2.2《基本不等式》课时教案（含答案）-2025--2026年人教A版高中数学必修第一册

2.2《基本不等式》课时教案
学科 数学 年级册别 高一上册 共1课时
教材 新课标人教A版必修第一册 授课类型 新授课 第1课时
教材分析
教材分析
本节课选自人教A版高中数学必修第一册第二章《等式与不等式》中的第2.2节“基本不等式”。它是不等式体系中的核心内容之一，是后续学习函数最值、线性规划、导数应用的重要基础。教材通过几何直观引入代数结论，体现了数形结合的思想，强调从特殊到一般的归纳过程，帮助学生建立严谨的逻辑推理意识。
学情分析
高一学生已具备一定的代数运算能力和初步的逻辑推理能力，对不等式的性质已有基本掌握。但抽象思维仍处于发展阶段，面对“为什么成立”“如何应用”等问题容易产生困惑。此外，部分学生缺乏将实际问题转化为数学模型的能力。因此，教学中需借助生活情境激发兴趣，通过层层设问引导探究，强化思维训练，突破理解难点。
课时教学目标
观察现实世界
1. 能从矩形面积与周长关系、平均速度等生活实例中抽象出两个正数的算术平均数与几何平均数之间的大小关系。
2. 能识别并描述基本不等式在现实生活中的典型应用场景，如成本控制、资源分配、效率优化等问题。
思考现实世界
1. 能通过代数推导和几何解释两种方式理解基本不等式 （ ）的成立条件与取等号的充要条件。
2. 能运用“作差法”进行严格的代数证明，并能结合图形（半圆直径上的垂线段）解释其几何意义。
表达现实世界
1. 能准确书写基本不等式及其变形形式，并规范使用“当且仅当 时取等号”的表述语言。
2. 能用基本不等式解决简单的最值问题，如求和最小或积最大，并能清晰地写出解题步骤与逻辑推理过程。
数学建模意识
1. 能将实际问题中的数量关系提炼为两个正数之和或积的形式，构造适用基本不等式的结构。
2. 能在解决问题过程中体会“一正二定三相等”的使用原则，提升数学建模与逻辑表达能力。
教学重点、难点
重点
1. 掌握基本不等式 的内容、适用条件及取等条件。
2. 理解基本不等式的几何解释与代数证明方法。
难点
1. 深刻理解“当且仅当 时取等号”的含义及其在最值问题中的关键作用。
2. 在实际问题中灵活构造符合基本不等式使用条件的代数结构，尤其是“配凑定值”的技巧。
教学方法与准备
教学方法
情境探究法、合作探究法、讲授法、启发式教学
教具准备
多媒体课件、几何画板动画、黑板、粉笔、学习任务单
教学环节 教师活动 学生活动
情境导入：赵爽弦图中的智慧
【5分钟】 一、文化启思，引出主题 （一）、展示赵爽弦图，讲述历史背景。
教师利用PPT动态呈现中国古代数学家赵爽在《周髀算经》注释中提出的“弦图”，该图由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间形成一个小正方形。引导语：“同学们，这幅精妙的‘弦图’不仅是中国古代智慧的象征，更蕴含着深刻的数学思想。赵爽曾用它来证明勾股定理，而今天我们要从中挖掘另一个重要结论——关于两个量之间大小关系的秘密。”
接着提问：“如果每个直角三角形的两条直角边分别为 和 （不妨设 ），那么整个大正方形的边长是多少？面积呢？中间小正方形的边长又是多少？”
等待学生回答后，继续追问：“你能比较四个直角三角形的总面积与中间小正方形面积的大小吗？这个比较结果能否揭示出 和 的某种平均值之间的关系？”
通过一步步引导，使学生意识到：四个三角形总面积为 ，大正方形面积为 ，中间小正方形面积为 ，从而得到恒等式：
移项可得：
即：
两边开方（注意非负性）得：
最终整理为：
教师总结：“这就是我们今天要深入研究的基本不等式！它告诉我们：两个正数的算术平均数总是不小于它们的几何平均数。”
