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特殊平行四边形 单元全优测评卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·南岗开学考）如图，在菱形中，E、F分别是、的中点，如果，则菱形的周长是（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
2．（2024九上·镇雄县期末）在四边形中，，下列说法能使四边形为菱形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024九上·禅城期末）如图，在正方形ABCD对角线AC上取点E，使得AE=AB，连接BE，则∠CBE的度数为（ ）
A．22.5° B．25° C．20° D．30°
4．（2024九上·贵阳期末）如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥BD交AD于点E，已知AB＝5，△DOE的面积为，则DE的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．
5．（2024九上·惠城开学考）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A．当时，它是菱形 B．当时，它是菱形
C．当时，它是正方形 D．当时，它是矩形
6．（2024九上·金沙期末） 如图，菱形的对角线相交于点O，E为的中点，连接．若菱形的周长为72，则的长为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
7．（2024九上·钟山期末）如图所示，小明用七巧板拼成一个对角线长为4的正方形，再用这副七巧板拼成一个长方形，则长方形的对角线长为（ ）
A．4 B． C． D．5
8．（2024九上·麒麟开学考）如图，点F是矩形的边上一点，连结，作于点E，且满足，则下列结论中①，②，③，④，正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（2024九上·岳阳开学考）下列命题中，真命题是（ ）
A．平行四边形的对角线相等
B．矩形的对角线互相垂直
C．多边形的外角和为
D．三角形的外角等于两个内角之和
10．（2024九上·顺德期中）如图，在菱形中，，，点，同时由，两点出发，分别沿，方向向点匀速移动（到点为止），点的速度为，点的速度为，经过秒为等边三角形，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2023九上·秀洲期中）如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为 ．
12．（2023九上·余江期中）如图，在菱形中，分别是的中点，若，则菱形的周长是 ．
13．（2023九上·惠州月考）如图，将边长为为3厘米的正方形绕点C按顺时针方向旋转，得到正方形，与交于H，则的长是 厘米．
14．（2023九上·青白江期中）将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB＝6，则BC的长为 ．
15．（2023九上·埇桥期中）如图所示，矩形ABCD两条对角线夹角为，，则对角线AC长为 ．
16．（2024九上·盐田期中）如图，在正方形中，E是边上一点且满足，将沿折叠得到，与对角线交于点F，则的值为 ．
三、解答题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024九上·长沙开学考）如图所示，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，AE＝CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若BC＝2，求AB的长．
18．（2024九上·宝安月考）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线AE交BC于点E，∠ABC的平分线BF交AD于点F，AE与BF相交于点O，连接EF.
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若AE＝6，BF＝8，CE＝2，求平行四边形ABCD的面积.
19．（2024九上·深圳月考）在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，过点A作AE∥BC，且AE＝BD，连结CE．
（1）证明：四边形ADCE是菱形；
（2）若AC＝6，AB＝8，求菱形ADCE的面积．
20．（2024九上·南山开学考）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．
（1）求证：BD=DF；
（2）求证：四边形BDFG为菱形；
（3）若AG=13，CF=6，求四边形BDFG的周长．
21．（2024九上·南海期末） 如图，已知是正方形的对角线上的两点，且.
（1）请判断四边形的形状，并证明；
（2）若，则四边形的周长为 .
22．（2024九上·双辽期末）如图，矩形中，，，为边中点，，绕点旋转，其中点，在矩形的边上.在旋转过程中，请探究：
（1）矩形的边落在内部的线段长的和是否发生变化？为什么？
（2）矩形与重叠部分的面积是否发生变化？为什么？
23．（2024九上·贵阳期末）如图，已知在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，点F在AD上，AF＝AB，连接BF交AE于点O，连接EF．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若BF＝8，AB＝5，求AE的长．
24．（2024九上·青山湖期末）如图，在正方形中，点是对角线上一动点，连接，作交于点，以和为邻边作矩形．
（1）猜想：，的位置关系是 ；
（2）求证：．
25．（2023九上·成都月考）如图，在矩形ABCD中，E为AB边上一点，EC平分，F为CE的中点，连接AF，BF，过点E作分别交AF，CD于G，H两点．
（1）求证：；
（2）求证：；
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特殊平行四边形 单元全优测评卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·南岗开学考）如图，在菱形中，E、F分别是、的中点，如果，则菱形的周长是（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】D
【解析】【解答】解：因为E、F分别是、的中点，所以是的中位线，
可得，所以菱形的周长．
故选：D．
【分析】根据三角形的中位线定理，求出的长，再根据菱形的四条边都相等，即可得到答案.
