2.3《二次函数与一元二次方程、不等式》课时教案（表格式）-2025--2026年人教A版高中数学必修第一册

2.3《二次函数与一元二次方程、不等式》课时教案
学科 数学 年级册别 高一上册 共1课时
教材 新课标人教A版 授课类型 新授课 第1课时
教材分析
教材分析
本节内容位于人教A版高中数学必修第一册第二章第三节，是函数知识体系中的关键衔接点。教材通过二次函数的图像特征引出其与一元二次方程根的关系，并进一步拓展到一元二次不等式的解法，体现了“数形结合”的核心思想。该节不仅深化了学生对函数本质的理解，也为后续学习幂函数、指数函数及导数等内容奠定基础，在整个代数体系中具有承上启下的作用。
学情分析
高一学生已掌握一次函数、方程与不等式的基本解法，具备初步的函数图像认知能力。但在从“算术思维”向“函数思维”过渡过程中，仍存在理解障碍，尤其在将方程的根视为函数零点、将不等式解集对应图像区间时容易混淆。此外，部分学生缺乏主动构建知识网络的能力。因此教学需借助直观图像和生活情境降低抽象性，引导学生自主发现三者之间的内在联系，提升逻辑推理与数学建模素养。
课时教学目标
观察现实世界
1. 能结合实际问题（如抛物线运动、利润最值）识别其中蕴含的二次函数关系，并建立相应的数学模型。
2. 能从具体情境中抽象出一元二次方程与不等式，理解其几何意义与现实背景。
思考现实世界
1. 掌握利用二次函数图像判断一元二次方程实数根个数的方法，理解判别式Δ与图像交点的对应关系。
2. 理解并掌握用二次函数图像求解一元二次不等式的基本思路与步骤，能准确写出解集。
表达现实世界
1. 能规范地使用数学术语描述二次函数、方程与不等式之间的转化过程，清晰表达解题逻辑。
2. 能在小组合作中完整呈现探究成果，用语言或图表解释解法依据。
数学思维发展
1. 经历“特殊→一般→应用”的思维过程，发展归纳推理与演绎推理能力。
2. 在数形转换中增强直观想象与逻辑思辨的融合意识，形成结构化知识体系。
教学重点、难点
重点
1. 理解二次函数图像与一元二次方程根的关系（即函数零点概念）。
2. 掌握利用图像法求解一元二次不等式的步骤与原理。
难点
1. 准确理解“函数值大于零”与“图像在x轴上方”的等价关系，避免机械记忆口诀。
2. 对含参或系数为负的一元二次不等式进行分类讨论与图像分析。
教学方法与准备
教学方法
情境探究法、合作探究法、讲授法、数形结合法
教具准备
多媒体课件、几何画板动态演示、坐标纸、彩色粉笔
教学环节 教师活动 学生活动
创设情境，问题导入
【5分钟】 一、生活实例引发认知冲突 （1）、呈现真实情境：
教师投影展示一段视频：一名篮球运动员在比赛最后时刻投出三分球，球划过一道优美的弧线落入篮筐。随后定格画面，屏幕上出现一条清晰的抛物线轨迹，并标注起点、最高点与入筐点。
提问：“同学们，这个熟悉的抛物线可以用什么函数来刻画？如果我们要研究‘球何时高于篮筐高度’‘球是否命中’这样的问题，又会涉及哪些数学知识？”
待学生回答后，教师继续引导：“没错，这是典型的二次函数y=ax +bx+c的图像。而‘球是否命中’本质上是在问某个时刻的高度是否等于篮筐高度——这就转化为一个方程是否有解的问题；‘球何时高于篮筐’则是一个不等式问题。今天我们就来揭开这三者之间神秘的面纱。”
（2）、揭示课题并板书：
教师在黑板中央工整书写本节课课题：“2.3 二次函数与一元二次方程、不等式”，并在下方画出三个关键词：二次函数、一元二次方程、一元二次不等式，用双向箭头连接，形成初步的知识结构图。
过渡语：“正如牛顿所说：‘没有大胆的猜测，就做不出伟大的发现。’今天我们将带着猜想出发，用眼睛观察图像，用心感受数量关系，亲手揭开它们之间的深层联系。” 1. 观看视频，联想数学模型。
2. 回答教师提问，尝试建立函数、方程、不等式的联系。
3. 明确学习任务，记录课题。
4. 激发探究兴趣，进入学习状态。
评价任务 情境理解：☆☆☆
问题关联：☆☆☆
兴趣激发：☆☆☆
