2.1《等式性质与不等式性质》课时教案（表格式）-2025--2026年人教A版高中数学必修第一册

2.1《等式性质与不等式性质》课时教案
学科 数学 年级册别 高一上册 共1课时
教材 新课标人教A版必修第一册 授课类型 新授课 第1课时
教材分析
教材分析
本节内容位于高中数学必修第一册第二章第一节，是代数学习的基础性内容。教材从实际问题出发，引导学生理解等式与不等式的现实意义，并系统归纳等式的基本性质和不等式的基本性质，为后续学习方程、不等式解法以及函数性质研究奠定逻辑基础。内容结构清晰，由浅入深，注重从具体到抽象的思维过渡。
学情分析
高一学生已具备初中阶段关于等式和不等式的初步认知，能进行简单的等式变形与不等式比较，但对性质背后的逻辑依据缺乏深入理解。部分学生在符号推理中容易忽略条件限制，如不等式两边同乘负数时不等号方向改变的问题。学生正处于抽象思维发展的关键期，需通过具体情境激发兴趣，借助合作探究提升逻辑表达能力。突破措施包括设置阶梯式问题链、运用类比迁移策略、强化正反例辨析。
课时教学目标
观察现实世界
1. 能结合生活实例识别等量关系与不等关系，理解其在描述现实问题中的作用。
2. 能从实际背景中抽象出等式或不等式模型，体会数学建模的思想方法。
思考现实世界
1. 掌握等式的基本性质，理解其作为代数运算依据的重要性。
2. 理解不等式的基本性质，能准确判断在不同操作下不等关系的变化规律。
表达现实世界
1. 能用规范的数学语言表述等式与不等式的性质，发展严谨的逻辑表达能力。
2. 能运用性质解决简单代数变形问题，提升代数推理与表达能力。
应用现实世界
1. 能利用等式与不等式性质解释实际问题中的数量变化关系。
2. 能在解方程与解不等式的初步过程中自觉运用性质进行合理推导。
教学重点、难点
重点
1. 等式的基本性质及其在代数变形中的应用。
2. 不等式的基本性质，特别是涉及乘除运算时的方向变化规则。
难点
1. 对“不等式两边同乘（或同除）同一个负数，不等号方向改变”这一性质的理解与灵活运用。
2. 在复杂代数变形中准确选择并正确使用相应的性质，避免逻辑错误。
教学方法与准备
教学方法
情境探究法、合作探究法、讲授法
教具准备
多媒体课件、投影仪、黑板、学习任务单
教学环节 教师活动 学生活动
情境导入：天平与温度计的启示
【5分钟】 一、创设生活情境，引出核心问题 （一）、展示动态课件：天平平衡与倾斜
教师播放一段动画视频：一个托盘天平左端放着两个相同的苹果，右端也放着两个相同的苹果，天平保持水平；接着将其中一个苹果换成一个梨子，天平发生倾斜。随后提问：“为什么天平会倾斜？这说明了什么数量关系？”引导学生意识到：当两个量相等时，可以用“=”连接；当两个量不相等时，则需要用“＞”或“＜”来表示。
紧接着，教师又出示一张城市气温对比图：北京-3℃，哈尔滨-8℃，上海5℃。提问：“你能用数学符号描述这三个城市的温度高低关系吗？”鼓励学生写出如“-8℃ < -3℃ < 5℃”这样的表达式，从而自然引入不等式的概念。
（二）、提出驱动性问题，激发探究欲望
教师总结道：“在生活中，我们无时无刻不在比较大小、判断相等。而数学正是用等式与不等式来精确刻画这些关系的工具。那么，当我们对一个已经成立的等式或不等式进行加减乘除操作时，原有的关系是否仍然成立？如果成立，需要满足哪些条件？这就是今天我们要共同探索的核心问题——等式与不等式的基本性质。”
此环节通过真实可感的生活场景，让学生感受到数学源于生活，增强学习动机。同时以问题为导向，为后续的探究活动埋下伏笔。 1. 观察天平变化，思考相等与不等的数量含义。
2. 根据气温数据，尝试用不等号连接三个城市。
3. 思考教师提出的驱动性问题。
4. 明确本节课的学习目标。
评价任务 观察能力：☆☆☆
表达准确：☆☆☆
问题意识：☆☆☆
