1.8 最小二乘估计 学案3（含答案）
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1.8
最小二乘估计
学案
课标解读
1.了解最小二乘法的思想及意义(重点)．2．会求线性回归方程并进行简单应用(难点).
知识1
最小二乘法
【问题导思】
一台机器由于使用时间较长，生产的零件有一些会有缺陷．按不同转速生产出有缺陷的零件的统计数据如下：
转速x(转/秒)
16
14
12
8
每小时生产有缺陷的零件数y(件)
11
9
8
5
1.在平面直角坐标系中作出散点图．
【提示】
2．从散点图中判断x和y之间是否具有相关关系？
【提示】 有．
3．若转速为10转/秒，能否预测机器每小时生产缺陷的零件件数？
【提示】 可以．根据散点图作出一条直线，求出直线方程后可预测．
利用最小二乘法估计时，要先作出数据的散点图．如果散点图呈现一定的规律性，我们再根据这个规律进行拟合．如果散点图呈现出线性关系，我们可以用最小二乘法估计出线性回归方程；如果散点图呈现出其他的曲线关系，我们就要利用其他的曲线进行拟合．
知识2
线性回归方程
如果用表示，用表示，则可以求得
b＝
＝eq
\f(x1y1＋x2y2＋…＋xnyn－n\x\to(x),x＋x＋…＋x－n2)
a＝－b，这样得到的直线方程称为线性回归方程，a，b是线性回归方程的系数.
类型1
求线性回归方程
下表是某旅游区游客数量与平均气温的对比表：
平均气温(℃)
－1
4
10
13
18
26
数量(百个)
20
24
34
38
50
64
试判断游客数量与平均气温对应两个变量是否线性相关，若线性相关，求出其回归直线方程．
【思路探究】 确定横、纵轴的意义画出散点图，若样本点分布在某条直线附近，则两变量之间是有线性关系．
【自主解答】 (1)散点图如图所示：
可知气温与游客数量呈线性相关关系，下面求其回归直线方程．
∵＝＝，＝＝，
x＋x＋…＋x
＝1＋16＋100＋169＋324＋676＝1
286，
x1y1＋x2y2＋…＋x6y6
＝－20＋96＋340＋13×38＋18×50＋26×64＝3
474.
∴b＝
＝≈1.68，
a＝－b≈18.73，
即所求的线性回归方程为y＝1.68x＋18.73.
1．知道x与y呈线性相关关系，无需进行相关性检验，否则，应首先进行相关性检验，如果两个变量之间本身不具有相关关系，即使求出回归方程也是毫无意义的．
2．求线性回归方程的步骤
(1)计算平均数、；
(2)计算x1y1＋x2y2＋…＋xnyn；
(3)计算x＋x＋…＋x；
(4)将上述有关结果代入公式
求b、a，把b、a代入方程y＝a＋bx，写出回归方程．
以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y和新房屋的面积x的数据：
新房屋面积/m2
115
110
80
135
105
销售价格/万元
24.8
21.6
18.4
29.2
22
(1)画出数据对应的散点图；
(2)求线性回归方程．
【解】 (1)作出散点图如下图所示：
(2)由(1)中的散点图可知y与x具有线性相关关系．
＝xi＝109，
(xi－)2＝1
570，
＝yi＝23.2，
(xi－)(yi－)＝308，
设所求线性回归方程为y＝bx＋a，b＝＝≈0.196.a＝－b＝23.2－109×≈1.816
6.
故所求线性回归方程为y＝0.196x＋1.816
6.
类型2
线性回归方程的应用
假设关于某设备的使用年限x(年)和所支出的维修费用y(万元)有如下统计资料：
x
2
3
4
5
6
y
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
若由资料知，y与x线性相关．
(1)求回归直线方程y＝bx＋a中a与b的值；
(2)估计使用年限为10年时，维修费用是多少？
【思路探究】 先求出回归直线方程．若回归方程为y＝bx＋a，则在x＝x0处的估计值为y0＝bx0＋a.