设计意图 通过贴近生活的篮球投射情境引入，增强数学的应用感与亲和力，激发学生的好奇心。以“球是否命中”“何时高于篮筐”这两个自然问题为驱动，巧妙地将二次函数、方程与不等式串联起来，使抽象知识具象化，帮助学生建立整体认知框架，同时渗透数学建模思想。
探究新知，层层递进
【15分钟】 一、函数与方程的桥梁：零点探秘 （1）、回顾旧知，铺垫新识：
教师首先带领学生复习二次函数的标准形式y=ax +bx+c（a≠0），并提问：“我们已经知道它的图像是抛物线。那么，请回忆：当x取何值时，函数值y=0？这在图像上有何表现？”
学生回答后，教师强调：“y=0意味着图像与x轴相交，这些交点的横坐标就是方程ax +bx+c=0的实数根。我们把使函数值为零的x叫做函数的‘零点’。”
接着，教师利用几何画板动态演示不同开口方向、不同判别式的二次函数图像变化过程，依次展示Δ>0、Δ=0、Δ<0三种情况下的图像与x轴的位置关系。
每演示一种情况，教师都暂停动画，提出问题：“此时图像与x轴有几个公共点？对应的方程有几个实数根？你能总结规律吗？”
（2）、分组探究，归纳结论：
教师组织学生前后桌四人一组，发放坐标纸和任务单。任务单上列出三个典型函数：
① y = x - 4x + 3 （Δ=4）
② y = x - 2x + 1 （Δ=0）
③ y = x + x + 1 （Δ=-3）
要求各组分别作出这三个函数的大致图像，标出与x轴的交点（若有），并填写下表：
函数 判别式Δ 图像与x轴交点个数方程根的情况
学生动手绘图、计算、讨论的过程中，教师巡视指导，重点关注学生是否正确理解“零点”即“根”的含义，是否能准确绘制顶点位置与开口方向。
待大部分小组完成后，教师邀请代表汇报结果，并在黑板上同步完成表格填写。
最后，师生共同归纳：
当Δ>0时，图像与x轴有两个交点 → 方程有两个不等实根；
当Δ=0时，图像与x轴有一个交点 → 方程有两个相等实根（即重根）；
当Δ<0时，图像与x轴无交点 → 方程无实数根。
教师特别指出：“这就是函数与方程的第一次亲密对话——函数的零点，正是对应方程的根！”
二、函数与不等式的桥梁：图像寻解 （1）、提出新问题：
教师承接上一环节，指着第一个函数y=x -4x+3的图像问道：“刚才我们找到了它与x轴的两个交点，分别是x=1和x=3。现在请大家思考：当x满足什么条件时，函数值y>0？也就是图像在哪一部分位于x轴上方？”
鼓励学生观察图像，用手势比划出x轴上方的部分。
有学生回答“x<1或x>3”后，教师追问：“你是怎么判断的？能不能从图像上说明理由？”
引导学生表述：“因为在x<1区间内，曲线在x轴之上，所以y>0；同理，在x>3区间也是如此。”
（2）、推广一般化方法：
教师趁势推广：“非常好！这就是解决一元二次不等式的核心方法——图像法。对于一般的ax +bx+c>0（a>0），我们可以先画出对应函数y=ax +bx+c的图像，找到它与x轴的交点（即方程的根），然后观察图像在哪些区间位于x轴上方，这些区间的x值就是不等式的解集。”
紧接着，教师补充说明当a<0时的情况：“如果二次项系数为负，比如y=-x +4x-3，图像开口向下，此时y>0的区域反而在两根之间。因此我们必须先标准化处理，通常建议将不等式两边同乘-1，改变符号方向，使a>0后再作图。”
教师在黑板上演示完整步骤：① 化标准形；② 求方程根；③ 画草图；④ 写解集。
并强调：“图像不会说谎，只要画得准，答案自然浮现。” 1. 回忆函数与方程关系，参与互动问答。
2. 分组合作绘制图像，完成任务单表格。
3. 观察图像，归纳Δ与根的关系。
4. 尝试用图像法解不等式，理解解集来源。
评价任务 图像绘制：☆☆☆
规律归纳：☆☆☆
方法迁移：☆☆☆
设计意图 通过几何画板动态演示增强视觉冲击力，帮助学生直观感知Δ与图像位置的关系。分组探究任务促使学生亲历“画图—观察—归纳”的全过程，实现从具体到抽象的思维跃迁。通过设置对比案例（a>0与a<0），引导学生关注系数对图像的影响，避免片面理解。整个环节紧扣“数形结合”主线，培养学生用图形语言解读代数问题的能力，落实核心素养。
