1.7-1.8 相关性、最小二乘估计 课时检测（含答案）

1.7-1.8
相关性
最小二乘估计
课时检测
一、选择题
1．下列变量之间的关系是函数关系的是(　　)
A．光照时间与大棚内蔬菜的产量
B．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，其中a、c是常数，b为自变量，因变量是这个函数的判别式Δ＝b2－4ac
C．每亩施肥量与粮食亩产量之间的关系
D．人的身高与所穿鞋子的号码之间的关系
[答案]　B
[解析]　应用变量相关关系的定义加以判断．A项，光照时间与大棚内蔬菜的产量是相关关系．B项，判别式Δ＝b2－4ac与b是函数关系．C项，每亩施肥量与粮食亩产量是相关关系．D项，人的身高与所穿鞋子的号码在一定时期是相关关系，故选B.
2．设有一个回归直线方程为y＝2－1.5x，则变量x每增加1个单位时(　　)
A．y平均增加1.5个单位
B．y平均增加2个单位
C．y平均减少1.5个单位
D．y平均减少2个单位
[答案]　C
[解析]　回归直线方程y＝2－1.5x是关于x的递减函数，因为y随x的增大而减小，因此排除了A，B，回归直线方程y＝2－1.5x的一次项系数为－1.5，因此变量x每增加一个单位，y平均减少1.5个单位，因此选C
.
3．(2015·湖北文，4)已知变量x和y满足关系y＝－0.1x＋1，变量y与z正相关．下列结论中正确的是(　　)
A．x与y正相关，x与z负相关
B．x与y正相关，x与z正相关
C．x与y负相关，x与z负相关
D．x与y负相关，x与z正相关
[答案]　C
[解析]　因为变量x和y满足关系y＝－0.1x＋1，其中－0.1<0，所以x与y成负相关；又因为变量y与z正相关，不妨设z＝ky＋b(k>0)，则将y＝－0.1x＋1代入即可得到：z＝k(－0.1x＋1)＋b＝－0.1kx＋(k＋b)，所以－0.1k<0，所以x与z负相关，综上可知，应选C.
4．在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直线y＝x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为(　　)
A．－1
B.0
C.
D.1
[答案]　D
[解析]　本题考查了相关系数及相关性的判定．
样本相关系数越接近1，相关性越强，现在所有的样本点都在直线y＝x＋1上，样本的相关系数应为1.
要注意理清相关系数的大小与相关性强弱的关系．
5．工人月工资y(元)依劳动生产率x(千元)变化的回归方程为y＝50＋80x，下列判断正确的是(　　)
A．劳动生产率为1000元时，工资为130元
B．劳动生产率提高1000元，则工资平均提高80元
C．劳动生产率提高1000元，则工资平均提高130元
D．当月工资为210元时，劳动生产率为2000元
[答案]　B
[解析]　由线性回归方程知，回归方程表示的直线不一定经过各离散点，得到的y值是一个近似值，故选B.
6．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表
广告费用x(万元)
4
2
3
5
销售额y(万元)
49
26
39
54
根据上表可得回归方程y＝bx＋a中的b为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为(　　)
A．63.6万元
B.65.5万元
C．67.7万元
D.72.0万元
[答案]　B
[解析]　∵＝＝，＝＝42，又y＝bx＋a必过(，)，∴42＝×9.4＋a，
∴a＝9.1.
∴线性回归方程为y＝9.4x＋9.1.
∴当x＝6时，y＝9.4×6＋9.1＝65.5(万元)．
二、填空题
7．某饮料店的日销售收入y(单位：百元)与当天平均气温x(单位：℃)之间有下列数据：
x
－2
－1
0
1
2
y
5
4
2
2
1
甲、乙、丙三位同学对上述数据进行研究，分别得到了x与y之间的三个回归直线方程：①y＝－x＋2.8；②y＝－x＋3；③y＝－1.2x＋2.6，其中正确的是________．(只填写序号)
[答案]　①
[解析]　＝0，＝2.8，
把＝0，＝2.8代入①②③检验，只有①符合.
8．某小卖部为了了解热茶销售量y(杯)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4天卖出的热茶的杯数与当天气温，并制作了对照表：
气温(℃)
18
13
10
－1
杯数
24
34
38
64
由表中数据算得线性回归方程y＝bx＋a中的b≈－2，预测当气温为－5℃时，热茶销售量为________杯．
[答案]　70
[解析]　根据表格中的数据可求得＝(18＋13＋10－1)＝10，＝(24＋34＋38＋64)＝40.
∴a＝－b＝40－(－2)×10＝60.
∴y＝－2x＋60.
当x＝－5时，y＝－2×(－5)＋60＝70.
三、解答题
9．某商场品牌毛衣专柜为了了解毛衣的月销量y(件)与月平均气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4个月的月销量与当月平均气温，其数据如下表：
月平均气温x(℃)
17
13
8
2
月销量y(件)
24
33
40
55
(1)请画出上表数据的散点图；
(2)根据表中数据求出y关于x的线性回归方程y＝bx＋a；
(3)气象部门预测下个月的平均气温约为6℃，据此估计，该商场专柜下个月毛衣的销售量约为多少件？
[解析]　(1)散点图如图所示．
(2)由表中数据可得：＝＝10，
＝＝38，
又b＝－2，所以a＝38－(－2)×10＝58，
从而线性回归方程为y＝－2x＋58.
(3)当月的平均气温约为6℃时，其销售量约为y＝－2×6＋58＝46(件)．
10．(2015·重庆文，17)随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表：
年份
2010
2011
2012
2013
2014
时间代号t
1
2
3
4
5
储蓄存款y
(千亿元)
5
6
7
8
10
(1)求y关于t的回归方程＝t＋；
(2)用所求回归方程预测该地区2015年(t＝6)的人民币储蓄存款．
附：回归方程＝t＋中，
　　　　＝，＝－
.