【自主解答】 (1)列表：
i
1
2
3
4
5
xi
2
3
4
5
6
yi
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
xiyi
4.4
11.4
22.0
32.5
42.0
＝4，＝5.＝90，iyi＝112.3.
其中，b＝＝＝＝1.23
a＝－b＝5－1.23×4＝0.08.
(2)回归直线方程为y＝1.23x＋0.08.
当x＝1时，y＝1.23×10＋0.08＝12.38.
即使用年限为10年时，维修费用约为12.38万元．
1．本题中正确求出回归直线方程后，可预测使用年限为5年、10年、15年、20年等时总支出费用的值，当然这仅是一种分析预测，事实上，可能因其他因素会产生偏差，我们认为12.38万元仅是一种估计．
2．利用线性回归方程进行回归分析，在实际问题中，应先正确求出回归直线方程，然后才能准确求解．当一个变量确定时，另一变量的值，也才能准确分析和预测．
一台机器由于使用时间较长，生产的零件有一些会有缺损，按不同转速生产出来的零件有缺损的统计数据如下表所示：
转速x(转/秒)
16
14
12
8
每小时生产有缺损零件数y(个)
11
9
8
5
(1)作出散点图；
(2)如果y与x线性相关，求出回归直线方程；
(3)若实际生产中，允许每小时的产品中有缺损的零件最多为10个，那么，机器的运转速度应控制在什么范围内？
【解】 (1)作散点图如图所示：
(2)由散点图可知y与x线性相关．
故可设回归直线方程为y＝bx＋a.
依题意，用计算器可算得：
＝12.5，＝8.25，
＝660，
iyi＝438.
∴b＝≈0.73，
a＝－b＝8.25－0.73×12.5＝－0.875.
∴所求回归直线方程为y＝0.73x－0.875.
(3)令y＝10，得0.73x－0.875＝10，
解得x＝15，
即机器的运转速度应控制在15转/秒内.
散点图及回归直线方程在实际中的应用有误
有人统计了同一个省的6个城市一年的人均国民生产总值(即人均GDP)和这一年各城市患白血病的儿童数，如下表：
人均GDP(万元)
10
8
6
4
3
1
患白血病的儿童人数
351
312
207
175
132
180
(1)画出散点图，并判定两个变量是否具有线性相关关系；
(2)通过计算可得两个变量的回归直线方程为y＝23.25x＋102.25，假如一个城市的人均GDP为12万元，那么可以断言，这个城市患白血病的儿童一定超过380人，请问这个断言是否正确？
【错解】 (1)根据表中数据画出散点图．如图所示，从图中可以看出，虽然后5个点大致分布在一条直线附近，但第一个点离这条直线太远，所以这两个变量不具有线性相关关系．
(2)将x＝12代入y＝23.25x＋102.25，得y＝23.25×12＋102.25＝381.25，所以上述断言是正确的．
【错因分析】 在第(1)问中，是否具有线性相关关系，要看大部分点，主流点是否分布在一条直线附近，个别点是不影响“大局”的，所以可断定这两个变量具有线性相关关系．在第(2)问中，381.25只是一个估计值，由它不能断言这个城市患白血病的儿童一定超过380人．如果这个城市的污染很严重，有可能人数远远超过380，若这个城市的环境保护的很好，则人数就有可能远远低于380.
【防范措施】 正确理解线性相关的概念和最小二乘法思想是解决本题的关键．
【正解】 (1)根据表中数据画散点图，如错解中的图所示，从图上可以看出，在6个点中，虽然第一个点离这条直线较远，但其余5个点大致分布在这条直线的附近，所以这两个变量具有线性相关关系．
(2)将x＝12代入y＝23.25x＋102.25，得y＝23.25×12＋102.25＝381.25＞380,
即便如此，但因381.25只是一个估计值，会受其他情况的影响，
所以不能断言这个城市患白血病的儿童一定超过380人．
1．求回归直线方程时应注意的问题
(1)知道x与y呈线性相关关系，则可根据有关数据求其回归直线方程，如果两个变量之间本身不具有相关关系，即使求出回归方程也是毫无意义的．
(2)用公式计算a、b的值时，要先算出b，然后才能算出a，由a＝－b知回归直线必经过点(，)．
2．利用回归方程，我们可以进行估计和预测．若回归直线方程为y＝bx＋a，则x＝x0处的估计值为y0＝bx0＋a.