典例剖析，深化理解
【12分钟】 一、标准题型示范讲解 （1）、例题1：不含参不等式求解
教师出示教材原题：“解不等式 2x - 3x - 2 > 0”。
按照“四步法”逐步演示：
第一步：确认a=2>0，无需变形；
第二步：解对应方程2x - 3x - 2 = 0，使用因式分解法：(2x+1)(x-2)=0，得x =-1/2，x =2；
第三步：画出开口向上的抛物线草图，标出x=-0.5和x=2两个零点；
第四步：观察图像在x轴上方的区间，得出解集为{x | x < -1/2 或 x > 2}。
教师边写边强调：“注意区间端点是否包含，由于是严格大于号，故用开区间表示。”
（2）、例题2：含参讨论初探
教师出示变式题：“解不等式 x - (a+1)x + a < 0”。
提问：“这里的a是个参数，会影响方程的根吗？我们应该如何入手？”
引导学生先解方程x - (a+1)x + a = 0，尝试因式分解：(x-1)(x-a)=0，得到两根x=1和x=a。
接着提问：“这两个根谁大谁小？取决于什么？”
学生意识到需要比较1与a的大小关系。
教师顺势引导分类讨论：
① 当a < 1时，较小根为a，较大根为1，图像开口向上，y<0的区间在(a,1)；
② 当a = 1时，两根相等，方程变为(x-1) <0，无解；
③ 当a > 1时，较小根为1，较大根为a，解集为(1,a)。
教师在黑板上分别画出三种情况的示意图，并用不同颜色标出解集区间。
总结：“面对含参问题，不要害怕，关键是抓住‘根的位置关系’这一核心变量，合理分类，逐类求解。”
二、易错点警示与辨析 （1）、常见误区展示：
教师投影几个典型错误解答：
错误1：直接套口诀“大于取两边，小于取中间”，未考虑a的正负；
错误2：解方程出错导致零点错误；
错误3：解集区间书写遗漏或方向颠倒。
请学生逐一指出错误原因，并给出正确解法。
教师点评：“记住，口诀是死的，图像是活的。永远相信你的草图，它是你最忠实的助手。” 1. 跟随教师思路，完成例题笔记。
2. 参与含参讨论，理解分类标准。
3. 辨析典型错误，反思自身盲点。
4. 提高规范意识，掌握解题流程。
评价任务 解法规范：☆☆☆
分类严谨：☆☆☆
纠错能力：☆☆☆
设计意图 通过典型例题的规范板书，强化“四步法”的操作流程，帮助学生建立稳定的解题程序。含参问题的设计提升了思维深度，引导学生由静态解题转向动态分析，发展逻辑严密性。通过暴露常见错误并组织辨析，增强学生的批判性思维与自我监控能力，真正实现“知其然更知其所以然”。
巩固练习，分层提升
【8分钟】 一、基础巩固训练 （1）、课堂即时练习：
教师投影两道基础题：
1. 解不等式：-x + 4x - 3 ≥ 0
2. 已知函数f(x)=x -2x+m，若其图像与x轴有两个不同交点，求m的取值范围。
要求全体学生独立完成，两名学生上台板演。
教师巡视全班，及时发现个别学生的困难，如第一题未先化正系数、第二题误用Δ≤0等，进行个别指导。
二、能力拓展挑战 （2）、小组合作探究：
教师发布挑战任务：“某公司生产一种产品，月利润P（万元）与售价x（元）的关系为P = -2x + 200x - 3000。要使公司盈利，售价应控制在什么范围？”
提示：盈利即P>0。
学生四人小组讨论，完成以下任务：
① 建立数学模型；
② 解不等式；
③ 给出实际意义下的价格区间（注意单位一致性）。
教师参与小组讨论，启发学生注意定义域的实际限制（如x>0），并对解集进行合理解释。
完成后邀请小组代表分享解题过程与结论。 1. 独立完成基础练习，检验掌握程度。
2. 上台板演，接受集体评议。
3. 小组协作解决实际问题，提升应用能力。
4. 展示交流，锻炼表达能力。
评价任务 基础达标：☆☆☆
应用迁移：☆☆☆
合作表现：☆☆☆