[解析]　(1)列表计算如下
i
ti
yi
t2i
tiyi
1
1
5
1
5
2
2
6
4
12
3
3
7
9
21
4
4
8
16
32
5
5
10
25
50
∑
15
36
55
120
这里n＝5，＝i＝＝3，＝i＝＝7.2.
又lnt＝i－n
2＝55－5×32＝10，lny＝iyi－n
＝120－5×3×7.2＝12.
从而＝＝＝1.2，＝－
＝7.2－1.2×3＝3.6.故所求回归方程为＝1.2t＋3.6.
(2)将t＝6代入回归方程可预测该地区2015年的人民币储蓄存款为＝1.2×6＋3.6＝10.8(千亿元)．
一、选择题
1．下列叙述中：
①变量间关系有函数关系，又有相关关系；
②回归函数即用函数关系近似地描述相关关系；
③i＝x1＋x2＋…＋xn；
④线性回归方程y＝bx＋a中，b＝，
a＝－b；
⑤线性回归方程一定可以近似地表示相关关系．
其中正确的有(　　)
A．①②③
B.①②④⑤
C．①②③④
D.③④⑤
[答案]　C
[解析]　线性回归方程只能近似地表示线性相关关系．
2．某考察团对全国10个城市进行职工人均工资水平x(千元)与居民人均消费水平y(千元)统计调查，y与x具有相关关系，回归方程y＝0.66x＋1.562，若某城市居民人均消费水平为7.675(千元)，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为(　　)
A．83%
B.72%
C．67%
D.66%
[答案]　A
[解析]　该城市居民人均消费水平7.675＝0.66x＋1.562，
解得x≈9.262
1，则估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为×100%≈83%.
二、填空题
3.改革开放以来，我国高等教育事业迅速发展，为调查农村从2005年到2015年18岁到24岁的青年人每年考入大学的百分比，为便于统计，把2005年到2015年的年号依次编为0,1，…，10作为自变量x，每年考入大学的百分比作为因变量，进行回归分析，得到回归直线方程y＝1.80＋0.42x
下面对数据解释正确的是________．
①每年升入大学的百分比为1.80；②升入大学的18岁到24岁的人数大约每年以0.42%的速度递增；③2005年升入大学的百分比约为1.80%，2015年升入大学的百分比约为6%；④2005年到2015年升入大学的人数成等距离增加．
[答案]　②③
[解析]　由b＝0.42表示回归直线y＝1.80＋0.42x的斜率估值，a＝1.80表示截距，再结合直线方程中斜率与截距的意义可得②③正确．
4．在2015年春节期间，某市物价部门，对本市五个商场销售的某商品的一天销售量及其价格进行调查，五个商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示：
价格x
9
9.5
10
10.5
11
销售量y
11
10
8
6
5
通过分析，发现销售量y对商品的价格x具有线性相关关系，则销售量y对商品的价格x的回归直线方程为________．
[答案]　y＝－3.2x＋40
[解析]　由数据表可得＝10，＝8，
b＝－3.2，∴y＝－3.2x＋a，又过点(10,8)
得a＝40，∴回归直线方程为y＝－3.2x＋40.
三、解答题
5．某公司近年来科研费用支出x万元与公司所获得利润y万元之间有如下的统计数据：
x
2
3
4
5
y
18
27
32
35
(1)请画出上表数据的散点图；
(2)观察散点图，判断y与x是否具有线性相关关系．
[分析]　本题中涉及两个变量：利润与科研经费，以科研经费为自变量，考查利润的变化趋势，从而做出判断.
[解析]　(1)散点图如下：
(2)由图可知，所有数据点接近直线排列，
因此认为y与x有线性相关关系．
6．假设关于某设备使用年限x年和所支出的维修费用y(万元)，有如下的统计资料：
x
2
3
4
5
6
y
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
请画出上表数据的散点图，判断它们是否具有相关关系，若相关，求出y关于x的回归方程．
[解析]　散点图如下：
由散点图可知，两变量之间具有相关关系，且为线性相关．列表，计算
i
1
2
3
4
5
xi
2
3
4
5
6
yi
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
xiyi
4.4
11.4
22.0
32.5
42.0
x
4
9
16
25
36
＝4，＝5；＝90，iyi＝112.3
设所求回归方程为：y＝bx＋a，则由上表可得
b＝＝＝＝1.23，
a＝－b＝5－1.23×4＝0.08.
∴回归方程为y＝1.23x＋0.08.
7．某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：
年份
2003
2005
2007
2009
2011
需求量(万吨)
236
246
257
276
286
(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程y＝bx＋a；
(2)利用(1)中所求的直线方程预测该地2016年的粮食需求量．
温馨提示：若对数据作适当的预处理，可避免对大数字进行运算．
[解析]　(1)由所给数据分析，年需求量与年份之间近似直线上升，可对数据进行预处理如下表
年份－2007
－4
－2
0
2
4
需求量－257
－21
－11
0
19
29
对预处理后的数据，容易算出
＝0，＝3.2，
iyi＝－4×(－21)＋(－2)×(－11)＋2×19＋4×29＝260，
＝16＋4＋0＋4＋16＝40，
∴b＝＝＝6.5，
∴a＝－b＝3.2，
∴所求回归直线方程y－257＝6.5(x－2007)＋3.2.
即y＝6.5(x－2007)＋260.2
(2)当x＝2016时，
y＝6.5(2016－2007)＋260.2＝318.7万吨，
故预测2016年粮食需求量约为318.7万吨．