1．变量y与x之间的线性回归方程( )
A．表示y与x之间的函数关系
B．表示y与x之间的不确定性关系
C．反映y与x之间真实关系的形式
D．反映y与x之间的真实关系达到最大限度的吻合
【解析】 由回归方程的求解过程及意义可知D正确．
【答案】 D
2．设有一个回归方程y＝3－5x，变量x增加一个单位时( )
A．y平均增加3个单位 B．y平均减少5个单位
C．y平均增加5个单位
D．y平均减少3个单位
【解析】 由回归方程中x的系数－5可知．x增加一个单位时，y平均减少5个单位．
【答案】 B
3．已知x与y之间的一组数据如下表：
x
0
1
2
3
y
1
2
4
6
则y与x的线性回归方程y＝bx＋a，必过点( )
A．(2,3)
B．(1.5,3)
C．(1.5,3.25)
D．(2,3.25)
【解析】 ＝＝1.5，
＝＝3.25.
回归直线必过点(，)．
【答案】 C
4．已知变量x，y具有线性相关关系，在某次试验中测得(x，y)的4组值为(0,2)，(3,3)，(－3,0)，(6,5)，求y与x之间的回归方程．
【解】 ＝＝1.5，＝＝2.5，
x1y1＋x2y2＋x3y3＋x4y4＝0×2＋3×3＋(－3)×0＋6×5＝39，
x＋x＋x＋x＝02＋32＋(－3)2＋62＝54，
∴b＝＝.
a＝－b＝2.5－×1.5＝1.7，
∴回归方程为y＝x＋.
一、选择题
1．利用最小二乘法估计回归直线方程中系数a，b时，使函数Q(a，b)取最小值，其中函数Q(a，b)等于( )
A.iyi B.(xi－)2
C.
D.(yi－bxi－a)2
【解析】 根据求回归直线方程中系数a、b的过程可知Q(a，b)＝(yi－bxi－a)2.
【答案】 D
2．(2012·湖南高考)设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为＝0.85x－85.71，则下列结论中不正确的是( )
A．y与x具有正的线性相关关系
B．回归直线过样本点的中心(，)
C．若该大学某女生身高增加1
cm，则其体重约增加0.85
kg
D．若该大学某女生身高为170
cm，则可断定其体重必为58.79
kg
【解析】 由于线性回归方程中x的系数为0.85，因此y与x具有正的线性相关关系，故A正确．又线性回归方程必过样本中心点(，)，因此B正确．由线性回归方程中系数的意义知，x每增加1
cm，其体重约增加0.85
kg，故C正确．当某女生的身高为170
cm时，其体重估计值是58.79
kg，而不是具体值，因此D不正确．
【答案】 D
3．若在一次试验中，测得(x，y)的四组数值分别是A(1,3)，B(2,3.8)，C(3,5.2)，D(4,6)．则y与x之间的回归直线方程是( )
A．y＝x＋1.9
B．y＝1.04x＋1.9
C．y＝0.95x＋1.04
D．y＝1.05x－0.9
【解析】 ＝＝2.5，＝＝4.5，将(2.5,4.5)代入选项验证得B正确．
【答案】 B
4．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：
父亲身高x(cm)
174
176
176
176
178
儿子身高y(cm)
175
175
176
177
177
则y对x的线性回归方程为( )
A．y＝x－1
B．y＝x＋1
C．y＝88＋x
D．y＝176
【解析】 由题意得：＝＝176，
＝＝176，
由于(，)一定满足线性回归方程，经验证知C正确．
【答案】 C
5．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：
广告费用x(万元)
4
2
3
5
销售额y(万元)
49
26
39
54
根据上表可得回归方程y＝bx＋a中的b为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )
A．63.6万元
B．65.5万元
C．67.7万元
D．72.0万元
【解析】 ＝＝3.5，
＝＝42，
又y＝bx＋a，必过(，)．
∴回归方程为y＝9.4x＋9.1，
∴当x＝6时，y＝9.4×6＋9.1＝65.5(万元)．
【答案】 B
二、填空题
6．期中考试后，某班对50名学生的成绩进行分析，得到数学成绩y对总成绩x的回归直线方程为y＝6＋0.4x，由此可以估计：若两个同学的总成绩相差50分，则他们的数学成绩相差________分．
【解析】 y1－y2＝0.4×(x2－x1)，故x2－x1＝50时，y1－y2＝20.