（二）、明确课题，板书标题。
教师在黑板中央工整书写本节课课题：“§2.2 基本不等式”，并在下方写下核心公式：
同时标注：“当且仅当 时，等号成立。”强调这一条件的重要性，为后续讨论埋下伏笔。 1. 观察弦图，回忆勾股定理的证明过程。
2. 回答教师提出的问题，尝试计算各部分面积。
3. 参与推导，感受从图形中发现代数规律的过程。
4. 明确本节课的学习目标与核心内容。
评价任务 面积计算：☆☆☆
公式推导：☆☆☆
概念理解：☆☆☆
设计意图 以中国古典数学名图为切入点，既弘扬中华优秀传统文化，又自然引出基本不等式，体现数学的文化价值；通过面积比较的方式，让学生经历“从形到数”的抽象过程，增强直观感知，降低认知门槛，激发探究欲望。
新知建构：代数与几何的双重验证
【12分钟】 一、代数证明：严谨推理的力量 （一）、引导学生回顾作差法的基本思路。
教师提问：“我们已经通过赵爽弦图得到了这个不等式，但它是否普遍成立？我们能否用纯代数的方法加以证明？”引导学生回忆处理不等式问题常用的“作差法”：即判断 是否大于等于零。
给出具体步骤提示：“我们可以令 ，考虑 的符号。但由于根号的存在，直接作差较复杂。有没有办法简化？”
启发学生想到先平方再比较，但必须提醒：“平方操作只有在两边均为非负时才保序！”因此，应直接考虑：
展开得：
即：
所以：
教师强调：“这里的每一步都是等价变形，且 是显然成立的，因为任何实数的平方都不小于零。”
进一步追问：“什么时候取等号？”学生容易得出：当且仅当 ，即 时取等号。
教师总结：“这种证法简洁有力，体现了代数推理的严密性。”
二、几何解释：图形中的真理 （二）、演示半圆模型，构建直观想象。
教师使用几何画板动态演示如下构造：画一条线段 AB，长度为 ，以 AB 为直径作半圆，O 为圆心。在 AB 上取一点 C，使得 AC = a，CB = b。过点 C 作 AB 的垂线交半圆于点 D，连接 AD、BD。
提问：“请观察 OD 和 CD 的长度分别代表什么？”
引导学生分析：由于 AB 是直径，∠ADB = 90°，故 △ADB 为直角三角形。OD 是半径，因此：
而 CD 是从 C 到 D 的垂直距离，在 Rt△ACD 和 Rt△CBD 中，可通过射影定理或相似三角形得出：
所以：
再提问：“OD 和 CD 在图中是什么位置关系？”学生观察发现 CD ≤ OD，当且仅当 C 与 O 重合（即 a = b）时，CD = OD。
由此得出：
教师总结：“几何图形让我们‘看见’了不等式，这是数形结合思想的完美体现。” 1. 尝试用作差法证明不等式。
2. 理解 的构造原理。
3. 观察几何模型，理解 OD 与 CD 的几何意义。
4. 归纳出几何解释下的不等式关系。
评价任务 代数证明：☆☆☆
几何理解：☆☆☆
逻辑表达：☆☆☆
设计意图 通过代数证明培养学生的符号运算与逻辑推理能力；借助半圆模型提供直观支撑，帮助学生建立空间想象与数形联系，实现“双重确认”，加深理解层次；两种方法互为补充，体现数学的统一美与严谨性。
深化理解：关键词的深度剖析
【8分钟】 一、“一正二定三相等”原则解析 （一）、逐条讲解使用条件。
教师在黑板一侧列出三个关键词：
1. **一正**：要求 ，否则 无意义或不成立。
举例说明：若 ，则 ， ，此时 ，不等式方向改变。
2. **二定**：指在利用基本不等式求最值时，和 或积 中必须有一个是“定值”（常数）。
举例：若 ，且 ，其中积 为定值，故可求最小值。
3. **三相等**：指等号成立的条件 必须能够取到，否则不能说取得最值。