2．（2024九上·镇雄县期末）在四边形中，，下列说法能使四边形为菱形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵，
∴四边形是平行四边形，
A、∵，
∴平行四边形为矩形，故选项A不符合题意；
B、由，不能判定四边形为菱形，故选项B不符合题意；
C、∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴平行四边形是矩形，故选项C不符合题意；
D、∵，
∴平行四边形为菱形，故选项D符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据菱形的判定逐一分析即可．
3．（2024九上·禅城期末）如图，在正方形ABCD对角线AC上取点E，使得AE=AB，连接BE，则∠CBE的度数为（ ）
A．22.5° B．25° C．20° D．30°
【答案】A
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为正方形
∴∠BAC=45°，∠ABC=90°
∵AE=AB
∴
∴
故答案为：A
【分析】根据正方形性质可得∠BAC=45°，∠ABC=90°，再根据等边对等角及三角形内角和定理可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
4．（2024九上·贵阳期末）如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥BD交AD于点E，已知AB＝5，△DOE的面积为，则DE的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．
【答案】B
【解析】【解答】解：如图，连接DE，
∵四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，
∴∠BAD=90°，OB=OD，
∵OE⊥BD，
∴OE垂直平分BD，，
∴，
∵AB⊥DE，AB=5，
∴，
解得：DE=6，
故答案为：B.
【分析】根据矩形的性质求出∠BAD=90°，OB=OD，再利用三角形的面积公式计算求解即可。
5．（2024九上·惠城开学考）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A．当时，它是菱形 B．当时，它是菱形
C．当时，它是正方形 D．当时，它是矩形
【答案】C
【解析】【解答】解：A、∵四边形ABCD为平行四边形，∴当AB=BC时，平行四边形ABCD为菱形，A选项正确；
B、∵四边形ABCD为平行四边形， ∴当AC⊥BD时，平行四边形ABCD为菱形，B选项正确；
C、∵四边形ABCD为平行四边形， ∴当AC＝BD时，平行四边形ABCD为矩形，C选项错误；
D、∵四边形ABCD为平行四边形， ∴当ABC=90°时，平行四边形ABCD为矩形，D选项正确；
故答案为：C.
【分析】根据题意，由平行四边形的性质、菱形和矩形的判定定理判断得到答案即可。
6．（2024九上·金沙期末） 如图，菱形的对角线相交于点O，E为的中点，连接．若菱形的周长为72，则的长为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】C
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD的周长为72，
∴BC=18，OA=OC，
∵E为的中点，
∴OE是三角形ABC的中位线，
∴OE=.
故答案为：C。
【分析】首先根据菱形的性质得出BC的长为18，再根据三角形中位线的性质得出OE的长为9.
7．（2024九上·钟山期末）如图所示，小明用七巧板拼成一个对角线长为4的正方形，再用这副七巧板拼成一个长方形，则长方形的对角线长为（ ）
A．4 B． C． D．5
【答案】B
【解析】【解答】正方形的对角线长为4，
由图可得和两个直角三角形的直角边边长为
长方形的对角线长为：
故答案为：B.
【分析】由正方形的对角线长为4可求得和两个直角三角形的直角边边长，从而求得长方形的长和宽，最后由勾股定理即可求解.
8．（2024九上·麒麟开学考）如图，点F是矩形的边上一点，连结，作于点E，且满足，则下列结论中①，②，③，④，正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】【解答】解：四边形是矩形，
，，
，
，
在和中，
，
，
故②正确；
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
故③，④正确；
现有条件不能证明，故①错误，
综上可知，正确的有②，③，④，共3个，
故答案为：C．
【分析】先利用“HL”证出，再利用“AAS”证出，最后利用全等三角形的性质，线段的和差及角的运算方法逐项分析判断即可.
9．（2024九上·岳阳开学考）下列命题中，真命题是（ ）
A．平行四边形的对角线相等
B．矩形的对角线互相垂直
C．多边形的外角和为
D．三角形的外角等于两个内角之和
【答案】C
【解析】【解答】解：A、∵平行四边形的对角线不一定相等，∴A说法是假命题；
B、∵矩形的对角线相等，但不一定互相垂直，∴B说法是假命题；
C、∵多边形的外角和为，∴C说法是真命题；
D、∵三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，∴D说法是假命题；
故答案为：C．
【分析】利用平行四边形的性质、矩形的性质、三角形的外角的性质及多边形的外角和的定义逐项分析判断即可.
