]
[例2]　下面是水稻产量与施化肥量的一组观测数据：
施化肥量
15
20
25
30
35
40
45
水稻产量
320
330
360
410
460
470
480
(1)将上述数据制成散点图；
(2)你能从散点图中发现施化肥量与水稻产量近似成什么关系吗？水稻产量会一直随施化肥量的增加而增加吗？
[自主解答]　(1)散点图如下：
(2)从图中可以发现施化肥量与水稻产量具有线性相关关系，当施化肥量由小到大变化时，水稻产量由小变大，图中的数据点大致分布在一条直线的附近，因此施化肥量和水稻产量近似成线性相关关系，但水稻产量只是在一定范围内随着化肥施用量的增加而增大．
[悟一法]
利用散点图判断不同变量的相关性时，其关键是正确画出散点图，然后观察分布规律：是分布在一条直线附近波动还是一条曲线附近波动，还是没有任何规律，从而得出线性相关、非线性相关或不相关的结论．
[通一类]
2．5个学生的数学和物理成绩如下表：
学生成绩学科
A
B
C
D
E
数学
80
75
70
65
60
物理
70
66
68
64
62
画出散点图，并判断它们是否具有线性相关关系．
解：以x轴表示数学成绩，y轴表示物理成绩，可得相应的散点图如图所示，由散点图可知，两者之间具有线性相关关系．
下列关系中带有随机性相关关系的有________．
①光照时间与果树的亩产量的关系；
②圆柱体积与其底面直径的关系；
③自由下落的物体的质量与落地时间的关系；
④球的表面积与球半径之间的关系．
[错解]　①
[错因]　①光照时间与果树的亩产量之间的关系是相关关系；②圆柱体积与两个变量相关，一是底面面积，一是高，这里直径决定了底面面积，而高还是一个可变量，因此在高没有确定的情况下，圆柱体积与底面直径只具有相关关系，而不是函数关系；③自由下落的物体的质量与落地时间无关，它们不具有相关关系；④球的表面积与球半径满足S＝4πR2，故它们具有函数关系．
[正解]　①②
1．下列变量是线性相关的是(　　)
A．人的体重与视力
B．圆心角的大小与所对的圆弧长
C．收入水平与购买能力
D．人的年龄与体重
解析：B为确定关系；A、D不具有线性关系，C具有相关关系．
答案：C
2．下列分别是3对变量的散点图，则具有相关关系的是(　　)
A．①②③　　　　　　　　
B．①③
C．②③
D．②
答案：B
3．对于给定的两个变量的统计数据，下列说法正确的是(　　)
A．都可以分析出两个变量的关系
B．都可以用一条直线近似地表示两者的关系
C．都可以作出散点图
D．都可以用确定的表达式表示两者的关系
解析：给出一组样本数据，总可以作出相应的散点图，但不一定都能分析出两个变量的关系，更不一定是具有线性相关或函数关系．
答案：C
4．为了判断两个变量x，y之间是否具有相关关系，在直角坐标系中，描出每一组观测值(x，y)表示的点，得到的图形称为________．
答案：散点图
5．有下列关系：①曲线上的点与该点关于原点的对称点的坐标之间的关系；②苹果的产量与气候之间的关系；③森林中的同一种树木，其断面直径与高度之间的关系．其中，具有相关关系的是________．
答案：②③
6．李老师为了了解学生的计算能力，对某同学进行了10次试验，收集数据如下：
题数x(道)
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
做题时间y(分钟)
9
19
26
37
48
52
61
73
81
89
画出散点图，并判断它们是否有线性相关关系．
解：散点图如图，由散点图可以看出，两者之间具有线性相关关系．
一、选择题
1．下列语句所表示的事件中的因素不具有相关关系的是(　　)
A．瑞雪兆丰年　　　　　
B．名师出高徒
C．吸烟有害健康
D．喜鹊叫喜，乌鸦叫丧
解析：瑞雪兆丰年和名师出高徒是根据多年经验总结归纳出来的，吸烟有害健康具有科学根据，所以它们都是相关关系，所以A、B、C三项具有相关关系；结合生活经验知喜鹊和乌鸦发出叫声是它们自身的生理反映，与人无任何关系，不具有相关关系．
答案：D
2．试从下面四个图中的点在散点图上的分布状态，直观上初步判断两个变量之间有线性相关关系的是(　　)
答案：C
3．下列两个变量间的关系，是相关关系的是(　　)
A．任意实数和它的平方
B．圆半径和圆的面积
C．正多边形的边数和对角线的条数
D．天空中的云量和下雨
解析：很明显A、B、C三项都是函数关系；根据生活经验，天空中的云量和下雨之间不是确定性关系，虽然有云彩不一定下雨，但是如果没有云彩一定不下雨，这说明它们之间是相关关系．
答案：D
4．下列说法正确的是(　　)
A．相关关系是函数关系
B．函数关系是相关关系
C．线性相关关系是一次函数关系
D．相关关系有两种，分别是线性相关关系和非线性相关关系
解析：函数关系和相关关系互不包含，所以A、B、C三项不正确；根据定义，相关关系有两种，分别是线性相关关系和非线性相关关系．
答案：D
5．2003年春季，我国部分地区SARS流行，党和政府采取果断措施，防治结合，很快使病情得到控制．根据某同学记载的5月1日至5月12日每天北京市SARS病患者治愈的数据绘制出的散点图如图所示．
下列说法：
①根据此散点图，可以判断日期与人数具有线性相关关系；
②根据此散点图，可以判断日期与人数具有一次函数关系．
其中正确的为(　　)
A．①②
B．①
C．②
D．以上都不对
解析：①正确．
答案：B
二、填空题
6．下列两个变量之间的关系不是函数关系的是________．
①圆的周长和它的半径
②正方体的表面积与它的棱长
③正n边形的边数和内角和
④人的体重和身高
答案：④
7．下面各组变量之间具有相关关系的是________(填上正确答案的序号)．
①高原含氧量与海拔高度．
②速度一定时，汽车行驶的路程和所用的时间．
③学生的成绩和学生的学号．
④父母的身高和子女的身高．
答案：①④
8．下列两个变量之间的关系，是函数关系的有________．
①球的体积和它的半径
②人的血压和体重
③底面积为定值的长方体的体积和高
④城镇居民的消费水平和平均工资
答案：①③
三、解答题
9．某个男孩的年龄与身高的统计数据如下：
年龄(岁)
1
2
3
4
5
6
身高(cm)
78
87
98
108
115
120
画出散点图，并判断它们是否具有相关关系．
解：散点图如下．
由散点图可清楚地看到，在一定的范围内，这个男孩的年龄与身高具有明显的正相关关系，即该男孩的身高随着年龄的增大而增大．
10．有时候，一些东西吃起来口味越好，对我们的身体越有害，下表给出了不同类型的某种食品的数据．第二行表示此种食品所含热量的百分比，第三行数据表示由一些美食家以百分制给出的对此种食品口味的评价：
品牌
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
所含热量的百分比
25
34
20
19
26
20
19
24
19
13
口味记录
89
89
80
78
75
71
65
62
60
52
(1)作出散点图；
(2)你能从散点图中发现两者之间的近似关系吗？
(3)如果近似成线性关系，请画出一条直线来近似地表示这种线性关系；
(4)对于这种食品，为什么人们更喜欢吃位于直线上方的食品而不是下方的？
解：(1)散点图如图所示.
(2)从上图看基本近似成线性相关关系．
(3)所画直线如上图所示．
(4)因为当直线上方的食品和下方的食品所含热量相同时，直线上方的食品口味更好．