6.2 平面向量的运算　预习案（含答案） 2025-2026学年高一数学人教A版必修第二册

6．2　平面向量的运算
6.2.1　向量的加法运算　
一、向量加法的定义及其运算法则
1．定义：求____________的运算，叫做向量的加法．
对于零向量与任一向量a，规定0＋a＝a＋0＝a.
2．向量求和的法则
向量加法的三角形法则 要领：首尾相接，从始至终． 前提 已知非零向量a，b，在平面内任取一点A
作法 作＝b，连接AC
结论 向量叫做a与b的和，记作________，即a＋b＝＝________
图形
向量加法的平行四边形法则 只适用于两个向量不共线．　 前提 已知两个同一起点的向量a，b，在平面内任取一点O
作法 作＝b，以OA，OB为邻边作 OACB
结论 以O为起点的向量就是向量a与b的和，即＝________
图形
【微点拨】
(1)在使用向量加法的三角形法则时，要注意“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合，则以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量即两向量的和．
(2)向量加法的平行四边形法则的应用前提是“共起点”，即两个向量是从同一点出发的不共线向量．
(3)当首尾依次相接的向量构成封闭的“向量链”时，各向量的和为0.如图，在n(n≥3)边形A1…An中，有＋＝0.
(4)三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的．当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共起点时，常选用平行四边形法则．
【即时练习】　判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)两个向量的和可能是数量．(　　)
(2)两个向量相加就是它们的模相加．(　　)
(3).(　　)
(4)向量加法的平行四边形法则适合任意两个向量．(　　)
二、向量加法的运算律　　
1．(加法交换律)a＋b＝____________；和实数的加法交换律完全相同，也可以从位移的角度来理解．
2．(加法结合律)(a＋b)＋c＝____________．
【微点拨】
(1)当两个向量共线时，向量加法的交换律和结合律也成立．
(2)多个向量的加法运算可按照任意的次序与任意的组合进行，如(a＋b)＋(c＋d)＝(b＋d)＋(a＋c)；a＋b＋c＋d＋e＝[d＋(a＋c)]＋(b＋e)．
【即时练习】　化简：＝__________．
6.2.2　向量的减法运算
一、相反向量
定义 如果两个向量长度　　　　，而方向　　　　，那么称这两个向量是相反向量 　　从模与方向两个要素下定义．
性质 对于相反向量有：a＋(－a)＝________
若a，b互为相反向量，则a＝________，a＋b＝________
零向量的相反向量仍是零向量
推论 －(－a)＝a，a＋(－a)＝(－a)＋a＝0； 如果a与b互为相反向量，那么a＝－b，b＝－a，a＋b＝0
【微点拨】
相反向量仍具备两个要素：方向和长度．互为相反向量的两个向量一定是共线向量，任一向量与它的相反向量的和是零向量．
【即时练习】　
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若b是a的相反向量，则a与b一定不相等．(　　)
(2)若b是a的相反向量，则a∥b.(　　)
(3)向量的相反向量是，且.(　　)
2．在平行四边形ABCD中，向量的相反向量为________.
二、向量的减法从加法运算中，逆向而来．
定义 a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的________
作法 在平面内任取一点O，作＝b，则向量a－b＝________．如图所示　　
几何意义 如果把两个向量＝b的起点放在一起，则a－b可以表示为从向量b的________指向向量a的________的向量
【微点拨】
(1)向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义，－，就可以把减法化为加法．在用三角形法则作向量减法时，只要记住“连接两向量终点，箭头指向被减向量”即可．
(2)以向量＝b为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线的向量为＝a－b，这一结论在以后应用还是非常广泛的，应该理解并会应用．
(3)在平行四边形ABCD中，，即两条对角线所在向量可以用从一个顶点出发的两边所在向量表示．
【即时练习】　
1．在△ABC中，D是BC边上的一点，则＝(　　)
A．　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　D．
2．设a与b是两个相等向量，则a－b＝________．
6.2.3　向量的数乘运算
一、向量的数乘
定义 实数λ与向量a的积是一个 区别于实数间的乘法．
记法 λa
长度 |λa|＝|λ||a|
方向 λ＞0 方向与a的方向________
λ＜0 λ的符号决定λa的方向． 方向与a的方向________
【微点拨】
(1) 向量数乘仍是一个向量．λa中的实数λ叫做向量a的系数．
(2)不要忽略特殊情况：当λ＝0时，λa＝0；当λ≠0时，若a＝0，也有λa＝0.