设计意图 通过直观的生活情境唤醒学生的已有经验，建立等式与不等式的现实感知。利用天平体现“等量关系”的稳定性，借助气温比较展现“不等关系”的动态性，帮助学生实现从具体到抽象的认知过渡。提出具有挑战性的驱动性问题，引发认知冲突，激发主动探究的内驱力，为新知建构提供心理准备。
合作探究一：等式性质的发现之旅
【10分钟】 一、分组实验：模拟天平操作 （一）、发放学习任务单，明确探究任务
教师将全班分为六个小组，每组发放一张“等式性质探究任务单”，上面列有如下表格：
【任务1】已知：3 + 2 = 5，请完成下列操作并填写结果：
① 两边同时 + 4 → 左边：______，右边：______，是否仍相等？______
② 两边同时 - 1 → 左边：______，右边：______，是否仍相等？______
③ 两边同时 × 3 → 左边：______，右边：______，是否仍相等？______
④ 两边同时 ÷ 2 → 左边：______，右边：______，是否仍相等？______
【任务2】再任选一组等式（如 7 - 2 = 5），重复上述四步操作，验证结论是否一致。
教师强调：“请每位同学先独立完成计算，然后在小组内交流结果，讨论你们发现了什么规律？”
（二）、巡视指导，收集生成资源
教师在各组间巡回观察，关注学生是否能准确执行运算，提醒他们注意记录每一步的结果。对于出现计算错误的小组，及时给予个别辅导；对于能够初步概括出“两边同加、同减、同乘、同除（除数不为零）结果仍相等”的小组，鼓励他们用自己的话表达出来，并准备在全班分享。
（三）、组织汇报，提炼数学语言
待多数小组完成任务后，教师邀请两组代表上台展示他们的填写过程与发现。第一组学生说：“我们发现只要两边做一样的加减乘除，等式就一直成立。”第二组补充：“但除法的时候不能除以0，那样没意义。”
教师充分肯定学生的发现，并引导全班一起归纳：
1. 如果 a = b，那么 a + c = b + c （等式性质1）
2. 如果 a = b，那么 a - c = b - c （等式性质1的变式）
3. 如果 a = b，那么 ac = bc （等式性质2）
4. 如果 a = b 且 c ≠ 0，那么 a/c = b/c （等式性质2的补充）
教师特别强调：“这四条性质是我们今后解方程的‘通行证’，任何代数变形都必须以此为依据。” 1. 分组领取任务单，开展探究活动。
2. 独立完成等式变形计算。
3. 小组讨论，归纳共同规律。
4. 派代表汇报发现，参与全班交流。
评价任务 计算准确：☆☆☆
归纳完整：☆☆☆
表达清晰：☆☆☆
设计意图 通过设计结构化的探究任务，让学生亲身经历“操作—观察—猜想—验证—归纳”的完整数学发现过程。采用小组合作形式，促进思维碰撞与语言表达，培养合作学习能力。教师适时介入，既保障探究效率，又尊重学生主体地位。最终将朴素的语言上升为严谨的数学符号表达，完成从经验性认识到理性认识的飞跃，深刻理解等式性质的本质是“保持相等关系的操作规则”。
合作探究二：不等式性质的思辨之旅
【12分钟】 一、类比迁移，提出假设 （一）、延续情境，引发类比思考
教师回到最初的天平情境：“刚才我们看到，当天平不平衡时，说明两边重量不等。比如左边重于右边，即 A > B。如果我们对这个不等式也进行加减乘除操作，结果会怎样呢？”
教师继续引导：“大家可以先想一想，如果我们在天平两边同时加上相同重量的砝码，轻的一边会不会变得比原来重？显然不会。也就是说，两边同加一个数，原来的不等关系应该不变。”
随即布置新的探究任务：“请大家以小组为单位，利用给定的数值例子，验证以下四种操作对不等式的影响：① 同加一个数；② 同减一个数；③ 同乘一个正数；④ 同乘一个负数。”
（二）、聚焦矛盾点，设计对比实验
教师特别指出：“前三项大家可能容易接受，但第四项‘同乘负数’是个关键考验。请你们分别尝试乘以正数和负数，比如用 -2 去乘，看看会发生什么？”