10．（2024九上·顺德期中）如图，在菱形中，，，点，同时由，两点出发，分别沿，方向向点匀速移动（到点为止），点的速度为，点的速度为，经过秒为等边三角形，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：连接BD，如图：
∵四边形是菱形，
∴，，
∴是等边三角形，，
∴，∠A=60°.
又∵是等边三角形，
∴，
又∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
故答案为：D．
【分析】连接，利用菱形性质、等边三角形的性质可证明，根据全等三角形的性质可得；根据题意得，AE=t，CF=2t，于是可得关于t的方程，求解即可．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2023九上·秀洲期中）如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：由题意可知，随着点F的移动，点G也随着移动；
∵点F在线，段AB上运动
∴点G也在直线上运动
将△EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，可得△EBF≌△EHG；
∴△EBH是等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上，作CM⊥HN，作EP⊥CM，如下图，点CM即为CG的最小值：
∵△EBH是等边三角形
∴BE=HE=1
∵CM⊥HN，EP⊥CM
∴四边形HEPM是矩形
∴CM=MP+CP=HE+EC
∴CM=1+=
故答案为：.
【分析】根据旋转的性质，构造等边三角形，可得BE=HE；根据点与线之间垂线段最短，作CM⊥HN，可得CG的最小值；根据矩形的判定定理和性质即可求出CG的最小值.
12．（2023九上·余江期中）如图，在菱形中，分别是的中点，若，则菱形的周长是 ．
【答案】16
【解析】【解答】∵分别是的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∵EF=2，
∴BC=2EF=2×2=4，
∵四边形ABCD是菱形，
∴C菱形ABCD=4BC=4×4=16，
故答案为：16.
【分析】先证出EF是△ABC的中位线，利用中位线的性质可得BC=2EF=2×2=4，最后利用菱形的性质求出C菱形ABCD=4BC=4×4=16即可.
13．（2023九上·惠州月考）如图，将边长为为3厘米的正方形绕点C按顺时针方向旋转，得到正方形，与交于H，则的长是 厘米．
【答案】
【解析】【解答】解：连接，
正方形绕点C按顺时针方向旋转，得到正方形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在中，厘米.
故答案为：．
【分析】连接，由正方形的性质及旋转的性质得到，，从而证明，得到，则厘米．
14．（2023九上·青白江期中）将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB＝6，则BC的长为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵四边形AECF是菱形，
∴OA=OC，
∵折叠，
∴BC=OC=OA，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
在Rt△ABC中，BC=，
∴∠BAC=30°，
∴BC=，
∵AB=6，
∴BC= .
故答案为：.
【分析】根据菱形的性质和折叠得BC=OC=OA，从而在Rt△ABC中，BC=，得∠BAC=30°，根据含30°角的直角三角形的三边关系即可求解.
15．（2023九上·埇桥期中）如图所示，矩形ABCD两条对角线夹角为，，则对角线AC长为 ．
【答案】12
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵矩形两条对角线夹角为，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
故答案为：12.
【分析】根据矩形的性质得到，根据等边三角形的判定证明是等边三角形，得到，最后计算即可．
16．（2024九上·盐田期中）如图，在正方形中，E是边上一点且满足，将沿折叠得到，与对角线交于点F，则的值为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：延长，交的延长线于点，如图：
∵四边形是正方形，
∴，，，
∵，
∴，
由折叠可得：，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
在中，，
设，则，，
∴，，
∵，即，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
延长，交的延长线于点，根据正方形的性质和折叠的性质得出，得到是等边三角形，设，，，再证明，再根据相似的性质，对应边成比例建立方程计算，即可求解．
三、解答题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024九上·长沙开学考）如图所示，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，AE＝CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若BC＝2，求AB的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠BAC＝∠FCO．
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE＝OF
（2）解：如图，连接OB．
∵BE＝BF，OE＝OF，
∴BO⊥EF，
在Rt△BEO中，∠BEF＋∠ABO＝90°．
∵△AOE≌△COF，
∴OA＝OC．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°
∴OA＝OB＝OC，
∴∠BAC＝∠ABO．
∵∠BEF＝2∠BAC，即2∠BAC＋∠BAC＝90°，
∴∠BAC＝30°．
∵BC＝，
∴AC＝2BC＝，
∴AB＝＝＝6
【解析】【分析】（1）根据矩形的对边平行可得AB∥CD，再根据两直线平行，内错角相等得出∠BAC＝∠FCO，然后利用“角角边”证明△AOE和△COF全等，即可证明OE＝OF；
（2）连接OB，根据等腰三角形三线合一的性质可得BO⊥EF，再根据矩形的性质得到直角三角形，利用直角三角形斜边中线的性质即可证明OA＝OB，根据等边对等角的性质可得∠BAC＝∠ABO；在Rt△BEO中利用三角形的内角和定理，结合已知即可得到∠BAC＝30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC，接下来运用勾股定理即可求出AB的长．
18．（2024九上·宝安月考）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线AE交BC于点E，∠ABC的平分线BF交AD于点F，AE与BF相交于点O，连接EF.