(3)实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算．
(4)向量的数乘的几何意义就是把向量a沿着a的方向或a的反方向扩大或缩小．当λ＞0时，沿着a的方向扩大(λ＞1)或缩小(0<λ<1)λ倍；当λ＜0时，沿着a的反方向扩大(|λ|＞1)或缩小(|λ|<1)|λ|倍．
【即时练习】　判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)对于任意的向量a，总有0·a＝0.(　　)
(2)当λ＞0时，|λa|＝λa.(　　)
(3)若a≠0，λ≠0，则a与－λa的方向相反．(　　)
(4)向量－8a(a≠0)的模是向量4a的模的2倍．(　　)
二、向量数乘的运算律
特别地，(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝________．
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝____________．
【微点拨】
(1)向量数乘运算律与实数乘法运算律很相似，只是向量数乘分配律由于因子的不同，可分为(λ＋μ)a＝λa＋μa和λ(a＋b)＝λa＋λb.
(2)向量数乘运算律的理论依据是两个向量共线的定义．
【即时练习】　3(2a－4b)＝(　　)
A．5a＋7b　　　　B．5a－7b　　　　C．6a＋12b　　　　D．6a－12b
三、向量共线定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使________.作为参照对象，应为非零向量．
【微点拨】
(1)由a＝λb a∥b中，若λ＝0，则a＝0，零向量与任一向量都平行；若λ＞0，则a与b同向；若λ＜0，则a与b反向．
(2)由a∥b a＝λb中，由λ的唯一性得b≠0.
(3)该定理有两方面的应用，一是一个向量可以由另一个向量线性表示，则可以判定两向量平行；二是若两向量平行，则一个向量可以由另一非零向量线性表示，可以用来求参数λ，它是向量坐标化的依据．
【即时练习】　
1．已知a＝－，则下列式子正确的是(　　)
A．b＝ B．b＝－ C．b＝2a D．b＝－2a
2．若|a|＝5，b与a的方向相反，且|b|＝7，则a＝________b.
6．2.4　第1课时　向量数量积的概念
一、向量的夹角
1．定义：已知两个________a，b，O是平面上的任意一点，，则________叫做向量a与b的夹角，夹角的取值范围是________．求夹角，先共起点．
2．特例：当θ＝0时，向量a，b　　　　；当θ＝π时，向量a，b　　　　；当θ＝时，向量a，b________，记作________．向量共线 夹角θ＝0或θ＝π.
【微点拨】
按照向量夹角的定义，
只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，∠BAC不是向量与向量的夹角，∠BAD才是向量与向量的夹角．
【即时练习】　若向量a与b的夹角为60°，则向量－a与－b的夹角是(　　)
A．60°　　　 　　B．120°　　　 　　C．30°　　　 　　D．150°
二、向量的数量积
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量____________叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作________，即a·b＝|a||b|cos θ．等式两边都称为“积”，但右边是实数的积．
规定：零向量与任一向量的数量积为________．
【微点拨】
(1)两向量的数量积是个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定．
(2)两个向量的数量积称为内积，应写成a·b，不能写成a×b(两向量的外积)，它与代数中数a，b的乘积ab(或a·b)是不同的．
(3)在实数中，若a≠0，且ab＝0，则b＝0；但是在数量积中，当a≠0时，由a·b＝0不能推出b一定是零向量．因为其中cos θ有可能为0，即任一与a垂直的非零向量b，都有a·b＝0.
(4)已知实数a，b，c(b≠0)，则ab＝bc a＝c；但对于向量，该推理就是不正确的，即a·b＝b·c D /a＝c.
【即时练习】　已知平面向量a，b的夹角为＝4，|b|＝4，则a·b＝(　　)
A．4 B．4 C．8 D．8
三、投影向量
1．如图(1)，设a，b是两个非零向量，＝b，我们考虑如下的变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的________．
2．如图(2)，我们可以在平面内任取一点O，作＝b.过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的________.投影向量的长度就是向量的长度，＝cos θ.
3．如图(2)，设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则与e，a，θ之间的关系为＝________．
【微点拨】
(1)向量a在向量b上的投影向量是与向量b平行的向量．
(2)如果向量a与向量b平行或垂直，向量a在向量b上的投影向量具有特殊性．
【即时练习】　已知|a|＝3，e为单位向量，它们的夹角为，则向量a在e上的投影向量是________．
四、向量数量积的性质
设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则
(1)a·e＝e·a＝　　　　． 在上的投影．
(2)a⊥b ________．
(3)当a与b同向时，a·b＝________；当a与b反向时，a·b＝________．特别地，a·a＝________或|a|＝________．
(4)|a·b|____|a||b|.