各小组开始动手计算，例如取 3 < 5：
① 两边 + 2 → 5 < 7
② 两边 - 1 → 2 < 4
③ 两边 × 2 → 6 < 10
④ 两边 × (-2) → -6 -10 → 实际上 -6 > -10 （原不等号方向改变）
不少小组在此处产生困惑：“咦？怎么变成大于了？”
（三）、组织辩论，澄清认知误区
教师捕捉到这一典型生成，立即组织课堂辩论：“有小组发现，当两边同乘负数时，不等号方向变了！这是偶然还是必然？谁能解释为什么会这样？”
一位学生举手回答：“因为负数越乘越小，比如 -2 比 -1 小，所以原来小的数乘完反而变大了。”另一位学生补充：“就像温度，-5度比-3度冷，但如果都乘-1，就变成了5和3，这时候5反而更大。”
教师顺势借助数轴演示：“请大家看数轴，3 和 5 都在原点右侧，3 在左，5 在右。当我们同时乘以 -1，它们都到了左侧，变为 -3 和 -5，此时 -3 在右，-5 在左，位置发生了反转，因此大小关系也随之逆转。”
最后师生共同总结：
1. 若 a < b，则 a + c < b + c （不等式性质1）
2. 若 a < b，c > 0，则 ac < bc （不等式性质2）
3. 若 a < b，c < 0，则 ac > bc （不等式性质3）
教师特别强调：“第三条是易错点，务必牢记：遇负变向！” 1. 类比等式性质，猜测不等式变化规律。
2. 动手计算，验证不同操作下的结果。
3. 发现“同乘负数方向改变”的现象。
4. 参与课堂讨论，尝试解释原理。
评价任务 发现规律：☆☆☆
解释合理：☆☆☆
辨析准确：☆☆☆
设计意图 本环节采用“类比—质疑—验证—升华”的教学路径，引导学生从熟悉的等式性质出发，大胆推测不等式性质，但在关键处设置认知冲突（同乘负数），打破直觉惯性，促使深度思考。通过小组合作与全班辩论相结合的方式，鼓励学生用自己的语言解释数学现象，发展数学表达与批判性思维。借助数轴这一几何工具，将抽象的符号运算可视化，帮助学生直观理解“方向逆转”的本质原因，突破教学难点，实现数形结合的思想渗透。
典例精析：性质的应用实践
【8分钟】 一、典型例题讲解 （一）、示范规范书写，强化逻辑链条
教师在黑板上演示教材P35例2：
已知 a > b，判断下列各式是否成立：
(1) a + 3 > b + 3
(2) 2a > 2b
(3) -3a < -3b
(4) a - c > b - c
教师逐题分析：
对于(1)，根据不等式性质1，“两边同加3”，不等号方向不变，故成立；
对于(2)，c=2>0，根据不等式性质2，“两边同乘正数2”，方向不变，成立；
对于(3)，c=-3<0，根据不等式性质3，“两边同乘负数-3”，方向应改变，原式写为“-3a < -3b”是正确的，成立；
对于(4)，虽然形式上像“同减c”，但未说明c的取值范围，若c为任意实数，则恒成立，因属于性质1的范畴。
讲解过程中，教师反复强调每一步推理都要注明所依据的性质，养成“言必有据”的良好习惯。
（二）、组织变式训练，促进迁移应用
教师出示变式题：
已知 x < y，且 m < 0，判断：mx ____ my （填“>”、“<”或“=”）
引导学生分析：由于m为负数，根据不等式性质3，两边同乘负数，方向改变，因此应填“>”。
再出示一道综合题：
若 a > b > 0，比较 a 与 b 的大小。
教师提示：“可以将 a - b 化为 (a+b)(a-b)，由于 a > b，得 a - b > 0；又 a > b > 0，故 a + b > 0。两个正数相乘结果仍为正，因此 a - b > 0，即 a > b 。”
此过程体现了如何综合运用不等式性质进行代数推理。 1. 观察教师示范，学习规范表达。
2. 理解每一步推理的依据。
3. 完成变式练习，巩固性质应用。
4. 思考综合问题，提升思维深度。