反例：若 且 ，但限定 ，则 ，无法取到最大值4。
（二）、组织小组辨析练习。
发放任务单，包含以下判断题：
① 若 ，则 。（×）
② 若 ，则 。（√）
（提示：令 ，则 ，原式不成立）
③ 已知 ，则 ，当且仅当 时取等。（√）
教师巡视指导，鼓励学生相互讨论，纠正错误认知。 1. 记录“一正二定三相等”三条原则。
2. 分析反例，理解条件缺失导致的错误。
3. 小组合作完成辨析题。
4. 派代表汇报答案并说明理由。
评价任务 条件识别：☆☆☆
反例分析：☆☆☆
合作交流：☆☆☆
设计意图 通过对“一正二定三相等”的细致拆解与典型辨析，帮助学生精准把握基本不等式的使用边界，避免常见误区；小组合作促进思维碰撞，提高批判性思维能力，为后续应用打下坚实基础。
应用拓展：走进生活中的最值问题
【15分钟】 一、经典例题示范：篱笆围园问题 （一）、呈现情境，引导建模。
教师讲述：“某农户计划用一段总长为20米的篱笆靠墙围成一个矩形菜园（如图所示），墙足够长，问他应如何设计才能使菜园面积最大？最大面积是多少？”
出示示意图（可用PPT）：一面为墙，另三边用篱笆围成矩形。
提问：“设矩形的长为 米（平行于墙的一边），宽为 米，则有怎样的等量关系？”
学生易得： 。
目标是最大化面积 。
教师引导：“我们有两个变量，如何减少变量？能否将面积表示为单一变量的函数？”
学生可能想到消元法：由 ，代入得 ，再求二次函数最大值。
教师肯定此法，然后提问：“能否不用函数法，而用基本不等式来解决？”
（二）、启发构造“积定”或“和定”结构。
提示：“基本不等式适用于‘和定求积最大’或‘积定求和最小’。当前我们有 ，这是一个‘和定’结构，但左边不是两个相同类型的项。”
引导学生观察： 和 都是正数，且和为定值20。
于是考虑：
即：
当且仅当 时取等号，联立 解得 ，此时最大面积为50平方米。
教师总结：“这种方法更简洁，关键是把 和 看作两个正数！”
二、变式训练：电费分摊问题 （三）、创设真实情境，激发兴趣。
教师提问：“假设你和室友合租一间房，每月电费固定为120元。你们约定按用电比例分摊，但为了公平，希望每人承担的费用与其用电量的平方根成正比。设你的用电量为 度，室友为 度，且 。问：如何分配才能使两人‘负担感’之和最小？”
提示：“负担感定义为 ，我们希望最小化这个值。”
引导学生思考：虽然没有直接的乘积或和的形式，但可以考虑使用基本不等式变形：
由于 为定值，要使 最小，只需使 最小，即 最小。
而根据基本不等式， ，但这是最大值。最小值出现在极端情况：一人用电极少，另一人接近120度，此时 。
但现实中不可能为零，说明越不平衡，负担感差异越大。真正公平的是 ，此时 ，虽非最小，却是最均衡的方案。
教师升华：“数学不仅求最优，也追求公平与和谐。” 1. 理解篱笆围园问题的情境与目标。
2. 尝试建立数学模型并运用基本不等式求解。
3. 参与变式问题的讨论，理解数学在生活中的应用。
4. 总结解题策略，归纳建模步骤。
评价任务 建模能力：☆☆☆
方法迁移：☆☆☆
实际应用：☆☆☆
设计意图 通过典型应用题训练学生将实际问题转化为数学问题的能力；强调“配凑”技巧与“整体代换”思想；变式问题拓展视野，体现数学的人文关怀，培养学生综合素养。
课堂小结：知识树与人生哲理
【4分钟】 一、结构化梳理 （一）、师生共同回顾本节课知识脉络。
教师引导：“今天我们沿着‘历史→代数→几何→应用’的路径，系统学习了基本不等式。”
在黑板上绘制知识树：
根部：赵爽弦图（文化起源）
主干： （核心公式）
分支一：代数证明（作差法）
分支二：几何解释（半圆模型）
果实：应用——求最值（一正二定三相等）