【微点拨】
(1)a⊥b a·b＝0，既可以用来证明两向量垂直，也可以由垂直进行有关计算．
(2)a·a＝a2＝|a|2与|a|＝也用来求向量的模，以实现实数运算与向量运算的相互转化．
(3)用cos θ＝求两向量的夹角，且夹角的取值与a·b的符号有关．
设两个非零向量a与b的夹角为θ，则
当θ＝0时，cos θ＝1，a·b＝|a||b|；
当θ为锐角时，cos θ>0，a·b>0；
当θ为直角时，cos θ＝0，a·b＝0；
当θ为钝角时，cos θ<0，a·b<0；
当θ＝π时，cos θ＝－1，a·b＝－|a||b|.
(4)|a·b|≤|a||b|可以用来通过构造向量来证明不等式问题或解决最值问题．
【即时练习】　
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)a与b的数量积a·b是一个向量．(　　)
(2)若a·b＝0，则a＝0或b＝0.(　　)
(3)若a⊥b，则a·b＝0.(　　)
(4)向量a在b上的投影向量是一个模等于|acos θ|(θ是a与b的夹角)，方向与b相同或相反的一个向量．(　　)
2．若|a|＝1，|b|＝3，a·b＝，则向量a与b的夹角为(　　)
A． B．
C． D．
6．2.4 第2课时　向量数量积的运算
向量的数量积的运算律
已知向量a，b，c和实数λ，则
(1)a·b＝________(交换律)．
(2)(λa)·b＝________＝________(结合律)．
(3)(a＋b)·c＝　　　　(分配律)．对于实数a，b，c有(a·b)·c＝a·(b·c)，但对于向量··与··一般是不相等的，因为与的方向一般不同．
【微点拨】
(1)向量的数量积不满足消去律：若a，b，c均为非零向量，且a·c＝b·c，得不到a＝b.
(2)实数运算满足乘法结合律，但向量的数量积运算不满足乘法结合律，即(a·b)c不一定等于a(b·c)，这是由于(a·b)c表示一个与c共线的向量，而a(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线．
(3)常用结论：①(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；②(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2；③(a＋b)·(c＋d)＝a·c＋a·d＋b·c＋b·d.
【即时练习】　
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若a·b＝a·c且a≠0，则b＝c.(　　)
(2)(a·b)c＝a(b·c)．(　　)
(3)(a·b)2＝a2·b2.(　　)
(4)a·[b(a·c)－c(a·b)]＝0.(　　)
2．已知a，b是互相垂直的单位向量，若c＝a－2b，则b·c＝(　　)
A．－2　　　　　　B．－1　　　　　　C．0　　　　　　D．2
6．2.1　向量的加法运算
一、
1．两个向量和
2．a＋b　　a＋b
[即时练习]
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
二、
1．b＋a　2.a＋(b＋c)
[即时练习]
解析：.
答案：
6．2.2　向量的减法运算
一、
相等　相反　0　－b　0
[即时练习]
1．答案：(1)×　(2)√　(3)√
2．答案：
二、
相反向量　　终点　终点
[即时练习]
1．解析：.故选C.
答案：C
2．解析：因为a与b是两个相等向量，所以a－b＝0.
答案：0
6．2.3　向量的数乘运算
一、
向量　相同　相反
[即时练习]
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
二、
(1)(λμ)a　(2)λa＋μa　(3)λa＋λb
λa－λb　λμ1a±λμ2b
[即时练习]
解析：3(2a－4b)＝6a－12b.
答案：D
三、
b＝λa
[即时练习]
1．解析：因为a＝－，所以a＝－2b，则b＝－．答案：B
2．解析：∵b与a的方向相反，可设a＝λb(λ<0)，∴|a|＝|λ||b|，
∴5＝7|λ|，∴λ＝±，又∵λ<0，∴λ＝－.
答案：－
6．2.4　向量的数量积
第1课时　向量数量积的概念
一、
1．非零向量　∠AOB＝θ　0≤θ≤π
2．同向　反向　垂直　a⊥b
[即时练习]
解析：因为向量a与向量b的夹角为60°，根据向量夹角的几何意义，－a与－b构成的夹角和a与b的夹角相等，故选A.
答案：A
二、
|a||b|cos θ　a·b　0
[即时练习]
解析：因为平面向量a，b的夹角为＝4，|b|＝4，
所以a·b＝＝8.
答案：C
三、
1．投影向量
2．投影向量
3．|a|cos θ e
[即时练习]
解析：a和e夹角为锐角，于是a在e上的投影向量和e同向共线，故投影向量为．
答案：
四、
(1)|a|cos θ　(2)a·b＝0　(3)　(4)≤
[即时练习]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2．解析：设向量a与b的夹角为θ，由|a|＝1，|b|＝3，a·b＝，
得cos θ＝，所以θ＝.故选C.
答案：C
第2课时　向量数量积的运算
(1)b·a　(2)λ(a·b)　a·(λb)　(3)a·c＋b·c
[即时练习]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．解析：b·c＝b·(a－2b)＝b·a－2b2＝0－2＝－2.
答案：A