【答案】 20
7．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x(单位：小时)与当天投篮命中率y之间的关系：
时间x
1
2
3
4
5
命中率y
0.4
0.5
0.6
0.6
0.4
小李这5天的平均投篮命中率为________；用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为________．
【解析】 设这5天的平均投篮命中率为P，
则P＝×(0.4＋0.5＋0.6＋0.6＋0.4)＝0.5，
由题可求得：b＝0.01，a＝0.47，
∴线性回归方程为y＝0.01x＋0.47，
当x＝6时，y＝0.01×6＋0.47＝0.53.
【答案】 0.5 0.53
8．某单位为了解用电量y千瓦·时与汽温x
℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：
气温(℃)
18
13
10
－1
用电量(千瓦·时)
24
34
38
64
由表中数据得线性回归方程y＝bx＋a中b＝－2，预测当气温为－4
℃时，用电量约为________千瓦·时．
【解析】 ＝＝10，＝＝40，
则a＝－b＝40＋2×10＝60，则y＝－2x＋60，
则当x＝－4时，y＝－2×(－4)＋60＝68.
【答案】 68
三、解答题
9．假若某公司的广告费支出x(百万元)与销售额y(百万元)之间有如下数据：
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
(1)如果已知y与x之间具有线性相关关系，求回归方程．
(2)若实际销售额不少于60百万元，则广告费支出应不少于多少？
【解】 (1)＝5，＝50，＝145，
iyi＝1
380，
故b＝
＝＝6.5，
a＝－b＝50－6.5×5＝17.5.
故所求的回归方程为y＝6.5x＋17.5.
(2)令y≥60，
即6.5x＋17.5≥60，x≥6.54，
故广告费支出不应少于6.54百万元．
10．在某种产品表面进行腐蚀刻线度验，得到腐蚀深度y与腐蚀时间x之间相应的一组观察值如下表：
x(s)
5
10
15
20
30
40
50
60
70
90
120
y(μm)
6
10
10
13
16
17
19
23
25
29
46
(1)画出表中数据的散点图，由散点图判断y与x是否具有线性相关关系？
(2)若y与x具有线性相关关系，求回归直线方程．
【解】 (1)散点图如图所示：
由图知，y与x具有线性相关关系．
(2)先把数据列成表．
i
xi
yi
x
xiyi
1
5
6
25
30
2
10
10
100
100
3
15
10
225
150
4
20
13
400
260
5
30
16
900
480
6
40
17
1
600
680
7
50
19
1
500
950
8
60
23
3
600
1
380
9
70
25
4
900
1
750
10
90
29
8
100
2
610
11
120
46
14
400
5
520
合计
510
214
36
750
13
190
由上表可得＝，＝代入公式得
b＝≈0.304，a＝－0.304×＝5.36.即所求的回归直线方程为y＝0.304x＋5.36.
11．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据．
x
3
4
5
6
y
2.5
3
4
4.5
(1)请画出上表数据的散点图；
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y＝bx＋a；
(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？
(参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)
【解】 (1)由题设所给数据，可得散点图如图所示：
(2)先把数据制成表：
i
xi
yi
x
xiyi
1
3
2.5
9
7.5
2
4
3
16
12
3
5
4
25
20
4
6
4.5
36
27
合计
18
14
86
66.5
进而可求得＝4.5，＝3.5，
b＝＝0.7.
a＝－b
＝3.5－0.7×4.5＝0.35.
∴y＝0.35＋0.7x.
(3)当x＝100时，y＝70.35.即生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低19.65吨.