强调：“每一个知识点都不是孤立的，而是相互关联的整体。”
二、升华式总结 （二）、引用名言，启迪人生。
教师深情说道：“数学家华罗庚曾说：‘宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。’今天我们所学的不仅仅是一个公式，更是一种思维方式——如何在约束条件下寻求最优解。”
“人生亦如此。我们每个人都在有限的时间、精力与资源中前行。基本不等式告诉我们：真正的平衡与最大价值，往往来自于内在的协调与适度，而非极端的偏执。就像当 时才能取等，人生的圆满，常常源于自我与外界的和谐统一。”
“愿你们今后不仅能用它解题，更能用它思考生活。” 1. 跟随教师回顾知识框架。
2. 理解数学公式背后的思想方法。
3. 感悟数学与生活的联系。
4. 内化积极的学习态度与价值观。
评价任务 知识梳理：☆☆☆
思想感悟：☆☆☆
情感共鸣：☆☆☆
设计意图 通过结构化图示帮助学生构建完整的知识体系；融入名人名言与人生哲理，实现情感态度与价值观的升华，体现数学教育的育人功能，让课堂余韵悠长。
作业设计
一、基础巩固题
1. 判断下列各式是否正确，若不正确，请说明原因：
　(1) 若 ，则 。
　(2) 若 ，则 。
　(3) 若 ，则 ，当且仅当 时取等号。
2. 利用基本不等式求下列函数的最值：
　(1) 已知 ，求 的最小值。
　(2) 已知 且 ，求 的最大值。
二、能力提升题
3. 用一段长为36米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形苗圃，墙足够长。问：这个苗圃的最大面积是多少？并指出此时矩形的长和宽。
4. 已知 且 ，求 的最小值。
（提示：考虑将 写成 的形式展开后使用基本不等式）
三、拓展探究题
5. 查阅资料，了解“调和平均数” ，并与算术平均数 、几何平均数 进行比较，尝试证明：对于任意两个正数 ，都有 ，并说明何时取等号。
【答案解析】
一、基础巩固题
1. (1) 错误。缺少 条件。
　 (2) 正确。因 ，由基本不等式得 。
　 (3) 正确。满足“一正二定三相等”。
2. (1) ，当且仅当 时取最小值6。
　 (2) ，当且仅当 时取最大值16。
二、能力提升题
3. 设平行于墙的边长为 ，垂直于墙的两边各为 ，则 ，面积 。
　由 ，得 ，当且仅当 即 时取最大面积162平方米。
4. ，当且仅当 即 时取最小值16。
板书设计
§2.2 基本不等式
核心公式：
当且仅当 时取等号。
证明方法：
1. 代数法：
2. 几何法：半圆直径上的垂线段 ≤ 半径
使用原则：
一正：
二定：和或积为定值
三相等： 能取到
应用模型：
→ 和定求积最大
→ 积定求和最小
知识树简图：
[赵爽弦图] → [公式] → [代数/几何] → [应用]
教学反思
成功之处
1. 以赵爽弦图作为文化导入，极大地激发了学生的学习兴趣与民族自豪感，实现了数学与文化的有机融合。
2. 采用“代数+几何”双通道建构知识，有效降低了抽象难度，提升了学生的直观想象与逻辑推理能力。
3. 应用环节选取贴近生活的案例，增强了数学的实用性感知，学生参与度高，课堂氛围活跃。
不足之处
1. 在“电费分摊”变式题中，部分学生对“负担感”的设定理解困难，说明情境创设还需更贴近学生经验。
2. 对于“配凑”技巧的指导还不够充分，个别学生在面对非常规结构时仍感到迷茫。
3. 课堂时间紧张，未能让所有小组充分展示交流，个别学生的思维火花未被完全点燃。
改进方向：今后可增加一道“搭桥型”过渡题，帮助学生逐步掌握构造技巧；同时预留更多时间用于生生互动与成果分享，让思维真正流动起来。