设计意图 基础练习面向全体，确保基本技能落实；拓展任务贴近经济生活，体现数学的实用价值，促进数学建模素养落地。通过板演与小组汇报相结合的方式，既关注个体差异，又培养团队协作精神。教师适时介入指导，保证探究的有效性与深度，实现“人人学有价值的数学”。
课堂总结，升华主题
【5分钟】 一、知识结构梳理 （1）、师生共同回顾：
教师指着黑板上的知识结构图，引导学生复述：
“今天我们搭建了两座桥梁：第一座是二次函数与一元二次方程之间的桥——函数的零点就是方程的根；第二座是函数与不等式之间的桥——图像在x轴上方对应y>0，下方对应y<0。而贯穿始终的那根红线，就是‘数形结合’的思想。”
二、情感态度升华 （2）、名言激励收尾：
教师深情地说：“笛卡尔曾说：‘一切问题都可以转化为数学问题，一切数学问题都可以转化为代数问题，而一切代数问题又都可以转化为方程问题。’今天我们虽只走了一小步，却窥见了数学世界宏大秩序的一角。希望你们今后面对复杂问题时，也能像今天一样，学会画一张图，找一个点，理一条线，最终走出自己的解题之路。因为真正的数学之美，不在答案本身，而在通往答案的思维旅程之中。” 1. 跟随教师回顾知识脉络。
2. 理解数形结合的核心价值。
3. 感受数学思想的魅力。
4. 树立学好数学的信心。
评价任务 知识梳理：☆☆☆
思想领悟：☆☆☆
情感共鸣：☆☆☆
设计意图 通过结构化回顾帮助学生整合碎片知识，形成系统认知。引用笛卡尔名言提升课堂文化品位，将数学学习上升至思维方法与人生哲理层面，激发学生持久的学习热情。结尾语富有诗意与哲理，让学生感受到数学不仅是公式与计算，更是理性与美的统一，实现情感、态度与价值观的自然升华。
作业设计
一、基础巩固题
1. 解下列不等式：
（1）3x - 7x + 2 ≤ 0
（2）-x + 6x - 9 > 0
（3）2x - 4x + 5 > 0
2. 若关于x的方程x + 2x + k = 0没有实数根，求k的取值范围。
二、综合应用题
3. 某小区要建一个矩形花坛，一面靠墙（墙长不限），另三面用总长为30米的篱笆围成。设垂直于墙的一边长为x米。
（1）写出花坛面积S（平方米）与x的函数关系式；
（2）若要求花坛面积不少于100平方米，求x的取值范围。
三、拓展探究题
4. 已知不等式ax + bx + c > 0的解集为(-2, 3)，求不等式cx + bx + a > 0的解集。（提示：利用根与系数关系）
【答案解析】
一、基础巩固题
1.（1）[1/3, 2]；（2） ；（3）R（全体实数）
2. k > 1
二、综合应用题
3.（1）S = x(30 - 2x) = -2x + 30x；（2）由S ≥ 100得 -2x + 30x ≥ 100，整理得 x - 15x + 50 ≤ 0，解得 5 ≤ x ≤ 10。结合实际意义x > 0且30 - 2x > 0 x < 15，故x ∈ [5, 10]。
板书设计
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
【中心图示】
二次函数 y=ax +bx+c
零点 根
一元二次方程 ax +bx+c=0
图像位置
一元二次不等式 ax +bx+c>0(<0)
【左侧】
Δ与根的关系：
Δ＞0 两交点 两不等实根
Δ＝0 一交点 两相等实根
Δ＜0 无交点 无实根
【右侧】
解不等式四步法：
① 化标准（a＞0）
② 求方程根
③ 画草图
④ 定解集（看图像上下）
【底部】
思想方法：数形结合、分类讨论、函数思想
教学反思
成功之处
1. 以篮球投篮情境导入，极大激发了学生兴趣，有效实现了知识的情境化建构。
2. 几何画板动态演示与学生手绘结合，充分调动多感官参与，显著提升了对“数形结合”的理解深度。
3. 含参不等式与实际应用题的设计，兼顾了思维梯度与现实关联，促进了高阶思维发展。
不足之处
1. 部分学生在小组合作中依赖他人，独立思考不够深入，未来需加强个体责任分工。
2. 对Δ=0时“一个交点”与“两个相等实根”的表述个别学生仍存困惑，需增加类比说明。
3. 时间分配略显紧张，拓展题未能充分展开交流，下次可适当压缩导入时间。