最小二乘估计
学案
课标解读
1.了解最小二乘法的思想及意义(重点)．2．会求线性回归方程并进行简单应用(难点).
知识1
最小二乘法
【问题导思】
一台机器由于使用时间较长，生产的零件有一些会有缺陷．按不同转速生产出有缺陷的零件的统计数据如下：
转速x(转/秒)
16
14
12
8
每小时生产有缺陷的零件数y(件)
11
9
8
5
1.在平面直角坐标系中作出散点图．
【提示】
2．从散点图中判断x和y之间是否具有相关关系？
【提示】 有．
3．若转速为10转/秒，能否预测机器每小时生产缺陷的零件件数？
【提示】 可以．根据散点图作出一条直线，求出直线方程后可预测．
利用最小二乘法估计时，要先作出数据的散点图．如果散点图呈现一定的规律性，我们再根据这个规律进行拟合．如果散点图呈现出线性关系，我们可以用最小二乘法估计出线性回归方程；如果散点图呈现出其他的曲线关系，我们就要利用其他的曲线进行拟合．
知识2
线性回归方程
如果用表示，用表示，则可以求得
b＝
＝eq
\f(x1y1＋x2y2＋…＋xnyn－n\x\to(x),x＋x＋…＋x－n2)
a＝－b，这样得到的直线方程称为线性回归方程，a，b是线性回归方程的系数.
类型1
求线性回归方程
下表是某旅游区游客数量与平均气温的对比表：
平均气温(℃)
－1
4
10
13
18
26
数量(百个)
20
24
34
38
50
64
试判断游客数量与平均气温对应两个变量是否线性相关，若线性相关，求出其回归直线方程．
【思路探究】 确定横、纵轴的意义画出散点图，若样本点分布在某条直线附近，则两变量之间是有线性关系．
【自主解答】 (1)散点图如图所示：
可知气温与游客数量呈线性相关关系，下面求其回归直线方程．
∵＝＝，＝＝，
x＋x＋…＋x
＝1＋16＋100＋169＋324＋676＝1
286，
x1y1＋x2y2＋…＋x6y6
＝－20＋96＋340＋13×38＋18×50＋26×64＝3
474.
∴b＝
＝≈1.68，
a＝－b≈18.73，
即所求的线性回归方程为y＝1.68x＋18.73.
1．知道x与y呈线性相关关系，无需进行相关性检验，否则，应首先进行相关性检验，如果两个变量之间本身不具有相关关系，即使求出回归方程也是毫无意义的．
2．求线性回归方程的步骤
(1)计算平均数、；
(2)计算x1y1＋x2y2＋…＋xnyn；
(3)计算x＋x＋…＋x；
(4)将上述有关结果代入公式
求b、a，把b、a代入方程y＝a＋bx，写出回归方程．
以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y和新房屋的面积x的数据：
新房屋面积/m2
115
110
80
135
105
销售价格/万元
24.8
21.6
18.4
29.2
22
(1)画出数据对应的散点图；
(2)求线性回归方程．
【解】 (1)作出散点图如下图所示：
(2)由(1)中的散点图可知y与x具有线性相关关系．
＝xi＝109，
(xi－)2＝1
570，
＝yi＝23.2，
(xi－)(yi－)＝308，
设所求线性回归方程为y＝bx＋a，b＝＝≈0.196.a＝－b＝23.2－109×≈1.816
6.
故所求线性回归方程为y＝0.196x＋1.816
6.
类型2
线性回归方程的应用
假设关于某设备的使用年限x(年)和所支出的维修费用y(万元)有如下统计资料：
x
2
3
4
5
6
y
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
若由资料知，y与x线性相关．
(1)求回归直线方程y＝bx＋a中a与b的值；
(2)估计使用年限为10年时，维修费用是多少？
【思路探究】 先求出回归直线方程．若回归方程为y＝bx＋a，则在x＝x0处的估计值为y0＝bx0＋a.
