8．6.2 直线与平面垂直 预习案（含答案） 高一数学人教A版必修第二册

8．6.2　直线与平面垂直
第1课时　直线与平面垂直的判定
一、直线与平面垂直的定义　　　　　　　
定义 如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直与“所有直线”是同义词，但与“无数条直线”不同．
记法 l⊥α
有关概念 直线l叫做平面α的________，平面α叫做直线l的________．它们唯一的公共点P叫做________
图示
画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直
过一点垂直于已知平面的直线________________条，该点与垂足间的线段叫做这个点到该平面的____________，____________的长度叫做这个点到该平面的距离．
【微点拨】
(1)直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况．
(2)运用直线与平面垂直的定义来判定直线与平面垂直时，要紧扣“一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直”．若在平面内找到一条或无数条直线与已知直线垂直，都不能确定直线垂直于这个平面，但是在平面内能找到一条直线与已知直线不垂直，则这条直线与这个平面不垂直．
【即时练习】　空间中直线l和△ABC所在的平面垂直，则这条直线和三角形的边AB的位置关系是(　　)
A．平行　　　　　B．垂直　　　　　C．相交　　　　　D．不确定
二、直线与平面垂直的判定
文字语言 如果一条直线与一个平面内的　　　　　　　　垂直，那么该直线与此平面垂直是定理的关键词，应用定理时不能忽略．
符号语言 l⊥a，l⊥b，a α，b α，____________ l⊥α
图形语言
【微点拨】
(1)该定理有五个条件：a α，b α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b，这五个条件缺一不可，但对l⊥a，l⊥b在什么位置(过不过交点)、以什么方式(共面或异面)都不作要求，正是这种不作要求的“宽松”条件，使证明直线与平面垂直的方法很灵活．
(2)用定义证明直线与平面垂直，可操作性差，无法验证平面内所有直线，所以证明直线与平面垂直一般用判定定理．
【即时练习】　
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直．(　　)
(2)如果一条直线与一个平面内所有直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直．(　　)
2．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是(　　)
A．垂直　　　　　B．平行　　　　　C．相交不垂直　　　D．不确定
三、直线与平面所成的角
有关概念 对应图形
斜线 一条直线l与平面α________，但不和这个平面α________，图中直线PA 点P是斜线上异于斜足A的任意一点，点P具有任意性．
斜足 斜线和平面的________，图中点A
射影 过斜线上斜足以外的一点向平面引________，过________和________的直线叫做斜线在这个平面内的射影，图中斜线PA在平面α上的射影为________
直线与平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角． 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是________；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是________
取值范围 [0°，90°]
【微点拨】
(1)斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线而不是线段．
(2)直线和平面所成的角θ的取值范围是0°≤θ≤90°，而斜线和平面所成的角θ的取值范围是0°<θ<90°.
【即时练习】　在正方体ABCD A1B1C1D1中，直线AB1与平面ABCD所成的角为________．
8．6.2　第2课时　直线与平面垂直的性质
一、直线与平面垂直的性质定理
文字语言 　　　　"垂直于同一个平面的两条直线"　　　　定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系．
符号语言
图形语言
【微点拨】
(1)直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的另一种方法.
(2)直线与平面垂直的性质定理的逆定理为两平行线中的一条直线垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于此平面.
【即时练习】　
1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)垂直于同一条直线的两个平面互相平行.(　　)
(2)垂直于同一个平面的两条直线互相平行.(　　)
(3)一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直.(　　)
2.在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是(　　)
A.相交　　B．平行
C.异面 D.相交或平行
二、直线与平面、平面与平面的距离
1.直线到平面的距离：一条直线与一个平面平行时，这条直线上____________到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离.
2.两个平行平面间的距离：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离__________，我们把它叫做两个平行平面间的距离．最终都要转化为点到平面的距离
【微点拨】
直线与平面的距离、平面与平面的距离最终都要转化为点到平面的距离.
【即时练习】　在四棱台ABCD A1 B1 C1 D1中，若点A1 到平面ABCD的距离为4，则直线A1B1 到平面ABCD的距离为________，平面ABCD到平面A1 B1 C1 D1 的距离为________．
8．6.2　直线与平面垂直
第1课时　直线与平面垂直的判定
一、
垂线　垂面　垂足　有且只有一　垂线段　垂线段
[即时练习]
解析：因为l⊥平面ABC，AB 平面ABC，所以l⊥AB.故选B.
答案：B
二、
两条相交直线　a∩b＝P
[即时练习]
1．答案：(1)×　(2)√
2．解析：根据直线与平面垂直的判定定理可知直线垂直三角形所在的平面，所以直线垂直三角形的第三边．
答案：A
三、
相交　垂直　交点　垂线　垂足　斜足　AO　90°　0°
[即时练习]
解析：
如图所示，因为在正方体ABCD A1B1C1D1中，B1B⊥平面ABCD，所以AB即为AB1在平面ABCD中的射影，
∠B1AB即为直线AB1与平面ABCD所成的角．由题意知∠B1AB＝45°，故所求角为45°.
答案：45°
第2课时　直线与平面垂直的性质
一、
平行　a∥b
[即时练习]
1．答案：(1)√　(2)√　(3)√
2．解析：因为圆柱的母线垂直于圆柱的底面，在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，也垂直于底面，由线面垂直的性质定理可得，两条垂线平行．故选B.
答案：B
二、
1．任意一点
2．都相等
[即时练习]
解析：根据直线与平面的距离、平面与平面的距离的概念可知，直线A1B1到平面ABCD的距离为4，平面ABCD到平面A1B1C1D1的距离也为4.
答案：4　4