评价任务 推理严谨：☆☆☆
依据明确：☆☆☆
应用灵活：☆☆☆
设计意图 通过精选典型例题，教师示范如何将抽象性质应用于具体问题，突出“性质→结论”的逻辑主线，培养学生有理有据的数学表达习惯。设置层层递进的变式训练，既有直接套用的简单题，也有需要分类讨论或综合变形的提高题，满足不同层次学生的需求。通过对 a 与 b 的比较，引导学生体会代数恒等变形与不等式性质的结合运用，提升综合分析能力，实现知识的深化与拓展。
课堂小结：构建知识网络
【6分钟】 一、结构化回顾，形成系统认知 （一）、引导学生自主梳理
教师提问：“同学们，回顾本节课的内容，我们主要学习了哪些知识？它们之间有什么联系？”
鼓励学生发言：
“我们学习了等式和不等式的基本性质。”
“等式性质比较简单，加减乘除都可以，只要除数不为零。”
“不等式性质要注意乘除负数时要变向。”
“这些性质都是我们以后解方程和解不等式的依据。”
（二）、教师完善板书，构建思维导图
教师结合板书，系统总结：
今天我们完成了两项重要发现：
第一，等式性质的两大支柱：加减同一数，等式仍成立；乘除非零数，等式依旧存。
第二，不等式性质的三大法则：同加同减不改向；同乘同除正数保方向；唯遇负数须转向，此乃铁律不可忘。
正如笛卡尔所说：“一切问题都可以转化为数学问题，一切数学问题都可以转化为代数问题，而一切代数问题又都可以转化为方程问题。”我们今天所掌握的这些基本性质，正是打开代数世界大门的第一把钥匙。它们看似简单，却是整个中学数学大厦的基石。希望大家在今后的学习中，始终秉持“言必有据”的理性精神，让每一次变形都有理可依，让每一步推理都经得起检验。 1. 回顾本节课所学内容。
2. 主动发言，表达个人理解。
3. 听取教师总结，完善知识结构。
4. 感悟数学思想，提升学习信念。
评价任务 归纳全面：☆☆☆
理解深刻：☆☆☆
感悟升华：☆☆☆
设计意图 采用“学生复述+教师升华”的双轮驱动模式，既检验学习效果，又提升总结高度。通过引导学生自主回忆，促进知识内化；通过教师系统梳理，帮助学生建立清晰的知识框架。引用笛卡尔名言，将本节课的内容置于整个数学体系的高度，让学生体会到基础性质的重要价值，激发持续学习的动力。结尾强调“理性精神”与“逻辑严谨”，传递数学学科的核心素养追求，实现情感态度价值观的自然渗透。
当堂检测：即时反馈成效
【4分钟】 一、限时练习，精准评估 （一）、发放检测题卡，明确答题要求
教师发放预先准备好的“当堂检测卡”，包含以下三道题：
1. 已知 a = b，则下列变形错误的是（ ）
A. a + 2 = b + 2 B. 3a = 3b C. a - 5 = b - 5 D. a/0 = b/0
2. 若 x > y，则 -2x ____ -2y。（填“>”、“<”或“=”）
3. 判断正误：若 a < b，则 ac < bc。（ ）
要求学生在4分钟内独立完成，教师巡视，重点关注学生对“除以零”和“乘负数变向”的掌握情况。
（二）、快速批阅，即时反馈
时间到后，教师用投影仪展示标准答案：
1. D 2. < 3. ×（缺少c>0的前提）
并随机抽取几位学生展示答题过程，进行点评。对普遍存在的问题再次强调：“数学推理必须严谨，条件缺失就会导致结论错误。” 1. 独立完成当堂检测题。
2. 按时提交答案。
3. 对照标准答案自我检查。
4. 倾听教师反馈，纠正错误。
评价任务 基础扎实：☆☆☆
判断准确：☆☆☆
反思及时：☆☆☆
设计意图 通过设计短小精悍的当堂检测题，覆盖本节课的重点与易错点，实现“学—教—评”一体化。限时独立完成有助于培养学生的时间意识和专注力。教师即时批阅与反馈，能够迅速掌握学情，调整后续教学节奏。通过典型错题的剖析，再次强化“条件意识”与“逻辑严密性”，确保核心知识真正落地。
作业设计
一、基础巩固题
1. 用“＞”或“＜”填空：
（1）若 a > b，则 a + 7 ______ b + 7；