【自主解答】 (1)列表：
i
1
2
3
4
5
xi
2
3
4
5
6
yi
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
xiyi
4.4
11.4
22.0
32.5
42.0
＝4，＝5.＝90，iyi＝112.3.
其中，b＝＝＝＝1.23
a＝－b＝5－1.23×4＝0.08.
(2)回归直线方程为y＝1.23x＋0.08.
当x＝1时，y＝1.23×10＋0.08＝12.38.
即使用年限为10年时，维修费用约为12.38万元．
1．本题中正确求出回归直线方程后，可预测使用年限为5年、10年、15年、20年等时总支出费用的值，当然这仅是一种分析预测，事实上，可能因其他因素会产生偏差，我们认为12.38万元仅是一种估计．
2．利用线性回归方程进行回归分析，在实际问题中，应先正确求出回归直线方程，然后才能准确求解．当一个变量确定时，另一变量的值，也才能准确分析和预测．
一台机器由于使用时间较长，生产的零件有一些会有缺损，按不同转速生产出来的零件有缺损的统计数据如下表所示：
转速x(转/秒)
16
14
12
8
每小时生产有缺损零件数y(个)
11
9
8
5
(1)作出散点图；
(2)如果y与x线性相关，求出回归直线方程；
(3)若实际生产中，允许每小时的产品中有缺损的零件最多为10个，那么，机器的运转速度应控制在什么范围内？
【解】 (1)作散点图如图所示：
(2)由散点图可知y与x线性相关．
故可设回归直线方程为y＝bx＋a.
依题意，用计算器可算得：
＝12.5，＝8.25，
＝660，
iyi＝438.
∴b＝≈0.73，
a＝－b＝8.25－0.73×12.5＝－0.875.
∴所求回归直线方程为y＝0.73x－0.875.
(3)令y＝10，得0.73x－0.875＝10，
解得x＝15，
即机器的运转速度应控制在15转/秒内.
散点图及回归直线方程在实际中的应用有误
有人统计了同一个省的6个城市一年的人均国民生产总值(即人均GDP)和这一年各城市患白血病的儿童数，如下表：
人均GDP(万元)
10
8
6
4
3
1
患白血病的儿童人数
351
312
207
175
132
180
(1)画出散点图，并判定两个变量是否具有线性相关关系；
(2)通过计算可得两个变量的回归直线方程为y＝23.25x＋102.25，假如一个城市的人均GDP为12万元，那么可以断言，这个城市患白血病的儿童一定超过380人，请问这个断言是否正确？
【错解】 (1)根据表中数据画出散点图．如图所示，从图中可以看出，虽然后5个点大致分布在一条直线附近，但第一个点离这条直线太远，所以这两个变量不具有线性相关关系．
(2)将x＝12代入y＝23.25x＋102.25，得y＝23.25×12＋102.25＝381.25，所以上述断言是正确的．
【错因分析】 在第(1)问中，是否具有线性相关关系，要看大部分点，主流点是否分布在一条直线附近，个别点是不影响“大局”的，所以可断定这两个变量具有线性相关关系．在第(2)问中，381.25只是一个估计值，由它不能断言这个城市患白血病的儿童一定超过380人．如果这个城市的污染很严重，有可能人数远远超过380，若这个城市的环境保护的很好，则人数就有可能远远低于380.
【防范措施】 正确理解线性相关的概念和最小二乘法思想是解决本题的关键．
【正解】 (1)根据表中数据画散点图，如错解中的图所示，从图上可以看出，在6个点中，虽然第一个点离这条直线较远，但其余5个点大致分布在这条直线的附近，所以这两个变量具有线性相关关系．
(2)将x＝12代入y＝23.25x＋102.25，得y＝23.25×12＋102.25＝381.25＞380,
即便如此，但因381.25只是一个估计值，会受其他情况的影响，
所以不能断言这个城市患白血病的儿童一定超过380人．
1．求回归直线方程时应注意的问题
(1)知道x与y呈线性相关关系，则可根据有关数据求其回归直线方程，如果两个变量之间本身不具有相关关系，即使求出回归方程也是毫无意义的．
(2)用公式计算a、b的值时，要先算出b，然后才能算出a，由a＝－b知回归直线必经过点(，)．
2．利用回归方程，我们可以进行估计和预测．若回归直线方程为y＝bx＋a，则x＝x0处的估计值为y0＝bx0＋a.
