8.6.3　平面与平面垂直 预习案（含答案） 高一数学人教A版必修第二册

8．6.3　平面与平面垂直
8．6.3　第1课时　平面与平面垂直的判定
一、二面角
1.定义：从一条直线出发的____________所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱；这两个半平面叫做二面角的________．二面角是一个几何图形，而不是真正意义的角
2．画法：
3.记法：二面角α l β或α AB β或P l Q或P AB Q.
4.二面角的平面角：如图，在二面角α l β的棱l上任取一点 O， 以点 O 为垂足 ， 在半平面 α 和 β 内分别作 ______________ 的射线 OA，OB， 则射线 OA 和 OB 构成的 ∠AOB 叫做 二面角的平面角 ． 平面角是直角的二面角叫做直二面角 ， 二面角的平面角 α 的取值范围是 ____________．用线线角来描述二面角的平面角.
【 微点拨 】
(1) 构成二面角的平面角的三要素 ： 棱上面内垂直，即二面角的平面角的顶点必须在棱上，角的两边必须分别在两个半平面内，角的两边必须都与棱垂直，这三个要素缺一不可 . 前两个要素决定了二面角的平面角的大小的唯一性和平面角所在的平面与棱垂直 .
(2) 二面角的平面角的大小与角的顶点的位置无关 ， 只与二面角的大小有关 .
【 即时练习 】　 如图 ， 在正方体 ABCD A_1 B_1 C_1 D_1 中 ， 二面角 A BC A1 的平面角等于 ________．
二 、 平面与平面垂直的定义与判定定理 @1. 定义 ： 一般地 ， 两个平面相交 ， 如果它们所成的二面角是 直二面角 ， 就说这两个平面互相垂直 . 平面 α 与 β 垂直 ， 记作 __________． 如图 . 二面角的平面角为
2. 判定定理 ： 如果一个平面过另一个平面的 　　　　， 那么这两个平面垂直 ．三个元素 ： 两个平面 ， 一条直线 .
符号表示为 ：____________．
【微点拨】
(1)判定定理可以简述为 线面垂直，则面面垂直 ．因此要证明平面与平面垂直，可转化为寻找平面的垂线，即证线面垂直．
(2)两个平面互相垂直的判定定理不仅是判定两个平面互相垂直的依据，而且是找出与一个平面垂直的另一个平面的依据．
【即时练习】　直线l⊥平面α，l 平面β，则α与β的位置关系是(　　)
A．平行　　　　B．可能重合　　　C．相交且垂直　　D．相交不垂直
8．6.3　第2课时　平面与平面垂直的性质
一、平面与平面垂直的性质定理
文字语言 两个平面垂直，如果____________有一直线垂直于这两个平面的________，那么这条直线与另一个平面垂直
符号语言 　 面面垂直 线面垂直． 这条直线满足两个条件： (1)在其中一个平面内； (2)垂直于两个平面的交线．
图形语言
【微点拨】
(1)平面与平面垂直的性质定理成立的条件有三个：①两个平面垂直；②有一条直线在其中一个平面内；③这条直线垂直于两个平面的交线．
(2)如果两个平面垂直，那么分别在这两个平面内的两条直线可能平行、相交(含垂直相交)或异面，三种情形都有．
二、平面与平面垂直的其他性质和结论
(1)如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内，即α⊥β，A∈α，A∈b，b⊥β b α，如图①所示．
(2)如果两个平面垂直，那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面，即α⊥β，γ∥β γ⊥α，如图②所示．
(3)如果两个平面垂直，那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内，即α⊥β，b⊥β b∥α或b α，如图③所示．
(4)如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面，即α∩β＝l，α⊥γ，β⊥γ l⊥γ，如图④所示．
(5)三个两两垂直的平面的交线两两垂直，即α⊥β，α∩β＝l，β⊥γ，β∩γ＝m，γ⊥α，γ∩α＝n l⊥m，m⊥n，l⊥n，如图⑤所示．
注意：由图②与图④我们看到，都垂直于第三个平面的两个平面不一定垂直，可能平行，也可能相交．
【即时练习】　若两个平面互相垂直，在第一个平面内的一条直线a垂直于第二个平面内的一条直线b，那么(　　)
A．直线a垂直于第二个平面　　　　　B．直线b垂直于第一个平面
C．直线a不一定垂直于第二个平面 D．过a的平面必垂直于过b的平面
8．6.3　平面与平面垂直
第1课时　平面与平面垂直的判定
一、
1．两个半平面　面
4．垂直于棱l　[0，π]
[即时练习]
解析：根据正方体中的线面位置关系可知，AB⊥BC，A1B⊥BC，根据二面角的平面角定义可知，∠ABA1即为二面角的平面角，又AB＝AA1，且AB⊥AA1，所以∠ABA1＝45°.
答案：45°
二、
1．α⊥β
2．垂线　a α，a⊥β α⊥β
[即时练习]
解析：由面面垂直的判定定理得α与β垂直．故选C.
答案：C
第2课时　平面与平面垂直的性质
一、
一个平面内　交线　a α　a⊥l
二、
[即时练习]
解析：依据面面垂直的性质定理，在第一个平面内的一条直线a必须垂直于两平面的交线才能垂直于第二个平面，“在内”“交线”两个条件缺一不可．如图，a⊥b，但a不垂直于β.
答案：C