1.8 最小二乘法 学案1（含答案）
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文档简介
1.8
最小二乘法
学案
一、学习目标
1．掌握最小二乘法的思想
2．能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程
二、重点、难点
重点：最小二乘法的思想
难点：线性回归方程系数公式的应用
三、课前预习
1、用什么样的线性关系刻画会更好一些？
2、用什么样的方法刻画点与直线的距离会方便有效？
3、怎样刻画多个点与直线的接近程度？
4、怎样使达到最小值？
5．求回归直线方程的思想方法
观察散点图的特征，发现各点大致分布在一条直线的附近，思考：类似图中的直线可画几条？
四、堂中互动
【教师点拨】求线性回归方程,通常是用计算器来完成的.在有的计算器中，可通过直接按键的得出线性回归方程的系数.如果用一般的科学计算器进行计算，则要先列出相应的表格，有了表格中的那些相关数据，线性回归方程中的系数也就很容易求出来了.
（另：线性回归方程中，）
例1
在上一节练习中，从散点图可以看出，某小卖部6天卖出热茶的杯数（y）与当天气温（x）之间是线性相关的。数据如下表
气温（xi）／oC[
26
18
13
10
4
-1
杯数（yi）／杯
20
24
34
38
50
64
试用最小二乘法求出线性回归方程。
如果某天的气温是－3
oC，请预测可能会卖出热茶多少杯。
点评：了解最小二乘法的概念，熟记求线性回归方程公式.
五、即学即练
1．正常情况下，年龄在18岁到38岁的人们，体重y（kg）依身高x（cm）的回归方程为y=0.72x-58.5。张红红同学不胖不瘦，身高1米78，他的体重应在
kg左右。
2．已知x，y之间的一组数据如下表，则y与x的线性回归方程y=a+bx必经过点（
）
x
0
1
2
3
y
1
3
5
7
3．某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表：
商店名称
A
B
C
D
E
销售额（x）/千万元
3
5
6
7
9
利润额（y）/百万元
2
3
3
4
5
画出销售额和利润额的散点图；
若销售额和利润额具有相关关系，计算利润额y对销售额x的回归直线方程。
练案
A组
1、下列说法中正确的是（
）
A．任何两个变量都具有相关关系
B．人的知识与其年龄具有相关关系
C．散点图中的各点是分散的没有规律
D．根据散点图求得的回归直线方程都是有意义的
2.对于回归方程=2.75x+9，当x=4时，y的估计值是
.
3.给出施化肥量对水稻产量影响的试验数据：
施化肥量x
15
20
25
30
35
40
45
水稻产量y
330
345
365
405
445
450
455
(1)画出上表的散点图;
(2)求出回归直线并且画出图形
B组
1.变量y与x之间的回归方程（）
A．表示y与x之间的函数关系
B．表示y和x之间的不确定关系
C．反映y和x之间真实关系的形式
D．反映y与x之间的真实关系达到最大限度的吻合
2.线性回归方程=bx＋a必过（
）
A、(0，0)点
B、(，0)点
C、(0，)点
D、(，)点
3.设一个回归方程为=3—1.2x，则变量x增加一个单位时(
)
A、y平均增加1.2个单位
B、y平均增加3个单位
C、y平均减少1.2个单位
D、y平均减少3个单位
4．在某种产品表面进行腐蚀线试验，得到腐蚀深度y与腐蚀时间x之间对应的一组数据：
时间t(s)
5
10
15
20
30
40
50
60
70
90
120
深度y(μm)
6
10
10
13
16
17
19
23
25
29
46
(1)画出散点图；
(2)试求腐蚀深度y对时间t的回归直线方程。
1.8
最小二乘法答案
三、课前预习
1、想法：保证这条直线与所有点都近（也就是距离最小）。
最小二乘法就是基于这种想法。
2、设直线方程为y=a+bx，样本点A（xi，yi）
方法一、点到直线的距离公式
方法二、
显然方法二能有效地表示点A与直线y=a+bx的距离，而且比方法一更方便计算，所以我们用它来表示二者之间的接近程度。
3、例如有5个样本点，其坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（x4，y4），（x5，y5）与直线y=a+bx的接近程度：
从而我们可以推广到n个样本点：（x1，y1），（x2，y2），…（xn，yn）与直线y=a+bx的接近程度：
使得上式达到最小值的直线y=a+bx就是我们所要求的直线，这种方法称为最小二乘法
4、先来讨论3个样本点的情况
设有3个点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），则由最小二乘法可知直线y=a+bx与这3个点的接近程度由下面表达式刻画：