1．变量y与x之间的线性回归方程( )
A．表示y与x之间的函数关系
B．表示y与x之间的不确定性关系
C．反映y与x之间真实关系的形式
D．反映y与x之间的真实关系达到最大限度的吻合
【解析】 由回归方程的求解过程及意义可知D正确．
【答案】 D
2．设有一个回归方程y＝3－5x，变量x增加一个单位时( )
A．y平均增加3个单位 B．y平均减少5个单位
C．y平均增加5个单位
D．y平均减少3个单位
【解析】 由回归方程中x的系数－5可知．x增加一个单位时，y平均减少5个单位．
【答案】 B
3．已知x与y之间的一组数据如下表：
x
0
1
2
3
y
1
2
4
6
则y与x的线性回归方程y＝bx＋a，必过点( )
A．(2,3)
B．(1.5,3)
C．(1.5,3.25)
D．(2,3.25)
【解析】 ＝＝1.5，
＝＝3.25.
回归直线必过点(，)．
【答案】 C
4．已知变量x，y具有线性相关关系，在某次试验中测得(x，y)的4组值为(0,2)，(3,3)，(－3,0)，(6,5)，求y与x之间的回归方程．
【解】 ＝＝1.5，＝＝2.5，
x1y1＋x2y2＋x3y3＋x4y4＝0×2＋3×3＋(－3)×0＋6×5＝39，
x＋x＋x＋x＝02＋32＋(－3)2＋62＝54，
∴b＝＝.
a＝－b＝2.5－×1.5＝1.7，
∴回归方程为y＝x＋.
一、选择题
1．利用最小二乘法估计回归直线方程中系数a，b时，使函数Q(a，b)取最小值，其中函数Q(a，b)等于( )
A.iyi B.(xi－)2
C.
D.(yi－bxi－a)2
【解析】 根据求回归直线方程中系数a、b的过程可知Q(a，b)＝(yi－bxi－a)2.
【答案】 D
2．(2012·湖南高考)设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为＝0.85x－85.71，则下列结论中不正确的是( )
A．y与x具有正的线性相关关系
B．回归直线过样本点的中心(，)
C．若该大学某女生身高增加1
cm，则其体重约增加0.85
kg
D．若该大学某女生身高为170
cm，则可断定其体重必为58.79
kg
【解析】 由于线性回归方程中x的系数为0.85，因此y与x具有正的线性相关关系，故A正确．又线性回归方程必过样本中心点(，)，因此B正确．由线性回归方程中系数的意义知，x每增加1
cm，其体重约增加0.85
kg，故C正确．当某女生的身高为170
cm时，其体重估计值是58.79
kg，而不是具体值，因此D不正确．
【答案】 D
3．若在一次试验中，测得(x，y)的四组数值分别是A(1,3)，B(2,3.8)，C(3,5.2)，D(4,6)．则y与x之间的回归直线方程是( )
A．y＝x＋1.9
B．y＝1.04x＋1.9
C．y＝0.95x＋1.04
D．y＝1.05x－0.9
【解析】 ＝＝2.5，＝＝4.5，将(2.5,4.5)代入选项验证得B正确．
【答案】 B
4．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：
父亲身高x(cm)
174
176
176
176
178
儿子身高y(cm)
175
175
176
177
177
则y对x的线性回归方程为( )
A．y＝x－1
B．y＝x＋1
C．y＝88＋x
D．y＝176
【解析】 由题意得：＝＝176，
＝＝176，
由于(，)一定满足线性回归方程，经验证知C正确．
【答案】 C
5．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：
广告费用x(万元)
4
2
3
5
销售额y(万元)
49
26
39
54
根据上表可得回归方程y＝bx＋a中的b为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )
A．63.6万元
B．65.5万元
C．67.7万元
D．72.0万元
【解析】 ＝＝3.5，
＝＝42，
又y＝bx＋a，必过(，)．
∴回归方程为y＝9.4x＋9.1，
∴当x＝6时，y＝9.4×6＋9.1＝65.5(万元)．
【答案】 B
二、填空题
6．期中考试后，某班对50名学生的成绩进行分析，得到数学成绩y对总成绩x的回归直线方程为y＝6＋0.4x，由此可以估计：若两个同学的总成绩相差50分，则他们的数学成绩相差________分．
【解析】 y1－y2＝0.4×(x2－x1)，故x2－x1＝50时，y1－y2＝20.