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若AE＝6，BF＝8，CE＝2，求平行四边形ABCD的面积.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形
∴AD∥BC
∴∠DAE=∠BEA
∵∠BAD的平分线AE交BC于点E
∴∠DAE=∠BAE
∴∠BAE=∠BEA
∴AB=BE
同理可得：AB=AF
∴AF=BE
∴四边形ABEF是平行四边形
∵AB=AF
∴四边形ABEF为菱形
（2）解：作FG⊥BC于点G
∵四边形ABEF是菱形，AE=6，BF=8
∴AE⊥BF，
∴
∵
即，解得：
∴
【解析】【分析】（1）根据平行四边形性质可得∠DAE=∠BEA，再根据角平分线定义可得∠DAE=∠BAE，则∠BAE=∠BEA，根据等角对等边可得AB=BE，同理可得：AB=AF，再根据菱形判定定理即可求出答案.
（2）作FG⊥BC于点G，根据菱形性质可得AE⊥BF，，再根据勾股定理可得BE，再根据菱形面积建立方程，解方程可得FG，再根据平行四边形面积即可求出答案.
19．（2024九上·深圳月考）在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，过点A作AE∥BC，且AE＝BD，连结CE．
（1）证明：四边形ADCE是菱形；
（2）若AC＝6，AB＝8，求菱形ADCE的面积．
【答案】（1）证明：∵∠BAC＝90°，且D是BC中点，
∴AD＝BC=BD＝CD.
∵AE＝BD，
∴AE＝DC，
∵AE∥DC，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵AD＝DC，
∴平行四边形ADCE是菱形；
（2）解：∵平行四边形ADCE是菱形，
∴S△ADC＝S△AEC，
∵D是BC的中点，
∴S△ADC＝S△ABD，
∴
【解析】【分析】（1）根据直角三角形斜边中线的性质得AD＝BC=BD＝CD.证明AE=CD，即可判定四边形ADCE是平行四边形，再由AD=CD，即可得到结论；
（2）由菱形的性质得S△ADC＝S△AEC，由中心的性质得S△ADC＝S△ABD，于是可得菱形ADCE的面积即△ABC的面积，再利用三角形的面积公式即可得到结论.
20．（2024九上·南山开学考）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．
（1）求证：BD=DF；
（2）求证：四边形BDFG为菱形；
（3）若AG=13，CF=6，求四边形BDFG的周长．
【答案】（1）证明：∵BD为AC的中线，∠ ABC=90°，
∴BD=AC.
∵AG//BD，
∵FG=BD ，
∴四边形BDFG是平行四边形，
∵点D是AC的中点，
∴DF=AC.
∴BD=DF.
（2）∵四边形BDFG是平行四边形，BD=DF，
∴四边形BDFG为菱形；
（3）解：设GF=x，
∵ AG=13，
∴AF=13-x，
∵四边形BDFG为菱形
∴FD=GF=x，
∴AC=2FD=2x，
∵CF2+ AF2=AC2，CF=6，
∴62+(13-x)2=(2x)2，
解得x=5.
∴ 四边形BDFG的周长 =4x5=20.
【解析】【分析】（1）先证明四边形BDFG中有一组对边平行且相等，可得这个四边形是平行四边形，再两次运用利用直角三角形斜边上的中线性质分别说明BD=AC，DF=AC.于是可得BD=DF.
（2）依据一组邻边相等的平行四边形是菱形说理；
（3）设GF=x，先用x分别表示AC，AF，再利用勾股定理得到关于x的方程求解，接着利用菱形的性质求出周长.
21．（2024九上·南海期末） 如图，已知是正方形的对角线上的两点，且.
（1）请判断四边形的形状，并证明；
（2）若，则四边形的周长为 .