…………………①
整理成为关于a的一元二次函数，如下所示：
利用配方法可得
从而当时，使得函数达到最小值。
将代入①式，整理成为关于b的一元二次函数，
同样使用配方法可以得到，当
时，使得函数达到最小值。
从而得到直线y=a+bx的系数a，b，且称直线y=a+bx为这3个样本点的线性回归方程。
用同样的方法我们可以推导出n个点的线性回归方程的系数：
其中
由我们知道线性回归直线y=a+bx一定过。
5．引导学生分析，最能代表变量x与y之间关系的直线的特征：即n个偏差的平方和最小，其过程简要分析如下：设所求的直线方程为，其中a、b是待定系数。
则，于是得到各个偏差。
显见，偏差的符号有正负，若将它们相加会造成相互抵消，所以它们的和不能代表几个点与相应直线在整体上的接近程度，故采用n个偏差的平方和
表示n个点与相应直线在整体上的接近程度。
记。
上述式子展开后，是一个关于a，b的二次多项式，应用配方法，可求出使Q为最小值时的a，b的值，即
其中
以上方法称为最小二乘法。
四、堂中互动
例1
解：（1）先画出其散点图
i
xi
yi
xi2
xiyi
1
26
20
676
520
2
18
24
324
432
3
13
34
169
442
4
10
38
100
380
5
4
50
16
200
6
－1
64
1
－64
合计
70
230
1286
1910
可以求得
则线性回归方程为y
=57.557－1.648x
（2）当某天的气温是－3
oC时，卖出热茶的杯数估计为：
五、即学即练
1．
69.66
2．D
3解：（1）
（2）数据如下表：
i
xi
yi
xi2
xiyi
1
3
2
9
6
2
5
3
25
15
3
6
3
36
18
4
7
4
49
28
5
9
5
81
45
合计
30
17
200
112
可以求得b=0.5，a=0.4
线性回归方程为：
练案
A组
1、B
2.
20
3.解：(1)散点图（略）．
(2)表中的数据进行具体计算，列成以下表格
i
1
2
3
4
5
6
7
xi
15
20
25
30
35
40
45
yi
330
345
365
405
445
450
455
xiyi
4950
6900
9125
12150
15575
18000
20475
,
故可得到
B组
1.
D
2.
D
3.
C
4．解：(1)散点图略，呈直线形.
(2)经计算可得：
故所求的回归直线方程为。
最小二乘法
学案
一、学习目标
1．掌握最小二乘法的思想
2．能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程
二、重点、难点
重点：最小二乘法的思想
难点：线性回归方程系数公式的应用
三、课前预习
1、用什么样的线性关系刻画会更好一些？
2、用什么样的方法刻画点与直线的距离会方便有效？
3、怎样刻画多个点与直线的接近程度？
4、怎样使达到最小值？
5．求回归直线方程的思想方法
观察散点图的特征，发现各点大致分布在一条直线的附近，思考：类似图中的直线可画几条？
四、堂中互动
【教师点拨】求线性回归方程,通常是用计算器来完成的.在有的计算器中，可通过直接按键的得出线性回归方程的系数.如果用一般的科学计算器进行计算，则要先列出相应的表格，有了表格中的那些相关数据，线性回归方程中的系数也就很容易求出来了.
（另：线性回归方程中，）
例1
在上一节练习中，从散点图可以看出，某小卖部6天卖出热茶的杯数（y）与当天气温（x）之间是线性相关的。数据如下表
气温（xi）／oC[
26
18
13
10
4
-1
杯数（yi）／杯
20
24
34
38
50
64
试用最小二乘法求出线性回归方程。
如果某天的气温是－3
oC，请预测可能会卖出热茶多少杯。
点评：了解最小二乘法的概念，熟记求线性回归方程公式.
五、即学即练
1．正常情况下，年龄在18岁到38岁的人们，体重y（kg）依身高x（cm）的回归方程为y=0.72x-58.5。张红红同学不胖不瘦，身高1米78，他的体重应在
kg左右。
2．已知x，y之间的一组数据如下表，则y与x的线性回归方程y=a+bx必经过点（
）
x
0
1
2
3
y
1
3
5
7
3．某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表：
商店名称
A
B
C
D
E
销售额（x）/千万元
3
5
6
7
9
利润额（y）/百万元
2
3
3
4
5
画出销售额和利润额的散点图；
若销售额和利润额具有相关关系，计算利润额y对销售额x的回归直线方程。
练案
A组
1、下列说法中正确的是（
）
A．任何两个变量都具有相关关系
B．人的知识与其年龄具有相关关系
C．散点图中的各点是分散的没有规律
D．根据散点图求得的回归直线方程都是有意义的
2.对于回归方程=2.75x+9，当x=4时，y的估计值是
.