【答案】 20
7．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x(单位：小时)与当天投篮命中率y之间的关系：
时间x
1
2
3
4
5
命中率y
0.4
0.5
0.6
0.6
0.4
小李这5天的平均投篮命中率为________；用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为________．
【解析】 设这5天的平均投篮命中率为P，
则P＝×(0.4＋0.5＋0.6＋0.6＋0.4)＝0.5，
由题可求得：b＝0.01，a＝0.47，
∴线性回归方程为y＝0.01x＋0.47，
当x＝6时，y＝0.01×6＋0.47＝0.53.
【答案】 0.5 0.53
8．某单位为了解用电量y千瓦·时与汽温x
℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：
气温(℃)
18
13
10
－1
用电量(千瓦·时)
24
34
38
64
由表中数据得线性回归方程y＝bx＋a中b＝－2，预测当气温为－4
℃时，用电量约为________千瓦·时．
【解析】 ＝＝10，＝＝40，
则a＝－b＝40＋2×10＝60，则y＝－2x＋60，
则当x＝－4时，y＝－2×(－4)＋60＝68.
【答案】 68
三、解答题
9．假若某公司的广告费支出x(百万元)与销售额y(百万元)之间有如下数据：
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
(1)如果已知y与x之间具有线性相关关系，求回归方程．
(2)若实际销售额不少于60百万元，则广告费支出应不少于多少？
【解】 (1)＝5，＝50，＝145，
iyi＝1
380，
故b＝
＝＝6.5，
a＝－b＝50－6.5×5＝17.5.
故所求的回归方程为y＝6.5x＋17.5.
(2)令y≥60，
即6.5x＋17.5≥60，x≥6.54，
故广告费支出不应少于6.54百万元．
10．在某种产品表面进行腐蚀刻线度验，得到腐蚀深度y与腐蚀时间x之间相应的一组观察值如下表：
x(s)
5
10
15
20
30
40
50
60
70
90
120
y(μm)
6
10
10
13
16
17
19
23
25
29
46
(1)画出表中数据的散点图，由散点图判断y与x是否具有线性相关关系？
(2)若y与x具有线性相关关系，求回归直线方程．
【解】 (1)散点图如图所示：
由图知，y与x具有线性相关关系．
(2)先把数据列成表．
i
xi
yi
x
xiyi
1
5
6
25
30
2
10
10
100
100
3
15
10
225
150
4
20
13
400
260
5
30
16
900
480
6
40
17
1
600
680
7
50
19
1
500
950
8
60
23
3
600
1
380
9
70
25
4
900
1
750
10
90
29
8
100
2
610
11
120
46
14
400
5
520
合计
510
214
36
750
13
190
由上表可得＝，＝代入公式得
b＝≈0.304，a＝－0.304×＝5.36.即所求的回归直线方程为y＝0.304x＋5.36.
11．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据．
x
3
4
5
6
y
2.5
3
4
4.5
(1)请画出上表数据的散点图；
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y＝bx＋a；
(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？
(参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)
【解】 (1)由题设所给数据，可得散点图如图所示：
(2)先把数据制成表：
i
xi
yi
x
xiyi
1
3
2.5
9
7.5
2
4
3
16
12
3
5
4
25
20
4
6
4.5
36
27
合计
18
14
86
66.5
进而可求得＝4.5，＝3.5，
b＝＝0.7.
a＝－b
＝3.5－0.7×4.5＝0.35.
∴y＝0.35＋0.7x.
(3)当x＝100时，y＝70.35.即生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低19.65吨.