（2）若 m < n，则 -3m ______ -3n；
（3）若 x ≥ y，且 k > 0，则 kx ______ ky；
（4）若 p = q，则 p/5 ______ q/5（p,q ≠ 0）。
2. 判断下列说法是否正确，若不正确，请说明理由：
（1）若 a > b，则 a - 3 > b - 3；
（2）若 a > b，则 -a > -b；
（3）若 a > b，则 2a + 1 > 2b + 1；
（4）若 a > b，则 a > b 。
二、能力提升题
3. 已知 a > b，c < d，且 c > 0，试比较 ac 与 bd 的大小关系，并说明理由。
4. 设 x、y 为实数，且 x > y。能否确定 (x+1)/(y+1) 与 1 的大小关系？若能，请给出结论；若不能，请举例说明。
三、拓展探究题
5. 阅读材料：在古代巴比伦泥板文献中，已有类似“若两数之和为S，积为P，则这两数是方程x - Sx + P = 0的根”的记载。请结合本节课所学的等式性质，解释为什么我们可以对方程进行移项、合并同类项等操作而不改变其解集？
【答案解析】
一、基础巩固题
1. （1）＞；（2）＞（提示：m < n，两边同乘-3，负数变向）；（3）≥；（4）＝。
2. （1）正确；（2）错误，应为 -a < -b；（3）正确；（4）错误，反例：a = -1, b = -2，则 a > b，但 a = 1 < 4 = b 。
二、能力提升题
3. 解析：由 a > b 且 c > 0，得 ac > bc；由 c < d 且 b 符号未知，无法直接比较 bc 与 bd。故仅凭现有条件无法确定 ac 与 bd 的大小关系。
4. 解析：不能确定。例如：当 x = 3, y = 1 时，(x+1)/(y+1)=4/2=2>1；当 x = 1, y = -0.5 时，(x+1)/(y+1)=2/0.5=4>1；但当 x = 0.5, y = -0.5 时，(x+1)/(y+1)=1.5/0.5=3>1。实际上，由于 y+1 可能为正也可能为负，且 x+1 与 y+1 的相对大小不确定，因此无法统一判断。更严谨地说，(x+1)/(y+1) - 1 = (x - y)/(y + 1)，其符号取决于 y + 1 的正负，故无法确定。
板书设计
第二章 一元二次函数、方程与不等式
2.1 等式性质与不等式性质（第1课时）
【左侧区域】
等式性质：
性质1：若 a = b，则 a±c = b±c
性质2：若 a = b，则 ac = bc（c∈R）
若 a = b，c≠0，则 a/c = b/c
口诀：等式变形保相等，除零除外皆可行。
【右侧区域】
不等式性质：
性质1：若 a < b，则 a±c < b±c
性质2：若 a < b，c > 0，则 ac < bc
性质3：若 a < b，c < 0，则 ac > bc
口诀：不等式，记心间，
同加同减不改向；
乘除正数保方向；
唯遇负数须转向！
【中间下方】
核心思想：言必有据，理性推理
数学名言：“一切问题都可以转化为数学问题……”——笛卡尔
教学反思
成功之处
1. 教学设计以“天平与温度计”为主线情境贯穿始终，有效激发了学生的学习兴趣，实现了生活化导入与数学化抽象的有机融合。
2. 采用“合作探究+思辨讨论”的教学模式，充分调动了学生的主动性，在“同乘负数”这一难点上通过数轴演示与学生解释相结合，取得了良好的突破效果。
3. 板书设计条理清晰，左右对照，辅以口诀记忆与名言激励，增强了知识的可视性与人文性。
不足之处
1. 在当堂检测环节时间略显紧张，部分学生未能充分思考第4题的开放性问题，反映出课堂节奏把控还需优化。
2. 对于学习困难的学生，个别指导还不够到位，未能完全做到分层推进。
3. 作业设计中拓展题难度偏高，可能影响部分学生的完成信心，后续应加强梯度设计。