【答案】（1）解：四边形是菱形，
证明如下：连接，交于点，
∵四边形是正方形，
，
，即，
∴四边形是平行四边形，
，
∴ 四边形是菱形；
（2）
【解析】【解答】解：（2）∵
∴AO=BO=3
∴OE=OB-BE=1
∴
∴菱形ABCD的周长为
故答案为：
【分析】（1）连接，交于点，根据正方形性质可得，根据边之间的关系可得OE=OF，再根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，再根据菱形判定定理即可求出答案.
（2）根据正方形性质可得AO=BO=3，再根据勾股定理可得AE，再根据菱形性质即可求出答案.
22．（2024九上·双辽期末）如图，矩形中，，，为边中点，，绕点旋转，其中点，在矩形的边上.在旋转过程中，请探究：
（1）矩形的边落在内部的线段长的和是否发生变化？为什么？
（2）矩形与重叠部分的面积是否发生变化？为什么？
【答案】（1）解：矩形的边落在内部的线段长的和不变．
理由：过点作于点，
矩形中，，，为边中点，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
又，
≌，
，
（2）解：矩形与重叠部分的面积不变．
理由：≌，
，
．
【解析】【分析】（1）过点作于点，先根据矩形的性质结合中点的性质得到，再根据正方形的性质得到，，进而运用三角形全等的判定与性质证明≌即可得到，再结合题意进行线段的计算即可求解；
（2）先根据三角形全等得到，进而结合题意即可求解。
23．（2024九上·贵阳期末）如图，已知在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，点F在AD上，AF＝AB，连接BF交AE于点O，连接EF．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若BF＝8，AB＝5，求AE的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，
∴∠BEA＝∠DAE，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BEA＝∠BAE，
∴EB＝AB，
∵AF＝AB，
∴EB＝AF，
∵EB∥AF，EG＝AF，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵EB＝AB，
∴四边形ABEF是菱形．
（2）解：∵四边形ABEF是菱形，BF＝8，AB＝5，
∴AE⊥BF，OB＝OF＝BF＝×8＝4，OA＝OE，
∴∠AOB＝90°，
∴，
∴AE＝2OA＝2×3＝6，
∴AE的长为6．
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质求出 BC∥AD， 再根据角平分线求出 ∠BAE＝∠DAE， 最后根据菱形的判定方法证明求解即可；
（2）根据菱形的性质求出 AE⊥BF，OB＝OF＝BF＝×8＝4，OA＝OE， 再利用勾股定理计算求解即可。
24．（2024九上·青山湖期末）如图，在正方形中，点是对角线上一动点，连接，作交于点，以和为邻边作矩形．
（1）猜想：，的位置关系是 ；
（2）求证：．
【答案】（1）．
（2）证明：如图，作于点，于点，
，
正方形中，
，，平分，
四边形为正方形，
，，
矩形中，，
，
则，
即，
和中，
，
，
矩形是正方形，
，，
，
则，
即，
和中，
．
【解析】【解答】解：（1），
如图，作于点，于点，
，
正方形中，
，，平分，
四边形为正方形，
，，
矩形中，，
，
则，
即，
和中
，
，
矩形是正方形，
，，
，
则，
即，
和中，
，
，
等腰直角中有，
，
即，．
【分析】（1）如图所示，AE、CG的位置关系很明显不是平行，容易推测是垂直，但看起来简单，证明起来过程比较冗长；看到下一问是全等三角形的证明，如果结论得证，则可以由对应角相等得到AE
、CG的交角是90°，故思路比较清晰起来，先证；
（2）由正方形性质，可得一组全等证明需要的等边，由AC是角平分线想到角平分线性质可得等边，故尝试作于点，于点，得EQ=EP，由同角的余角相等得到证明EF=ED的条件，此时可以推导出矩形是正方形，至此证明全等的条件还缺少两对应边的夹角；再次由同角的余角相等得到该夹角相等，至此此时全等的条件足够，符合SAS定理，整理思路推导即可。由全等可知对应角，则有，垂直关系得证。
25．（2023九上·成都月考）如图，在矩形ABCD中，E为AB边上一点，EC平分，F为CE的中点，连接AF，BF，过点E作分别交AF，CD于G，H两点．
（1）求证：；
（2）求证：；
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴，
∴，
∵EC平分，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：如图，连接DF，
∵，F为CE的中点，∴，∴，
在矩形ABCD中，，，∴，
∴，∵，∴，
在和中，，∴，
∴，∴．
【解析】【分析】（1）利用平行的性质可得，再利用角平分线的定义可得，根据等量代换可得，再根据等角对等边的性质可得；
（2）连接DF，先利用“SAS”证出，可得，从而可得.
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