3.给出施化肥量对水稻产量影响的试验数据：
施化肥量x
15
20
25
30
35
40
45
水稻产量y
330
345
365
405
445
450
455
(1)画出上表的散点图;
(2)求出回归直线并且画出图形
B组
1.变量y与x之间的回归方程（）
A．表示y与x之间的函数关系
B．表示y和x之间的不确定关系
C．反映y和x之间真实关系的形式
D．反映y与x之间的真实关系达到最大限度的吻合
2.线性回归方程=bx＋a必过（
）
A、(0，0)点
B、(，0)点
C、(0，)点
D、(，)点
3.设一个回归方程为=3—1.2x，则变量x增加一个单位时(
)
A、y平均增加1.2个单位
B、y平均增加3个单位
C、y平均减少1.2个单位
D、y平均减少3个单位
4．在某种产品表面进行腐蚀线试验，得到腐蚀深度y与腐蚀时间x之间对应的一组数据：
时间t(s)
5
10
15
20
30
40
50
60
70
90
120
深度y(μm)
6
10
10
13
16
17
19
23
25
29
46
(1)画出散点图；
(2)试求腐蚀深度y对时间t的回归直线方程。
1.8
最小二乘法答案
三、课前预习
1、想法：保证这条直线与所有点都近（也就是距离最小）。
最小二乘法就是基于这种想法。
2、设直线方程为y=a+bx，样本点A（xi，yi）
方法一、点到直线的距离公式
方法二、
显然方法二能有效地表示点A与直线y=a+bx的距离，而且比方法一更方便计算，所以我们用它来表示二者之间的接近程度。
3、例如有5个样本点，其坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（x4，y4），（x5，y5）与直线y=a+bx的接近程度：
从而我们可以推广到n个样本点：（x1，y1），（x2，y2），…（xn，yn）与直线y=a+bx的接近程度：
使得上式达到最小值的直线y=a+bx就是我们所要求的直线，这种方法称为最小二乘法
4、先来讨论3个样本点的情况
设有3个点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），则由最小二乘法可知直线y=a+bx与这3个点的接近程度由下面表达式刻画：
…………………①
整理成为关于a的一元二次函数，如下所示：
利用配方法可得
从而当时，使得函数达到最小值。
将代入①式，整理成为关于b的一元二次函数，
同样使用配方法可以得到，当
时，使得函数达到最小值。
从而得到直线y=a+bx的系数a，b，且称直线y=a+bx为这3个样本点的线性回归方程。
用同样的方法我们可以推导出n个点的线性回归方程的系数：
其中
由我们知道线性回归直线y=a+bx一定过。
5．引导学生分析，最能代表变量x与y之间关系的直线的特征：即n个偏差的平方和最小，其过程简要分析如下：设所求的直线方程为，其中a、b是待定系数。
则，于是得到各个偏差。
显见，偏差的符号有正负，若将它们相加会造成相互抵消，所以它们的和不能代表几个点与相应直线在整体上的接近程度，故采用n个偏差的平方和
表示n个点与相应直线在整体上的接近程度。
记。
上述式子展开后，是一个关于a，b的二次多项式，应用配方法，可求出使Q为最小值时的a，b的值，即
其中
以上方法称为最小二乘法。
四、堂中互动
例1
解：（1）先画出其散点图
i
xi
yi
xi2
xiyi
1
26
20
676
520
2
18
24
324
432
3
13
34
169
442
4
10
38
100
380
5
4
50
16
200
6
－1
64
1
－64
合计
70
230
1286
1910
可以求得
则线性回归方程为y
=57.557－1.648x
（2）当某天的气温是－3
oC时，卖出热茶的杯数估计为：
五、即学即练
1．
69.66
2．D
3解：（1）
（2）数据如下表：
i
xi
yi
xi2
xiyi
1
3
2
9
6
2
5
3
25
15
3
6
3
36
18
4
7
4
49
28
5
9
5
81
45
合计
30
17
200
112
可以求得b=0.5，a=0.4
线性回归方程为：
练案
A组
1、B
2.
20
3.解：(1)散点图（略）．
(2)表中的数据进行具体计算，列成以下表格
i
1
2
3
4
5
6
7
xi
15
20
25
30
35
40
45
yi
330
345
365
405
445
450
455
xiyi
4950
6900
9125
12150
15575
18000
20475
,
故可得到
B组
1.
D
2.
D
3.
C
4．解：(1)散点图略，呈直线形.
(2)经计算可得：
故所求的回归直线方程为。